Расчет оболочек вращения переменной толщины при осесимметричном нагружении по методу квадратур Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР

© 2007 И. С. Ахмедьянов Самарский государственный аэрокосмический университет

Рассматривается применение численного метода квадратур к интегрированию дифференциальных уравнений изгиба оболочек вращения переменной толщины при осесимметричном нагружении. Исходная система дифференциальных уравнений преобразуется в интегральную. Ко всем появляющимся интегралам с переменными верхними пределами применяется квадратурная формула трапеций, что позволяет составить систему линейных алгебраических уравнений для определения значений всех искомых функций с заданным шагом t. В результате удается получить численные значения частных решений системы дифференциальных уравнений, и построить ее общее решение, содержащее произвольные постоянные.

Основные обозначения

OX, OY, OZ - оси прямоугольной системы координат;

в- угловые (географические) координаты точки срединной поверхности оболочки вращения;

e1 ,e2,e3 - единичные векторы касательной к меридиану, касательной к параллели и нормали к срединной поверхности оболочки;

R1 -R2 - главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки;

г - радиус параллели срединной поверхности оболочки вращения;

u,w -проекции полного перемещения точки срединной поверхности оболочки на

направления ортов e1 и e3;

ur,ux - радиальное и осевое перемещения точки срединной поверхности оболочки вращения;

$1 - угол поворота нормали к срединной поверхности оболочки вокруг орта e2;

§ - толщина оболочки;

N1 ,N2 ,Ql - погонные нормальные и

перерезывающее усилия в сечениях оболочки;

Qr,Qx - погонные радиальное и осевое усилия в сечениях оболочки;

M1 ,М 2 - погонные изгибающие моменты в сечениях оболочки;

E, т - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки;

D = E8 712(1 -т2) - жесткость сечения оболочки на изгиб.

Принятая система координат и положительные направления сил, моментов и перемещений показаны на рис. 1-3.

1. Основные соотношения моментной теории изгиба оболочек вращения переменной толщины при осесимметричном нагружении

1.1. В [1] для исследования напряженно-деформированного состояния оболочки вращения переменной толщины получена следующая система дифференциальных уравнений:

у1 = апУ1 + а12 у 2 + а1з Уз + Ад ,

у 2 = а 22 У 2 + а 24у 4 + f2 д ,

У3 = а31У1 + а33У3 + fзq,

V 4 = а 42 У 2 + а 43 У 3 + а 44 У 4 + Л д . (1)

Здесь

иг а

VI =T- У 2 = А,

п

Qrr МХГ (2)

Уз = EпГ- У* = ЕП2~;

Епг0 Еп г0

П - толщина оболочки в некоторой характерной точке меридиана;

Рис. 3 229

ctgq i

an = -m1—- an =~T' r h

al3 = lr°^ m ) ctg0 cos 0,

8 r

a22 = all - a24 id

12h 2lr° (l - m 2) d 3rsinO

a

31

r°r sin в ’ a33 - a11

i8

3

ctg0 cos 0,

a42 =-----------r

42 12h 2f°,

a43 a12 , a42 a11 ;

(3)

В выражениях (1) штрих означает производную по аргументу X.

Соотношения (1) являются обобщением уравнений, приведенных в [2], на случай оболочки вращения переменной толщины.

1.2. Через основные неизвестные, входящие в (1), можно выразить остальные искомые величины [1, 2]:

V (X)

N = Qrcos 0 + -J^-sin 0,

2р г

V (X)

Q1 = Qr sin 0- _ ^ cos 0,

2p r

(6)

= -1 (1 - m2) Vg) = °

f1q = 2pEh dr cosq, f2q ■

Ehr°

i

4q

2pEh 2 r°

Vx (X) + r m^^+—т qr 2pr sin0

V (X) ctge.

(4)

u

N2 = mN + E8—, r

E83 cos 0

M 2 = mM + —-----------------J

12 r

u = ur cos 0 + ux sin 0, w = u sin 0 - u cos 0,

(7)

(8)

(9)

qr = q1 cos 0 + q3 sin 0, qx = q1 sin 0 - q3 cos 0;

r x x=i;

x - расстояние плоскости произвольной параллели оболочки от ее верхнего края в = a с радиусом параллели r° (рис. 2); l - длина (высота) оболочки, измеряемая вдоль ее оси вращения; Vx (X) - проекция на ось x равнодействующей всех внешних сил, приложенных к части оболочки, ограниченной параллелями с радиусами r° и r; Px - равнодействующая усилий, приложенных к верхнему краю оболочки (s = 0, X = 0) (рис. 3).

Коэффициенты atj являются функциями x.

ux

C + h j zdx.

/<, ч l ictgQ

Z (X)=-^ У + У2 +

rh

+

+

ir° (1 - m2 )cos 0

8r

У3 +

Ы 'Жт 0,

2p Eh 8 r

(1°)

где С - произвольная постоянная, определяемая из условия закрепления оболочки в осевом направлении.

2. Интегрирование системы уравнений (1)

2.1. Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую неоднородной системе (1):

l

У І =1 акУк, І = 1,2,3,4.

І

к=1

(11) Г‘‘ = іу-к + -атУ„„

Интегрирование обеих частей каждого из уравнений системы (11) от некоторого начального значения Х0 до произвольного значения

х =Х0 + а

(г =1, 2,..., і - постоянный шаг интегрирования) дает

Ун = Уі,о + І^/к. к=1

(12)

Здесь

у* = Vі* (Х, )=! а ]куЛ,

(13)

^к = і (аік,0 Ук,0 + аік,1 Ук.1),

2

(14)

где

аік,0 = аік (Х0), аік,1 = аік (Х1), Ук,0 = Ук (Хо), Ук,1 = Ук (Х1).

Для і > 2 формула трапеций дает

У/к = V, -1+2 (аік,і-1 Ук,і-1+аік,,Ук,І).

(15)

2

где будет

^ = РгХ + Іаік,і-^.Ук,і-1

для і > 2 и

і ' ік і ^1 = ^ аік,0 Ук,0

(16)

(17)

(18)

У,,о = У, (Хо), У л = У-(х).

Для вычисления интеграла (13) воспользуемся квадратурной формулой трапеций. Будем иметь для г=1:

для г=1.

Внося (16) в (12), после некоторых преобразований получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для

определения значений функций у- (-=1,2,3,4) при X = Хг по их предшествующим значениям У-0 ,У-,1 ,...,У --г—1 :

А11,іУ1,і + А12,іУ2,і + А13,іУ3,і = В1,г , ^22,іУ2,і + А24,іУ4,і = В2,і ,

А31,іУ1,і + А33,іУ3,і = В3,і ,

А42,іУ2,і + А43,іУ3,і + А44,іУ4,і = В4,і ■

Здесь (і, к = 1, 2, 3, 4) і, =-і' * к;

=1 - {аи,;

(19)

(20)

Здесь

——1 = а1к (Хг—1 ) , — = а-к (Хг ) ,

Ук, г—1 = Ук (Хг—1 ) , Ук, г = Ук (Хг ) .

Выражения (14) и (15) можно представить в таком виде (г > 1):

11 12 13

В1,г = У1, 0 + Рг + Рг + Рг ,

22 24

В2 ,г = У 2,0 + ^ + Р, ,

31 33

В3,г = У3,0 + Р, + ^ ,

42 43 44

В4,г = У 4,0 + Рг + ^ + Ъ ■

(21)

2.2. Задаваясь различными совокупностями значений У-0 (- = 1, 2, 3, 4), можно,

используя соотношения (19), построить все частные решения однородной системы уравнений (11).

0

Первые два частных решения где Д, - значение определителя (22) при

(Уі1 -У21 -Узі , У41 ) и (Уі2 , У22 , Уз2 , У42 )

найдем

путем интегрирования от начального значения Х0 = 0 с заданным шагом і при начальных условиях по верхнему краю оболочки 0 = а:

У11,0 = 1 У 21,0 = °’ У31,0 = °’ У 41,0 = 1

для первого решения и условиях

Х= 0.

В нашем случае согласно (3)

«11 + «22 + «зз + «44 = 0 .

Поэтому

D(x) = D0 = const .

(23)

У12,0 0, У 22,0 1, У 32,0 1, У 42,1

0

для второго решения.

Полученные таким образом решения будут “возрастающими” по мере удаления от верхнего края оболочки вниз.

Третье (у 13 ,у2з ,Узз , У 43) и четвертое

(У14 , У24 , У34, У44) решения целесообразно

строить интегрированием от значения Х0 = 1

с отрицательным шагом t (I < 0 ) при начальных условиях

У13,0 = 1, У 23,0 = 0, У33,0 = 0, У 43,0 = 1

и, соответственно,

У14,0 = 0, У24,0 = 1, У34,0 = 1, У44,0 = 0 .

Условие (23) можно использовать для контроля правильности вычисления значений

функций У11 ,...,У44.

2.4. Частное решение (У1д,У2д,Узд,У4д)

системы (1) , соответствующее заданной поверхностной нагрузке, целесообразно искать, применяя метод вариации постоянных [3]:

Уп = 1 АУл, j = 1-2-3-4.

i=1

(24)

Здесь У г - совокупность всех линейно независимых решений системы однородных уравнений (11), Ц(Х) - функции, определяемые из соотношений

x

d, (x)=j D(XdX

(25)

x

При этом получаются решения, “возра- для 1= 1, 2 и стающие” при движении от нижнего края оболочки вверх.

2.3. Признаком линейной независимости решений (у11 ,...),..., (у14 ,...) является неравенство нулю определителя

D, (X)=( D;(x)dx

(2б)

для г= 3, 4.

Сами производные Д'(Х) (г = 1,2,3,4)

D(X) =

Уіі У12 Уіз Уі4

У21 У 22 У23 У24 У31 У32 y33 У34 У41 У42 У43 У44

согласно методу вариации произвольных постоянных находятся из зависимостей

(22)

I Di;y,i= Л

В [3] показано, что Ґ X

D(X) = D0 exp J(a11 + • + a44 )dX

или

[Y ][Z ] = [F ]. Здесь

(27)

1

i=1

М = [у -к (Хг)], -,к = 1,2,3,4,

[7 ] = [Д Д Д' Д]т,

] = [/1д У2 д f3q /4 д Г.

Решая систему (28), получаем значения производных Dг/(X) для последующего интегрирования по (25) и (26).

2.5. Располагая всеми частными решениями У11 ,...,У44,У1д,...,У4д , можно построить и общее решение системы(1):

44

У1 = I СкУ1к + У1д , У2 = I СкУ2к + У2д ,

Здесь а, Ь - большая и малая полуоси эллипса, вращением которого получается срединная поверхность рассматриваемой оболочки; с - расстояние верхнего края оболочки от ее теоретической вершины.

Из (31) находим

r = a.

где

1 -

І2 k - bX

x

(32)

j = і-- X = -b’^ r

Имея в виду, что

k=1

k=1

dr 1 dr ctgB = — = —- = dx І dX

Уз = I C>3k + Уз, , У4 = I C^ + У4„. (29) из <32> выводим

k=1 k=1

Здесь С1 ,С2 ,С3 ,С4 - произвольные постоянные, определяемые из граничных условий.

По выражениям (29) легко вычислить и значения основных искомых функций

и Ы^. и = пУ^ а1 = У2,

a2

ctge = -

br

(33)

По значениям ctg0 можно определить и sin 0.

3.2. Примем, что толщина 8(X) рассматриваемой оболочки изменяется вдоль меридиана ее срединной поверхности по закону

d(X) = h0 -(h0 - h)

rr Qr = Eh± Уз, M1 = Eh2 ± y4.

(30)

2 s-

L

2

L

(34)

3. Числовой пример

3.1. В качестве примера рассмотрим оболочку вращения переменной толщины, срединная поверхность которой представляет собой пояс эллипсоида вращения (рис. 4). Оболочка сверху имеет отверстие, закрытое абсолютно жесткой крышкой. По нижнему краю оболочка жестко защемлена. Уравнение срединной поверхности оболочки:

Здесь ^ - расстояние произвольной точки меридиана срединной поверхности оболочки от ее верхнего края, измеряемое вдоль меридиана:

f(X) =ІJ -Пг:

0 sin В

(35)

r2

a

+

b-c-x

2

: 1.

(31)

Ь = ^ (1) - полная длина меридиана оболочки, п0 ,п - толщины оболочки при Х = 0 и, соответственно, при Х =1 .

3.3. Геометрические параметры оболочки примем следующими:

b

а = 1000мм, Ь = 800мм, с = 32мм, I = 288мм,

к0 = 6мм, к = 3мм .

Модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки:

Е = 6,8 • 104 МПа, т = 0,3.

Таблица 1

В таблице 1 представлены значения меридиональных ( с—1, о+1) и окружных ( с~22, о+2) напряжений в точках внутренней и наружной поверхностей рассматриваемой оболочки при действии на нее равномерного

внутреннего давления д3 = 0,1 МПа. Напряжения даны в МПа.

Шаг интегрирования ^ = 1/2000.

X в, мм 0 —1 о +1 012 0 2+2

0 0 21,91 1,213 6,572 0,364

0,1 106,4 10,28 13,88 10,21 10,70

0,2 189,1 12,99 14,17 12,58 12,88

0,3 259,0 14,85 14,98 13,35 13,40

0,4 320,6 15,99 16,06 13,80 13,84

0,5 376,4 16,91 16,93 14,17 14,20

0,6 427,8 17,39 17,82 14,39 14,54

0,7 475,4 16,77 19,40 13,92 14,79

0,8 520,2 15,35 21,31 11,77 13,81

0,9 562,6 17,66 18,92 8,356 9,133

1,0 603,0 33,37 2,570 10,01 0,771

Список литературы

1. Ахмедьянов И. С. Расчет оболочек вращения переменной толщины при осесимметричном и антисимметричном нагружении/ Самар. гос. аэрокосмич. ун-т. - Самара, 1999. - 46 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.12.99, N 3765-В99.

2. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. - М.: Машиностроение, 1977.

3. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Изд. 6-е. - М.: Гостехиздат, 1953.

DESIGNING VARIABLE-THICKNESS REVOLUTION SHELLS FOR THE CASE OF AXIALLY SYMMETRIC LOADING USING THE QUADRATURE METHOD

© 2007 I. S. Akhmedyanov Samara State Aerospace University

The paper deals with the application of the numerical quadrature method to integrating differential equations of variable-thickness revolution shells for the case of axially symmetric loading. The original system of differential equations is transformed into an integral one. The trapezoid quadrature formula is applied to all the integrals with variable upper limits. This makes it possible to set up a system of linear algebraic equations in order to determine the values of all the functions desired with the prescribed step t. As a result we manage to obtain numerical values of special solutions of the system of differential equations and its general solution containing arbitrary constants.