О разрешимости задачи с нелинейным интегральным условием для многомерного гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ С НЕЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ1

© 2010 Н.В. Бейлина2

В работе изучается вопрос разрешимости задачи для гиперболического уравнения с нелинейным интегральным условием на боковой границе. Задача рассматривается в пространстве произвольной размерности. Показана однозначная разрешимость в пространстве Соболева. Доказательство базируется на полученных априорных оценках.

Ключевые слова: нелокальная задача, интегральное условие, разрешимость.

Введение

В последние десятилетия возник активный интерес к неклассическим задачам для дифференциальных уравнений сложной структуры или с более сложными дополнительными условиями. Исследования ведутся по многим направлениям, одно из которых — нелокальные задачи. Изучение таких задач представляет интерес как с точки зрения развития общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, так и с точки зрения приложений в математическом моделировании различных процессов теплопроводности, влагопереноса в капиллярно-пористых средах, процессов, происходящих в турбулентной плазме, при изучении задач математической биологии [1].

В предлагаемой работе рассмотрена нелокальная задача для многомерного гиперболического уравнения с интегральным условием на боковой границе. В настоящее время нелокальные задачи для гиперболических уравнений с интегральными условиями активно изучаются [2-8]. Однако в основном рассматривается одномерный по пространственным переменным случай [5-8].

1. Постановка задачи

Пусть П — ограниченная область пространства Яп с гладкой границей дП, Qт = П х (0, Т)— цилиндр, 0 < Т < ж, с боковой поверхностью Бт = дП х х (0,Т), п(х) = (их,П2 ...пп) — вектор внешней нормали к Бт, ^П = ачП, а по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до п.

1 Работа выполнена в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы, мероприятие 1.3.1 (ГК № П2589 от 26.11.2009).

2Бейлина Наталья Викторовна (natalie@samdiff.ru), кафедра высшей математики и прикладной информатики Самарского государственного технического университета, 443100, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

В цилиндре Qт рассмотрим уравнение

щг(х,ь) — (ац(х,г)пХ1 (х,г))Х} + а(х,ь)и(х,ь) = /(х,ь), (1)

где а^ц(х,Ь), а(х,Ь), /(х,Ь) — заданные в QT функции, ац(х,Ь) = ац^(х,Ь), и пусть для всех точек цилиндра Qт выполнено ^ ац^ ц^2, V > 0.

Поставим следующую задачу: найти функцию и(х,Ь), удовлетворяющую в Qт уравнению (1), начальным условиям

и(х, 0) = <^(х), иг(х, 0) = ф(х) (2)

и нелокальному условию

(^^и + @(х,ь)и(х,ь)^ == !К(х,у,ь,и(у,ь))¿у, (х,ь) е Ьт. Бт п

(3)

Здесь ^(х), ф(х) и 0(х,Ь) — заданные в Qт функции, К(х,у,Ь,и) — в Нп.

Определение. Под обобщенным решением задачи (1)—(3) будем понимать функцию и(х,Ь) е W2í(Qт), удовлетворяющую условию и(х, 0) = ^(х) и тождеству

J \—иг(х, Ь)уг(х, Ь) + ац (х, Ь)иХн (х, Ь)ух. (х, Ь) + а(х, Ь)и(х, Ь)у(х, Ь)] ¿хсИ+

Ят

+ J 0(х,Ь)и(х,Ь)у(х,Ь)3,ад,Ь — J у(х,Ь) J К(х,у,Ь,и(у,Ь))3,уЗ,аЗЬ = (4)

Бт Зт П

= ^ /(х,Ь)у(х,Ь)ЗхЗЬ + J ф(х)ю(х, 0)3х

Ят п

для любой функции у(х,Ь) е ^т), где ) = {о(х,Ь) : у(х,Ь) е W21(QT),

у(х, Т) =0}.

2. Разрешимость поставленной задачи

Теорема. Пусть выполняются условия: ац(х,Ь) е С1^т), а(х,Ь) е С 1^т), К(х, у, Ь, и) е С(О х О х [0,Т] х Еп), \К(х,у,Ь,и1) — К(х,у,Ь,и1)\ < Ь\и1 — и2|, I £ К (х, у, Ь, и) | < к\и\, ф) е W11(О), Ф(х) е Ь2(О), / (х, Ь) е Ь2^т), 0(х,1) е е С^т), сг(х,ь) е С^т).

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1)—(3).

Доказательство теоремы.

Из условий теоремы следует, что найдутся такие константы ¡о, Л1, ¡2, ^1,

что выполняются неравенства:

8агз (х,г) ^ а(х,Ь); аг(х,Ь) ^ ¡1, а(х,Ь) ^ ¡о > 0,

дг

; С(х,Ь) < ¡2, \К(х, у, Ь, и)\ < I. Доказательство единственности обобщенного решения проведем стандартным методом. Предположим, что существует два различных решения и1 и и2 задачи (1)—(3). Тогда функция и = и1 — и2 удовлетворяет условию и(х, 0) = 0 и тождеству

/ \ —иг (х, ЬЬ (х, Ь) + ац (х, ^ (х, ЬК (х, Ь) + а(х, Ь)и(х, Ь).(х, Ь)] 3^ +

+ У 0(х,1)и(х,1)у(х,1)д,з& — J v(x,t)J[K(х,у,Ь,и{) — К(x,y,t,U2)]dydsdt = 0. (5)

Бт Зт П

Возьмем в тождестве (5) в качестве v(x,t) функцию вида

v(x,t)- ^ t 0

/ и(х, 0 ^ t ^ т,

т ^ t < Т.

Очевидно, что ги(х^) € ТТ^^т) и vt(x,t) = и(х^). Тогда после преобразования (5) получим

/( „Цх,т) + а„ М.Х, (х,ф„ (х,Ч|,_0) dx =

п

= — J (2a(x,t)vt(x,t)v(x,t) + аць (х^^^ (х^))

Ят

—21 с(х-, ^ф, т..» +21Ф, ,)/[к х у, г,и1) — К (х,у, г,

Бт Бт П

Преобразуем два последних слагаемых в (6), используя неравенство [10]:

(6)

J v2(x,t)ds (еюХ + c(£)v2) .х,

(7)

дП П

неравенство Юнга, условия теоремы и неравенство

Т т

г(х, 0) ^ т ! uХ(x,t)dt = т ! v'Х(x,t)dt,

вытекающее из представления функции v(x,t). Получим

0(х, t)vt(x, t)v(x,

+ 2

v J[К(х, у, t,Ul) — К(х, у, t, их)].у.в.1

Зт п Х

<

^ J vХ(х, 0).х + С ! [v2(x,t) + v'Х(x,t) + vХ(х, dxdt,

п Ят

где постоянная С зависит от Т, Ь, ¡лх и области П.

Выберем £ = , введем функции т^х^) = / иХ. (х,т).т. Тогда, учитывая,

что v2(х^) ^ т / и2^^)^, получим

'(х,т) + тХ (х,т)

г=1

.х ^ К J vХ(х^).х.Ь + К1 J и2 (x,t)dxdt, (8)

Ят Ят

где К = ¡¡ 1 + С, К1 = ¡ 1 т + 1 + Ст + С.

Оценим первое слагаемое в правой части (8). Для этого заметим, что

т т t

Vxi (х^) = ! их, (х, = J ихн ^У ихн (х, = т^(х^) — т^(х,т).

V

2

и

Тогда

j v2x.(x,t)dxdt ^ 2J w2(x,t)dxdt + 2т j w2(x,T)dx.

Qt Qt O

Таким образом (8) примет вид

У u2(x,T)+ - 2KT)y^/Wj(x,T) dx < Ci J í u2 (x,t) + ^2 w2(x,t)\ dxdt, (9) o L i=i -I Qt i=i '

где постоянная Ci зависит от pi, ¡^2, L и области qt • Пользуясь произволом т, выберем его так, чтобы 2 — 2Кт ^ 4 •

Применив лемму Гронуолла [9] к (9), видим, что для т G [0; 85] u(x,t) = 0.

Повторяя рассуждения для т G "C; "^sc1 , Р G N, убеждаемся в том, что u(x,t) = 0 для всех t G [0;T]. Единственность доказана.

II. Переходим к доказательству разрешимости поставленной задачи. Пусть {wk(x)} - фундаментальная система в W2[(Q), причем (wk(x),w1,(x))l2(qj) = = Ski, wk(x) G C2(ü) П Ci(ü).

Приближенное решение задачи (1)-(3) будем искать в виде

ит(х,Ь) = ^ ек(Ь)тк(х), к=1

где Ск(Ь) подлежат определению из системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(и™,Wl)+J (а,циХ€+ аитт1^ ¿х + ^ Оитт^в— п дп

— J Wl(x) J К(x,y,Ь,um)dyds = ^ /^^¡¿х (10)

дП

и начальных условий

Ck (0) = ак, е'к (0) = (ф,юк), (11)

где — коэффициенты сумм akWk (x), аппроксимирующих функцию ^(x)

k=i

в норме W^Q) при m ^ <х>.

Из условий теоремы и свойств функций Wk (x) следует, что четвертое слагаемое в левой части (10) является измеримыми ограниченными на каждом множестве {t G [0, T],ck ^ const} функциями t, ck(t), к = 1, 2 ... m, непрерывными по ck, а коэффициенты линейной части системы (10) непрерывны и ограничены. Поэтому для существования, по крайней мере, одного решения задачи (10)—(11) на всем интервале [0; T] достаточно показать, что все ее возможные решения равномерно ограничены на [0; T] [10]. Такая ограниченность следует из априорной оценки

\\um(x,t)\\2w¡{Qt) < N, (12)

в которой постоянная N не зависит от m, так как

m

^„^ IL.mf„ + М|2

ск(t) = 0maxT\\um(x,tm2{n) < \\um(x,t)\\w?(QT)■

^ ^ k=1 ^ ^

Оценка (12) выводится из (10) следующим образом. Умножим (10) на с\^) и просуммируем по I от 1 до N, а затем проинтегрируем по t от 0 до т. После преобразований получим

(и"(х, т))2 + аг](х, т)и"(х, т)и" (х, т) + а(х, т) (и"(х, т))2

1х =

2 ! ¡и" 1x1* + 2 J и" К+ ^ С(х, 0)(и"(х, 0))2 1в+ (13) Ят Бт п дп

+

(и"(х, 0))2 + аг] (х, 0)и" (х, 0)и" (х, 0) + а(х, 0) (ит(х, 0))2

1х+

+

(ааци" + а1 (ит)2 dxdt — С(х,т) (ит(х,т))2 1в.

"г] х,

Ят дп

Применяя элементарные неравенства, а также неравенство (7), нетрудно получить оценки

2 ! ¡и"1хЛ < У !2dxdt + !(и")21хЛ\ (14)

Ят Ят Ят

С(х, 0)(ит(х, 0))2 1в < ¡2 £ (и"(х, 0))2 + с(£)(ит(х, 0))2 1х; (15)

дп

J 0(х,т) (ит(х,т))2 1в ^ ¡2(и^(х,т))2 1х + ¡2с(£1) ^ (ит(х,т))2 1х. дп п п

Для оценки второго слагаемого в правой части последнего неравенства заметим,

т

что и(х,т) = § и^(х,£)1х + и(х, 0), откуда нетрудно получить неравенство

о

/ ))Х 1х < 2 / (и"^,*))2 1x11 + 21 (и"Ь, 0)? 1х

Таким образом

J С(х,т) (и"(х,т))2 1в ^ ¡¡2£1 J (и"(х,т))2 1х+ дп п

+2л2с(£1) ! (и"(х^))2 1,хЖ + 2л2с(£1) ! (и"(х, 0))2 1х.

(16)

Рассмотрим слагаемое / и"/ К ^^^^"(у^^.у.вИ. После интегрирования

Бт п

по частям получим

^ и" ¡^ К^^^^"(у^^.у...* = ! и"(х,т) ! К(х,у^,ит(у,т))1у1в— Бт п дп п

— ! и"(х, 0)! К (х,у,^и"(у, 0)1у1в — J и" ! д^К (^^^^"(у^^угЬгМ,

откуда, используя неравенство (7), а также условия теоремы, нетрудно получить оценку

¡ит/К (х, у, Ь, ит (у, Ь))dydsdЬ < 82 (ит(х,т ))2 ¿х + с(б2 (и^)2 ¿,хЖ+ Бт п п Ят

+(с(£2) + 83)/ (ит(х, 0)? ¿х + (иТ(х, 0))2 ¿х+ (17)

пп

+к\\дО + к\О\еА ! (и^(х,Ь))2 dxdЬ + кЩс(еА) ! (ит(х,Ь))2 dxdЬ.

Из (13)-(17) имеем

(иТ(х, т))2 + V (иТ(х, т))2 + ¡о (ит(х, т))2

¿х <

<

¡1 (иТ(х,Ь))2 + ¡¡1 (иТ(х,Ь))2 + ¡3 (иТ(х,Ь))2

¿хсМ+

(18)

+¡4 ^ (ит(х, 0))2 ¿х + (б3 + ¡2£ + ¡^ (иТ(х, 0))2 ¿х+ пп

+ (¡281 — 62) ! (иТ(х,т ))2 ¿х + ! (иТ(х, 0))2 ¿х + \\/ (х,Ь)\\2ЫЯт) +2к2\дО\,

^2(Ят )

пп

где ¡з = 1 + 2ц + с(е1) +2с(е2), ¡4 = 2цс(£1) + 2с£) + с(е3)+ ¡2с(е) + ц. Заметим, что

Р I N \ 2

т(х, 0)\1(п) =

п

Аналогично

г / N \2 N

/ (0К(х) dх = £ск(0) < \\ф

п к=1 к=1

\2Ь2(п).

\\иТ(х, 0)\\2ЫП)

|2

\Ь2(п), \\иг

ПМ|2

иг (х

\Ь2(п)

< \\Ф(

х)

\ь2(п).

Тогда, обозначив ¡5 = ттах^^ £3 + ¡28 + ¡}, ¡6 = тах^Ц; ¡4; ¡¡1} и положив

£1 = £2

2(М2 + 1)

получим

(иТ(х, т))2 + V (иТ(х, т))2 + ¡о (ит(х, т))2

¿х <

< ¡6

(иТ(х,Ь))2 + (иТ(х,Ь))2 + (иТ(х,Ь))2

¿хсМ+

(19)

Ят

+¡5 МхП^п) + \\Ф(х)\\12{п) + \\/(х.Ь)\\2Ь2(Ят) + 2к1\дП\.

Применяя теперь к (19) неравенство Гронуолла [9], а затем интегрируя полученное неравенство по Ь от 0 до Т, приходим к оценке

ит(х,Ь)\\^(Ят) < N

(20)

в которой N зависит от Т, \О\ и входных данных и не зависит от т.

Таким образом из равномерной ограниченности ит (х,Ь) на [0; Т] следует существование решения задачи (10)—(11) на всем интервале [0;Т] [10].

V

Оценка (20) позволяет выделить из последовательности {ит(х,г)} подпоследовательность {итк (х,г)}, сходящуюся слабо в W1(Qт) и равномерно по г € [0; Т] в норме (О), и сильно в Ь2(Бт) и Ь2(0,) [10] к некоторому элементу и(х,г) € € ).

Покажем, что эта функция и есть обобщенное решение поставленной задачи. Начальное условие будет выполнено в силу отмеченной сходимости итк (х, г) к и(х,г) в Ь2(И) и того, что итк (х, 0) ^ ф(х) в Ь2(И).

Умножим (10) на Н^(г), ^(г) € Ш2^(0,Т) и Н^(Т) =0, просуммируем по г от 1 до N и проинтегрируем по г от 0 до Т. После интегрирования по частям получим

J \—^к (х,Ь)гц (х,Ь) + ац (х, Ь)и'т.к (х, (х,г) + а(х, г)итк (х,г)п(х,г)] ¿,хсМ+ Ят

^У С(х,г)иШк (х,г)ц(х, ^¿зА — I ц(х,г) ^ К(х,у,г,итк (у^йуйзА = (21)

Бт Зт П

= J /(х,1)п(х,1)3,хд;Ь + J иТк (х, 0)ц(х, 0)3,х, Ят п

где

N

п(х,Ь) = ^2 Ы(г)т^х),

г=1

NN — совокупность всех таких ц(х,г).

Зафиксировав произвольно выбранную ц(х,г) € NN, перейдем в (21) к пределу при ^ те. Покажем, что f К(х,у,г,итк (у, г))¿у сходится к f К(х,у,г,и(у,г))с!у.

п п

Для этого оценим разность

У [К(х,у,ь,итк(у,Ь)) — К(х,у,г,и(у,г))] ¿у < ^ \итк(у,г) — и(у,г)^у < пп

1

< ь\Щ1 ^у \итк(у,г) — и(у,г)\2¿^ = ь\щ\\итк(у,г) — и(у,г)\\Ь2т- (22)

Из сильной сходимости итк в Ь2(О) следует, что правая часть (22) стремится к нулю, а значит, § К(х,у,г,итк (у, г))¿у сходится к f К(х,у,г,и(у,г))с!у. пп Тогда в силу доказанной сходимости будем иметь

У \[—и1(х,г)п1(х,г) + ац(х,г)их.(х,г)пх.(х,г) + а(х,г)и(х,г)п(х,г)] ¿,хсМ+

Ят

+ ! с(х,г)и(х,г)ц(х,г^зйь — J п(х,г) J К (x,y,г,u(y,г))¿y¿зdt =

Бт Зт П

= У ]^^'^^^¿хйг + 1 ф(х)ц(х, 0)¿x. Ят п

Таким образом, тождество, определяющее обобщенное решение, выполняется для всех п(х,г) € NN. Так как У NN всюду плотно в ^х^) [10],

N =1

то тождество выполняется для произвольной у(х,Ь) е Следова-

тельно, предельная функция является обобщенным решением задачи (1)-(3). Теорема доказана.

Литература

[1] Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.

[2] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 9. С. 1166-1179.

[3] Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода для многомерного гиперболического уравнения // Доклады АН. 2007. Т. 416. № 5. С. 590-597.

[4] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с нелинейным интегральным условием для гиперболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2009. № 1(18). С. 26-32.

[5] Бейлин С.А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2005. С. 37-43.

[6] Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Мат. заметки. 2003. Т. 74. Вып. 3. С. 435-445.

[7] Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 7. С. 887-892.

[8] Чабакаури Г.Д. Существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелинейным нелокальным граничным условием // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 1. С. 77-81.

[9] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Иностр. лит., 1961. 120 с.

[10] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

Поступила в редакцию 25/Л7/2010; в окончательном варианте — 25/Л7/2010.

ON SOLVABILITY OF A NONLOCAL PROBLEM WITH

NONLINEAR INTEGRAL CONDITION FOR A MULTIDIMENSIONAL HYPERBOLIC EQUATION

© 2010 N.V. Beilina3

In this paper we study the solvability of a problem for a multidimensional w.r.t. spatial variables hyperbolic equation with a nonlinear integral condition on the lateral area. The unique solvability in the Sobolev space is proved. The proof is based on a priori estimates obtained in the article.

Key words: nonlocal problem, integral condition, solvability.

Paper received 25/1/7/2010. Paper accepted 25/777/2010.

3Beilina Natalya Viktorovna (natalieasamdiff.ru), Dept. of Mathematics and Applied Informatics, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russia.