Осесимметричная деформация мягкой армированной нитями тороидальной оболочки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3:517.925

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 3

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ МЯГКОЙ АРМИРОВАННОЙ НИТЯМИ ТОРОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ*

Е. В. Полякова1, П. Е. Товстик2, С. Б. Филиппов3

1. С.-Петербургский государственный университет технологии и дизайна, д-р техн. наук, профессор, ekpol@mail.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, peter.tovstik@mail.ru

3. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, s_b_filippov@mail.ru

1. Введение. Рассматривается осесимметричная деформация тороидальной оболочки, образованной сворачиванием в тор мягкой цилиндрической оболочки длины L и радиуса R. Оболочка подкреплена равномерной сетью из двух систем нитей, расположенных по параллелям и меридианам. В нерастянутом положении длины всех нитей, расположенных по параллелям и меридианам, соответственно равны L и 2nR. Торобразная оболочка находится под действием внутреннего давления. Данная работа является продолжением работы [1]. В отличие от [1] учитывается как жесткость на растяжение нитей, так и жесткость самой оболочки, которые считаются нелинейно упругими. Как и в [1], предполагаем, что нити расположены достаточно часто, поэтому после осреднения получаем двухмерную упругую среду, которая является мягкой оболочкой. Теория мягких оболочек описана в работах [2-4], в [4, 5] рассматриваются мягкие оболочки, образованные системами нитей.

Основная особенность мягкой оболочки заключается в том, что она не выдерживает сжимающих напряжений. В связи с этим при ее деформации могут появляться зоны с одноосным напряженным состоянием. В частности, в рассматриваемых ниже задачах в равновесном положении все нити, идущие по меридианам, натянуты, а часть нитей, идущих по параллелям, может быть ненатянутой.

2. Основные уравнения. Введем обозначения: sо —длина дуги меридиана до деформации, отсчитываемая от крайнего правого положения O (основная независимая переменная), 0 < sо < l; s(sо) —длина дуги после деформации; r(so) —радиус параллели; ¿(so) —высота параллели над точкой O; Ai(so), A2(so) —кратности удлинений меридианов и параллелей. Имеют место геометрические соотношения

Ai = — А2 = - R = —

ds0' R' 2п' ,

0 (2.1)

dr dz 1 d,9 1 cos 9

— = - smfl, — = со sO, — = —, — = -,

ds ds Ri ds R2 r

где Ri, R2 — радиусы кривизны поверхности, 9 — угол между касательной к меридиану и вертикальным направлением (рис. 1).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10.01.00240а) и Федерального агентства по образованию Минобрнауки РФ (проект 2.1.2./13091). © Е.В.Полякова, П. Е. Товстик, С.Б.Филиппов, 2011

Рис. 1. Тороидальная оболочка.

Уравнения равновесия в проекции на касательную к меридиану и нормаль к оболочке дают

сКгТг) ¿в

+ Т2 яш в = 0,

и+и Й1 Й2

(2.2)

где ц — внутреннее давление, а усилия Т и Т2 отнесены к единице длины после деформации. Эти усилия складываются из сил натяжения нитей и усилий, возникающих при деформации оболочки.

Как оболочку, так и нити считаем изготовленными из нелинейно упругих несжимаемых однородных изотропных материалов с упругими потенциалами [6, 7]

^ФдА!,А2,Аз), г = 1, 2, 3,

(2.3)

где Ог —константы материала, в общем случае различные для нитей и оболочки. В случае малых деформаций Ог — модуль сдвига. Для нитей, идущих по меридианам и параллелям, считаем г = 1 и г = 2 соответственно, а для материала оболочки — г = 3.

Примем, что нити находятся в одноосном напряженном состоянии. Тогда для нитей, идущих по меридианам, с учетом несжимаемости материала (АхА2Аз = 1) имеем А2 = А3 = А- 1/2 и потенциал (2.3) принимает вид

О1Ф1(А1,А-1/2,А-1/2) = О1 Ф 1(Ах)

а сила натяжения нитей

Т/ =

<й>1 ¿А1

(2.4)

(2.5)

где $1 —площадь поперечного сечения нитей до деформации.

Для нитей, идущих по параллелям, в формулах (2.4) и (2.5) индекс 1 следует заменить на 2.

Для участков оболочки, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, потенциал (2.3) принимает вид

ОзФз(А1, А2, (А1А2Г1) = ОзФз(А1, А2), и истинные напряжения вычисляются по формулам

дФз

АгОз

дАг

1, 2.

Теперь усилия, входящие в уравнения (2.2), равны

Оз^о дФз

Т1

Сф0 <9Ф3 С^Бг ¿Ф1

А2 дА1

А2 ¿А1

Т2

А1 дА2

+

О2 Ж2^2 ¿Ф2

А1

¿А2

(2.6)

(2.7)

(2.8)

а

где N1 и N2 — число нитей (на единицу длины в поперечном направлении) в положении до деформации для меридианов и параллелей соответственно, Ло — толщина оболочки до деформации.

Если на некотором участке формула (2.8) дает Т2 < 0, то на этом участке реализуется одноосное напряженное состояние и в соответствии с гипотезами мягких оболочек в системе (2.2) следует считать Т2 = 0.

Найдем массу газа т, заключенного внутри тора. Предположим, что заполнение оболочки происходит при постоянной температуре. Тогда в соответствии с законом Бойля—Мориотта величина т пропорциональна произведению давления газа р на объем V, заключенный внутри оболочки после деформации:

т = кру = к(ро + ц)у, V = —2п ^ г! ¿г, (2.9)

где ро — атмосферное давление, к — коэффициент пропорциональности, а интегрирование осуществляется по контуру меридионального сечения.

3. Безразмерные переменные. Для удобства интегрирования системы уравнений, приведенных в п. 2, введем безразмерные переменные по формулам

z 1 Р и P0R

z = ~, so = pp, р = Q = Po = W

T1A2 T2A1 GiNiSi. G3

t\ =-, t2 = -, Qi =-, i = Y111 g 3 = —,

Go ho Go ho Go ho Go

(3.1)

где Go —произвольно задаваемый модуль сдвига, ц < 0.5, а параметры gi характеризуют относительную жесткость нитей по сравнению с оболочкой. При этом без нарушения общности за счет выбора Go любая из величин gi может быть принята равной 1.

Считая основными неизвестными величины 0(y),ti(y), A2(y),z(y), 0 ^ ^ ^ 2п, запишем систему уравнений

d0 и - . dt1 - .

— = —(А1А2Ц? - t2 cost*), — = -/xi2 sin в,

1 (3.2)

dA2 л • a dz \ a

—— = —yU.Aismfc', — = yU.Aicosfc',

где

, Л . дФз d^ 1 дФз d<!2 „ , . . .

ii = Ji(Ai, A2) = £3—-+ £1—-, h = +32-TT-, h = max{t2,0}. (3.3)

dA1 dA1 dA2 dA2

При численном интегрировании системы (3.2) при вычислении правых частей приходится находить величину A1 из уравнения ¿1 = /1 (A1, A2).

В силу симметрии задачи относительно плоскости z = 0 при отыскании периодического решения системы (3.2) достаточно удовлетворить граничным условиям

0(0) =0, z(0) = 0, 0(п) = п, z(n) = 0. (3.4)

В безразмерных переменных величина (2.9) равна

то = 4irkR2Goho(Po + Q)V, V = - [ z\2—dtp. (3.5)

Jo #

Рассмотрим частный вид упругих потенциалов в (2.3). Пусть функции Ф^ одинаковы и имеют вид

Ф4(Аь АЗ, ЛЗ) = + Л| + А§ - 3), ¿ = 1,2, 3, (3.6)

что соответствует неогуковскому потенциалу [7]. Тогда безразмерные усилия ¿1, ¿2 будут равны

¿1 = Л = 93 ~ + Э1 - , ¿2 = 93 (А2 ~ щз^ + 91 (А2 ~ ц

12 1 12 2(3.7)

Функция /1 (Л1, Л2) является монотонно возрастающей функцией Л1, поэтому уравнение ¿1 = Д(Л1,Л2) относительно Л1 имеет единственное решение. Если в системе (3.2) за счет выбора О о положить

1 п 1

01 = 3> 52 = 3' 03=0, Хг = 1+£г, А» -~ Зе», г = 1,2, (3.8)

то эта система перейдет в рассмотренную в [1] систему, описывающую деформацию торообразной оболочки с нитями, в которой нити деформируются по линейному закону, а жесткость оболочки игнорируется.

4. Алгоритм численного интегрирования и некоторые результаты. Используем тот же алгоритм пристрелки в сочетании с движением по параметру, что и в [1, 8]. Задавая величины Л2 и ¿1, численно решаем задачу Коши для системы уравнений (3.2) с начальными условиями

0(0) = 0, ¿1 (0)= , Л2(0) = Л0, г(0) = 0. (4.1)

После этого величины Л°° и определяем из уравнений

0(п) = п, г(п)=0. (4.2)

Пусть нити, идущие вдоль меридианов и параллелей, одинаковы, т. е. возьмем 01 = £2. Для удобства сравнения относительного влияния жесткости нитей и самой оболочки будем считать, что 01 + 03 = 1. Возьмем ^ = 0.3 и рассмотрим три случая:

(1) 01 = 1,03 = 0; (2) 01 = 03 = 1/2; (3) 01 = 0, 03 = 1. (4.3)

В случае (1) учитывается только жесткость нитей, в случае (2) влияние жесткости нитей и оболочки одинаково и в случае (3) нити отсутствуют.

Расчеты показали, что результаты в трех названных случаях различаются незначительно, поэтому подробнее рассмотрим случай (2), для которого результаты приведены в табл. 1.

Таблица 1. Деформация тора в зависимости от давления Q при дх = дз = 1/2

Я ¿1(0) Л2(0) А2(тг) ¿2(тг) ¿1(0) Л2(0) А2(тг) ¿2(тг)

0.4 0.100 1.092 0.513 -3.636 14.622 12.197 5.207 2.189

0.7 0.196 1.148 0.551 -2.944 9.342 6.959 2.977 2.920

1.0 0.308 1.202 0.588 -2.394 5.778 4.852 2.086 1.962

1.5 0.547 1.304 0.652 -1.629 3.683 3.180 1.394 1.108

2.0 0.936 1.468 0.741 -0.862 2.406 2.257 1.038 0.441

2.2 1.318 1.645 0.823 -0.361 1.780 1.883 0.912 0.042

2.223 1.509 1.741 0.862 -0.170

Существует предельное давление Q = = 2.223, при превышении которого равновесные положения отсутствуют. При ( < имеются два равновесных положения— докритическое и закритическое. Результаты для них приведены в левой и в правой частях таблицы соответственно. Для докритических положений равновесия деформации растут с ростом давления, а для закритических положений наблюдается обратная зависимость. У докритических положений равновесия вблизи точки р = п напряженное состояние одноосно, о чем говорит знак у величины ¿2(п).

Рис. 2. Зависимость между кратностью удлинения Л2(0) и давлением.

Для сравнения результатов в случаях, указанных в (4.3), на рис. 2 для двух предельных случаев (1) и (3) (при которых учитывается жесткость либо только оболочки, либо только нитей) приведены графики зависимости между кратностью удлинения Л2 (0) крайней параллели и безразмерным давлением (. Для промежуточного случая (2) график располагается примерно посередине между кривыми, показанными на рис. 2.

Есть основания предполагать, что докритические положения равновесия устойчивы (по крайней мере в классе осесимметричных деформаций). Что касается за-критических положений равновесия, то их устойчивость зависит от способа нагру-жения. Если при нагружении выдерживается постоянное внутреннее давление (, то они неустойчивы. Если же в оболочку закачивается фиксированное количество газа, то, по-видимому, устойчивыми могут быть и закритические положения равновесия. Эти утверждения нуждаются в строгой проверке, особенно с учетом возможной бифуркации в неосесимметричные формы равновесия.

5. Приближенное решение для полностью растянутой тороидальной оболочки. Предположим, что ¿2 ^ 0 при р € [0, п], и введем новые переменные по формулам

¿1 = ма, Л1 = 1 + мв, Л2 = 1 + М1, ¿2 = % = мС Система уравнений (3.2), (3.7) и граничные условия (3.4) примут вид

¿а х ■ о

— = —Ц0 8И1 0,

ар

¿0 1

— = —[(1 + /-¿/3) (1 + А47)<3 ~~ цбсовв], ар а

= (1 + АФ) сое в, = -(1 + АФ) вт в,

ар ар

(5.1)

М" = (91 +5,з)(1 + М/3) - 91 93

(1 + Мв)2 (1+ мвР (1 + М7 )2' (52)

32 Зз (5.2)

М = (92 + 9з)( 1 + М7) " " (1+М7)3(1+м/ЗГ

в(0) = с (0) = С (п)=0, в(п)= п. (5.3)

Рассмотрим случай ^ ^ 1. Подставим в (5.1)-(5.3) асимптотические разложения

а = ао + Ма1, в = во + мвъ 7 = 7о + М71,

(5.4)

6 = ¿о + Мь в = во + С = Со + Кь

В нулевом приближении получим

ао = д, во = у, Со = ят у, 7о = соя у + ао,

во = А — А27о, 6о = Аз7о + А4,

где

Ах = . 9 9 , = АЗ = 4(73 + 3(72 - 2(73= дА2, 4дз + 3^1 д

ао — произвольная постоянная, которая находится при построении первого приближения.

Решение системы уравнений первого приближения

d«1 d01 «1 ¿o

—— = -д0 sin у, — = р0 + 7о - 77 - 77 cos d<^> d<^> Q Q

dZ1 д a • dY1 „ • л

-p- = Po cos tp — (?1 Sin <fi, —— = — Po Sin If — (?1 cos

(5.5)

удовлетворяет граничным условиям

01(0) = Z1(0) = 01(п) = С1(п)=0. (5.6)

Первое уравнение системы (5.5) имеет решение

A3

«1 = (А3а0 + Аа) cos ip + — cos2 ip + aiQ, (5.7)

где a1 —произвольная постоянная. Подставляя выражение для «1 во второе уравнение (5.5), с учетом первого условия (5.6) находим

c

01 = (A-3c)^ + Bsin^- -sin2^, (5.8)

где

А А ^ (Л А \ R 1 4 2(а0Аз+А4) A3 А = Ai + а0(1 - А2) - аь В = 1 - Л2----,

Равенство 01 (п) = 0 будет выполняться, если

A = 3c. (5.9)

Из третьего уравнения (5.5) и граничного условия Z1 (0) = 0 следует, что

1 B - A2 3

Ci = + ^2+ ~~ а0А2) sin^ н----sin2 ip + csin f.

Принимая во внимание граничное условие С1(п) = 0, получаем равенство В + А =0, из которого вытекает, что

( - 2А4

ао

2Аз

Подстановка выражения для ао в формулу (5.9) позволяет найти а1:

| (1-А2)(д-2А4)

а-1 = Ах Н--—--3с.

2Аз

Функция 71 определяется с точностью до постоянного слагаемого а2, которое можно найти, построив второе приближение.

Условие ¿2 ^ 0 при р € [0, п] является необходимым для корректности полученного решения. Подставив в неравенство ¿2 ^ 0 приближенное выражение ¿2 — М^о, получим ( ^ (о, где (0 = 2А3. Если выполняются равенства (3.8), то (* = 2п, что совпадает со значением, найденным в работе [1].

Величина (*, для которой асимптотическим методом получено приближенное выражение (0, представляет собой характерное значение безразмерного давления (. В случае ( < (* часть оболочки покрыта складками, а при ( > (* оболочка полностью растянута.

В табл.2 приведены значения (* для трех случаев (4.3). Во втором и третьем столбцах содержатся значения, полученные с помощью численного интегрирования системы (3.2) при м = 0.1 и м = 0.01. В четвертом столбце приведены результаты, найденные по формуле (* = 2А3.

Таблица 2. Значения <* для случаев (4.3)

Случай Я*

ц = 0.1 ц = 0.01 Асимптотика

(1) 4.12 5.71 6.00

(2) 4.59 6.15 6.43

(3) 4.71 5.78 6.00

Результаты, приведенные в табл. 2, показывают, что погрешность асимптотических формул уменьшается с уменьшением параметра м.

6. Приближенное решение для частично растянутой торобразной оболочки. Пусть ¿2 > 0 при р € [0, р*], ¿2 < 0 при р € [р*, п]. Тогда в области р € [0, р*] идущие по параллелям нити растянуты, а область р € [р*, п] покрыта поперечными складками. При сделанных предположениях имеют место равенства

¿2(р*) = 0, ¿(р*) = 0.

(6.1)

При р € [0, р*] осесимметричную деформацию торобразной оболочки описывает система уравнений (5.1), (5.2). Система уравнений для функций а', в', 7', 0' и £', заданных в интервале р € [р*, п], имеет вид

¿а' ¿0' ( .. . ..

ар ар а'

= (1 + ц/З^совв', = -(1 + М/5') втб»', ар ар

(6.2)

цо! = (ffi + g3)( 1 + nfi') - gl - f? --2". (6.3)

(1 + ^e')2 (1+ )3(1 + my')2

Решения систем (5.1), (5.2) и (6.2), (6.3), удовлетворяющие граничным условиям 0(0) = Z (0) = 0, 0' (п)= п, Z'(n) = 0, (6.4)

a(f* ) = a' (у*), 0(f*) = 0'(f*), Y(f* ) = Y'(f*), Z (f* ) = Z'(f*), (6.5)

ищем в виде (5.4). Для приближенного определения неизвестного параметра f* используем асимптотическое разложение у* = fo + .

В нулевом приближении получаем те же результаты, что и в случае полностью растянутой торобразной оболочки:

ao = «o = Q, 0o = 0o = f, Zo = Zo =sin f, Yo = Yo = cos f + ao, eo = eo = A1 - A2Yo.

Из второго равенства (6.1) вытекает, что

Ад

а0 = - eos ipo - • A3

Величина определяется при построении первого приближения.

При ¡р ^ ^>о система уравнений первого приближения совпадает с системой (5.5). Для ¡р ^ ^о она принимает вид

d0i

dip ' dip Po + lo q , —!- = /?o cos — sin f, ~= sin ip — 0Í cos ip.

(6.6)

Решения систем (5.5) и (6.6) удовлетворяют граничным условиям

01(0) = Zi(0) = 0' (п) = Z' (п) = 0, (6.7)

a i(^o) = а^^ 0 i(^o) = 0' ^ Zi (^о) = Zí ^ Yi(^o ) = Yi (Ы. (6.8)

В рассматриваемом случае для определения функций ai(^) и 0i(<£>) годятся формулы (5.7) и (5.8).

Принимая во внимание первое уравнение (6.6) и первое условие (6.8), получаем

а[ = ai(yo) = —2" cos2 + ai<5'

Из второго уравнения (6.6) и третьего условия (6.7) следует, что

0i = (A + 2ccos2 ) (^ - п) + (1 - A2)sinу>, (6.9)

Подстановка выражений (5.8) и (6.9) во второе условие (6.8) дает формулу

(A/c + 2 cos2 ^>0)п = 3^0 — 5 sin<^>0 cos <^>0 + 2^0 cos2 <^>0. (6.10)

Ввиду того, что для частично растянутой торобразной оболочки равенство (5.9) не выполняется, выражение для функции Zi(y>) отличается от полученного в предыдущем разделе:

1 B — A2 3

Ci = (Ai — 00^2) sin р + (А — 3c)(pcos р — sin íp) — - (В + Ao)íp-\---—- sin 2p + с sin p.

(6.11)

Решение Z1 (у) третьего уравнения (6.6), удовлетворяющее последнему граничному условию (6.7), имеет вид

Ci = {Ai —аоA?) sinр+(А — 2ccos2 pn) [(^ — 7г) cos p — sinр) + —(тг — р) +

1 - 2A2 .

4

sin2р. (6.12)

Подставим равенства (6.11) и (6.12) в третье граничное условие (6.8). После преобразований с учетом формулы (6.10) получим уравнение для определения ро:

sin ро — cos ро

Q Q0

(6.13)

Уравнение (6.13) не имеет аналитического решения, однако его корень ро € [0, п] зависит только от одного параметра р € [0,1], поэтому для оценки величины этого корня можно использовать график, изображенный на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость фо от р. При малых р можно найти ро по приближенной формуле

ро = (3рп)1/3.

(6.14)

Для р < 0.1 формула (6.14) дает относительную погрешность менее 3%.

В табл. 3 приведены значения р* для разных Q. Во втором и третьем столбцах содержатся результаты, полученные с помощью численного интегрирования системы (3.2) при ц = 0.1 и ц = 0.01. В четвертом столбце приведено значение корня ро уравнения (6.13).

Таблица 3. Значения ф* для разных Q

Q V*

¿Í = 0.1 ¿i = 0.01 Асимптотика

i 1.28 1.20 1.19

2 1.67 1.58 1.56

3 2.04 1.87 1.85

4 2.51 2.16 2.12

Погрешность асимптотических результатов уменьшается с уменьшением ^ и Q.

7. Приближенное решение для закритических положений равновесия.

Предположим, что я ^ 1, и построим асимптотические разложения решений системы (3.2), (3.7), описывающих закритические положения равновесия. Численные расчеты показывают, что в этом случае ¿2 > 0 для р € [0, 2п]. После замены переменных

¿1 = А1 = я-1в, А2 = ¿2 = Я-1^

система уравнений (3.2), (3.7) принимает вид

¿а х • а ^ о ■ а

—— = — /лдвт 0, — = — /лрвтО, «р «р (7 1)

¿0 1

— = — (/?7<5 ~~ /лбсов в), — = [Зсовв, ар а ар

а = В1 в + 0(я3), 6 = В27 + 0(Я3), В = 01 + зз, В = 02 + 03. (7.2)

Будем искать приближенное решение системы (7.1), (7.2), удовлетворяющее граничным условиям (3.4). Подставив

в = В-1а + 0(я3), 6 = В 7 + 0(Я3) в уравнения (7.1), получим систему уравнений

(7.3)

«а „ „, оч а о,

— = -/^27 эш 0 + 0/0, Т^ = -М7Г ^п^ + Ом ),

ар ар В1

¿0 В27 3. а 3ч

— = -5^-/1—сое 0 + ОМ, =-5-сов0 + О(^3).

ар В1 а ар В1

Ограничимся построением двух первых приближений:

а = ао + яа1, в = во + мвъ 7 = 7о + М71, 6 = 6о + ^61, 0 = 0о + Я01, ^ = +

Тогда в формулах (7.2), (7.3) можно пренебречь величинами 0(я3), и для решения системы (7.1), (7.2) с точностью до величин 0(я2) достаточно найти два первых приближения к решению системы (7.3). В нулевом приближении получим

а0 = ао, 70 = В\/<3, 0о = р, =

где ао — произвольная постоянная, которая находится при построении первого приближения.

Решение системы уравнений первого приближения

йа1 ¿71 ао

—— =-В2 7овтр, —— = -— этр,

ар ар В1

а01 71Q ^27о ¿21 а1 ао .

— -соэр, —— = — соэр——— 6^1 вт ур

(7.4)

¿р В1 ао ¿р В В1 удовлетворяет граничным условиям

01(0)=0, 01(п) = 0, С1 (0) = 0, 21(п)=0. (7.5)

Два первых уравнения системы (7.3) имеют решения

«1 = В270 сову + аь 71 = ТГ саз V + ^Ь

где а1 и 61 —произвольные постоянные. Подставляя выражение для а1 и 71 в третье уравнение (7.4), с учетом первого условия (7.5) находим

ОЪг /дао _ В1В2

= -о^П*-

Второе граничное условие (7.5) будет выполнено, если 61 = 0.

Из четвертого уравнения (7.4) и третьего граничного условия (7.5) следует, что

(В2 С]а20\ аг . , Яа20 .

Принимая во внимание четвертое граничное условие (7.5), получаем равенство

В1

а0 = -^у/2В1В2. д

Постоянная а1 находится при построении второго приближения. В первом приближении

70 + М71 В1 , Л2 = -= +-п-СО!3^ 7'6

м мд д

Отметим, что В\ = В2 = 1 для всех трех случаев (4.3), поэтому полученные асимптотические формулы для них совпадают. В частности, во всех трех случаях ао = %/2/д.

В табл.4 для случая 01 = $2 = 0з = 1/2 и разных значениях параметра м приведены значения величин Л2(п) и Л2 (0) при д = 1.5. Результаты во втором и третьем столбцах найдены по приближенной формуле (7.6). В двух последних столбцах даны результаты численного интегрирования системы уравнений (3.2).

Таблица 4- Значения Л2(п) и Л2(0) для разных р

Асимптотика Числ. результаты

А2(тг) Л2(0) АгМ А2(О)

0.3 1.28 3.16 1.39 3.18

0.2 2.39 4.28 2.45 4.31

0.1 5.72 7.61 5.75 7.64

Сравнение результатов, приведенных в табл. 2, 3 и 4, показывает, что для закри-тических положений равновесия асимптотические формулы можно использовать в более широком диапазоне изменения параметра м, чем для докритических положений равновесия.

Литература

1. Полякова Е. В., Товстик П.Е., Филиппов С. Б., Чайкин В. А. Осесимметричная деформация торообразной ооболочки из нитей под действием внутреннего давления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 4. С. 98-113.

2. Алексеев С. А. Основы общей теории мягких оболочек // Расчет пространственных конструкций. М.: Оборонгиз, Стройиздат. №11. 1969. С. 31-52.

3. Балабух Л. И., Усюкин В. И. Приближенная теория мягких оболочек вращения // Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. С. 230-235.

4. Полякова Е. В., Чайкин В. А. Прикладные задачи механики мягких оболочек и тканей. СПб.: ИПЦ СПГУТД, 2006. 193 с.

5. Бидерман В. Л., Бухин Б. Л. Расчет безмоментных сетчатых оболочек // Тр. VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. С. 948-953.

6. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

7. Колпак Е. П. Устойчивость безмоментных оболочек при больших деформациях. СПб.: Изд. С.Петерб. ун-та, 2000. 248 с.

8. Григолюк Э.И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 232 с.

Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.

ХРОНИКА

24 марта 2010 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили д-р физ.-мат. наук, проф. С. А. Зегжда (СПбГУ) и д-р физ.-мат. наук, проф. Ш. Х. Солтаханов (г. Грозный) с докладом на тему «Обобщенный принцип Гаусса».

Краткое содержание доклада:

С помощью введения касательного пространства система уравнений Лагранжа второго рода записывается в векторной форме. Показывается, что уравнениями связей касательное пространство делится на прямую сумму двух подпространств. В одном из них составляющая вектора ускорения системы однозначно определяется уравнениями связей. Анализируется понятие идеальности голономных связей и него-лономных связей первого и второго порядка. Это понятие распространяется на связи высокого порядка. Дается геометрическая интерпретация идеальности связей. Формулируется обобщенный принцип Гаусса. Показывается, что он может быть применен к решению краевых задач.