О разрешимости одной смешанной задачи для нагруженного гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ1

© 2008 М.Г. Волынская2

В этой статье доказана однозначная разрешимость смешанной задачи для нагруженного гиперболического уравнения в прямоугольной области. Доказательство базируется на полученных в работе априорных оценках.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, смешанная задача, нелокальная задача, априорная оценка, разрешимость, единственность.

1. Краткие вводные замечания

Нагруженными принято считать уравнения, содержащие некоторую операцию от следа искомого решения [4, 5]. В последнее время, в связи с интенсивным развитием теории нелокальных задач для уравнений в частных производных, нагруженными стали называть и уравнения, содержащие функционал от самого искомого решения [7].

Одним из эффективных методов исследования нелокальных задач с интегральными условиями является сведение их к эквивалентным задачам со стандартными краевыми условиями, но для нагруженного уравнения.

В предлагаемой работе рассмотрена задача для гиперболического уравнения, содержащего слагаемое интегрального вида. Доказана однозначная разрешимость этой задачи.

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Л.С. Пулькиной.

2Волынская Мария Геннадьевна ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

2. Основной результат

Рассмотрим в области 2 = {(х, г) :0 < х < 1, 0 < г < Т} нагруженное уравнение гиперболического типа

1

игг — (а(х, г)их)х — с(х, г)и = ^ К(х, г)и(х, г)ё,х. (2.1)

о

Найдем решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям

и(х, 0) = ф(х), (2.2)

иг(х, 0) = у(х), (2.3)

и(0, г) = и(1, г) = 0. (2.4)

Функции К(х, г), у(х), ф(х) заданы в 2 и [0,1] соответственно.

Введем понятие решения поставленной задачи. Для этого получим интегральное тождество, на котором будет базироваться определение. Обозначим

№2, 0(2) = {и(х, г) : и(х, г) е №\(0); и(0, г) = и(1, г) = 0},

ж10Ш) = {у(х, г) : у(х, г) е №2,0(2); у(х, Т) = 0}.

Умножим равенство (2.1) на функцию у(х, г) е №,0(2) и проинтегрируем полученное равеннство по области 2. После несложных преобразований получим

Т 1

, г)ихух — игуг — с(х, г)ш>)йхйг =

00

Т I I 1

-Я *1 К(^, г)и(Ь„ г)$£Дхйг + ^ у(х, 0)^(х)йх.

0 0 0 0 Определение: Обобщенным решением задачи (2.1)—(2.4) будем называть функцию и(х, г) е №,0(2), удовлетворяющую Уу(х, г) е №^0(2) тождеству (2.5) и условию (2.2).

Основным результатом представляемой работы является доказательство следующего утверждения.

Теорема: Если ф(х)е№,(0,1), ^(х)еЬ/2(0,1); К(х, г), а(х, г), с(х, г)е С(2), а(х, г) > 0 Ух е [0, х] Уг е [0, Т] , то задача (2.1)—(2.4) однозначно разрешима

в ^(2).

Доказательство:

1. Докажем сначала единственность. Предположим, что существуют два различных обобщенных решения задачи (2.1)—(2.4) и,(х, г) и и,(х, г).

Тогда их разность и(х, г) = и,(х, г) — и,(х, г) удовлетворяет тождеству:

Т 1 Т 1 1

Я (а(х, г)ихух — игуг — с(х, г^т^йхйг = 1Н К(^, г)и(^, г^^х& (2.6)

0 0 0 0 0

Я (а(х, г

(2.5)

и выполняется начальное условие при t = 0, u(x, 0) = 0. Положим в тождестве (2.6)

v(x, t) =

Т

J' u(x,

(2.7)

0, т ^ г ^ Т.

Так как и(х, г) е №2,0(0), то у(х, г) е №,0(0). Заметим, что уг(х, г)=—и(х, г).

Интегрирование по частям в тождестве (2.6) приводит к следующему равенству:

1 1 т 1

0)Vx(x, 0)dx = -

Т l

Uf

0 0

T l l

о

at(x, t)vxdxdt+

(2.8)

+

If c(x, t)uvdxdt + v K(l, t)u(l, t)d'%dxdt.

0 0 0

00

Введем обозначения

l

M = max I K2(x, t)dx; L = max |K(x, t)|;

te[0,T ]J Q

0

a0 = min a(x, t), a\ = max lat(x, t)|,

Q Q

C0 = max lc(x, t)|, ci = max |ct(x, t)|, C2 = c0 + M.

Q Q

Оценим правую часть равенства (2.8) с помощью неравенства Юнга

Т l

c(x,

t)uvdxdt

00

т l

т l

т l l

v K(l, t)u(~, t)d%dxdt\

0 0 0

^ ^ J" J" u2dxdt + — J" J' vzdxdt,

0 0 0 0 Т l l

/М K(%, t)u(%, t)dQ

(2.9)

Т l

0 0 0 т l / l

^ J J v2dxdt + ^ J J J K(£, t)uQI, l)dE

00

0 0 0

(2.10)

Т l

Т l

If

2

u dxdt.

2^ 2

0 0 0 0

Таким образом, учитывая оценки (2.9) и (2.10), из равенства (2.8) получаем неравенство:

1 т 1

. . . г ___ ^ ' I I /л I/ -1- г;о V. -1- л"2

2 0 2 0 0

- Г [vj(x,x) + a(x,0)v2x(x,0)\dx^- Г С (aiv2 + C2V2 + 2v2j dxdt. (2.11

2

Рассмотрим функцию

т

и(х, т) = — ^ их(х, г()йц. (2.12)

0

Заметим, что

т т г

ух(х, г) = ^ их(х, П)йц = ^ их(х, П)йц — ^ их(х, ц)йц = и(х, г) — и(х, т),

г 0 0

и в частности, ух(х, 0) = —и(х, т).

Тогда (2.11) можно записать следующим образом:

1

+ а(х, 0)и2(х, т) I йх ^

^ [у2(х, т) + а(х, 0)и2(х, т)| йх

0 т 1 (2Л3)

^ ^ ^ (а, [и(х, г) — и(х, т)]2 + С2V2 + 2у2^ йхйг.

00

Применяя элементарное неравенство, получим

т 1 т 1 т 1

^ ^[и(х, г) — и(х, т)]2йхйг ^ 2 ^ ^ и2(х, г)йхйг + 2 ^ ^ и2(х, т)йхйг.

0 0 0 0 0 0 Далее, заметив, что

т 1 1

^ ^ и2(х, т)йхйг = т ^ и2(х, т)йх,

0 0 0

мы получаем оценку:

т 1 т 1 1

^ ^[и(х, г) — и(х, т)]2йхйг ^ 2^ ^ и2(х, г)йхйг + 2т ^ и2(х, т)йх. (2.14)

0 0 0 0 0 Из неравенств (2.14) и (2.13) имеем 1

^ [у'2(х, т) + а0И2(х, т)| йх ^

0 т 1 1 (2Л5)

^ ^ ^(2а1 и2(х, г) + с2у’2 + 2у2)йхйг + 2а,т ^ и2(х, т)йх.

0 0 0 Пользуясь произволом выбора т, потребуем, чтобы

ао-2а\%^-^-. (2.16)

Неравенство (2.16) будет выполнено для всех т е

0,^

4а,

Заметим, что в силу (2.7)

т /

т /

^ ^ vfdxdt = II u2dxdt,

о о

т / / т

оо

т /

v2dxdt = оо оо \t

II v2dxdt = ш и(к,

n)dn

2 т /

dxdt ^ Т я и2 dxdt.

оо

(2.17)

(2.18)

Тогда из неравенства (2.15) (с учетом (2.16)—(2.18)) вытекает справедливое

для всех т е

0,^

4а1

неравенство

/

то ^ \и2(x, т) + ^2(x, т)] dx ^ сз

т /

22 и + w

(2.19)

оо

где то = тш |1, сз = тах {2а\, сг + 2Г}.

2

Затем, в силу неравенства Гронуолла [1, С. 21], из неравенства (2.19) вытекает

/

^ [и2(x, т) + w2(x, т)| dx = о,

откуда

и(x, т) = о, Ут е Повторяя рассуждения для т е

о,

4а1

, убедимся, что ит) = о и на

ар

4а1 ’ 2а\ этом промежутке.

Продолжая этот процесс, через конечное число шагов получим, что

и(x, т) = о, Ут е [о, Т].

Следовательно, справедливо равенство г) = и2^, г).

2. Перейдем теперь к доказательству существования.

Для доказательства существования решения поставленной задачи рассмотрим фундаментальную, полную в W2^о(Q) систему линейно независимых и ортогональных в Ь2(о, /) функций

^(x) е С2(о, /) : wk(0) = wk(/) = о}^,

и будем искать приближенное решение поставленной задачи в виде

\x, 0 = ^ сп(^п(%),

П=1

и

из соотношении

1

^(и^(х, г) - [а(х, г)Ыт(х, г)]х - с(х, г)ыт(х, г)^Wk(х)йх =

° 1 1 (2.20) = /щ(х)/к& ,)ыт& ,Шх, 1 < * « т.

°°

В силу ортогональности выбранной системы функции, равенство (2.20) примет вид:

т т т

ск(г') + ^ 1 сз(^(0 - ^ ^ сз(0§зк(0 — с3(г)р3(г)Ъ* = °, 1 ^ к ^ т, (2.21)

3=1 3=1 3=1

где

1 1 /пк{.г') = ^ а(х, О^к(■х)^п(х')йх, §пк(г') = I с(х, г)и>к(х)и>п(х)йх, °°

1 1 Ъ* = X Ю*(х)йх, Рп(г) = ^ ™п(^)К(Ч, г)й%. °°

Обозначим йз*(г) = /5*(г) - (г) - Рз(г)Ък. Тогда из (2.21) следует

т

с'т(г) +2 Сз(г)йзт(г) = °,

Э=1

ст(0) = ат,

с'т(°) = вт.

(2.22)

Получили задачу Коши относительно функций ст(г), т = 1,2,..., для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.22), где ат и вт

N N

коэффициенты сумм (х) = 2 аkWk(x) и (х) = 2 в^к(х), аппроксимиру-

к= 1 к= 1

ющих при N функции ф(х) и у(х) в норме W21(Q).

В силу условий теоремы, функции йзт(г) е С1[°, I]. Для таких коэффициентов система (2.22) однозначно разрешима и ст(г) е С3[°, Т] [6, С. 27]. Таким образом, мы построили последовательность {ыт(х, г)}.

Покажем теперь, что эта последовательность ограничена, для чего получим соответствующее неравенство. Опустим временно индекс т и рассмотрим функцию ы(х, г) е ^2(0.

Умножим уравнение (2.1) на ыг(х, г) и проинтегрируем обе части полученного равенства по прямоугольной области

Qт = {(х, г) : ° < х < I, ° < г < т, ° < т < Т}.

Интегрируя по частям, мы получаем

, т)ых (х, т)йх =

- ^ и2(х, х)с1х + — ^ а(х, •

°°

1 т 1 1

= - ^\|/2(х)й?х + - ^ ^йг(х, г)и2й?х<Л + - ^ а(х, 0)[ф'(х)]2й?х+ (2.23)

°°

°

т 1 т 1 1

+ с(х, г)ыыгйхйг + я ыг/ к (Ч, г)ы(Ч, г)йЧйхйг.

°°

° ° °

Оценим два последних слагаемых правой части равенства (2.23) с помощью неравенств Юнга и Коши—Буняковского

т 1

т 1

т 1

°°

я с(х, г)ыыгйхйг °° т 1 1

я К(Ч, г)ы(Ч, г)йЧйхйг\

°°

° ° °

т 1 т 1

<1 Г г.;

(2.25)

ы2(Ч, г)йЧйг.

°°

°°

Учитывая (2.24)—(2.25), из равенства (2.23) получим

, т)ых(х, т)йх ^

- ^ м2(х, т)й?х + — ^ а(х,-°°

1 т 1

1 2 1 2

^ - I \|/ (х)й?х + 2 I I й<(х>г)ихс1хс11+

(2.26)

°°

+

I

^ ^ а(х, 0)[ф' °

г

/■

(х)] йх +

с2 + 1Ь2

т 1

т 1

°°

°°

т

Так как ы(х, г) = J ыт(х, т)йт + ф(х), то ы2(х, г) ^ 2т ^ ы2(х, г)йг + 2ф2(х), следо-

°°

2

вательно:

т 1

т 1

1

^ ^ ы2(х, г)йхйг ^ 2т2 ^ ^ ы'2(х, г)йхйг + 2т ^ ф2(х)йх. (2.27)

°°

°°

С учетом (2.27) из (2.26) получаем

1 1 т

т I \ы~г(х,т) + ы(х,т)\йх ^ М | | [ы2

^ [ы2х (х, т) + ы2( х, т)]йх ^ М//[ы2х(х, г) + ы^(х, г)]йхйг+

° ° °

1

+С ^[ф2(х) + [ф'(х)]2 + у2(х)]йх,

°

где приняты следующие обозначения

т = т1п{1, а°},

М = тах{а1, 1Ь2 + 2с1Т2 + 1},

С = тах{1, а°, 2Т}.

В силу неравенства Гронуолла [1, С. 21] из (2.28) следует неравенство

\\ы\^\(£) ^ С( 11^11^2(0,1) + IIф^ 11ь2(°,1) + 11ф11ь2С°,1^). (2.29)

Возвращаясь к прежним обозначениям, получим оценку элементов построенной последовательности {ыт(х, г)}:

1|ыт(х, г)11щ(0 < С,

где константа С не зависит от т. Но тогда из этой последовательности можно выделить сходящуюся слабо в W^(Q) [2, С. 72] подпоследовательность. Сохраним за этой подпоследовательностью то же самое обозначение {ыт(х, г)}. Предел этой подпоследовательности есть некоторый элемент ы(х, г) е W21(Q).

Покажем, что ы(х, г) — обобщенное решение задачи (2.1)—(2.4). Действительно, условия (2.2) и (2.4) будут выполнены в силу слабой сходимости {ыт(х, г)} к ы(х, г) в Ь2(°, 1), которая означает, что {ыт(х, г)} и {ыт(х, г)} слабо сходятся в Ь2(°, 1).

Для доказательства справедливости тождества (2.5) для функции ы(х, г) умножим каждое из соотношений (2.20) на свою функцию Н5(г) е W2,([°, Т]), удовлетворяющую условию Н3(Т) = °. Полученные равенства просуммируем

по всем з от 1 до N и проинтегрируем по г от 0 до Т.

N

Тогда, обозначив п(х, г) =2 к3(г^1(х), получаем

Э=1

Т 1

^ ^ КП - (а(х, г)ыт )хП - с(х, г)ытп) йхйг =

° ° 1 т 1 (2.30)

= п(х, г) I К(Ч, г)ыт(Ч, г)йЧйхйг.

° °

Интегрируя по частям, убеждаемся, что из равенства (2.30) следует тождество (2.31)

Т 1

^ ^(а(х, г)ытпх - ытпг - с(х, г)ытп)йхйг =

° ° Т 1 1 1 (2.31)

= П( х, г) I К(Ч, г)ыт(Ч, г)йЧйхйг + ^ п(х, °)ут (х)йх.

° ° ° °

Покажем, что в равенстве (2.31) можно перейти к пределу при т ^то. Для этого, рассмотрим интеграл

Т 1 1

!М к(Ч, г)ыт(Ч, г)йЧйхйг.

° ° °

Введем следующие обозначения:

1 1 Фт(г) = ^ к(Ч, г)ыт(Ч, г)йЧ, Ф(г) = ^ К(Ч, г)ы(Ч, г)й%.

° °

Тогда имеем

Т 1 1

^ К(Ч, г)ыт(Ч, г)йЧйхйг = [фт(г), п(х, г^ . (2.32)

° ° ° Ь2(®

Последовательность {ыт(х, г)} сходится слабо в W^(Q) и по норме в Ь2Ш) Уг е [°, Т] [2, С. 72]. В силу этого выполняется неравенство

||Фт(г) - Ф(г)1112°т) = / /К(Ч, г)[ыт - ы]йЧ

° \°

^ М2Цыт - ы||? (а) ^ °, т ^т.

^2(в)

Так как из сильной сходимости следует слабая, то можно перейти к пределу в равенстве (2.32) при т ^то.

N

Тождество (2.31) справедливо для Уп(х, г) вида £ Н3(г^1(х). Обозначим

3=1

совокупность таких функций п(х, г) через @N. В тождестве (2.31) перейдем к пределу по выбранной выше последовательности при фиксированной функции п(х, г) из какого-либо пространства @N1. Это приводит к тождеству (2.5) для предельной функции ы(х, г) при Уп(х, г) е @N1. Так как множество

т _

и ®N плотно в W^°(Q) [2, С. 215] то тождество (2.5) будет выполняться N=1 ’

для всех п е Wl°(Q).

Таким образом, ы(х, г) — обобщенное решение поставленной задачи. Теорема, следовательно, доказана.

Литература

[1] Гординг, Л. Задача Коши для гиперболических уравнений / Л. Гординг. М., - 1961. - 120 с.

[2] Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, - 1973. - 408 с.

[3] Нахушев,А.М. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев.

- М.: Высш. шк., - 1995. - 301 с.

[4] Нахушев,А.М. Об одном приближенном методе решения краевых за-

дач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги грунтовых вод / А.М.Нахушев // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18. - №1. - C. 72-81.

[5] Нахушев, А.М. Краевые задачи для нагруженных интегродифференци-

альных уравнений и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги / А.М.Нахушев // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15. -№1 - C. 96-105.

[6] Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. М.: Наука, - 1974. - 331 с.

[7] Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // Дифференц. уравнения. -2006. - Т. 42. - №9 - C. 1166-1179.

Поступила в редакцию 13/ VIII/2008;

в окончательном варианте — 26/VIII/2008.

ON SOLVABILITY OF A MIXED PROBLEM FOR A LOADED HYPERBOLIC EQUATION3

© 2008 M.G. Volynskaya4

In the paper existence and uniqueness of a generalized solution of the mixed problem for loaded hyperbolic equation are proved. The proof is based on a priori estimates obtained in this work.

Keywords and phrases: hyperbolic equation, mixed problem, non-local problem,

a priori estimation, solvability, uniqueness.

Paper received 13/VIII/2008.

Paper accepted 26/VIII/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. L.S.Pulkina.

4Volynskaya Mariya Gennadievna ([email protected]), Dept. of Mathematical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.