Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №2(42).

УДК 517.95

15

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ1

© 2006 В.Б. Дмитриев2

В работе рассматривается задача для гиперболического уравнения с интегральным условием вместо стандартного граничного. Задача рассмотрена в пространстве произвольной размерности. Доказаны существование и единственность решения.

Введение

Математическое моделирование некоторых физических явлений и биологических процессов часто приводит к нелокальным задачам для уравнений в частных производных второго порядка. Весьма удобным способом описания налагаемых на искомое решение условий является задание их в интегральной форме как среднее значение решения на принадлежащих области, в которой ищется решение, многообразиях. Ранее краевые задачи для гиперболических уравнений на плоскости с интегральными условиями были исследованы Л.С. Пулькиной в работах [2, 5, 6], Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили в работе [1]. В этих частных случаях решение поставленных задач сводилось к исследованию интегральных уравнений Вольтерра, к которым применима теория Фредгольма. В рассмотренном общем случае этого сделать нельзя. Исследования нелокальных задач с интегральными условиями показали, что стандартные методы для их изучения часто оказываются неприемлемыми без соответствующих модификаций. В настоящей работе доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи с нелокальным условием, содержащим как интегральный оператор от искомого решения, так и значение производной от него на границе. Последний факт позволил ввести понятие обобщенного решения таким образом, что оказался применимым метод Галеркина.

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором С.П. Пулькиной.

2Дмитриев Виктор Борисович ([email protected]), кафедра высшей математики Самарской государственной академии путей сообщения, 443066, Россия, Самара, 1-й Безымянный переулок, 18.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

Ьы = ып — Аы = /(л, г) (1.1)

в цилиндре Qт = {(л, т) : л е П с Яп, 0 < т < Т}, где П — ограниченная

область в Яп с гладкой границей, и поставим для него задачу с начальными условиями Коши

ы(л, 0) = ф(л), (1.2)

ыг (л, 0) = у(л) (1.3)

и нелокальным условием

ди

дп

= Г К(л, у)ы(у, г) йу, (1.4)

Sт J

П

где ф(л), у(л), К(л, у) заданы, а 8т = {(л, г) : л е дП, 0 < г < Т} —боковая поверхность цилиндра Qт, Sт —гладкая поверхность.

Введем понятие обобщенного решения поставленной задачи. Для этого умножим (1.1) на V е W^(Qт) такую, что у(л, Т) = 0, и, предполагая, что ы(л, г) решение задачи (1.1)—(1.4), проинтегрируем по Qт:

т т

Я (ыгг — Ам^ йл йг = Я /V йл йг;

II (—ы^г + 'ЧuЧv) йлйг + ^ ы^| йл —

т т

0 П 0 П

интегрируя левую часть по частям, получаем

т

(—ы^г + 'ЧuЧv) йлйг + J ыIV 0 П П

т

= /V йл йг;

0П

(1х — I I V 2^ “— СОв(и, X;) Л = 0 0 дП 1=1

ды ды ды

заметим, что щ\1=0 = \|/, > -—соз(и,х,-) = —, и в силу —Ь

I д л дп дп

I

длI дп дп ‘

1=1

К(л, у)ы(у, г) йу получим тождество, с помощью которого введем поня-

П

тие обобщенного решения:

т т

я (—ы^г + Чы^) йл йг — я v(л, г) К(л, у~)ы(у, г) йу йз йг —

0 П 0 дП П

т

і)у(х, і) dxdt + І у(х)у(х, 0) dx

(1.5)

о п

п

Опредение. Назовем обобщенным решением из W2,(Qт) задачи (1.1)—(1.4) функцию и(х, г), принадлежащую W2,(Qт), равную ф(х) при г = 0 и удовлетворяющую тождеству (1.5) Уу е W}^(Qт), у(х, Т) = 0.

Определим также Ьц^т) — банахово пространство, состоящее из всех определенных и измеримых по Лебегу на Qт функций и(х, г), имеющих конечную норму

і

2/

dt.

Тогда для

Qt = {(х, т) : х е П с Яп, 0 < т < г}

Ь2ЛШ,) — банахово пространство, состоящее из всех определенных и измеримых по Лебегу на Qt функций и(х, г), имеющих конечную норму

і і

11/'

||и||2,1,а = І І и2(х,т)dx dт.

0 V п

Нам понадобится ещё одно обозначение: Бі — боковая поверхность Qt. Основным результатом работы является следующая Теорема. Задача (1.1)—(1.4) имеет единственное обобщенное решение из w2L(Qт) для / є Ь2і^т), ф є ^2(П), К є Ь2(П X П) и у є Ь2(П) при

выполнении условия

^ ^(К2(х, у) + \ЧхК(х, у)|2) dxdy = Ь < то. пп

2. Доказательство

1. Доказательство единственности решения. Пусть задача (1.1)—(1.4) имеет два обобщенных решения и' и и" из W^(Qт). Тогда их разность и = и' - и" е W},(Qт) удовлетворяет тождеству (1.5) с / = 0,у = 0 и при г = 0 обращается в нуль. Возьмем в этом тождестве

у(х, і) =

(2.1)

2

а

2

Заметим, что V, уХ1 и и являются элементами Ь2(П), непрерывно зависящими от г е [0, Т]. Подставим V из (2.1) в (1.5) с / = 0, у = 0 и выразим и, иг иХ1 через V и их производные. Это даст после изменения знака в (1.5)

ь ь

Угхух1 dxdt = - Г I V | Куг dy ds dt.

0 П 1 0 дП П

Так как Уг|г=0 = и|г=0 = 0, уХ1 |г=ь = 0, то

ь

ЯЬ - Ё

Г\ гл 1=1

I

ь

dx = -2 I I V I Куг dy ds dt. 0 дП П

}(х, ь) + ^ V2. |г=0 1=1

Используя неравенство

|и| ds ^ с ^(|Уи| + |и|) dx,

(2.2)

+ |и|^ dx, (2.3)

дП П

справедливое У и е W11(П) и области П с гладкой границей [3, с. 77], а затем неравенство Коши-Буняковского, получаем

Я Куг dy ds| ^ с /Я Куг dy| + |Уу ^ Куг dy + V ^ У хКуг dy| | dx ^

ПП

-2

дП П

П

^ 5/(у2 + / к2 ау' / У^у + |Уу|2 + / к2*у/ у^у+

П П П П П

+ ^ |УхК|2 dy • ^ V2dy^dx ^ с ^(у2 + |Уу|2) dx + сЬ ^ V2 dx ^

П П П П

^ М ^(у2 + |Уу|2 + V2) dx.

П

Здесь М = тах(с, сЬ). Тогда из (2.2) мы получаем Гг ,п

I у2(х, ь) + ^ V2 |г=0 ^ .= 1

dx ^ 2М (у2 + |Уу|2 + у^) dx dt.

(2.4)

П Qь

Кроме того, для почти всех х е П

ь

ь г

/

v2dt =

2

udт) dt ^

ь

u2dт.

0 0 ь 0 г

Ввиду этого из (2.4) следует неравенство

^ и2(х, ь) + V2. |г=0 dx ^ 2М ^ (|Уу|2 + (Ъ2 + 1)и2) dxdt. (2.5

П ‘=1 Qь

ь

ь

Введем функции gi(x, г) = f uxi(ж, т) dт. В силу (2.1) находим

t

I

ух; = их; (х, т) dт = gi(х, Ь) - gi(х, t), г ^ Ь.

Подставляя в (2.5), мы получаем

Гг "

J и2(х, Ь) + ^ g2(x, Ь)

о і=1

Г ( ІЬ) - gi(x, г))2 + (Ь2 + 1)и2 х V і=і

бь

Далее имеем

г -П. г ж-П,

J Х^2(х> Ь) dx + 2М J 2 ^ g2(x, г) + (Ь2 + 1)и2

і=1

бь

І=1

и (х, Ь) dx + (1 - 4МЬ)

/і>?(х.Ь)dx < еі[(£*?

Л І=1 /О V і= 1

22 -2 + и2

dxdt.

dxdt, (2.6)

п п бь

2

где сі = 2М(2 + Ь2). Воспользуемся теперь произволом в выборе Ь. Для Ь є [0,1/(8М)] коэффициент 1 - 4МЬ ^ 1/2 , а и(х, Ь) и gi(x, Ь) при Ь = 0 равны нулю. В результате приходим к неравенству

Ь

/II \ Л Л I II

и2(х, Ь) + g2(x, Ь) I dx ^ 2сі І І I и2(х, т) + g2(х, т)

г. ^ і=1 ) ^ і=1

dx ^ 2сі І I и

п ' і_1 0 п

Это в силу неравенства Гронуолла [7, с. 23] означает, что

dxdт.

/п

и2(х, Ь) + ^ g2(x, Ь) г. V і=1

dx = 0

и тогда и(х, ь) = 0 и gi(x, ь) = 0 при ь е [0,1/(8М)]. Повторяя рассуждение для г е [1/(8М), 1/(4М)], убедимся, что и(х, г) = 0 на этом промежутке. И так в конечное число шагов докажем обращение и(х, г) в нуль для всех г е [0, Т]. Единственность доказана.

2. Доказательство существования решения. Воспользуемся методом Галеркина. Пусть (ф&(х)} есть фундаментальная система в W2(П) (то есть замыкание линейной оболочки этой системы в норме W2(П) совпадает с пространством W^(П)) и выполняется свойство ортонормированности:

(ф£, ф0 = ^ фкФ^х = б[.

Приближенное решение ик(х, г) ищем в виде

N

к=1

из соотношений

и, фо +

Nф/х. йх ^ ф^ к(х, у)ик(у, г) йу ^ = (/, фг), дП П

/ = 1,2,...,к,

(2.7)

(2.8)

ск (0) = ак,

(2.9)

с1

йг

скк(г)|г=0 = (V, фк).

Л

(2.10)

Здесь ак —коэффициенты сумм фк(х) = 2 акфк(х), аппроксимирующих

при N функцию ф(х) в норме W2(П).

Подставим (2.7) в (2.8), получим:

к=1

ск" +[ ££

^ .=1 к=1

скк (г)фкх (х)ф/х. (х) йх-

- Г Ф/(х)£ ск(г) С К(х, у)фк(у) йуй5 = (/, ф/)

дП к=1 П

с начальными условиями (2.9), (2.10). После изменения порядка суммирования

ск" + ^иск (г) Г 2 Фкх.

к=1 X .= 1

. (х)ф/х. (х) йх-

к ГГ

(г) ф/(х) К(х, у)фк(у) йуй5 = (/, ф/)

к=1 ^

, I = 1,...,к.

(2.11)

дП П

Применяя неравенство (2.3) и затем неравенство Коши-Буняковского, получим

/Ф,(х)/

К (х, у)фк (у) йуйъ

дП

П

^ ^{ф/^ КФ^

ПП

+

+

Уф I ^ Ксркс?у + ср1 ^ 'ЧхКцк(1у^(1х ^ cPl+(f КсР^у) + 1уФ/12+

П

П

П

г

+1 I Кфkdy п

2

+ Ф2 +

I

УХК Ф^у

£ 2ф2й?х + - £ |Уф2|с?х+

п

к2аУ ' £ У&У + £ к2(іУ' £ У&У + £ ^к^у ■ £ Ф*ф}

п п п п п п п

■ dx =

= с +

£ |Уф2|й?х + | £^2 £ К2с1у + £ п п п п

|УхК\2dy'jdx ^ с +

п с + 2

с

/ іуф2

|dx+

п

2К2 + 2|УхК |2) dxdy.

пп

В силу условий теоремы стоящее в правой части выражение — конечное число. Получаем, что система (2.11)—система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по г для неизвестных скк (г), к = 1,...,к с постоянными коэффициентами, разрешенная относи-

тельно

Л2с^(О

СІЇ2

; ее свободные члены // = (/, ф/) е L2(0, Т), если / е L2,l(Qт), ф е W2(П) и V е Ь2(П). Таким образом, система (2.11) Ук однозначно

разрешима при начальных условиях (2.9) [4, с. 27], причем е Ь2(0, Т).

Мы построили последовательность (ик 1^=1. Для доказательства сходимости этой последовательности рассмотрим уравнение

2

2

с

2

с

2

2

Lw = /(х, г). (2.12)

Пусть w(x, г) е W|(Qт) — решение этого уравнения, удовлетворяющее нелокальному условию

дм> дп

Ят

= £ К(х, у)м^(у, г) dy. (2.13)

п

Функция н, конечно, может не являться решением задачи (1.1)—(1.4), однако нам понадобится энергетическая оценка этой функции. Мы здесь не задаем начальных условий Коши, поскольку хотим получить результат общего вида, который мы применим для функций им.

Умножим уравнение (2.12) на 2нг и результат проинтегрируем по бг,

где г ^ Т :

2/= 2 £ fwtdxdt. (2.14)

бг бг

Левую часть (2.14) преобразуем с помощью интегрирования по частям (используя (2.13)) следующим образом:

Г Г/ дw2 ^ \

2 I Ьм-'м?{(1хЖ= I I —\dxdt—

.= 1

бг бг

/^/ ^ \ ^ д\\?

2^ wXiwtcos(n,Xi)dsdt = I + ^^'№2.^х(^1*0 - 2 I wt—dsdt =

с .=1 п .= 1 Зг

/И + Е w2^dx|tt=0 - 2 I wt £ К(х, у^(у, г) йуйь йг.

Далее, полагая у(г) = f ^2 + 2 wXi)dx, получаем

П = .

*» = у<0) + 21 wJк(x, у^-с^.,о йуч*л + 2/(215)

5г П бг

Преобразуем интеграл по боковой поверхности следующим образом:

г

£^£К(х, уЫУ, г) йуй5йг = Я wt £ К(х, у^(у, г) йуйьйг =

Зг П 0 дП П

г

= wt(x, г) £ К(х, у^(у, г) йуйгйь =

дП 0 П

г

=- Яи,<х- °/ к (х-у)wt (у, °йу л *+! w(x, °1 к (х, у)w(у, °йу “°-

дП 0 П дП П

-/^х, <»/ К (x, у)»Су,0) ^ = /, +ь +

дП П

Пользуясь неравенством (2.3) и затем неравенством Коши-Буняковско-го, получаем

г

|.1| =

Я w(x, г) £ К(х, у^г(у, г) йуйяйг

0 дП П

<

J/(|w(x, о/K(x, у)WtCv, О йу| + |vw( x, о/К(х у)wtCу,о йу+

0 П П П

г

+1Ф,(х, г) £ УхК(х,у)м?((у,1)(1у^(1х(11 ^ — Я w2(x, г)+

П 0 П

-( £ К(х, y)wt(у, г) dyj + \Ун(х, г)|2 + (^ К(х, у^(у, г) dy)

+

г

+н2(х, г) + | £ УхК(х, у)нг(у, г) dy|21 dx dt ^ §//' п 0 п

+2 £ К2(х, у) d^ ^ н2(у, г) dy + |Ун( х, г)|2+

2н (х, г)+

п

п

/ |У*К(х, y)|2dy £ н^Іу, г) dy^ dxdt ^ с Ж н2(х, г) + |Ун(х, г)|2+

п п 0 п

+ £ (к2(х, у) + |УхК(х, у)|2) dy £ н2(у, г) d^dxdt = п

п

/(

бг

= с I (н2 + |Ун|2) dxdt + с £ £ н22(у, г) dy І I (к2(х, у)+

0п

пп

-|УхК(х,у)|2^ dydxdt = с £(н2 + |Ун|2) dxdt + сЬ £ н2(у, г) dydt.

бг

Далее имеем цепочку неравенств

|і2| =

<

1"іх, °/

дп п

£ |н(х, г)\(£К2(х, у) dy £

К (х, у)н(у, г) dy ds

<

і

К2(х,у)сіу I И’2(у,1)с1у\ СІЯ ^

дп

п

п

<

)Ч

£ н2(х, г) ds I J J К2(х, у) dy £ н2{у, г) dy ds

дп

дп п

<

(н|Ун| + н ) dx

п

2 1 / \ г* 2

М2 1 н2(х, г) dx

) и п

^ С2

/ \ г* 2 / \ г*

1 (|Ун|2 + н2) dx 1 н2(х, г) dx

и п и п

Здесь обозначили Мі = ^ £ К2(х, у) dyds ^ 2сЬ (в силу неравенства

дп п

(2.3)), С2 = сл[2Ь . Итак, справедливо неравенство

2

+

£(|Ун|2 + н2) dx

п

п

п

н (х, г) dx

Введем обозначение

г(г) = I (н2 + н2 + |Ун|2) dx.

I (

п

Воспользуемся неравенством [3, с. 204]

(2.16)

г

£ н2(х, г) dx ^ 2 £ н2(х, 0) dx + 2г £у(г) dt. п п 0

Тогда из (2.16) получим

(2.17)

г

\Ы ^ С2г5(г) 2zф) + 2г £г(г)<*

0

Заметим, что с помощью (2.18) можно оценить и |із|:

1 1

Ії'зІ < с2(г(0))Цг(0))2 = с2г(0).

Теперь, складывая (2.15) и (2.17), получаем с учетом оценок на

ІііІ, |і2І, І із І:

г г

z(t) ^ 2г(0) + 2г £ z(t) dt + с1 £ z(t) dt+

(2.18)

0

0

+ с2г( 0) + с2г2(0

2z(0) + 2^ z(t) dt 0

£ z{t) Л + 2 £

+ 2J \\Л\2,^Ч0Л. 0

Обозначим тах z(^) = г, тогда 0<1<г

г(0 < *(0) + (а + 21)т + 2||/||2д,а^(0 + с22Ч0(2г(0) + 2?т~2,

где й = 2 + с2. При г ^ ШШ^, Т), где г1 > 0, определяется из условия (с1 + + 2г1)г1 = 1/2, получим

11 п. 1

ГЧО < 2*5(0) + 4||/||2д,а + 2с2[2г(0) + 2?25(015-

Возьмем г2 так, чтобы выполнялось равенство 2 л[212с2 = 1 /2. Поскольку

[2г(0) + 2г2г(0Р < (2г(0))5 + 1^2240,

2

то при t ^ min(ti, t2, T) получим

25(0 < (2d+^2- 2c2) • 2z40) + 8||/||2Д,й.

Если h = min(ti, t2) ^ T, то, беря в качестве начального момента t = h, мы в силу проведенных рассуждений можем утверждать справедливость неравенства

zHt) ^(2d+^2- 2с2) ■ 2zkh) + Whm для t ^ min(2h; T). И данное неравенство справедливо для любых h и t ^ h из [0, T], лишь бы t - h удовлетворяло условиям (ci + 2(t - h))(t - h) = 1/2 и 2>/2(t — h)c2 = 1/2. Благодаря этому Vte [0, Г]

zht) < C2(t)zh0) + сзШЛкт, (2-19)

где C2(t) и C3(t) определяются постоянными с и L и величиной t. Это энергетическое неравенство, позволяющее оценить энергетическую норму решения w(x, t) через начальные данные Коши и f (x, t).

Возвращаясь к построенной выше последовательности {uN}^=р отметим, что для uN справедлива оценка (2.19).

Действительно, умножая каждое из равенств (2.8) на свое ^с^ и суммируя по l от 0 до N, придем к равенству

д2і^ діjN Г n ГГ

(~ді^’~дГ) + J ut J K(x,y)uN(y,t)dyds = (f,uf).

гл i= 1 йі-л і-л

П = дП П

Интегрируя его по г от 0 до г и умножая обе части на 2, получаем равенство

//д(ик )2 ^ \ ГГ

(—-------1- 2 ^ ) dxdt - 2 I I K(x,y)uN(y,t)dydsdt =

бг .= 1 Яг П

I-

= 2 j fj dxdt,

Qt

N

из которого и было выведено (2.19), только здесь у нас ик вместо w. Правая часть (2.19) мажорируется постоянной, не зависящей от к и г е [0, Т], так что

(ик)2 + ^ик|2 + (ик)2] йх < с4, г е [0, Т] (2.20)

и тогда

N

frQr) < C4(T). (2.21)

Благодаря (2.21) из последовательности (ик}, к = 1,2,..., можно выбрать последовательность (за которой сохраним то же наименование), сходящуюся слабо в W2(Qт) к некоторому элементу и1 е WX(Qт). Поскольку,

согласно условию (2.20), имеет место равномерная по г ограниченность полученной последовательности (ик}, к = 1,2,..., в норме

и=

[(ик )2 + |Уик |2] йх

П

(здесь г считается параметром), то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность (за которой вновь сохраним то же обозначение), которая будет сходиться равномерно по г е [0, Т] в норме Ь2(П) к элементу и е Ь2(П) Уг е [0, Т], при этом в силу (2.21) и е w2(Qт) [3, с. 214].

Покажем, что и(х, г) есть обобщенное решение задачи (1.1)-(1.4). Начальное условие будет выполнено в силу отмеченной сходимости ик(х, г) к и(х, г) в Ь2(П) и того, что ик(х, 0) ^ ф(х) в Ь2(П). Теперь умножим (2.8) на свою функцию й/(г) е w2(0, Т), й/(Т) = 0, полученные равенства просуммируем по всем I от 1 до к и проинтегрируем по г от 0 до Т. После этого в первом члене проведем интегрирование по частям, перенося | с / на 1к

V = ^ й/(г)ф/(х). Это даст тождество 1=1

Т

J'(-uNvt + VuNVv) йхйг -£ £ V £ Кик dydsdt = £ ^йхйг+

бт 0 дП П бт

£ uNv|t=0 йх, (2.22)

+ | щ V |г=0 йх,

П

N

справедливое Уv вида £ й/(г)ф/(х). Совокупность таких V обозначим через

1=1

Мк. В (2.22) можно перейти к пределу по выбранной выше подпоследовательности при закрепленном v из какого-либо . Это приведет к тож-

ОО

деству (1.5) для предельной функции и при Уv е . Но и Мк плотно

‘ к=1

в 1^г2(бт), а и е W2(Qт), следовательно, (1.5) будет выполняться для и(х, г) при Уv е WX(Qт). Тем самым доказано, что предельная функция и(х, г) есть обобщенное решение из W2(Qт) задачи (1.1)—(1.4).

Литература

[1] Гордезиани, Д.Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили // Математическое моделирование, Т. 12. №1. 2000. С. 94-103.

[2] Пулькина, Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Математические заметки. 2003. Т. 74. Вып. 3. С. 435-445.

[3] Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. М.: Наука, 1973. 408 с.

[4] Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебник для ун-тов. 4-е изд. / К.С. Понтрягин. М.: Наука, 1974. 331 с.

[5] Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. №7. С. 887-892.

[6] Пулькина, Л.С. О разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 1998. №2(8). С. 63-67.

[7] Гординг, Л. Задача Коши для гиперболических уравнений / Л. Гординг. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 122 с.

Поступила в редакцию 28/IX/2005; в окончательном варианте — 28/IX/2005.

A NON-LOCAL PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITIONS FOR A WAVE EQUATION3

© 2006 V.B. Dmitriev4

Non-local problem with integral condition for the hyperbolic equation with n space variables is considered. The existence of the unique generalized solution is proved.

Paper received 28/IX/2005. Paper accepted 28/IX/2005.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. L.S.Pulkina.

4Dmitriev Victor Borisovich ([email protected]), Dept. of Higher Mathematics, Samara State Academy of Railway Communications, Samara, 443066, Russia.