Два подхода к решению уравнения потенциала в автомодельных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

ДВА ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА В АВТОМОДЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ1

Л.И. Рубина2, О.Н. Ульянов3

Исследуется уравнение потенциала в случае, когда его решение выражено через три автомодельные переменные. Уравнение геометрическим методом сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ). Получен ряд точных решений.

Ключевые слова: нелинейные уравнения в частных производных; геометрический метод исследования; сведение уравнения в частных производных к ОДУ; точные решения.

Введение

Известно, что процессы неограниченного безударного сжатия газа из исходного однородного безвихревого состояния потенциальны и изэнтропичны. В статье А.Ф. Сидорова [1] для общего уравнения потенциала скоростей Ф(x1, x2, x3, t), где t - время, xt - пространственные координаты, (i = 1,2,3) рассматривается класс автомодельных решений с переменными X = X /т,т = t — t , уравнение потенциала преобразуется в уравнение, которому удовлетворяет функция Г = ГХХ2Х3) [1]

0,5(УГ V | УГ |2)— | V |2 —(у —1)( Г — 0,51УГ |2 )(АГ — k) = 0, (1)

построены точные решения этого уравнения в случае двух автомодельных переменных, изучается безударное сжатие газа с использованием полученных решений. Здесь УГ - градиент Г в пространстве (Xi,X2,X3), k - размерность задачи по пространственным переменным.

В данной работе предлагается исследование уравнения (1) для случая трех автомодельных переменных (X[,X2,X3), k = 3. Для уравнения (1) геометрическим методом [2] получены некоторые точные решения и показано, как полученные решения могут быть использованы при рассмотрении задачи о безударном сжатии газа.

Сведение уравнения потенциала к ОДУ

эг 32 Г

Рассмотрим уравнение (1). Введем обозначения-= ri,-= Гу,(i = 1,2,3),(j = 1,2,3).

эХ эХэХ}

Тогда уравнение (1) перепишется в виде

Г2(ГП — 1) + Г2 (Г 22 — 1) + Г32(Г33 — 1) + 2Г1Г2 Г12 + 2Г1Г3 Г13 + 2 Г2 Г3 Г23 —

—(у —1)[ Г — 0,5( Г2 + Г22 + Г32)]( Гп + Г22 + Г33 — 3) = 0. Здесь у > 1 - показатель адиабаты.

Будем предполагать, что Г = Г (у), тогда у(^, ¿2, ¿3) = const - поверхность уровня функции Г (¿j, ¿2, ¿3) и Г1 = , Гу = Г ftfj + r^jj. Здесь штрих (') обозначает дифференцирование по переменной у. После подстановки Г (у) в уравнение (2) получаем

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке в рамках проекта «Разработка новых аналитических, численных и асимптотических методов исследования задач математической физики и приложения к обработке сигналов» программы «Современные проблемы алгебры, анализа и теории динамических систем с приложениями к управлению сложными объектами» Комплексной программы ФНИ Уральского отделения РАН.

2 Рубина Людмила Ильинична - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук (ИММ УрО РАН).

E-mail: [email protected]

3 Ульянов Олег Николаевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, ученый секретарь, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук (ИММ УрО РАН), доцент, Уральский федеральный университет (УрФУ).

E-mail: [email protected]

(3)

(4)

Рубина Л.И., Два подхода к решению уравнения потенциала

Ульянов О.Н. в автомодельных переменных

0,5(у + 1)г '2 г V2 + + ^32)2 + Г '\VlV11 + ^22 + ¥3^33 + + +

+2V2Vз V23 + 0,5(7 -1)(^2 + V2 + Vз2)(Vll + V22 + Г33)] -

-0,5(37 -1) Г'2(^2 + V22 + V2) - (7 -1) ГГ '(^1 + V22 + Vзз) -

-(7 -1) ГГ "(^2 + V22 + V2) + 3(7 -1) Г = 0. В уравнении (3) положим, что [2]

у2 +У22 + У2 = ЯУ), У 11 + У22 + У33 = ЯУ), 2 2 2 У1У11 + У22 У22 + У У33 + У У У 12. + У1У3У13 +

+2 У2 У3 У23 + 0,5(Г- 1)(У2 + У22 + У32)(У11 + У22 + У33) = /2(У). Тогда уравнение (3) можно переписать в виде

0,5(7 +1)Г 2Г'' Я2 + Г'3 Я2 - 0,5(37 -1)Г 2 Я - (у-1)ГГ Я1 - (7 -1)ГГ'' Я + 3(7 -1)Г = 0. (5) Получим ряд условий, при которых переопределенная система (4) имеет решение. Теорема 1. Если функции ЯУ), Я2У) определяются из уравнений

8 Л1' + 8 / Я - 41 + 4 ЯЯ" - /2 = 0, /2 = 0,5 Я + 0,5(у-1) в1, где Я(у) - произвольная функция, и если вторые производные удовлетворяют зависимостям

У11 = [(2у2 -У22 -У32) / + 2 ЯУ2 +У32)]/(4 Я), У12 = -[У1У2(2 Я -3 Я )]/(4 Я), У13 =-УУ3(2 Я -3 Я')]/(4 Я), (6)

У23 = 0, У22 = [(2У2 - У2 - У2) Я' + 2 Я (у2 + у32)]/(4 Я), У33 = [(2У32 - У22 - У2) Я' + 2 Я(у2 + у2)]/(4 Я),

то система (4) совместна.

Доказательство. Для исследования совместности переопределенной системы (4) выпишем

дифференциальные следствия соотношения у2 + у° + у2 = Я (у) и выразим из полученных соотношений вторые производные У11,У22,У33. Получим

У11 =(Яу1 - У2У21 - 2УзУзl)/(2Уl},

У22 = ( Яу2 - 2У1У12 - У3У32МУ2Х (7)

У33 = ( Яу3 - 2УУ13 - 2У2У23 ) /(2У3). Подставим в последнее соотношение системы (4) выражения (7) и учтем, что должно выполняться второе соотношение системы (4). В результате получим, что если справедливы две первые зависимости системы (4), то третье соотношение системы при условии Я2 = 0,5 ЯЯ + 0,5(/-1) ЯЯ1 выполняется тождественно. Считаем, что Я2 удовлетворяет указанному условию. Остается найти условие, при котором совместны первое и второе уравнения системы (4).

Подставим полученные выражения (7) во второе уравнение системы (4) и найдем из полученного соотношения У23 . Далее рассматриваем первое соотношение системы (4)

у2 + У22 +У2 = Я (У). (8)

Выпишем для уравнения (8) систему уравнений характеристик [3]

^ = 2у , У = 2 Я, У = Яу, (/ = 1,2,3).

ОЭ аэ аэ

Полагая, что Я (у) Ф 0, выберем в системе уравнений характеристик в качестве независимого переменного у. Тогда система будет иметь вид

¿к = У, "У = Я у. (9)

"у Я "у 2 Я

Получим расширенную систему уравнений характеристик, дополнив систему (9) уравнениями, описывающими изменение вдоль характеристик вторых производных У11,У22,У33 [2]. Чтобы получить такие соотношения, перепишем уравнения характеристик, описывающие изменения вдоль них первых производных

у x + x dy dy dy

У12 + У13

У2 dy

у

= У12

Уз

dX

dy

dX

dX

+ У22^" + y23 dy

dX2 dX3

+ y23 T"2 + Узз" 3

dX3 f'

=—y1,

dy 2 f

dX

=—y2,

dy 2 f

(10)

f

Уз,

dy dy dy dy 2 / и, продифференцировав первое соотношение (10) по — , второе соотношение (10) по —2, а третье

соотношение (10) по — и подставив вместо ——, (У = 1, 2, 3) их значения из системы (9), полу-

dy

чим зависимости

у

dy

y22 dy

узз dy

= -Уп

У ^

У12

У21

-У31

(у >

f

V 1 /2

(y >

f

\ /3

y22

(у2 ^ f

У2

v f /

-Уз

(уз ^

+

( f' >

У32

У2 |

v f j3

У23

Узз

y3

f

(Уз ^ f

v j /3

+

+

2 f

(

2 f У1 + 2f Уш

v 2 f

v / (f' >

v 2 f /

2 f У2 + — У22,

2 f Уз + ~ Узз-

(11)

Потребуем, чтобы второе соотношение системы (4) у11 +у22 +узз = Т1(у) выполнялось тожде-

/оч dy11 dy22 dy33 '

ственно на характеристиках уравнения (8): —— +--— +--— = f1 .

dy dy dy

Это условие будет выполняться, если обращается в тождество выражение

У121 + 2У122 + 2у2 + 2У223 + У222 + Узз = f + 0,5 ff" + 0,5 f ^ (12)

Подставив в (12) ранее полученные выражения у11,у22,узз, у23, придем к квадратному уравнению относительно у12:

32 f(у2 + y22)yi2 + 32 f (у2 + уз2)у2 + 64 7У2УзУ12У1з +16 fy^zC f -3 f ')У12 + +16 fy1y3(2 f - 3 f )y13 = 4y12(y22 +y32)[4( ff' + 0,5 ff" + 0,5 f f1) + (8 f f1 - 5 f'2 - 4 ff)]. Определим из него y12, рассмотрев частный случай, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Это приводит к квадратному уравнению для определения у13. Потребовав, чтобы дискриминант уравнения для определения у13 также был равен нулю, получим, что

8 f'+ 8 f f1 - 4 f2 + 4 ff" - f'2 = 0. (13)

Тогда y12 = -[y1y2(2 f1 - 3 f )]/(4 f), y13 = -[y1y3(2 f1 - 3 f )]/(4 f), и, подставляя эти значения в выражения для У11,У22,У33,У23, получаем условия (6), которые обеспечивают совместность системы (8), что и требовалось доказать.

Рассмотрим некоторые случаи выполнения условия (13).

1. Условие (13) выполняется, если f = (Cy+ C1)b, f1 = BC(Cy+ C1)b-1, C = const, C = const, b = const, B = (2b-1) + 0,5^19b2 -20b + 4 . Тогда f2 = 0,5C[b + (g-1)B](Cy + C1)2b-1. В этом

(2-b), где А = const определяется из уравне-

-0,5V19b2 -20b + 4

случае уравнение (5) имеет решения Г = A(Cy+ C1) ния

0,5(2-b)3 C4[(g+1)-gb + (g- 1)B]A2 - C2(2-b)[0,5(3g-1)(2- b) + (g-1)(B-b +1)]A+

+3(g-1) = 0

1

2

Рубина Л.И., Ульянов О.Н.

Два подхода к решению уравнения потенциала в автомодельных переменных

2. Условие (13) выполняется, если f = exp(ay), f = Bexp(ay), a = const, B = a(2±0,5^19). Тогда f2 = 0,5[a + (g-1)B]exp(2ay) и Г= Aexp(-ay), причем A определяется из уравнения

0,5a3[ga - (g- 1)B]A2 + a[0,5(3 - 5g)a + (g- 1)B] A + 3(g-1) = 0.

Если в рассмотренных выше случаях выполнения условия (13) в выражения Г = Г (у) подставить у = у(Х[,Х2,Х3), то получим решение уравнения (1).

Рассматривая политропный газ, имеем c2 = dp / dp и если c ®¥, то р®ж . Здесь c -скорость звука, p - плотность, p- давление [1],

ду

c2 = (7 -1)

Г(щ) - 0,5Г 2X

3 ^„Л2

i=1

dXi

(14)

Полученные выше точные решения можно использовать для определения скорости звука и для изучения условий, при которых возможно безударное сжатие в случае политропного газа.

Если Г = A(Cy+ Cl)<~2~b) и f = (Cy+ C)b, то подставляя эти значения в (14), получаем c2 = (g-1) A(Cy+ Ci)(2-b)[1 - 0,5(2-b)2 AC2]. Если Г = Aexp(-ay) и f = exp(ay), то c2 = (g-1) A exp(-ay)(1 - 0,5 a2 A).

Итак, в случае политропного газа, если известно Г = Г (у) и у = у(Х[,Х2,Х3), то легко определяется c(Xn,X2,X3).

Задача о движении поршня

Пусть в начальный момент времени скорость звука на поршне c = 1, а c = c0 > 0, с0 = const,

тогда в начальный момент времени из (14) находим, что Г(щ) = 0,5Г2 f + 1/(g-1), Г = [Г (1 - 0,5Г f ) - 2c0/(y -1)]/(Г f). Подставляя эти значения в уравнение (5), получаем соотношение, которому должна удовлетворять производная Г (у), чтобы уравнение (5) обращалось в тождество Г2[0,5 f - 2c0 f /(у -1) - + 2Г + 2c0/(у -1) = 0. Отсюда следует, что либо Г =-c0/(y -1), если f = 0,5 f - 2c0 f /(g-1), либо, если f и fj удовлетворяют зависимости (13), то Г = {-1 ±^1 - 2c0[0,5 f'- 2c0 f /(у-1)- ^]/(у-1)}/[0,5 f'- 2c0 f /(у-1) - fj]. Возвращаемся к уравнению (5). Из уравнения (5) получаем, что

Г =

Г 2[0,5(у +1)Г" f2 + Г' f2 -0,5(3у -1) f]

2 /-.'2 тогда c =Г

(у - 1)(Г f + Г f - 3) Если Г =-co/(y-1) и f = 0,5 f - 2c0 f /(g-1)

Г f2 + 0,5Г ff - f Г fl + Г" f - 3 J

то

f2 = 0,25(g+1) if' - c0 f2,

c2 =

c02 f [1 + 0,5qp f /(g-1)] 3(g-1)2 + 0,5(g- 1)c0 f' - 2c02 f

Пусть знаменатель у выражения для с2 равен d, тогда f =h exp[4c0 у^ - 1)]+[3(g - 1)2 -d]/[2c02], h = const,

c2 ^

c2 =

S

П exp

4c0 щ 1 + [3(7 -1)2 - S]

7 -1'

2c2

2c2

(у -1)

П exp

4cq

у -1

Щ i +1

и при любом у, если 8 ® 0, то с ® ¥ Интенсивность безударного сжатия будет зависеть, очевидно, от величины и знака у

О поверхностях уровня решений уравнения потенциала

Выше отмечено, что у = у(Х,Х2,Х3) = const — поверхность уровня решения уравнения (1) и показано, что эта функция удовлетворяет уравнению (8) и соответствующей ему системе уравнений характеристик (9). Выпишем решение системы (9)

1/2 1/2 1/2 щ1 = c1 f , щ2 = c2 f , щ3 = cj f , c1 = const > 0, c2 = const > 0, c3 = (1 -

c2)1/2 (15)

2

c

Xj = Cji-Jn + 3j,(j = !,2),X3 = (1 - c2 - c22)1/2f fV + 33,a, = const,(i = 1,2,3) (16)

и будем полагать, что соотношения (16) задают преобразование координат X = Х (V, а1, а2), где

(i = 1,2,3), cj = cj (а1, а2), = a, (а1 a2),(i = 1,2,3).

Для такого преобразования координат должна обращаться в тождество [2] зависимость у = у (^(щ, а1, а2), £2(щ, а1, а2), £3(щ, а1, а2)), а именно,

1=t yУ,0=tyIх,(j=1,2).

i I y j da j

Требуя выполнения выписанных зависимостей, получаем соотношения, которым должны удовлетворять функции cj (а1, а2), al (а1, а2)

c1 Эа1 c2 Эа2 da-

(1-c2 - cJ)1/J Э a j + (1 - c2 - c22)1/2 da j + da, °'U ^ (17)

Например, если Cj = const,a1 = a1 + a2, a2 = a1 -a2,a3 = [(c2 - c1)a2 -(c1 + c2)a1]/(1 - cJ - cJ)12, то соотношение (17) выполняется. Исключив aj из соотношений (16), получаем, что

w = k1^1 + k2%2 + k3£3, k, = const, w = f—fj, следовательно, в этом примере

y = y(k1X1 + k2X2 + k3X3). В этом случае справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Если f1 = hf1/J + 0,5/, f2 = 0,25(^+1) ff' + 0,5(f- 1)hf3/J, где f(y) - произвольная функция, n = const, то система (4) совместна, а уравнение (3) имеет вид

Г ww[0,5(7 +1) Г J - (у -1) Г ] + 0,5(7 - 1)пГ 3 - 0,5(3у -1) Г J - (у - 1)пГГ w + 3(у -1) Г = 0,

Г w = dT / dw.

Доказательство. Так как Cj = const, то можно считать, что yi (X1,X2,X3) =

= c, f1J(y(X1,X2 ,X3)),(i = 1,2,3). Тогда, требуя чтобы второе уравнение системы (4) тождественно удовлетворяло расширенной системе характеристик (11), получаем линейное уравнение f1 - 0,5 f f1/f = 0,5 f - 0,25 f2/f, решая которое, находим, что f1 = f1/J + 0,5 f, n = const. Подставляя это значение в ранее полученное соотношение f2 = 0,5 ff + 0,5(у-1) ff1, получаем fj = 0,25(у +1) ff + 0,5(у- 1)nf3 J. Учтем полученные зависимости между функциями f, f1, f2 в уравнении (5). Выберем в (5) в качестве независимого переменного w В результате придем к уравнению (18), что и требовалось доказать.

Решаем уравнение (18). Пусть h = 0 . Тогда уравнение (18) имеет вид

Г ww[0, 5(у +1) Г J - (у -1) Г ] - 0,5(3у -1) r2w+ 3(у -1) Г = 0. (19)

В уравнении (19) сначала сделаем замену Гw = p(Г), а затем положим, что p2 = Q. В результате придем к уравнению [0,5(у + 1)Q- (у - 1)Г] - (3у- 1)Q + 6(у- 1)Г = 0. Далее положим, что Q = Гу(Г). В результате такой замены получим уравнение ГуГ [0,5(у +1) у - (у - 1)Г] = -0,5(у + 1)у2 + 2(2у - 1)у- 6(у -1). Отсюда найдем Г (у). Так как

Q = Гу(Г), то p = Гw = ±[Гу(Г)]1/2 и, опуская дальнейшие выкладки, окончательно имеем решение уравнения (21) в параметрическом виде

Г d Г 1 ]1/(у-2) w = M± f—^, Г = Щ-у--—Г , M = const, N = const, N > 0.

}(уГ)1П [[(у +1) у - 6(у - 1)](у-1) J

Замечание 1. Доказанные теоремы 1,2 не охватывают все возможные зависимости между функциями f, f1, fj, при которых система (4) совместна. В общем случае, если рассматривать кривую второго порядка с переменными y12 и y13, описываемую уравнением

Рубина Л.И., Два подхода к решению уравнения потенциала

Ульянов О.Н. в автомодельных переменных

32 f (y2 + у22)у22 + 32 f (y2 + уз2)у2 + 64 /УУзУУэ +16 fyyil / - 3 f ')y12

+16 /yy3 (2 /1 - 3 fУ13 = 4y12(y2 + У32)[4( //' + 0,5 ff" + 0,5 f' f) + (8 f' f - 5 f '2 - 4 f2)],

то она является действительным эллипсом, если 8 //Ц + 8 f f1 - 4 f^2 + 4 ff - f2 < 0. В этом случае

мы будем иметь 4 разные пары значений |y12,y13] и, возможно, другие зависимости между

функциями f, f1, f2.

Замечание 2. Если положить, что Г = Г (у), у = (£ 1 -t\ )2 + (¿2 -1^)2 + (¿3 -13)2 + B, где

Ь = const,(i = 1,2,3), B = const, тогда /(у) = 4(у - B2), w= (у - B2)12. После подстановки этого выражения в (2) и перехода к переменной w получим уравнение

wrww[0,5(7 +1)Г2 - (у -1)Г] + 2(7 -1)Г - 0,5(3у -1) wf W - 2(у -1)ГГw + 3(у -1) wr = 0. Это уравнение имеет решение вида Г = aw2 , где a = |(3g-2) ±[1 -6(g-1)2]12]/[2(5 g-3)].

О краевых или начальных условиях

Вообще говоря, функции Cj(а1,а2), al(а1,а2), удовлетворяющие (17), определяются исходя

из задания начальных или граничных условий. Исключение из соотношений (16) аj приводит к разному виду поверхности уровня у (¿1, ¿2, ¿3) = const.

Пусть при t = 0,¿1 = а1,¿2 = а2,¿3 = F(a1,а2), w = w0 = const. Соотношения (16) будут удовлетворять таким начальным условиям, если aj = а j - cjw0,( j = 1,2), a3 = F - и^(1 - q2 - c^ )1/ 2. Требуя выполнения условий (17) для таких al ,(l = 1,2,3), получаем зависимости

dF = c1 dF = c2

da1 = (1 - c2 - c22)1/2 , da2 = (1 - cj2 - c2)1/2 ' = dF/Эа1 = dF/Эа2

q = [1 + (dF/Эа1)2 + (dF/Эа2)2]1/2 , c2 = [1 + (dF/Эа1)2 + (dF/Эа2)2]1/2 . Подставив (20) в (16), получим

dF/ Эа,

=--о-j-TT7T(w- w0) + а ,,(j = 1,2),

' [1 + (dF / Эа1)2 + (dF / Эа2)2] 0 j

4 =~ \2-i1/2 (w w0) + F.

[1 + (dF / Эа1)2 + (dF / Эа2)2]1/2

(21)

Исключив из соотношений (21) а,а2, найдем ИХ,Х2,Х3)-

Например, пусть ^ = [1 - (а2 + а2)]12, тогда исключив из соотношений (21) а7,(7 = 1,2), получаем ^2, ¿3) = И + 1 - X2 - - ^ -

Другой подход к решению уравнения потенциала

Рассмотрим частный случай геометрического подхода для уравнения (2) [5]. Положим, что у = Г. Перепишем уравнение (2) в виде

Г2Гп + Г22Г22 + Г32Г33 + 2Г1Г2Г12 + 2ГГ3Г 13 + 2Г2Г3Г23 - (у - 1)[Г - 0,5(Г2 + Г2^ + Г32)]X

Х(ГП + Г22 + Г33) = Г2 + Г22 + Г32 -3(у- 1)[Г- 0,5(Г2 + Г22 + Г32)]. Положим, что правая и левая часть соотношения (22) по отдельности равны /(Г), где /(Г) -

1 + Г32

некоторая функция. Находя (Г2 + Г^ + Г32) из соотношения Г2 + Г^ + Г32

-3(y -1)[Г - 0,5(Г12 + Г22 + Г32)] = f (Г), получим

Г2 + Г22 + Г32 = 2[ f(Г) + 3(y -1)Г] /(3Y -1) = g(Г). (23)

Уравнение (2) обратится в тождество, если

Г1 Г11 + Г2 Г22 + Г3 Г33 + 2Г1Г2Г12 + 2Г1Г3Г13 + 2Г2Г3Г23

-(у -1)[Г - 0,5(£2 + Г22 + Г32)](Гц + Г22 + Г33) = /(Г) = 0,5(3у -1)е(Г) -3(у -1)Г.

(24)

Л1 + Г22 + Г33 = [0,5ее - 0,5(3у -1)е+3(у -1)Г] /[(у -1)(Г - 0,5е)].

Выпишем дифференциальные следствия соотношения (23): Г1Г11 + Г2Г21 + Г3Г31 = 0,5Г1Е ,

Г1Г12 + Г2Г22 + Г3Г32 = 0 5Г2Е , Г1Г13 + Г2Г23 + Г3Г33 = 0,5Г3д . Умножим эти выражения на

Г1,Г2,Г3 соответственно и сложим. Получим, что

Г2 Гц + Г22 Г 22 + Г32 Г33 + 2 Г1Г2 Г12 + 2 Г1Г3 Г13 + 2 Г 2 Г3 Г 23 = 0,5 ее'. (25)

В (24) подставим вместо Г12 + Г^ + Г32 и Г12 Г11 + Г^ Г22 + Г32 Г33 + +2Г1Г2Г12 + 2Г1Г3Г13 + 2Г2Г3Г23 их значения из (23) и (25) и найдем из полученного соотношения выражение Г11 + Г22 + Г33. Имеем

(26).

Таким образом, решение уравнения (1) сведено к решению системы уравнений (23), (26).

Покажем, что для решения этой системы можно использовать расширенную систему уравнений характеристик уравнения (23). Выпишем расширенную систему уравнений характеристик для уравнения (23), выбрав в качестве параметра, меняющегося вдоль характеристики, переменную Г, аналогично тому, как это делалось при рассмотрении уравнения (8). Потребуем, чтобы уравнение (26) выполнялось тождественно вдоль характеристик. Добавим полученное соотношение к расширенной системе уравнений характеристик и заменим в ней вторые производные Г12, Г13, Г23 их выражениями, полученными из дифференциальных следствий уравнения (23)). Придем к системе ОДУ для определения функций ^, £, Г и, е( Г),(1 = 1,2,3)

Х= £±¿£1 = Г (1 = 123) Е = (у -1)( Г - 0,5 е)(Гп + Г 22 + Г33) + 0,5(3у -1) е - 3(у -1) Г

¿£ е' dГ 2е ' ' ¿Г 0,5е '

Г

11

dГ

¿Г 22 аг

= -£

11

( п ^ е

-

(Г \ 2

12

(

=-

12

аг

33

^ 1 -£

ч Е Л

(г\

е

-

(Г\

3

13

)1

22

Г

\

с£

=-

13

Е

-Г.

Е

(

-

23

2

23

3

2

Ч Е )3

■Г

33

Е

£3

Е

Га

Е

+

)1

( ' Л Л_ 2 Е

Г2 + 1 1 + ~ 111,

+

+

( ' Л Е

2Е

ЕЕ_ 2 Е

2Е

г 2 +—г

2Е

22

Г2 + ^—Г 1 3 ^ ~ 1 33-

2Е

В общем случае, если на начальном многообразии будут выполняться соотношения (23), (26), то поверхность, полученная проведением характеристик через каждую точку такого многообразия, будет задавать решение системы (23),(26) [3,4] и, следовательно, будет являться точным решением уравнения (1).

Определим, в частности, вид ряда функций Е( ) , при которых система уравнений (23), (26) совместна.

Теорема. Если функция е(Г) удовлетворяет уравнению

Е = [(3у-1)е- 6(е- 1)Г]/[0,5(у +1)е- (у- 1)Г], (27)

то решения уравнения (23), для которых на начальном многообразии выполняется соотношение (26), являются решениями уравнения (1).

Доказательство. Рассмотрим одно частное решение системы (23), (26). Пусть

Г и = Г2 + ^(Г), где ±(Г) - произвольные функции, (1= 1, 2, 3). Тогда, полагая, £ = р(Г), сделаем такую замену и решим полученное линейное уравнение для функции р(Г). Придем к зависимости

!г2 =

2

1=1

3 / 3

I п + 2р

1=1 ч 1=1

\

е_2Г аг

, ц1 = еоп81.

(28)

2

3

Рубина Л.И., Ульянов О.Н.

Два подхода к решению уравнения потенциала в автомодельных переменных

Учитывая, что У Г11 = уГ^ + у (Г) и подставляя в это соотношение (28), получим, что урав-

¡=1 ¡=1 1=1

нения (23), (26) обращаются в тождества, если

у г = 0,5вв- 0,5(3у -1)в + 3(у -1)Г _ в . = (3у -1)в- 6(у -1)Г

у 1 (у -1)(Г - 0,5 в) 8' В 0,5(у +1) В - (У -1)Г'

что и требовалось доказать.

Для таких функций в(Г) некоторое подмножество решений уравнения (23) будет удовлетворять уравнению (2) [4].

Выпишем решение уравнения (24) через параметр и = в/Г , полагая, что (1 < у < 2)

Г = <

u-2

,1/(7-2)

, g = цГ.

[и - 6(у - 1)/(у +1)](7-1) \ Для квадрата скорости звука в случае, когда выполняются условия (29), получаем [1]

с2 = (Y -1)

( 3

Г - 0,5^ Г2

i=1

Y -1

2

u - 6(y -1) /(y +1) u - 2

(Y-1)/(2-Y)

(29)

(30)

Из формулы (30) замечаем, что она имеет смысл (с > 0) только тогда, когда 6(у-1)/(у+1) < и < 2. Это условие выполняется, например, для гелия (у = 1,667) или метана (у = 1,304) [6]. Для таких газов имеем с , если и ® 2. Выпишем уравнение (23) в виде Г]2 + Г2 + Г2 = в(Г (и)) = б(и). Решая это уравнение, получим выражения для определения X,(1 = 1,2,3) (см. (16)). В этих выражениях

ёи

W

J_au_ J[u-6(g- 1)/(g+ 1)]g-1)/2(2-g) d J G1/2 J u1/2(u-2)g-1)/2(2-g u.

Задавая вид функций а1 (а1,а2),с1 (ах,а2) (см. пункт о поверхностях уровня) и исключив из (16) переменные а1,а2 , получим и(Х,£2,£3) и, следовательно, сХХХ).

Заключение

Применение геометрического метода и его частного случая, когда поверхность уровня совпадает с решением уравнения, позволило получить ряд точных решений уравнения потенциала в автомодельных переменных, которые можно использовать для решения некоторых начальных и краевых задач, в частности, для решения задачи о безударном сжатии газа.

Литература

1. Сидоров, А.Ф. Новые режимы неограниченного безударного сжатия газа / А.Ф. Сидоров // Доклады РАН. - 1999. - Т. 364, № 2. - С. 199-202.

2. Рубина, Л.И. Один геометрический метод решения нелинейных уравнений в частных производных / Л.И. Рубина, О.Н. Ульянов // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010. - Т. 16, № 2. - C. 209-225.

3. Курант, P. Уравнения с частными производными / P. Курант. - М.: Мир, 1964. - 830 c.

4. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М: Наука, 1965. - 703 с.

5. Рубина, Л.И. Об одном методе решения уравнения нелинейной теплопроводности / Л.И. Рубина, О.Н. Ульянов // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53, № 5. - С. 10911101.

6. Fluid dynamics: The handbook / ed. by Richard W. Johnson. CRC Press, Boca Raton, FL, Springer-Verlag, Heidelberg, 1998.

Поступила в редакцию 26января 2Q15 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2015, vol. 7, no. 3, pp. 30-38

TWO APPROACHES TO SOLVING THE POTENTIAL EQUATION IN SELF-SIMILAR VARIABLES

L.I. Rubina\ O.N. Ul'yanoV

The authors, using the method previously proposed by them, investigate the general velocity potential equation for the case of three self-similar variables. Two approaches of this method are used. The first approach assumes that the solution depends only on one variable, which, in turn, is an unknown function of all independent variables, and thus potential equation is reduced to the ODE. Finding unknown function is based on a study of the corresponding overdetermined system of partial differential equations. A number of compatibility conditions for the system are found. Some exact solutions are constructed. It is shown how the solutions obtained can be used in considering the problem of shock-free compression of the gas. The second approach assumes that the function is known and coincides with the function that gives a solution of the potential equation. It is also received a number of exact solutions that can be used to solve some initial and boundary value problems.

Keywords: nonlinear partial differential equations; geometric method of research; reducing a partial differential equation to ODE; exact solutions.

References

1. Sidorov A.F. DokladyRAN. 1999. Vol. 364, no. 2. pp. 199-202. (in Russ.).

2. Rubina L.I., Ul'yanov O.N. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN. 2010. Vol. 16, no. 2. pp. 209225. (in Russ.).

3. Kurant R. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi (Partial Differential Equations). Moscow, Mir Publ., 1964. 830 p.

4. Kamke E. Spravochnikpo obyknovennym differentsial'nym uravneniyam (Handbook of Ordinary Differential Equations). Moscow, Nauka Publ., 1965. 703 p.

5. Rubina L.I., Ul'yanov O.N. On some method for solving a nonlinear heat equation. Siberian Mathematical Journal. 2012. Vol. 53, no. 5. C 872-881. DOI: 10.1134/S0037446612050126

6. Johnson, R.W. (Ed.): The Handbook of Fluid Dynamics. CRC Press, Boca Raton, FL, SpringerVerlag, Heidelberg, 1998.

Received 26 January 2015

1 Rubina Liudmila Ilinichna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Senior Staff Scientist, Institute of Mathematics and Mechanics of the Russian Academy of Sciences (Ural branch).

E-mail: [email protected]

2 Ul'yanov Oleg Nikolaevich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Senior Staff Scientist, University's academic secretary, Institute of Mathematics and Mechanics of the Russian Academy of Sciences (Ural branch), Associate Professor, Ural Federal University.

E-mail: [email protected]