О разрешимости одной смешанной задачи для нагруженного гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

40

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).

УДК 517.95

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ1

© 2008 М.Г.Волынская2

В этой статье доказана однозначная разрешимость смешанной задачи для нагруженного гиперболического уравнения в прямоугольной области. Доказательство базируется на полученных в работе априорных оценках.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, смешанная задача, нелокальная задача, априорная оценка, разрешимость, единственность.

1. Краткие вводные замечания

Нагруженными принято считать уравнения, содержащие некоторую операцию от следа искомого решения [4, 5]. В последнее время, в связи с интенсивным развитием теории нелокальных задач для уравнений в частных производных, нагруженными стали называть и уравнения, содержащие функционал от самого искомого решения [7].

Одним из эффективных методов исследования нелокальных задач с интегральными условиями является сведение их к эквивалентным задачам со стандартными краевыми условиями, но для нагруженного уравнения.

В предлагаемой работе рассмотрена задача для гиперболического уравнения, содержащего слагаемое интегрального вида. Доказана однозначная разрешимость этой задачи.

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Л.С. Пулькиной.

2Волынская Мария Геннадьевна ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

2. Основной результат

Рассмотрим в области Q = {(х, г) : 0 < х < I, 0 < г < Т} нагруженное уравнение гиперболического типа

I

игг - (а(х, г)их)х - с(х, г)и = ^ К(х, г)ы(х, г)ё,х. (2.1)

о

Найдем решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям

и(х, 0) = ф(х), (2.2)

и((х, 0) = у(х), (2.3)

и(0, г) = и(1, г) = 0. (2.4)

Функции К(х, г), у(х), ф(х) заданы в Q и [0,I] соответственно.

Введем понятие решения поставленной задачи. Для этого получим интегральное тождество, на котором будет базироваться определение. Обозначим

wl0(Q) = {и(х, г) : и(х, г) е W\(Q)■, и(0, г) = и(1, г) = 0},

^2,0^) = Кх, г): к(х, г) е W21,о(Q); v(х, Т) = 0}.

Умножим равенство (2.1) на функцию к(х, г) е W2о(Q) и проинтегрируем полученное равеннство по области Q. После несложных преобразований получим

Т I

, г)ихкх - игкг - с(х, г~)иК)йхйг =

00

Т I I I

= ^ ^ V ^ К(', г)и(', г)^%йхйг + ^ к(х, 0)у( х)йх.

0 0 0 0 Определение: Обобщенным решением задачи (2.1)—(2.4) будем называть функцию и(х, г) е w2о(Q), удовлетворяющую Ук(х, г) е w2о(Q) тождеству (2.5) и условию (2.2).

Основным результатом представляемой работы является доказательство следующего утверждения.

Теорема: Если ф(x)еW21(0,1), у(х)еЬ2(0,1); К(х, г), а(х, г), с(х, г)е С1(<2), а(х, г) > 0 Ух е [0, х] У г е [0, Т] , то задача (2.1)—(2.4) однозначно разрешима

в -^оО.

Доказательство:

1. Докажем сначала единственность. Предположим, что существуют два различных обобщенных решения задачи (2.1)—(2.4) и1(х, г) и и2(х, г). Тогда их разность и(х, г) = щ(х, г) - х, г) удовлетворяет тождеству: Т I Т I I

^ а(х, г)ихкх - игкг - с(х, г)т)йхйг = ^ г)и((2.6)

0 0 0 0 0

(а(х, г

(2.5)

и выполняется начальное условие при t = 0, u(x, 0) = 0. Положим в тождестве (2.6)

v(x, t) =

т

fu( x,

n)dn, 0 ^ t ^ т;

(2.7)

0, т ^ г ^ Т.

Так как и(х, г) е ^0(6), то у(л, г) е ЭД^Ш). Заметим, что уг(х, г)=-и(х, г). Интегрирование по частям в тождестве (2.6) приводит к следующему равенству:

1 1 т 1

^ J I)dx + ^ J а(х,

0)vX (x, 0)dx = -

0

т l

Ш

00

T l l

о

at(x, t)vxdxdt+

(2.8)

+ J c( x, t)uvdxdt + fvf t)u(g, t)d%dxdt. 0 0 0 0 0

Введем обозначения

l

M = max K (x, t)dx; L = max |K(x, t)|; te[0,T ] J q

0

a0 = min a(x, t), ai = max |at(x, t)|,

Q Q

C0 = max |c(x, t)|, ci = max |ct(x, t)|, C2 = c0 + M.

Q Q

Оценим правую часть равенства (2.8) с помощью неравенства Юнга

т l

00

т l

т l

J* J" с(х, t)uvdxdt ^ ~2 J" J" u2dxdt + — J" J"

v2dxdt,

(2.9)

т l l

ffvj^ K(§, t)u(£, t)dd%dxdt

0 0 0

<

00

т l l

/М

00

K(l, t)u(l, t)d^

т l

0 0 0 т l f l

dxdt ^

<

±JJ v2dxdt + ^J J J K(l,t)u(l,t)dl

00

0 0 0

dxdt ^

(2.10)

т 1 т 1

1 Г Г 2 М Г Г 2

^ — I V dxdt н--I I и dxdt.

2J J 2 ] ]

0 0 0 0

Таким образом, учитывая оценки (2.9) и (2.10), из равенства (2.8) получаем неравенство:

1 т 1

. . ...., + +

0 0 0

i J [vj(x, т) + a(jt, 0)v2(x, 0)] rfjc ^ i J J (axv2x + c2v2 + 2v2) dxdt. (2.11

2

Рассмотрим функцию

т

и(х, т) = - ^ их(х, (2.12)

0

Заметим, что

т т г

кх(х, г) = ^ их(х, п)йц = ^ их(х, п)йц - ^ их(х, п)йц = и(х, г) - и(х, т), г 0 0

и в частности, кх(х, 0) = -и'(х, т). Тогда (2.11) можно записать следующим образом: I

+ а(х, 0)и2(х, т) I йх ^

^ [к2(х, т) + а(х, 0)и2(х, т)] йх

0 т I (2.13)

^ ^ ^ (а [и(х, г) - и(х, т)]2 + с2к2 + 2к2^ йхйг. 00

Применяя элементарное неравенство, получим

т I т I т I

X /[и(х, г) - и(х,т)]2йхйг ^ 2^ ¡и2(х, г)йхйг + 2^ ^и2(х,т)йхйг. 0 0 0 0 0 0 Далее, заметив, что

т I I

^ ^ и2(х, т)йхйг = т ^ и2(х, т)йх,

0 0 0

мы получаем оценку:

т I т I I

^ и(х, г) - и(х, т)]2йхйг ^ 2^ ^и2(х, г)йхйг + 2т ^и2(х, т)йх. (2.14) 0 0 0 0 0 Из неравенств (2.14) и (2.13) имеем I

^ 2(х, т) + аои2(х, т)| йх ^

0 т I I (2.15)

^ ^ 2а1 и2(х, г) + с2К2 + 2кг)йхйг + 2а1 т ^ и2(х, т)йх. 0 0 0 Пользуясь произволом выбора т, потребуем, чтобы

— 2с1\х ^ . (2.16)

Неравенство (2.16) будет выполнено для всех т е

4а1

Заметим, что в силу (2.7)

т I

т I

^ = ^ ^ и2 dxdt,

0 0 0 0

т I т I ( т

^ ^ v2dxdt = ^ ^ ^ и(х, v^)dц

2 т I

dxdt ^ Т ^ ^ и2dxdt.

00

(2.17)

(2.18)

Тогда из неравенства (2.15) (с учетом (2.16)—(2.18)) вытекает справедливое

для всех т е

0,-22-

4а\

I

неравенство

т I

т0 ^ \и2(х, т) + м>2(х, т)] dx ^ сз

22 и + w

) dxdt,

(2.19)

00

где тр = тш |1, , сз = тах {2а\, с2 + 2Т}.

2

Затем, в силу неравенства Гронуолла [1, С. 21], из неравенства (2.19) вытекает

I

^ [и2(x, т) + w2(x, т)] dx = 0,

откуда

и(x, т) = 0, Ут е Повторяя рассуждения для т е

0,^ 4а1

, убедимся, что ит) = 0 и на

ар ар

4а1' 2а1 этом промежутке.

Продолжая этот процесс, через конечное число шагов получим, что

и(x, т) = 0, Ут е [0, Т].

Следовательно, справедливо равенство и1^, г) = ^. 2. Перейдем теперь к доказательству существования. Для доказательства существования решения поставленной задачи рассмотрим фундаментальную, полную в W2^o(Q) систему линейно независимых и ортогональных в Ь2(0,1) функций

^(x) е С2(0,1) : wk(0) = wk(l) = 0)^,

и будем искать приближенное решение поставленной задачи в виде

\x, ^ = ^ сп(^п(x),

п=1

и

из соотношении 1

^{иц(х, г) - [а(х, гЦ(х, г)]х - с(х, г)ит(х, г))wk(х)йх = 0 1 1 (2.20)

-I ^(х)/ВД ,)ит(|, 1 < к < т.

0 0

В силу ортогональности выбранной системы функций, равенство (2.20) примет вид:

т т т

ск(г) + 2 (г)^(г) - 2 (г) - 2 с5(г)р5(г)Ьк = 0, 1 < к < т, (2.21)

5=1 5=1 5=1

где

1 1 ¡ик(0 = ^ а(х, г)м>к(x)wn(х)йх, gnк(t) = ^ с(х, г^к(х^п(х^х, 00 1 1 Ьк = ^ т(х)йх, рп(г) = ^ Wn(%)K(%, 00 Обозначим = ¡к(г) - gsk(г) - р5(г)Ьк. Тогда из (2.21) следует

т

с'т(г) + Е сж(0^т(0 = 0,

5=1

ст(0) = ат,

с'т(0) = в

т т.

(2.22)

Получили задачу Коши относительно функций ст(г), т = 1,2,..., для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.22), где ат и |т

N N

коэффициенты сумм ф^(х) =2 аkWk(x) и ^(х) = 2 PkWk(x), аппроксимиру-

к=1 к=1

ющих при N ^то функции ф(х) и у(х) в норме W^(Q).

В силу условий теоремы, функции й5т(г) е С1[0,1]. Для таких коэффициентов система (2.22) однозначно разрешима и ст(г) е С3[0, Т] [6, С. 27]. Таким образом, мы построили последовательность {ит(х, г)}. Покажем теперь, что эта последовательность ограничена, для чего получим соответствующее неравенство. Опустим временно индекс т и рассмотрим функцию и(х, г) е W|(Q).

Умножим уравнение (2.1) на иг(х, г) и проинтегрируем обе части полученного равенства по прямоугольной области

Qт = {(х, г) : 0 < х < 1, 0 < г < т, 0 < т < Т}.

Интегрируя по частям, мы получаем

, т)их (x, т)dx =

— ^ м2(х, т)йх + — ^ а(х, ■

00

I т I I

= ^ ^ у2(х)с1х + ^ ^ ^ а((х,1)и2Лх(11 + ^ ^ а(х,0)[ф'(х)]2й?х+ (2.23)

00

0

т I т I I

+ ^ ^ с(x, t)uutdxdt + ^ ^ щ ^ К(Е, ()и(Е, t)d'Е,dxdt.

00

0 0 0

Оценим два последних слагаемых правой части равенства (2.23) с помощью неравенств Юнга и Коши—Буняковского

т I

т I

т I

00

^ ^ с(x, t)uutdxdt 00

т I I

^^и^ К(Е, Ои(Е, t)dЕdxdt

^ ^ ^ и2йхЛ + ^ ^ ^ и2йхЛ, (2.24)

00

0 0 0

<

т I 2 т I

^ - I I и2й?х<Л I

(2.25)

00

00

Учитывая (2.24)—(2.25), из равенства (2.23) получим

, т)и2т)dx ^

— ^ м2(х, х)йх + — ^ а(х, ■

00

I т I

1 Г 2 1 г г 2

^ — I \|/ (х)й?х + 2 I I а*(х>

(2.26)

I

~ J а(х, 0)[ф' 0

t

00

2 с1 + ¡Ь2 (х)]2с1х+ 1

т I

т I

2

^ ^ u2dxdt + ^ ^ u2dxdt.

00

00

т

Так как и(x, {) = J ит^, т^т + ф^), то и2(x, {) ^ 2т ^ и2(x, t)dt + 2ф2(x), следо-00

2

вательно:

т I

т I

I

^ ^ и2^, t)dxdt ^ 2т2 ^ ^ и2(x, t)dxdt + 2т ^ ф2(x)dx. (2.27)

00

00

С учетом (2.27) из (2.26) получаем

I I т

т I |и~(х,т) + и(х,т)|^х ^ М I I \игх

^[и2х(х, т) + х, т)]^х ^ ММ ^ и2х(х, г) + и^(х, г)]йхЛ+ 0 0 0

I

+С ^ [фх( х) + [ф'( х)]х + ух( х)]^х,

(2.28)

0

где приняты следующие обозначения

т = шш{1, «о),

ММ = шах{«ь 1Ь2 + Хс1Т2 + 1), С = шах{1, «о, 2Т).

В силу неравенства Гронуолла [1, С. 21] из (2.28) следует неравенство

1|и||^2(2) < С 11^11^х(0,/) + !1ф'111х(0,/) + ||ф||ьх(0,/)). (2.29)

Возвращаясь к прежним обозначениям, получим оценку элементов построенной последовательности {ит(х, г)):

!|ит(х, 011^1(2) < (С,

где константа (С не зависит от т. Но тогда из этой последовательности можно выделить сходящуюся слабо в WX(Q) [2, С. 72] подпоследовательность. Сохраним за этой подпоследовательностью то же самое обозначение {ит(х, г)). Предел этой подпоследовательности есть некоторый элемент и(х, г) е WX(Q).

Покажем, что и(х, г) — обобщенное решение задачи (2.1)—(2.4). Действительно, условия (2.2) и (2.4) будут выполнены в силу слабой сходимости {ит(х, г)) к и(х, г) в Ьх(0,I), которая означает, что {ит(х, г)) и {ит(х, г)) слабо сходятся в Ьх(0,1).

Для доказательства справедливости тождества (2.5) для функции и(х, г) умножим каждое из соотношений (2.20) на свою функцию к,(г) е Wх1([0, Т]), удовлетворяющую условию к,(Т) = 0. Полученные равенства просуммируем

по всем , от 1 до N и проинтегрируем по г от 0 до Т.

N

Тогда, обозначив п(х, г) = 2 к,х), получаем

,= 1

Т I

^ ^ иП - («(х, г)ит)хп - с(х, г)итп) йхйг = 00 1 Т > (2.30)

= JJ п(х, г) ^ К(1, г)ит(1, г)0=4хйг.

Интегрируя по частям, убеждаемся, что из равенства (2.30) следует тождество (2.31)

Т I

^ ^(а(x, ^и^% - и"ц - с{)итn)dxdt =

° ° Т } } I (2.31)

= JJ П(х, о^ К(Е, 0ит(Е, t)dЕdxdt + ^ ф, 0),т(x)dx. 0 0 0 0 Покажем, что в равенстве (2.31) можно перейти к пределу при т ^то. Для этого, рассмотрим интеграл

Т I I

К(Е, 0ит (Е, t)dЕdxdt.

0 0 0

Введем следующие обозначения:

I I

Фт (^ = ^ к(Е, 0ит(Е, Ф(0 = ^ К(Е, 0и(£, №.

00

Тогда имеем

Т I I

^^п^ К(Е, 0ит(Е, t)dЕdxdt = [фт(I), ц^, о| . (2.32)

0 0 0 Ь2(®}

Последовательность {иm(x, t)) сходится слабо в W},(Q) и по норме в Ь2(0) Уt е [0, Т] [2, С. 72]. В силу этого выполняется неравенство

Т / I ^2

||Фт(0 - Ф(т12(0Т) = / /К(Е, 0[>ит - и№

00

dt ^

^ И2Цит - и||Ь (0) ^ 0, т ^ж.

"Ь2Ш)

Так как из сильной сходимости следует слабая, то можно перейти к пределу в равенстве (2.32) при т ^то.

N

Тождество (2.31) справедливо для Уц(x, ^ вида £ Н5(^¡^). Обозначим

5=1

совокупность таких функций ц^, ^ через . В тождестве (2.31) перейдем к пределу по выбранной выше последовательности при фиксированной функции ц(x, ^ из какого-либо пространства . Это приводит к тождеству (2.5) для предельной функции и^ при Уц^, 0 е . Так как множество

ж _

и плотно в W2.0(Q) [2, С. 215] то тождество (2.5) будет выполняться N=1 '

для всех ц е W},0(Q).

Таким образом, и(X' ^ — обобщенное решение поставленной задачи. Теорема, следовательно, доказана.

Литература

[1] Гординг, Л. Задача Коши для гиперболических уравнений / Л. Гординг. М., - 1961. - 120 с.

[2] Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А.Ладыженская. - М.: Наука, - 1973. - 408 с.

[3] Нахушев,А.М. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев. - М.: Высш. шк., - 1995. - 301 с.

[4] Нахушев,А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги грунтовых вод / А.М.Нахушев // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18. - №1. - C. 72-81.

[5] Нахушев, А.М. Краевые задачи для нагруженных интегродифференци-альных уравнений и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги / А.М.Нахушев // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15. -№1 - C. 96-105.

[6] Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С.Понтрягин. М.: Наука, - 1974. - 331 с.

[7] Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // Дифференц. уравнения. -2006. - Т. 42. - №9 - C. 1166-1179.

Поступила в редакцию 13/ VIII/2008;

в окончательном варианте — 26/VIII/2008.

ON SOLVABILITY OF A MIXED PROBLEM FOR A LOADED HYPERBOLIC EQUATION3

© 2008 M.G. Volynskaya4

In the paper existence and uniqueness of a generalized solution of the mixed problem for loaded hyperbolic equation are proved. The proof is based on a priori estimates obtained in this work.

Keywords and phrases: hyperbolic equation, mixed problem, non-local problem,

a priori estimation, solvability, uniqueness.

Paper received 13/VIII/2008.

Paper accepted 26/VIII/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. L.S.Pulkina.

4Volynskaya Mariya Gennadievna ([email protected]), Dept. of Mathematical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.