Задача о колебаниях стержня с нелинейным затуханием второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ. 2015. № 3(125)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95, 624.07

А.Б. Бейлин, Л.С. Пулькина1

ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ СТЕРЖНЯ С НЕЛИНЕЙНЫМ ЗАТУХАНИЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В статье рассматривается начально-краевая задача с динамическим нелинейным граничным условием для псевдогиперболического уравнения. Она представляет собой математическую модель одномерных продольных колебаний короткого толстого стержня, называемую стержнем Рэлея, с нелинейным затуханием второго порядка. Доказаны существование и единственность обобщенного решения. Доказательство базируется на полученных в работе априорных оценках и методе Галеркина. Предложенный способ доказательства существования решения позволяет построить приближенные решения задачи в форме, удобной для практического применения.

Ключевые слова: динамические граничные условия, нелинейное затухание, псевдогиперболическое уравнение, обобщенное решение, стержень Рэлея.

Введение

Математическое моделирование процессов колебания играет важную роль в технике. Колебательные процессы, возникающие в механической системе машин и механизмов, могут порождаться многими причинами и приводить к различным последствиям, не всегда желательным. Наличие в механизме источников колебательных процессов может привести к нарушению режима его работы, а в некоторых случаях и к разрушению. Одним из способов уменьшить нежелательные эффекты колебаний является демпфирование, которое конструктивно может быть выполнено разными способами.

Проблемы, связанные с нарушением работоспособности механических систем в результате вибрации некоторых их элементов, приводят к необходимости теоретического изучения процессов колебания этих элементов. Описание распространения волн в относительно длинных и тонких твердых стержнях базируется на математической модели, в основе которой лежит волновое уравнение второго порядка. Краевые задачи для одномерного волнового уравнения хорошо изучены и давно

х© Бейлин А.Б., Пулькина Л.С., 2015

Бейлин Александр Борисович (abeilin@mail.ru), кафедра АСиИС, Самарский государственный технический университет, 443010, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 133.

Пулькина Людмила Степановна (louise@samdiff.ru), кафедра уравнений математической физики, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

стали классикой [1]. Однако многие детали реальных механизмов можно интерпретировать именно как короткий и толстый стержень, а как показано Рэлеем [2, т. I, с. 273-274], эта модель, в основе которой лежит волновое уравнение второго порядка, недостаточно эффективна при изучении продольных колебаний толстого и короткого стержня, так как не учитывает некоторых специфических особенностей этого процесса. Для более точного анализа продольных колебаний в этом случае следует учитывать деформации стержня и в поперечном направлении. Математическая модель продольных колебаний толстого короткого стержня, в которой учтены эффекты поперечного движения стержня, называется стержнем Рэлея и базируется на псевдогиперболическом уравнении четвертого порядка. Исследования начально-краевых задач для псевдогиперболического уравнения в связи с изучением колебаний стержня проводились рядом авторов. В [3] рассмотрена задача для псевдогиперболического уравнения с динамическими граничными условиями, возникающими вследствие закрепления концов стержня при помощи распределенных масс и пружин, и изучены важные частные случаи с особым вниманием к свойствам собственных функций. В [4] эта задача исследована в общем случае и получены условия однозначной разрешимости. В обеих статьях была рассмотрена линейная модель.

Для более детального исследования процесса колебаний толстого короткого стержня следует учесть возможность возникновения внутренних сил, действия которых могут сказываться на величине смещения в точках внешней границы. Будем также считать, что один конец стержня жестко закреплен, а другой закреплен при помощи демпферного устройства.

1. Постановка задачи

Рассмотрим продольные колебания толстого короткого стержня, представляющего собой тело вращения относительно оси Ох, которые возбуждаются распределенной силой ](х,Ь) и прикреплены к неподвижным стенкам упруго. Будем считать, что левый конец жестко закреплен, а правый конец закреплен упруго и испытывает сопротивление среды вследствие наличия демпферного устройства.

Продольные смещения, подлежащие определению, обозначим и(х,Ь). Введем еще некоторые обозначения: А(х) — площадь поперечного сечения, р(х) — массовая плотность стержня, Е(х) — модуль Юнга, V(х) — коэффициент Пуассона, 1р(х) — полярный момент инерции.

В монографии [5, с. 158-184] построен Лагранжиан модели стержня Рэлея, применение к которому вариационного принципа Гамильтона приводит после элементарных преобразований к уравнению

, ,д2 й д { . .дй\ д // ч д3й \ .

а(х)- дх [а(х)дх) - дх [Ь(х)д^х) =1 (х>г)> (ы)

где обозначено

а(х) = р(х)А(х), а(х) = А(х)Е (х), Ь(х) = р(х)у1 (х)1р(х).

Краевая задача для этого уравнения в случае закрепления концов стержня при помощи сосредоточенных масс и пружин рассмотрена в [3] и [4]. Такой способ закрепления в предположении линейности можно математически описать граничными условиями

а(0)йж(0,*) + Ь(0)йххг(0,1) - Кхй(0,1) - йи(0,1) = 0,

а([)йх(1,г) + Ь([)йххг(1,г) + К2й([,г) + М2иа(1^) = о.

Мы откажемся от предположения линейности, а также будем допускать возможность возникновения внутренних сил, влияющих на поведение стержня в точках правой границы.

Пусть начальное отклонение и начальная скорость колебания стержня известны:

и(х, 0) = ф(х), иг(х, 0) = ф(х). (1.2)

Граничные условия будут иметь вид

и(о,г) = о,

а(1)йх(1,г) + Ь(1)йххг(1^) + Н(и(1,г))иа(1,г) + \щ(1^)\Рщ(1^) = 0. ( '3)

Наличие слагаемого Н(и)игг в (1.3) отражает действие внутренних сил, а слагаемое \иг(¡,г)\рь41,г) — действие демпфирующего устройства [6]. Тогда мы приходим к начально-краевой задаче с динамическим нелинейным граничным условием для определения продольных смещений стержня:

найти в QT = (0,1) х (0,Т), где Т € (0, то), решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным данным (1.2) и граничным условиям (1.3)

2. Разрешимость задачи

Прежде всего введем понятие решения задачи. Из технических соображений будем считать начальные условия однородными, что не ограничивает общности, но упрощает многие преобразования. Обозначим

Ш^т) = {и ■ и € ШЦ ^т), иг € ) П Ьр+2(Г;),ии € Ь2^т) П Ь2(Г;),

ихлл € Ь2^т),и(0,1)=0], где Г = Го и Г;, Го, Г;—боковые границы Qт ■ х = 0 и х = I соответственно.

Ш^т) = {V ■ V € Ш^т), у(х, Т)=0}. Нормы в этих пространствах определим естественным образом

\\и\\ш = \\и\\щ ) + \\иг\\щ1(дт) + \\ихг\\2Ыдт) + М^ (г).

Следуя известной процедуре [7, с. 92, 210], получим равенство, в котором и € € Ш(^т), V € Ш^т) ■

т I

/ / (а(х)ииу + а(х)ихУх - Ьих^хг) dxdt+

т т I (2.1)

+ / v(l,t)[H (и)ии(1,г) + \иг(1,г)\риг(1,г)Щ = / / fvdxdt.

О 0 0

Заметим, что все интегралы, входящие в (2.1), существуют и для функций и € € Ш(^т, V € Ш(^т), поэтому его можно использовать для определения обобщенного решения задачи (1.1)—(1.3).

Определение. Обобщенным решением задачи (1.1)—(1.3) будем называть функцию и € Ш^т), удовлетворяющую начальным данным и(х, 0) = 0, иг(х, 0) = = 0 и тождеству (2.1) для любой функции V € Ш(^т).

Теорема. Если / £ Ь2(Ят), /г £ Ь2(Ят), а,Ь,а £ С[0,1] П С 1(0,1), Н(и) £ £ С 1(КП) и удовлетворяет условиям

0 <Н0 < Н(и) < С(1 + \и\р), \Н'(и)\— < С(1 + Н(и)), (2.2)

то для любого р > 1 существует единственное обобщенное решение задачи (1.1)—(1.3).

Доказательство. Доказательство теоремы проведем в несколько этапов, придерживаясь следующей схемы: построим приближенные решения задачи; получим априорные оценки; покажем возможность предельного перехода к обобщенному решению; докажем единственность решения.

Существование. Пусть тк £ С2 [0,1] линейно независимы и образуют полную систему в Ш2[(0,1). Будем искать приближенное решение задачи в виде

т

ит(х,г) = Ск (1-)™к (х) к = 1

из соотношений

J (аиттЩ + аитЩ + Ьит^) йх+

I

+[Н (ит)ит(1,г) + \ит(1,г)\Рит(1,г)т (1) = ! /Щ йх, (2.3)

о

которые для каждого т представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно ск(г) :

I

тт

с'к(~Ь) [<г(х)тт^ + Ь(х)т[]йх + Н(ит)У~^ е'к(Ь)тк+ к=1 0 к=1 т

+ \ит(1,1)\^ с'к (г)тк (¡Щ (I) = / (г), (2.4)

к = 1

где /з (г) = / /(х,г)тз (х)йх. Добавив начальные условия

о

Ск (0)=0, Ск (0)=0, (2.5)

получаем задачу Коши для системы (2.4).

Покажем, что система (2.4) разрешима. Для этого рассмотрим матрицу А = = (Акз )т==, определенную равенством

т

с'(■ 'Л

к=1 п к=1

(Ас''(г))з = 4(г) [а(х)илтз + Ь(х)тЩ]йх + Н(ит)^2 4(г)тк(¡Щ (I), (2.6)

и покажем, что она имеет обратную. Умножим (2.6) на с'(г) и, суммируя по получим квадратичную форму

I

т

д =^3 с''(г)с'(г) (аткт^ + Ьт'кт')йх+

к,3 = 1

+ £ Н (ит)с<!(^ (¡Уз (I) =

з=\ к=1

I I

= | а(х)(ит+ 1 Ъ(х)(птх)2сЪ + Н(ит(1,£))(ит(¡,г))2.

о о

Из физического смысла коэффициентов уравнения (1.1) а(х) ^ ао > 0, Ъ(х) ^ ^ Ъо > 0. Тогда, учитывая первое из условий (2.2) теоремы, д > 0, следовательно, все собственные значения матрицы А положительны, что влечет за собой существование обратной ей матрицы. Это означает, что система (2.4) может быть сведена к нормальной, и, стало быть, задача Коши для нее имеет решения сз (£) € € Ш3(0,£т), ] = 1,...,т. Таким образом, последовательность приближенных решений {ит(х,1)} построена на (0,Ьт). Покажем, что Ьт = Т. Для этого получим ряд оценок.

Первая априорная оценка.

Умножим (2.3) на сЗ(£), просуммируем от ] = 1 до ] = т, а затем проинтегрируем полученное равенство от £ = 0 до £ = т, в результате чего получим:

т I т

(а(х)и%и? + аи^ит + КМ) ¿хА + | \иТ(1,1)\р+2¿1+

о о о

т I

т

+ У Н (ит(1,1))ит(1,г)ит(1,г)ёЛ = У J fumdxdt. (2.7) о 0 0

Интегрируя по частям первое слагаемое левой части и учитывая однородность начальных условий, приходим к равенству

т I I

(аитит+аитит+Ъи^и^) ¿.хж = | иип2 + аю2 + кит)%=т ¿х.

0 о о

Для преобразования третьего слагаемого левой части заметим, что справедливо представление

Н(ит)иТит = 2^ (Н(ит)(иТ)2) - 2Н'(ит)(ит)3. Тогда (2.7) принимает вид

1 т

2/а(и?)2 + а(ит)2 + Ъ(ит )2 ]=¿х + | \иГ(ШР+2а1 + 2 Н (ит(1,т ))(иТ(1,т ))2-

оо

т

- 2! Н' ^(¡,^^(¡,^¿1 =! J fum dxdt. (2.8)

2 ! — у- ч-, , к~г ч-, — ! ! I

о о о

В силу неравенства Юнга

1 р — 1 р

\Н'(ит)ит\ < -\ит\р + р-\Н'(ит)\Р-.

Тогда

т

1 / >г

т

У[\и?(шр+2 - н (ит)(ит(т?]а1 >

о

т

т

> Чг!«С'*))2 - нс*.

0

Так как по условию теоремы \Н'(ит)\р-1 ^ С(1 + Н(ит)), то мы получаем неравенство

I т

У[а(и?)2 + а(и?)2 + Ъ(ит)%=тСх + ^ \ит(1'*)\р+2А + Н(ит(1,т))(и?(1,т))2 < 00

т т I т I

< С^(и?)2(1 + Н(ит))А ^ 1(ит)2Сха + ! Jf2СхА. (2.9)

0 0 0 0 0 Заметим, что из представления

I

4 + иТ(х

следует неравенство

I I

(и?(1,г))2 < 2^(и™)2Сх + Ц(и^Сх,

0

с учетом которого

т т I т I т

!(ит(1,г))(1+н(ит))А < 2^ !(и™)2СхСг+2 !У(ит)2схсг+!(и?(1,г))2н(ит)л. 0 0 0 0 0 0 Тогда из (2.9)

I т

У [а^?)2 + а(и?)2 + Ъ(и™)2]г=т¿х + ^ \и?(¡,1)\р+23,1 + Н(ит(1,т))(и?(1,т))2 < 00

(т I т \ т I

У ¡[(Ю2 + (у%,)2]СхсМ + ! н (ит)(ит(1'г))2сЛ +Ц f2dxdt. 0 0 0 0 0 Здесь и всюду в статье под С мы понимаем любую положительную константу, не зависящую от т.

Применив лемму Гронуолла, получаем первую априорную оценку

\\ит\\ш^Т) < Сь

\\иХг\\ь2^т) ^ С1' (21П)

\\иТ\\ьр+2(т1) < С1, (2.10) \\Н 1/2(ит)иГ\\ЫГ1) < Сь

где С1 > 0 и не зависит от т. Вторая априорная оценка

Для вывода второй априорной оценки предварительно получим важное неравенство. Умножим (2.3) на о^(0), просуммируем по ] = 1,...,т и положим * = 0. Учитывая начальные условия, получим

I

У (а(х)(и£(х, О))2 + Ъ(х)(и%х(х' 0))2)Сх + Н(ит(1, 0))(и%(I, О))2 =

= j /(х, 0)ут(х, 0)Сх.

о

Отсюда вытекает неравенство

\\<Лх, 0)|Ц2(0,0 + \\<Лх, 0)|Ц2(0,г) + (0)(и%(1,0))2 <

< ъ'М (х, 0)\\Ь2(о,1)\\ит(х, 0)\\Ь2(о,0, где 70 = шт{ст0,Ъ0}, и тем более

\К (х, 0)\\2Ь2(0,1) < 7с-1\\/(х, 0)\\Ь2(0,1)\\ит(х, 0)\\^2(0,0,

откуда

(х, 0)\\ь2(0,г) < 7о-1/2\\/(х, 0)\\^2(0,г), (2 П)

т / ^ \ I I 1/2||/»//-»\м V'/

\КХ(х, 0)\\Ь2(0,0 < ъ ' \\/(х, 0)\\Ь2(0,0. Теперь продифференцируем (2.3) по Ь, затем умножим на С'(Ь) просуммируем по 2 = 1,...,т и проинтегрируем по Ь от 0 до т. Учитывая, что

С (\пТ (1,Ь)\ри? (1,1)) = (р +1)\п? (1,±)\Р<, 1 с

тт { т\ т т /тг/т\/т\2\ ТТ Ч т\ т/ т\ 2

н(и )ишигг = 2 аь н(и )(им ' > - 2Н (и )Щ' (Щг) ' после несложных преобразований получим

I т

(ит)2 + аыт,)2 + ъытх)%=т + 2(1+р) [ \ит(1,г)\р

1[а(ит)2 + а(итг)2 + Ъ(и^1х)%=т + 2(1+ р^ ^(¡Ж(ит(¡,1))2Л+

00 т

+| н' (ит)(ит)2итсь+н (ит(1,т ))(ит(1,т ))2 = н титу, 0))2+

0

I т I

+ I[а(ит(х, 0))2 + Ъ(итх(х, 0))2]Сх + 211 /^СхсМ. (2.12)

0 0 0 Сделаем некоторые оценки. В силу неравенства Юнга

т т

| н (ит)ит(1Мит(ш2сь\< р! \ит(шр(ит(ш2сь+

00

т

+^ [\н'(ит)\—(ит(1,г))2сг. р

0

Так как по условию теоремы

\н'(ит)\Р— < С(1 + н(ит)),

то после некоторых преобразований приходим к неравенству

I т

/м«2+<« >2+ЪКхП ,-тссх+Р!

i

+H(um)(um(l,t))2 ^J[a(um)2 + a(um)2 + b(uTtx)2]t=0dx + H(0)(um(l, 0))2+

l T l

+C J(1 + H(um))(um(l,t))2dt + J J(um(x,t))2dxdt + J J tfdxdt. 0 0 0 0 0 Применение первой априорной оценки и леммы Гронуолла позволяет получить вторую априорную оценку

\\utt\\b2(QT) ^ с2> \\um(l,t)\\L2 (0,T) < C2,

I \uux\\l2(qt) ^ C2> (2 13)

0 \um(l,t)\p(um(l,t))2dt < C2, \\H 1/2(um)um(l,t) \ \ C(0,T) < C2.

Полученные оценки позволяют выделить из построенной последовательности {um(x,t)} подпоследовательность {u¡}, обладающую свойствами: uf ^ u слабо в W21(QT), uf ^ ut слабо в WI(Qt) П Lp+2(ri), uf ^ utt слабо в W2i(Qt) П L2(ri), uXt ^ uxt слабо в L2(Qt)■

Кроме того, в силу теорем вложения [8] и лемм 6.2, 6.3 [9, с. 530-531] uf ^ u, uf ^ ut сильно в L2(Qt)■ Поэтому можно считать, что уже выделена подпоследовательность, обладающая свойством uf ^ u, uf ^ ut п.в. на Г1.

Тогда \uf(l,t) \ puf(l,t) € Lq (Г1), q = , 1 < q < 2, и \uf(l,t)\puf(l,t) ^ \ut(l,t) \put(l,t) п.в. на Г1 [10, с. 25]. Учитывая условия теоремы, можно сделать вывод о том, что [10] H(uf)uft € Lq(Г1) и H(uf)uft ^ H(u)utt п.в. на Г1.

Установленные свойства выделенной подпоследовательности позволяют перейти к заключительному этапу доказательства существования решения. Умножим (2.3) с um = uf на dj € CХ[0,Т], d(T) = 0, просуммируем по j = 1,...,m, а затем проинтегрируем по t от 0 до T. Получим t i

j j(a(x)uft)n + a(x)ufnx — b(x)uxtnxt)dxdt+

00

T t i

+ j[\uf(l,t)\puf(l, t)n(l, t) + H(uf)uft(l,t)]dt = J J fndxdt, (2.14)

0 00

m

где n(x,t) =5^ dj(t)wj(x). Переходя в (2.14) к пределу при ц ^ ж и принимая

j=i

m

во внимание плотность множества всех функций вида n(x,t) = dj (t)wj(x) в

j=i

W2(Qt ) П Lp+2(ri), убеждаемся в том, что u = lim uf удовлетворяет тождеству

¡л^ж

(2.1) для любых функций v € W(Qt) и, стало быть, является искомым обобщенным решением задачи (1)—(3).

Единственность. Предположим, что существует два различных обобщенных решения задачи (2.1)—(2.3), ui и u2. Тогда их разность, u = ui —u2, удовлетворяет

T

T

условиям и(х, 0) = 0, и,(х, 0) =0 и тождеству

Т I

0 0

Т

v

0

И^ + аиХ°Х + Г1ХЖ+

Т

+ / ^ - иЫъ +1 «„ Гъ,- ¡щ,= о. (2Л5)

для любой функции V е Ш. Пусть у(х,г) = Ф(г)и(х), Ф(г) е С2[0,Т], и е Ш2(0,1). Тогда из (2.15) следует справедливость тождества

I

+ аи^ + *Х+

0

+ш(Г)[и(и1)ии, - и(и2)и2,, + I ииI рии - | и2,| ри2,\ = 0 (2.16)

для любого Ь е [0,Т]. Зафиксируем £ и положим и(х) = щ(х,Ь). Элементарные преобразования в (2.16) приводят к тождеству

I

1 * /»

2 А ^и2 + аиХ + Ъь2х,]3,х + и,(1,Ь)[и(и1) - и(и2)]иц,+

0

+и(и2)и,,и, (Iии(1,г)Iрии(1,г) - Iи2,(1,г) 1ри2,(1,г)) (ии - и2,) = 0. (2.17) Заметим, что

и(и2)и,и,, = - — (и(и2)и,) - -ь2и'(и2)и2,,

1 * (и(и2)и2) - 1

2 ¿V к 2 и 2

а оператор \и,\рщ монотонный, в силу чего

(1ии1рии - 1и2,1ри2,)(и1 - щ) > 0. Тогда из (2.17) после интегрирования по £ от 0 до т е [0,Т] получим

I

1 ( 1

2 [аи, + аи2х + Ъи2х,],=т*х + ^и(и2(1,т))и'2(1, т) <

0

^ [и (и2) - и (щ)]ишииА I и' (и2)и2ги2,*Ъ. (2.18)

00 Сделаем некоторые оценки.

т т т

У [и (и2) - и (и1)]и1иии*1\ < и2(1,1)Л I [и (и2) - и (щ)]2и.2И <

< —J и2(1,1)& + тах и(и1) - и(и2

00 т т

J и2и2,и'(и2)А ^ Стах(1 + и(и2))

С учетом этих неравенств и свойств функции Н(и) получим из (2.18):

I

/К + аиих + ¿х + Н(и2(1,т))и2(1,т) <

0

т т

< с/и^. + Ии1&[0,т] I(219)

00

Как было показано,

I I

и2(1,т) ^ 21 J иХ(х,т)ё,х + 2 J и2(х,т)йх. 00

Воспользуемся представлениями

т т

и(х,т) = J щ(х,1)А; иХ(х,т) = J и^(х,1)А. 00 Теперь нетрудно получить неравенство

т I т I

и2 (I, т) < 21т ! J иХгйхйг + 2- J ! ^¿хА Ут е [0,Т], 0 0 0 0 учитывая которое из (2.19) получаем

i

J[*u + аих + bult]t=TdX + НЫ1,тЫ(1,т) <

0

т l т

< cj J(u2 + u2xt)dxdt + C J u2(l,t)dt. (2.20)

0 0 0 Из (2.20), учитывая, что H(u) ^ ho, и выбирая m = min{1, ао, ао, bo, ho}, получим неравенство

l / т l т

Ju + uX + dx + u\(l,T) < C U J(u + uX + uXt)dxdt + J uUl,t)dt

0 \o о 0

применяя к которому лемму Гронуолла убеждаемся в том, что, в силу произвольности т, u(x,t) = 0. Отсюда сразу следует, что ui = u2, стало быть, единственность решения доказана.

Теперь теорема полностью доказана.

Литература

[1] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с.

[2] Стретт Дж. В. Теория звука. М.: ГИТТЛ, 1955. Т. I.

[3] Федотов И.А., Полянин А.Д., Шаталов М.Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея // ДАН. 2007. T. 417. № 1. C. 56-61.

[4] Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями // Вестник СамГУ. 2014. № 3(114). C. 9-19.

[5] Rao J.S. Advanced Theory of Vibration. N.Y.: Wiley, 1992.

[6] Doronin G.G., Lar'kin N.A., Souza A.J. A Hyperbolic Problem with Nonlinear Second-order Boundary damping // EJDE. 1998. № 28.

[7] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

[8] Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989.

[9] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

[10] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

References

[1] Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Equations of mathematical physics. M., Nauka, 2004 [in Russian].

[2] Rayleigh J.W.S. Theory of sound. M., GITTL, 1955. Vol. 1 [in Russian].

[3] Fedotov I.A., Polyanin A.D., Shatalov M.Yu. Theory of free and forced vibrations of rigid rod based on Rayleigh model. DAN, 2007. Vol. 417, pp. 56-61 [in Russian].

[4] Beylin A.B., Pulkina L.S. A problem on longitudinal vibration in a short thick bar with dynamical boundary conditions. Vestnik SamGU [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 3(114), pp. 9-19 [in Russian].

[5] Rao J.S. Advanced Theory of Vibration. N.Y., Wiley, 1992 [in Russian].

[6] Doronin G.G., Lar'kin N.A., Souza A.J. A Hyperbolic Problem with Nonlinear Second-order Boundary damping. EJDE, 1998, no. 28 [in Russian].

[7] Ladyzhenskaya O.A. Boundary value problems of mathematical physics. M., Nauka, 1973 [in Russian].

[8] Sobolev S.L. Selected questions of the theory of functional spaces and generalized functions. I., Nauka, 1989, 254 p. [in Russian].

[9] Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uraltzeva N.N. Linear and quasilinear parabolic equations. M., Nauka, 1967 [in Russian].

[10] Lions J.L. Some methods of solving nonlinear boundary problems. M., Mir, 1972, 587 p. [in Russian].

A.B. Beylin, L.S. Pulkina2

PROBLEM ON VIBRATION OF A BAR WITH NONLINEAR SECOND-ORDER BOUNDARY DAMPING

In this paper, we study the initial-boundary problem with nonlinear dynamical boundary condition for the pseudohyperbolic equation. This problem represents a mathematical model of longitudinal vibration in a thick short bar with dynamic nonlinear second-order boundary damping. The existence and uniqueness of a generalized solution are proved. The proof is based on a priori estimates and Galerkin procedure. This approach allows to construct approximation in the suitable for practical application form.

Key words: dynamic boundary conditions, nonlinear damping, pseudohyper-bolic equation, generalized solution, Rayleigh's model.

Статья поступила в редакцию 8////2015. The article received 8////2015.

2Beylin Alexander Borisovich (abeilin@mail.ru), Department of Automated Machine-Tool and Tooling Systems, Samara State Technical University, 133, Molodogvardeyskaya Street, Samara, 443010, Russian Federation.

Pulkina Ludmila Stepanovna (louise@samdiff.ru), Department of Equations of Mathematical Systems, Samara State University, 1, Acad. Pavlov Street, Samara, 443011, Russian Federation.