CC BY
34
УДК 517.956.3
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО
ПОРЯДКА
© 2013 В.Б. Дмитриев1
В работе рассматриваются начально-краевые задачи с нелокальными граничными условиями, содержащими интегральный оператор, для уравнений высокого порядка. Доказана единственность решения задачи.
Ключевые слова: нелокальная задача, интегральное условие, уравнение 4-го порядка, обобщенное решение.
Введение
Нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений с частными производными в настоящее время весьма активно изучаются, однако в основном рассматриваются уравнения второго порядка. Отметим некоторые из недавних работ по исследованию нелокальных задач для гиперболических и параболических уравнений [1-3] и список литературы в них. Исследования нелокальных задач с интегральными условиями показали, что стандартные методы для их изучения часто оказываются неприемлемыми без соответствующих модификаций.
Многочисленные работы по исследованию уравнений высокого порядка в своем большинстве связаны с изучением классических начальных и начально-краевых задач. В книге [4] приведен обширный перечень работ, посвященных этим вопросам. Добавим к нему несколько более поздних работ [5; 6].
В настоящей работе доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи с нелокальным условием, содержащим как интегральный оператор от искомого решения, так и значение производной от него на границе.
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
п д
Ьи ее - V" — ( . ) + с(х,Ь)и = /(ж,£) (1.1)
дх^
1,3=1
1 Дмитриев Виктор Борисович ([email protected]), преподаватель информатики Самарского государственного колледжа сервисных технологий и дизайна, 443020, Российская Федерация, г. Самара, ул. Галактионовская, 37
в цилиндре Q = {(х, т) : х € О С К", 0 < т < Т}, где П — ограниченная область в К" с гладкой границей, и поставим для него нелокальную задачу.
Задача. Найти в области Q решение уравнения (1.1), удовлетворяющее усло-
и(х, 0) = у(х),
(1.2)
иа(х, Т) = ф(х), иш(х, 0) = п(х),
(1.3)
иг(х, 0) = и(х)
(1.4)
и нелокальным условиям
ди
1,3=1
соб(п,хн)\3т = ! I К1(х,у, г, и(у, т)) ¿у ¿т +
"=1 3 о п
+ ^ К2(х,у,г,и(у,г)) ¿у,х € дП, (1.5)
п
где ^(х),ф(х),п(х),К1 (х,у,т,и(у,т )),К2( х,у,Ь,и(у,Ь)) заданы, а Бт = {(х,Ь) : х € € дП, 0 <Ь < Т} — боковая поверхность цилиндра Qт. Здесь
аз = 0,31, у^2 < а3 (х,£)£г< V > 0. ¿,3=1
Функции Кг(х,у,Ь,и) предполагаются заданными в П х П х [0, Т] х К.
Введем понятие обобщенного решения поставленной задачи. Для этого умножим (1.1) на V € WГ21,2(Qт) такую, что у(х,Т) = 0, vt(x, 0) = 0, и, предполагая, что и(х,Ь) является решением задачи (1.1)—(1.5), проинтегрируем уравнение (1.1) по цилиндру Qт:
т т
J ! Ьи • V ¿х & = ! J fvdxdt. о п о п
Интегрируя слева по частям, получаем
т
(-щть агз(х^) иХ}vXi +
оп
г,3=1
+с(х^ и^ ¿ЪА - Iи^ ¿х +1
п
V —соз(п, Хг) (¿в (Ы = / /
п
ди
т
¿х + j и^г оп
т
¿х—
о дп
г,3 = 1
оп
г
о
Заметим, что иц\г=т = Ф, Щи\г=0 = П, и в силу условия (1.5) получим тождество, с помощью которого введем понятие обобщенного решения:
т
n
(-UttVtt aij (x,t) uXj vXi +
0 n i'j=1
т t
+c(x,t) uv) dx dt — j j v(x,t) j j Ki(x,y,r,u(y,r)) dy dr ds dt—
о on on
т
— j j v(x,t) j K2(x,y,t,u(y,t)) dy ds dt =
о dn n
т
- j j f (x,t) v(x,t) dx dt — j ф(x) vt (x,T) dx — j n(x) v(x, 0) dx. (1-6)
0 n n n
Определение. Назовем обобщенным решением из W2' (QT ) р| C 1[0,T] задачи (1.1)—(1.5) функцию u(x,t) G w2'2(Qt) такую, что u G C1[0,T] для почти всех x G О, удовлетворяющую условиям (1.2),(1.4) и равенству (1.6) для любой функции v G W^Q) такой, что v(x,T) = 0, vt(x, 0) = 0.
Теперь наложим условия на коэффициенты уравнения (1.1) и на ядро и сформулируем теорему.
Теорема.
Пусть выполняются условия.
о о
Oio е С©, G C(Q?), G C(Q?), c{x,t) G C©, \Kl(x,y,T,ui) — Kl(x,y,T,u2) \ < Rl(y,T) |ui — u2 |,
R\ (y, t) dy dt = R11 < œ, 0n
\K2(x,y,t,u1) — K2 (x, y, t, u2 ) \ < R2(y,t) \u 1 — u2 \,
sup / R2(y,t) dy = R21 < œ,
te[0'T] n
Rn\dQ\ + R21 < -^1/T3, V7
E fda^f) +A0 a,3(x,t) cthAoi] te,
ij=1
где Ао = /Т, для некоторого 6 > 0;
Ло с(х,Ь) еИ Ло Ь + сг(х,Ь) эИЛо Ь ^ —М,
где М — некоторое достаточное большое число.
Тогда задача (1.1)—(1.5) не может иметь более одного решения.
2. Доказательство единственности решения задачи
Пусть задача (1.1)—(1.5) имеет два обобщенных решения п\ и из ).
Тогда их разность и = п\ — € W2'2(Qт) удовлетворяет равенству
т
Г П
(—ииЩь ац (х,Ь) их-+ с(х,Ь) ию) ЗхЗЬ—
о п ^=1
т г
ю(х,Ь) / <К1(х,у,т,и1(у,г)) — К1(х,у,т,и2(у,г))\ ЗуЗтЗвЗЬ—
о дп о п
т
— /I ю(х,г) ! |к2(х,у,4,и1(у,4)) — К2(х,у,Ь,и2(у,Ь))| Зу Зв ЗЬ = 0 (2.1)
о дп п
и удовлетворяет условиям (1.2) и (1.4) с нулями в правых частях. Возьмем в этом
равенстве
г
[ и(х,т) ,
т
Подставим V из (2.2) в (2.1) и выразим и,иг и иХ^ через V и их производные. Так, и = юг эИ ЛЬ. Заметим, что условия V € ), ю(х,Т) = 0, юг(х, 0) = 0
выполняются в силу того, что и(х, 0) = 0, иг(х, 0) = 0. Интегрируя по частям и учитывая краевые условия, после преобразований, опираясь на условия югг|г=о = = иг|г=о = 0, юХ€ 1г=т = 0 и условия теоремы, получаем
т
2 2 2 2 2 2
оп
пп
[ 2 А2 8Ь0 [ 2
/ и=т Зх---— / |4=0 Зх—
Л2 эИЛТ Г 2| , Л2 бЬ0 , 2|
пп т
—- ! J(Dtv)'2 сЬМЗхЗг+
оп
shЛt + \ац{х,г) сЬА^ г^Дж,^ ЗхЗЬ-
1 П
2
п
П
— J (Ас(ж,£) сЬ + С((ж,£) эЬ А£) г;2(ж, ¿) (¿ж <М
¿х—
т г
! J v(x,t) J J |к^х,у,т,и1(у,т)) - К1(х,у,г,П2(у,г))|
о дп о п
т
^ V
о дп п
Заметим, что
т
+ ! I v(x,t) J |к2(х,у,4,М1(у,4)) - К2(х,у,г,П2(у,Ь))| dydsdt. (2.3)
J с(х^) vt(x,t) v(x,t)sh Хtdxdt
Ят
вИ ХТ
^ I с(ж, Т) г;2 (ж, Т) ¿х--— J с(ж, 0) г;2 (ж, 0) (1х—
пп
— J (Ас(ж,¿) сЬXI + С((ж,¿) эЬА£) г;2(ж, ¿) (¿ж <М = ! (Хс(х^) сИХt + сг(х^) вИХ^ V2(х^) dxdt.
Ят 1
~ ~2
Ят
Для оценки других слагаемых в правой части (2.3) мы будем использовать неравенство
J V2 ¿Я ^ У + с¿Х, (2.4)
дп п
справедливое для любой функции V € и области И с гладкой границей
[11, с. 77].
Оно полезно для дальнейших оценок, в нашем случае (и в наших обозначениях) перепишем его в виде
! и2 ¿Я < 5^ \Чи(х^)\2 dх + с§) ! и2(х^) dх. (2.5)
дп п п
Здесь 5^ — некоторые достаточно малые числа, которые будут выбраны ниже, для номеров г = 1, 2.
Оно справедливо для любого t € [0, Т]. Заметим, что с(5{) имеет вид с(5{) = = с/5г для некоторого с, не зависящего от и от и.
Преобразуем слагаемые с разностями ядер в правой части (2.3). Имеем: т г
у(х,Ь) ! J|К1(х,у,т,п1(у,т)) - К1(х,у,г,П2(у,г))| ¿у ¿т ¿в ¿Ь < о дп о п
т г
^ J ! у(х,Ь) ! J |й1(у, т) \и\ — М2|| ¿у ¿т ¿в ¿1 =
о дп о п
т г
у(х,Ь) ! J|й1(у,т) \ут(х,т)вИ Лт\| ¿у ¿т ¿в ¿Ь ^
о дп о п
т т г
1 Г Г 1 Г Г П I
о дп о дп о п
J у2(х^)д,а shXtdt+—J J J ¡J К\(утТ)д,у I ¿т-^ у1(у^)д,уд,а
< у У У |У«|2 shXtdxdt + ^Y^ У У V2 эЬ + J { $ вЬМ <Ь
т
У У у(х,Ь) у |к2(х, у, Ь, и\(у, Ь)) — К2(х,у,Ь,и2(у,Ь))| ¿у ¿в ¿Ь <
о п о п о п
т
о дп п
т
^ J у(х,Ь) J |й2(у, т) \и1 — и2\| ¿y¿sdt =
о дп п
т
ю(х,Ь) У |й2(у,т) \г>г эИЛЬ\| ¿у ¿sdt ^
о дп п
т т / \
У v2{x,t)ds sЪXtdt+^J У I У В%{у,т) dy\ • J у2(у,г) dyds sЬXtdts¡,
о дп о дп п п
т т т
< у У у IV«!2 эЬАЫжсЙ + ^^ у у г;2 эЬ А Ь с£с А + ^ J J V2 shXtdxdt.
о п о п о п
Положим
¿1 = ¿2 = ¿,
тогда в правой части этого неравенства будет фигурировать с (¿). После преобразований получим
т
3
А У j(D2v)2cЪXtdxdt + ^^ju2(x,T)dx+
оп
п
п
Л2 эИЛТ , 2
н---'
2 2
п
т
А3 / \2 2 ' ^
J п2(х, Т) 3х—
J !(Бг V)2 сИ ЛЬ3х3Ь+
о п
вЬМ + Ха^(х,г) сЬА^ ух:1(х,г)ух±(х,г) ЗхЗЬ-
; J (А с(х, сЬ ХЬ + С((х, эЬ А£) г;2(ж, (¿ж Л — Ят
Ят ^=1
2
Ят
2
о п о п
Заметим также, что справедливо представление
г г г
= J= J <М - — ^ Л,
оо из которого можно получить неравенство
т
(Вгу)2в-Хг 3х3г <
оп
,г.} ¡„..г,„
о п о п
Если
Л2 Т2
< 4, то из неравенства (2.6) следует, что
т т
4Т2
(В^)2е-М Зх ЗЬ < -—/ / (В2ь)2е-М Зх Л.
о п о п Теперь получаем после замены Л на —Л и сложения полученного и исходного неравенств
т 2 т
I I (Д^)2 сЬ М Зх ЗЬ < 4 4Д2Г2 I сЬМЗхЗг.
о п о п
Введем обозначение 3 = Я11 + Н21.
Теперь выясним, можно ли подобрать число Л так, чтобы выполнялось неравенство
Т
2 4 - А2 Т2
з 2 (л3 + а)т2 \ , , 2 , л , ,
л--:-/ / VI сЬАЫжсЙ+
о п
8ЬЛТ [ 2 Л2 8ЬЛТ [ 2 Н--2— / иг\х1-1-) + ^--2— / и '
п п
У ^ ^ ^^ ^сЬА^ г^Дж,^ <1Х Л-
Ят = 1
— — J (А с(ж, сЬ А£ + С((ж, эЬ А£) г;2(ж, <1х <М —
Ят
Т
-5 ! I ^льЛхА - с(5) ! v2(x,t)shлt<ix<it < о.
о П Цт
При оценке слагаемых в левой части используем неравенство еИЛЬ ^ вИЛЬ. Потребуем выполнения следующих условий
3 2 (Л3 + ¿)Т2 2 ~~ 4 — А2 Т2
(заметим, что это осуществляется в силу условий теоремы при указанном в теореме Л = Ло), а также должно выполняться
Л с(х, Ь) еИ ЛЬ + сг(х, Ь) вИ ЛЬ + с(6) < 0.
Теперь в силу условий теоремы можно подобрать коэффициенты так, чтобы слева все коэффициенты были неотрицательны. Должно выполняться
з Л(4 - Л2 т2) - 4 (Л3 + а)т2 > о,
а тогда 4 3,Т2 < 12 Л - 7Л3 Т2. Заметим, что тогда
Л2 т2
€ [0,12/7] и, перейдя в выражении 12 Л - 7 Л3 Т2 к супремуму по всем Л из данного промежутка, получим, что наибольшему а соответствует Л2 Т2 = 4/7, то есть Л = /Т.
Тогда (1Т2 = 2 А = 2 ^1/Т = -¿=1/Т, и далее получаем <1=^=1 /Т3.
Т
Далее, в силу условий теоремы, в частности, / / V2 вх& ^ 0, стало быть,
оп
v(x,t) = 0, а тогда и и(х,Ь) = 0, что и доказывает утверждение теоремы.
Литература
[1] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальными граничными условиями интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 9. С. 1166-1179.
[2] Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространствено нелокальных задач для линейных параболических уравнений // Вестник СамГУ. 2008. № 3(62). С. 165-174.
[3] Пулькина Л.С. Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 8. С. 1084-1089.
[4] Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.
[5] Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. VSP. Utrecht, 1999.
[6] Кожанов А.И. О разрешимости первой начально-краевой задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа высокого порядка // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. трудов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2007. С. 172-181.
[7] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Иностр. лит., 1961. 122 с.
[8] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестн. СамГУ. 2006. Естественнонаучн. сер. № 2(42). C. 15-27.
[9] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения гиперболического типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. 2006. Сер.: Физ.-мат. науки, № 42. C. 35-40.
[10] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Доклады Академии наук. 2005. T. 404. № 5.
[11] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
[12] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
[13] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебник для ун-тов. 4-е изд. М.: Наука, 1974. 331 с.
[14] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.
[15] Якубов С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.
Поступила в редакцию 22/III/2013;
в окончательном варианте — 22/III/2013.
ON THE UNIQUENESS OF SOLUTION OF NONLOCAL PROBLEM WITH NON-LINEAR INTEGRAL CONDITION FOR A FOURTH ORDER EQUATION
© 2013 V.B. Dmitriev2
Initial boundary-value problems with non-local boundary conditions which contain integral operator for the equations of higher order are studied. The uniqueness of generalized solution is proved.
Key words: non-local problem, integral condition, 4th order equation, generalized solution.
Paper received 22/III/2013. Paper accepted 22/III/2013.
2Dmitriev Viktor Borisovich (dmitriev_v.bamail.ru), teacher of Informatics, Samara State College of Service Technology and Design, Samara, 443020, Russian Federation.
