Дуальность представления информационных сигналов в биосистемах: обобщенная теорема Котельникова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел V ДИСКУССИОННЫЙ РАЗДЕЛ. ПИСЬМА В РЕДАКЦИЮ. РЕЦЕНЗИИ

УДК 612.004.483:577.23

ДУАЛЬНОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ В БИОСИСТЕМАХ: ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА

КОТЕЛЬНИКОВА

А. А. ЯШИН

Медицинский институт, Тульский государственный университет, ул. Болдина, д. 128, г. Тула, Россия, 300012, тел. (4872) 35-06-73

Аннотация. В статье изложен концептуальный подход в обоснованию фактора дуальности представления информации и несущих ее сигналов в биосистемах. Целью работы является исследование соотношения между дискретными и непрерывными биоинформационными сигналами, обеспечивающими все аспекты жизнедеятельности биосистемы, и строгое физикоматематическое и биофизическое доказательство сформулированной в статье обобщенной теоремы Котельникова для биосистем. Данный материал является принципиально важным в контексте разработки информационной биофизической модели. Поставленная цель реализуется решением следующих задач. Показано, что структурированный живой организм есть сложная, упорядоченная в своей иерархии функциональная система, информационный обмен в которой осуществляется совокупностью дискретных и непрерывных (аналоговых) сигналов различной физической природы: от позиционных и электрохимических до магнитных и электромагнитных. Выполнен их анализ, сформулирована теорема о двойственности представления информации в биосистемах. С использованием физико-математического аппарата интегральных уравнений, интеграла Лебега, преобразований Фурье и Гильберта и пр. сформулирована и доказана базовая обобщенная теорема Котельникова - Яшина, утверждающая, что в биосистеме информационносодержащий сигнал обладает качеством дуализма, в котором сочетается квантовая потенциальность волновой функции и дискретность коллапсирования. Статья содержит полезное приложение.

Ключевые слова: биосистема, биоинформация, морфогенез, дискретный сигнал, непрерывный сигнал, теорема Котельникова.

DUALITY OF PRESENTATION OF INFORMATION SIGNALS IN BIOLOGICAL SYSTEMS: GENERALIZED KOTEL'NIKOV

THEOREM

A.A. YASHIN

Medical Institute, Tula State University, Boldin Str., 128, Tula, Russia, 300012, phone (4872) 35-06-73

Abstract. This article presents a conceptual approach to the substantiation of a factor of duality of information presentation, and it signals in biological systems. The purpose is to study relations between discrete and continuous bio-informational signals, which provide all the aspects of functioning of biosystems. Strict physical-mathematical and biophysical evidence of a generalized Kotelnikov theorem for biological systems is formulated. This material is essentially important in the context of the development of the information biophysical models. This aim is realized by the decision of the following tasks. It is shown that a structured living organism is a complex, organized in its hierarchy functional system in which information exchange is carried out set of discrete and continuous (analog) signals of various physical nature: from simple and electrochemical to magnetic and electromagnetic. Their analysis are developed, theorem of duality of presentation of information in biological systems is formulated. Basic generalized theorem Kotelnikov - Yashin (see explanation in the text) with the use of physical and mathematical apparatus of integral equations, the Lebesgue integral, the Fourier and Hilbert transforms etc. is formulated and proved. This theorem states that in the biosystem information-containing signal has the quality of dualism, which combines quantum potentiality of the wave function and discreteness of collapsing. This paper contains useful application.

Key words: biosystem, bio-information, morphogenesis, discrete signal, continuous signal, Kotel'nikov theorem.

Дискретные и непрерывные биоинформационные сигналы. Структурированный живой организм есть сложная функциональная система, строго упорядоченная в своей иерархии. Для поддержания жизнедеятельности такой системы необходима сложная по своей структуре, резервированная информационная связь. Более того, как утверждает Г. Хакен, в биосистеме «ничто не происходит без кооперации отдельных ее частей на высоком уровне». Поэтому, с синергетической точки зрения, роль биоинформационного обмена заключается в своего рода в управлении и контроле за преобразованием энергии на биомолекулярном уровне и

проявлением ее действия на макроскопическом уровне, то есть уровне органа, системы, организма в целом [1].

С точки зрения морфогенеза живого фундаментальную роль играет «позиционная информация» (ПИ). Именно эта информация, эволюционно заложенная в биоткани, управляет клеткой, в частности, инициирует ее дифференци-ровку (01//). То есть здесь процесс идет согласно диаграмме передачу информации в этой цепочке можно рассматривать как «длинные волны», а сам процесс осуществляется в течение жизненного цикла организма.

ДНК

Морфогенез

(1)

|клетка|

Понятно, что в этом цикле информация передается как непрерывными (по самому определению «длинной волны»), так и дискретными сигналами. Все дело во временной их протяженности; это несколько непривычно для «физически» мыслящего исследователя, но не вызывает возражений у специалиста-биолога или биофизика.

Отталкиваясь от диаграммы (1), можно ввести и понятие «сверхдлинных» или «эволюционных волн». Действительно, эволюцию живого можно рассматривать как непрерывный процесс передачи исходной информации {Inf}, заложенной в первичной живой материи, далее через образование новых видов (с учетом принципа Дарвина, принципа «пробного нащупывания» и «отсечения боковых ходов» П. Тейяра де Шардена) и до текущего существования видов (рис. 1).

{Iff} =ф> Г зв

Образование новых видов

Первичная живая материя \ ' С о суще с твор, анпе видов в текущее

=>

" -Г' -Г'

Рис. 1. Представление эволюции живого как «сверхдлинной волны»

Этот макроскопический процесс является иерархическим отображением действия «эволюционных волн» на уровне биомолекул, которые размножаются автокаталитически или за счет циклического катализа в «гиперциклах» (рис. 2) [1].

Рис. 2. Примеры гиперциклов Эйгена-Шустер: возникновение биомолекул а,, в в результате автокаталитической реакции из биоматериала (БМ) (а); цикл с участием трех типов биомолекул а, в, у (б)

Эволюционная волна по самому своему определению является непрерывным информационным сигналом, но, в то же время, каждый качественный переход - образование новой биомолекулы, нового вида - суть процесс дискретный - коллапс «волны» с передачей информации новой биосистеме.

Относительно рассмотренных выше способов передачи информационных сигналов в биосистеме можно утверждать то же самое: непрерывность сигнала непременно сочетается с его дискретностью.

В технических системах, создаваемых человеком, зачастую оба принципа передачи и обработки информации гибко сочетаются, но каналы их четко разделены, а взаимное преобразование цифровых и аналоговых сигналов выполняется с помощью специальных устройств: цифроаналоговых преобразователей (ЦАП) и аналогово-цифровых преобразователей (АЦП). В биосистемах, как мы убедились, ситуация качественно иная. Очевидно, это является специфическим законом природы, который устанавливает оптимальное и гибкое сочетание двух основных форм представ-

ления информационных сигналов: непрерывных и дискретных, или аналоговых и цифровых.

В работе ([2], С. 49, лемма 13), в контексте создания и совершенствования технических информационных систем, сформулирована лемма: «Неограниченное возрастание

роли и объема цифровой обработки и передачи информации в итоге приводит к ситуации «компьютерной патологии», что является следствием нарушения в глобальном информационном поле ноосферы априори заданного соотношения между дискретной и непрерывной формами представления информации — формулировка закона сохранения формы представления информации».

Здесь возникает вопрос естественно-философского характера: поскольку развитие информационных технологий на обозримое будущее (а это базис всех современных технологий!) ориентируется исключительно на дискретные (цифровые) носители информационных сигналов [3], то не означает ли это, что человек конструирует ш /иЬигит новую, альтернативную биологической форму жизни, которую мы пока условно называем виртуальной реальностью? Некоторые соображения на этот счет приведены в развернутом виде - в [4-7].

В то же время, как показано в, уже сейчас уровень знаний и развития технологий позволяют создавать качественно более эффективные информационные сигналы, в которых базовым носителем информационных сигналов являются непрерывные (гармонические или нелинейные) электромагнитные волны (ЭМВ) [8]. Это является тем более перспективным, что предел повышения интеграции полупроводниковых (твердотельных) интегральных схем, то есть процессоров ЭВМ, уже сейчас близок к фундаментальным физическим пределам [9]. В этом кардинальном вопросе еще имеется широкий простор для исследований.

Снова возвратимся к двойственности форм носителей биоинформации. Анализируя основные уравнения волновой и квантовой механики, то есть уравнение Леонтовича для огибающей волнового пакета и квантовое уравнение Шредингера можно провести определенную связь, например, процессов, описываемых уравнением (2), и процессов биоинформационного обмена.

■+дф й2 . , \ ТТ , (2)

I=--------Аф + и (г )ф = Нф

дt 2т

Если частица, не являясь свободной, движется в потенциальном поле и (г) (в (2) Н — оператор Гамильтона; т — масса частицы; Ь — постоянная Планка; ф — волновая функция движения частицы), то суммарная энергия Е=Ь2к2/2ш (к

— волновое число) есть сумма кинетической и потенциальной энергии. При этом, для случая множества частиц, 1¥12 можно интерпретировать как плотность вероятности одинаковых бозе-частиц в данной точке пространства [10].

Тогда, как и в квантовой механике, дуализм двух форм носителей информации можно объяснить взаимной «перекачкой» энергии в двух ее основных формах текущего проявления: потенциальной и кинетической, причем потенциальная форма соответствует волновой, то есть непрерывной, передачи биоинформации, а кинетическая — коллапсу, то есть дискретной форме передачи.

Более того, функция ¥ в (2) имеет однозначный информационный смысл; это следует из соотношения [10]:

Ь = (ф\1\ф, (3)

которое позволяет найти значение искомой физической величины L (в (2.7) Ь — соответствующий постановке задачи оператор; — символика Дирака).

Однако ассоциация биоинформационного процесса с квантовой теорией требует объяснения (для корректности и аккуратности постановки задачи) следующего, центрального факта квантовой механики: каким образом волновая функция коллапсирует, или, говоря в терминах квантовой теории, почему и каким образом квантовая потенциальность, описываемая волновой функцией (см. выше), трансформируется в «классическую реальность» при квантовом скачке? [10].

Очевидно, здесь следует (хотя и с определенными оговорками) принять концепцию С. П. Ситько [11], согласно которой живое вещество является в «квантовой лестнице» Вайсскопфа четвертым, после ядерного, атомного и молекулярного, уровнем квантования. Многое говорит за это при всей (внешней) парадоксальности такого утверждения. Но при принятии этой концепции все встает на свои места.

Таким образом, переход WnOT ^ Wx™ суть энергетически описывает коллапс волновой функции с выделением информации в любых квантовых системах, в том числе и в биосистемах. Отсюда и естественный дуализм дискретной и непрерывной форм передачи информации в биосистемах. Справедлива Теорема 1 о двойственности представления информации в биосистемах: Ритмические (циклические) процессы передачи информации в биосистеме можно рассматривать в контексте дуализма: как непрерывные, так и дискретные, причем непрерывный (волновой) процесс характеризуется квантовой потенциальностью и несет в себе интегральную информацию, а дискретный суть коллапс в волновом процессе — выделение квантов локальной информации.

Доказательство теоремы со всей очевидностью вытекает из вышеприведенных рассуждений и доводов.

Примечания к теореме 1: 1. Сказанное справедливо только для информационно открытых систем. Такими являются и классические квантовые системы, и, вне всякого сомнения, биосистемы [12]. Поясним это фундаментальное утверждение: для закрытых, то есть изолированных, систем — в информационном смысле — коллапсирование потенциальных (волновых) функций в принципе невозможно, ибо нет «приемника» выделяемых при коллапсе информационных квантов. Совершенно иная ситуация в случае открытых систем, что не требует пояснений.

2. В самое последнее время в естественных науках активно диспутируется вопрос о соотношении непрерывного (волнового) и дискретного (коллапсирующего). Более того, Ю. Орловым (Orlov Yu. Int. J. Theor. Phys, 21, 37 (1982); см. также [10]) введены в научный обиход понятия «квантовая логика» и «волновая логика». Он же обращает внимание на тот известный факт физиологии мышления, что наличествуют обратимые колебания перед принятием окончательного решения, то есть налицо процесс, поясняемый диаграммой:

Намерение

{/л/} уОсуСх-

[колебания]

>

Принятое

решения

Unf)

t

(8)

* , (4)

Обобщенная теорема Котельникова. Наряду с теоремой Шеннона, устанавливающей связь между энтропией и информацией системы, теорема Котельникова является основной в теории информации, поскольку устанавливает связь между непрерывным и дискретным сигналом в их

1

информационной адекватности

T<

2FB

(5)

Теорема Котельникова, таким образом, утверждает информационную адекватность непрерывного сигнала/(Ї) и последовательности /о, /і,. /і,., выборок из этого сигнала при соблюдения условия (5) для величины периода дискретизации Т. На этом принципе, в частности, построена работа АЦП и ЦАП системы ввода-вывода ЭВМ.

Рис. 3. Иллюстрация к теореме Котельникова

Соотношение (5) можно рассматривать в двух аспектах. Первый из них относится собственно к выбору величины Т. Для чисто гармонического, синусоидального сигнала (рис. 3, б) максимально допустимая величина Т = 0,5Тбіп, то есть этого достаточно для дискретного представления информации, содержащейся в полупериоде синусоидальной функции (сохранение информационного содержания). Теперь рассмотрим полярный случай - шумовой сигнал (рис. 3, в), для которого спектральная функция 5(ю) не имеет выраженного «центрального всплеска», более того, для нее не имеет реального смысла средняя спектральная частота, как «центра тяжести» энергетического спектра сигнала:

О) = |о|£ (о) |2 Л £ (^)|2 (6)

0 / 0 То есть, в отличие от нешумового сигнала /Ч) (рис. 3, а), для которого имеет смысл ограничение спектра 5(ю) окном наблюдения (временным окном) 2А^ (рис. 4), для шумового сигнала А^^^, то есть соотношение (5) не имеет практического смысла.

Рис. 4. Иллюстрация окна наблюдения для спектра нешумовой функции

Таким образом, при вычислении величины Т в (5) для сигналов /О с «конечным» спектром 5(ю) (рис. 3, а) используется окно наблюдения 2А^ (рис. 4), то есть учитывается не весь спектр, но свертка истинного спектра сигнала со спектром функции окна наблюдения (окна Ханна, Хемминга, Наттола, Бартлета) [14].

Для оценки текущего энергетического содержания спектра 5(ю) сигнала /() используются понятия [15] мгновенного или текущего спектра

8Т(со,і)= | wт(і + Те~1ЮТ^т (7)

где дот(т) - окно наблюдения данных длительностью Т=2А^, и мгновенной частоты, которая вводится как производная полной фазы комплексного сигнала, построенного из ис-ходного/(t) с использованием преобразований Гильберта:

1 м

г (і )= [ х (і)+ іу (і)] = — І £ (ю)є1УІЛю,

где Т - период дискретизации (рис. 3, а), Рв - наивысшая, учитываемая в (5), частота из спектра сигнала /(£).

у (t)=H И=

-dr.

(8)

(9)

Огибающая колебаний и их мгновенная частота в (8), (9) определены как модуль и производная полной фазы сигнала /(Ь) — как аналитической функции.

Соотношения (7)-(9) позволяют оценить текущие параметры энергии Е(Ш для текущей частоты спектра сигнала х(Ь)=к(Ь)сов{ф(Ь)} в отличие от обозначения /(Ь) на рис. 3, через х(Ь) мы определяем гармонический сигнал) согласно диаграмме:

у///// » со

<//////

Лы

Я(й>)

. (10)

Как правило, соотношение (7) наиболее адекватно для функций типа /(Ь), приведенной на рис. 3, то есть наиболее характерных для процессов биоинформационного обмена

— функций, описывающих процессы с медленно меняющимися амплитудой и фазой.

С учетом сказанного выше, смысл теоремы Котельникова состоит в том, что при замене непрерывной функции /(Ь) выборками {/0,/1, ...,/, ...} (рис. 3) для сохранения информационного содержания требуется сохранение в пределах окна 2А^ наблюдение энергии Е(Ь,&), несущей эту информацию.

Второй из рассматриваемых аспектов связан с тем, что условие (5) диктует выбор периода дискретизации Т, но не предъявляет требований к соотношению амплитуд /0, /1, ... , /, ... выборок. В АЦП и ЦАП это учитывается (в технической реализации) квантованием амплитуд по уровням разрядности формируемых цифровых кодов (8^14 разрядов). Нам же важно выяснить информационно- и энергосодержательный смысл различия амплитуд при дискретизации сигнала /(Ь).

Наиболее просто ответить на вопрос о энергосодержании выборок /: чем больше амплитуда выборки, тем больший парциальный энергетический вклад она вносит в общий ансамбль дискретных сигналов (выборки в их последовательности). Не столь однозначным будет утверждение о информационном коррелировании с энергосодержанием. Если обратиться к простейшему, синусоидальному сигналу (рис. 3, б), то амплитуда его единственной выборки /0 в спектре не играет роли информационного характера. В шумовом сигнале (рис. 3, в) огибающая колебаний и их мгновенная частота (8), (9) являются медленно меняющимися функциями, но вести речь о информационном содержании не имеет смысла, ибо если в соотношении (5) положить Т^0, как то и следует из вида спектра шумового сигнала, то приходим к абсурдному утверждению: энтропия 5 исчезающе мала; тогда из закона постоянства суммы энтропии и информации следует, что шумовой сигнал несет гигантское информационное содержание (?!). Впрочем, в конце работы мы еще вернемся к этому парадоксу.

5+1п/=сопвЬ (12)

Итак, в случае монохроматического (синусоидального) сигнала имеем 0(5)+1п/=сопвЬ, а для шумового сигнала 5+0(1п/)=сопБЬ.

Для всех промежуточных (реальных в биосистемах) форм сигналов справедлива Лемма 1. Информационное содержание каждой 1-й выборки в дискретизованной функции £(1), относящейся к классу измеримых, определяется как ее амплитудой I £ I, так и динамикой изменения амплитуд всех выборок слева [<1] и справа [>1] на интервале [а,Ь] окна наблюдения.

Доказательство. Выборки / можно интерпретировать как измеримые функции /(Ь), ограниченные в их совокупности как по амплитудам I / I, так и интервалам [а,Ь] дейст-

вия. Каждой выборке-функции / соответствует ее информационное содержание п, то есть функция }|/| харак-

теризует как энергетическое, так и информационное содержание функции-выборки /(Ь). Тогда, применяя процедуру почленного интегрирования, получим на интервале

[a,b] интеграл

J {Inf} f.(t )dt,

характеризующий информаци-

онное и энергетическое содержание совокупности функций fo(t),fi(t),...,f(t), ... [afh].

При T^0, что соответствует 1Чм,то есть при переходе от последовательности дискретных функций f(t) к непрерывной функции f(t) (рис. 3, а), используем теорему Лебега (доказанную в его диссертации, 1901 г.):

limj{inf}f (t)dt = J{Inf}f (t)dt . (12)

a ^ ' a

(В (12) оператор {...} означает, что непосредственно

i

интегрирование - как в смысле Римана, так и Лебега по inf

не ведется; эта характеристика является только учитываемой - допустимый формальный прием).

Смысл соотношения (12) в том, что сходящаяся последовательность измеряемых функций является измеряемой функцией (основное положение теории интегрирования по Лебегу).

Таким образом, сходимость в процессе интегрирования по Лебегу (12) однозначно указывает на информационную взаимосвязь всех выборок в окне наблюдения. Лемма доказана.

Примечание. В исследуемом процессе «дискретизация о непрерывность» для функции f(t) важную роль играет то фундаментальное свойство интеграла Лебега, что в формулировке последнего содержится восстановление естественной взаимосвязи операций дифференцирования и интегрирования — идея интегрирования как обращения дифференцирования. В общем случае интеграл Лебега есть интеграл для функции F(Qi,Zi,..., Qk), заданной на множестве (или в области) М.

Что же касается операций суммирования выборок (12), то она подчиняется правилу о счетной (конечной) ад-

j Fd( = -ZlFdZ дитивности интеграла Лебега: ^ е к== ^ , (13)

что опять-таки соответствует процессу «дискретизация о непрерывность».

Поясним содержание леммы на примере распространения импульса по нервному волокну [1,2,12].

Импульс (амплитуда колебаний) P распространяется

P=k = k_L

вдоль нервного волокна по закону ф k v ’ (14)

где Уф=м/к — фазовая скорость волны; е — энергия импульса; k — волновой вектор; k =|k | — волновое число в направлении распространения импульса; w — частота следования импульсов (для одиночного импульса-солитона соотношение (14) усложняется).

Закону (14) соответствует диаграмма являющаяся конкретизацией диаграммы (10).

Как следует из (14), (15), процесс распространения импульсов является динамическим — перенос энергии и

информации {Inf} с последовательным коллапсировани-ем {Inf j|t ^K ^{Inf j на нервных окончаниях.

Информационное содержание каждого импульса-дискрета, таким образом, в точке коллапсирования определяется как «информационная добавка» Пп/}'к ранее высвободившейся информации \^{Inf} >J; кроме того, полная

информация, необходимая, например, для совершения акта сокращения мышцы - исполнительного органа биосистемы, определяется и последующими посылками импульсов \^{1п/} <] .

Аналогично рассматриваются, в контексте леммы 1, и процессы передачи информации другими носителями биоинформации [4,9].

Для полноты иллюстрации в выбранном примере рассмотрим процесс, описываемый (14), с учетом реальной среды распространения импульсов, ибо нервное волокно с его параметрами есть для сигналов динамическая фильтрующая система, причем нелинейная; однако для наглядности рассуждений, не снимая степень достоверности, условно примем этот «фильтр» линейным.

В этом случае процесс распространения импульса в нервном волокне можно описать интегральным уравнением (ИУ).

Гh(т)у (т)с1т = f (t) ti <t < t2

(16)

где к(Ь, т) - ядро ИУ, то есть импульсная реакция (импульсная переходная функция) фильтра на входной сигнал у(Ь); выходной сигнал /(Ь) мы ассоциируем с используемой функцией (рис. 3, а).

По существующей классификации [16], уравнение (16) есть ИУ Вольтерры 1-го рода относительно у(т) при известных Н(Ь,т) и /(Ь), что отвечает условиям постановки нашей задачи.

При установившемся процессе, например, равноотстоящие посылки импульсов по нервному волокну (равномерная ходьба, дыхание и пр.), к(Ь,т)=Н(Ь-т), а сам фильтр рассматривается как стационарная, однородная система; в этом случае ИУ (16) принимает вид [16]:

’[к((-т)у()ат=/((),(1 <t < (2 (17)

(Кстати, процесс, описываемый (17), будет являться менее информационносодержащим, нежели описываемый ИУ (16)).

Условие физической реализуемости процессов, описываемых ИУ (16), (17), соответственно имеет вид: к ((,т) = 0, ( <т, к(() = 0, ( < 0,

а тот факт, что верхним пределом интегрирования в (16), (17) при условиях (18), является текущий параметр времени, свидетельствует о динамическом описании процесса.

Заметим, что если требуется учет влияния более специфических характеристик канала передачи нервных импульсов, например, специфики энергетических реакций (Ы+о К+)-обмена — функция 1(Ь) и других параметров биоткани нервного волокна — функция у(Ь), то процесс вместо (2.20) характеризуется линейным ИУ в общем виде:

] (()у{(){±)| к((,т)у(т)т /(t), ( < (2 ■ (19)

(1

Теперь предположим, что входной (неизвестный) сигнал у(Ь) в (16)-(19), есть непрерывная в окне наблюдения [а,Ь]=[ЬД2] функция, которая всегда может быть представле-

(18)

на в виде суперпозиции единичных функций-выборок, то есть 6-функций Дирака, умноженных на соответствующие амплитудные множители. Тогда реакция «фильтра» нервного волокна на этот сигнал, как следует из (16)—(19), будет представляться в виде суммы (интеграла) известных (рис. 3, а) выходных сигналов^/ = /(() . Таким образом, выходной

сигнал записывается в виде интеграла свертки

ь

/(() = \ У (т)к ((-т)Лг. (20)

Интеграл (20) равнозначен интегралу [17]

ь

/(() = [ к(т)у(( — т)т (21)

(Переход от (20) к (21) выполняется с использованием замены переменной интегрирования ( ^ ( — т).

Полученный результат (хотя и не в терминах строгого доказательства) можно трактовать в следующем смысле: реакция линейной системы на последовательно поступающие дискретные (или условно «дискретные») сигналы суть алгебраическая сумма выходных сигналов, соответствующих каждому дискрету в отдельности — с учетом фазовых сдвигов, то есть соблюдается принцип суперпозиции, математически выражаемый интегралом свертки (20), (21).

Этот, известный в теории управления [17] факт, в приложении к биосистемам служит дополнительным доказательством теоремы 1, а именно: один и тот же процесс и система, в которой протекает процесс, равнозначно описывается в терминах дифференцирования и интегрирования (дифференциальными уравнениями и ИУ). Это фундаментальное свойство основано на равнозначности представления любой непрерывной (интегрируемой - в общем случае) функции как предела последовательности дискретных функций, что в общем случае выражается теоремой Лебега (12).

С позиций спектрального анализа, если функция сигнала /(Ь) удовлетворяет условиям Дирака на любом конечном интервале и интегрируема на всей числовой оси (это всегда выполняется для биоинформационных сигналов), то справедливы взаимные преобразования Фурье:

f (x) = -\/2п Г F(m)

xdm.

(22)

(2З)

Для анализа гармонических систем спектральная функция (22) и преобразование Фурье (23) обычно записывается в форме синус- и косинус- преобразований Фурье:

FS (m) ! 12

FC (m)

=\П гf (t G(mt)dt

f (x )=л jifs м:о>* )d

(24)

(25)

m.

Преобразование (24) позволяет построить спектр функции /(Ь) (рис. 4), аналитически определить окно наблюдения 2А^, далее по (25) восстановить функцию /(х) с учетом ограничения ее спектра окном наблюдения; \ /(() — /(х)\ в этом случае будет характеризовать погрешность, то есть степень потери информации при взаимных преобразованиях сигнала, что важно в контексте предыдущих рассуждений.

С другой стороны, непрерывное преобразование Фурье (22) для ситуации биосигналов может быть дополнено дискретным преобразованием Фурье (ДПФ)

n-1

F (k )=Z f (l )e

-i (2njN )lk

(26)

где l — порядковый номер дискрета; k— временной дискрет; 2n/N — это «эквивалент» частоты w в (22).

В работе [18] К.С. Overman и D.F. Mix предложена иная запись ДПФ:

l< N/k k-1 f

f (k )= It f[1+

nN

к

k = 1,2,k, N.

(27)

(Выражение (27) получено из (26) путем преобразований: при к=1 функция /(I) умножается на ехр{-г(2п/^} и суммируется по I. Для все других целых значений к>1 функция разделяется на участки, которые укладываются в интервал 0<l<N/k).

Графически (27) представляется иллюстрацией на рис. 5; здесь петлей б условно показана комплексная экспонента, которая имеет полный период изменения в пределах исследуемого интервала времени протекания процесса для любой частоты; для непрерывного преобразования (22), (24) интервал равен Т (частота /-1/Т), а для ДПФ

(26) интервал равен 0<(^/к (на рис. 5 приведен пример для N=8 значений/(/)), причем I - не обязательно целое число.

Сущность перехода от записи ДПФ в форме (26) к форме (27) состоит в том, что последняя иллюстрирует наглядно процесс определения ДПФ функции /(I) для любого значения частоты из спектра сигнала (аналогичное (19) ^

(27) преобразование (22) дает такую же иллюстрацию для непрерывной функции /(Ь)), то есть ДПФ для любого значения частоты к в заданном интервале 0<1<№к является интегралом от суммы членов вида .../(l)?/(l+N/2)..., умноженных на экспоненту (рис. 5).

Мы столь подробно остановились на известных преобразованиях Фурье и ДПФ, что последние наиболее явно поясняют одинаковый физический смысл непрерывных и дискретных сигналов с точки зрения их энергетического и информационного содержания, о соотношении которых много говорилось выше.

/{1+2МЗ)

Рис. 5. Иллюстрация дискретного преобразования Фурье в интерпретации K.C. Over-man и D.F. Mix [18]

С учетом проведенного выше анализа, выводов из теоремы 1 и леммы 1 справедлива Теорема 2 (Обобщенная теорема Котельникова - Яшина*). Информационносодер-жащий сигнал, передаваемый в реальной (диссипативной технической, конденсированной биологической) среде об-

Связывая содержание теоремы с именем Котельникова, мы тем самым отдаем дань глубокого уважения и признательности академику Котельникову, своей знаменитой теоремой (5) впервые определившему однозначное соответствие непрерывных и дискретных сигналов.

ладает качеством дуализма, сочетая в себе квантовую потенциальность волновой функции и дискретность коллап-сирования (или дискретизации), причем информационное содержание волновой функции определяется ее спектром и энергией, а информационное содержание коллапсирую-щих дискретов - амплитудой (энергией) и динамической «позиционной информацией», содержащейся в остальных дискретах волновой функции.

Доказательство теоремы со всей очевидностью вытекает из содержания теоремы 1, леммы 1 и приведенных выше рассуждений и доводов.

Комментарии и выводы. В контексте темы настоящей статьи важно учитывать, что дискретно-волновые процессы передачи информации в биосистемах являются пространственными, поэтому в строгих терминах математической физики анализ следует вести, например, в рамках обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау (уравнения Г. Хакена [1]). Однако ограничимся полезными иллюстрациями, в частности, для учитываемых в плоскости (х, у) распространение сигнала /(Ь) реальных характеристик среды распространения: диссипация, нелинейность, дисперсионность и пр. (рис. 6, 7). В такой среде характеристики сигнала, в частности, частота является функцией координат © {«(х, у)} (рис. 6; ® — оператор вращения «текущей» координатной оси). Соответственно и вид спектральной функции Э(^) при вращении изменяется: ; изменяется и учиты-

ваемая верхняя частота &в в формуле Котельникова (5):

©{г <тт/сов(х,у)}

где &(&е) — область изменения <$е.

Изменение спектра соответствует изменению 0 {х, у} функции/(£) в данной материальной среде (рис. 7), где 7"(Т) — область изменения периода дискретизации Т. Таким образом, формулу Котельникова (5) с учетом (28) можно записать в виде:

т(сс

(28)

{3(Т )<njae (x, у)}}

ГК)'

(29)

ния сигнала

Рис. 7. Изменение функции/(Ь) в реальной среде распространения сигнала

(Мы не рассматриваем обобщение (29) на случай более сложной структуры сигнала в биосистеме — голографического; см. [19], хотя алгоритм тот же самый).

Выше мы обещали вернуться к «парадоксу» шумовой функции (см. рис. 3, в и закону постоянства суммы энтропии и информации (11)). В работе [12] исследовано явление стохастического резонанса, которое может рассматриваться в контексте темы настоящей статьи как наиболее важный практический вывод, а именно, справедлива.

Лемма 2: Перевод стохастического, в частности, шумового, сигнала, для которого S >> Inf, в сигнал с Inf >>S достигается при внешнем сигнальном воздействии, который задает ритмику — непрерывную или дискретную — и создает эффект повышения качества порядка, то есть энергетической перекачки из стохастического ансамбля в упорядоченный сигнал.

Настоящая статья вызвана к жизни простым вопросом: каково соотношение между непрерывным и дискретным представлением сигнальной функции, то есть процесса, по-преимуществу, информационносодержащего? В технических, равно как и в математических, физических, дисциплинах этот вопрос не акцентировался, а великолепная по своей лаконичности и законченности теория Котельникова дает исчерпывающий ответ. Но когда мы имеем дело с биосистемами, то есть с наиболее сложными системами из известных в природе, то для адекватного анализа информационного обмена в последних нам недостаточно существующего знания. Возможно, настоящая статья — попытка расширить толкование вопроса о соотношении непрерывного и дискретного на примере биосистем — в контексте темы настоящего исследования.

Самое существенное, когда мы имеем дело с сигналами выраженно информационными, сверхнизкой мощности — помнить о «катализирующей» роли информации: «Слова самые тихие суть те, которые приносят бурю; мысли, приносимые голубем в лапках, управляют миром».— Лучше и образнее, чем Фр. Ницше, никто об этих процессах не сказал.

Приложение. Поскольку базой статьи была теорема Котельникова (5), то для иллюстрации целесообразно представить рис. 8.

1 О 2mn -I А 2Пп

С =— j Z (a)e~™*da = — j Z (<o)e~™"da = — A n 2О J 2П W 2О I

, ч.

- - 1 ■■ Г 1' Г1 [ Гт г-1-1-■

-Д

Рис. 8. Иллюстрация к выводу теоремы Котельникова

Рассмотрим детерминированную функцию /(Ь), спектр (преобразование Фурье) Z(w) которой непрерывен и ограничен полосой частот (-А; А) (рис. 8), то есть представляет непрерывную финитную функцию частоты, равную нулю при 1^1>А:

1 а

f (t ) =— j Z (ю)ешаю

2п л

(30)

Финитную функцию Z(w) можно представить рядом Фурье на интервале (-О; О) при условии О>А:

z Н=! Се2

(31)

2Пп / \ .

е^е1а=/ (пп) 2П_—пУ' 2п —А 20 [О)

Ряд в правой части (31) является периодической функцией частоты с периодом 2О, которая совпадает с Z(w) лишь на основном интервале периодичности (-О; О) и не совпадают на остальных (±кО; ±(к+1)О; ..., к>1).

Подставляя (31) в (30) с учетом (32), получим

f (t )=-Тf inn

o>o

(33)

Выражение (33) есть интерполяционная формула, с помощью которой можно отсчетами значений функции /(Ь) в дискретные моменты времени с частотой их следования 2О > 2А (О > 0) восстановить точно все значения /(Ь) на оси времени (-^; ад) при минимально возможной частоте дискретизации 2О = 2А:

sin I Alt- —

/(')=e/i”; '1 n

Alt-т

(34)

где

Формула (34) и составляет содержание теоремы Котельникова, согласно которой детерминированная функция /(Ь), имеющая ограниченный спектр, полностью определяется своими дискретными значениями в точках, расположенных на расстоянии 2п/2А, где А — максимальная круговая частота в спектре функции /(Ь).

Таким образом, в статье рассмотрен принципиальной важности вопрос о резервировании каналов передачи информации в биосистемах, которые, в свою очередь, могут являться дискретными и непрерывными. Это позволяет выделить основные каналы передачи биоинформации электромагнитными сигналами.

Литература

1. Хакен, Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах: Пер. с анг. / Г. Хакен.- М.: Мир, 1985.

2. Нефедов, Е.И. Взаимодействие физических полей с живым веществом. Под ред. А.А.Хадарцева / Е.И. Нефедов, А.А. Протопопов, А.Н. Семенцов, А.А. Яши.- Тула: Изд-во Тульск. гос. ун-та, 1996.

3. Нефедов, Е.И. Электромагнитная основа в концепции единого информационного поля ноосферы. Философские исследования / Е.И. Нефедов, А.А. Яшин// Журнал Московского философского фонда.- 1997.- №1.- С. 5-74.

4. Яшин, А.А. Информационный обмен в живой и неживой природе и информационная виртуальная реальность /А.А. Яшин// Биомедицинская радиоэлектроника.-2000.- №12.- С. 46-57.

5. Яшин, А.А. Феноменология ноосферы: Заключительные главы - прогностика / А.А. Яшин.- Москва - Тверь

- Тула: Изд-во «Триада», 2012.

6. Яшин, А.А. Информационная виртуальная реальность / А.А. Яшин.- Тула: Изд-во «Тульский полиграфист», 2003.

7. Яшин, А.А. Феноменология ноосферы: Предтеча ноосферы. Ч. 2: Мышление и виртуальная реальность / А.А. Яшин.- М.: Изд-во ЛКИ/ШББ, 2010.

8. Яшин, А.А. Проектирование многофункциональных объемных интегральных модулей СВЧ- и КВЧ-диапазонов / А.А. Яшин, В.В. Кандлин, Л.Н. Плотникова.- М.: НТЦ «Ин-формтехника», 1992.

9. Гад, А.Я. Биофизика полей и излучений и биоинформатика. Ч. IV: Биоаналогии в технике и технологиях: Создание систем сверхбыстрой обработки информации / А.Я. Гад, А.Н. Крючков, А.А. Яшин.- Тула: Изд-во Тульск. гос. ун-та, 2000.

10. Кадомцев, Б.В. Динамика и информация. 2-е изд. / Б.В. Кадомцев.- М.: Редакция журнала «Успехи физических наук», 1999.

11. Ситько?/ С.П. Введение в квантовую медицину / С.П. Ситько, Л.Н. Мкртчян.- Киев: «ПАТТЕРН», 1994.

12. Яшин, А.А. Информационно-полевая самоорганизация биосистем / А.А. Яшин / Вестник новых медицинских технологий.- 2000.- Т. 7.- №1.- С.30-8.

13. Котельников, В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости / В.А. Котельников.- М.: Радио и связь, 1998.

14. Маршл, С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Маршл.- М.: Мир, 1990.

15. Вайнштейн. Л.А. Разделение частот в теории колебаний и вон / Л.А. Вайнштейн, Д.Е. Вакман.- М.: Наука, 1983.

16. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: Методы. Алгоритмы. Программы (Справочное пособие) / А.Ф. Вер-лань, В.С. Сизиков.- Киев: Наукова думка, 1986.

17. Розен, Р. Принцип оптимальности в биологии / Р. Розен.- М.: Мир, 1969.

18. Веселовский, В.Н. Введение в информационную теорию вирусов / В.Н. Веселовский, А.А. Яшин.- Тула: Изд-во «Тульский полиграфист», 2000.

19. Overman, K.C. A novel view of Fourier analysis / K.C. Overman, D.E. Mix // Proceedings of the IEEE.- 1981.-Т. 69.- №10.- P. 1372-3.

References

1. Khaken G. Sinergetika: Ierarkhiya neustoychivostey v samoorganizuyushchikhsya sistemakh i ustroystvakh: Per. s aeng. Moscow: Mir; 1985. Russian.

2. Nefedov EI, Protopopov AA, Sementsov AN, Yashi AA. Vzaimodeystvie fizicheskikh poley s zhivym veshchestvom. Pod red. A.A.Khadartseva. Tula: Izd-vo Tul'sk. gos. un-ta; 1996. Russian.

3. Nefedov EI, Yashin AA. Elektromagnitnaya osnova v kontseptsii edinogo informatsionnogo polya noosfery. Filosofs-kie issledovaniya: Zhurnal Moskovskogo filosofskogo fonda. 1997;1: 5-74. Russian.

4. Yashin AA. Informatsionnyy obmen v zhivoy i ne-zhivoy prirode i informatsionnaya virtual'naya real'nost'. Bio-meditsinskaya radioelektronika. 2000;12:46-57. Russian.

5. Yashin AA. Fenomenologiya noosfery: Zaklyuchi-tel'nye glavy - prognostika. Moscow - Tver' - Tula: Izd-vo «Tri-ada»; 2012. Russian.

6. Yashin AA. Informatsionnaya virtual'naya real'-nost'. Tula: Izd-vo «Tul'skiy poligrafist»; 2003. Russian.

7. Yashin AA. Fenomenologiya noosfery: Predtecha noosfery. Ch. 2: Myshlenie i virtual'naya real'nost'. Moscow: Izd-vo LKI/URSS; 2010. Russian.

8. Yashin AA, Kandlin VV, Plotnikova LN. Proektirovanie mnogofunktsional'nykh ob"emnykh integral'nykh moduley SVCh- i KVCh-diapazonov. M.: NTTs «Informtekhnika»; 1992. Russian.

9. Gad AYa, Kryuchkov AN, Yashin AA. Biofizika poley i izlucheniy i bioinformatika. Ch. IV: Bioanalogii v tekhnike i tekhnologiyakh: Sozdanie sistem sverkhbystroy obrabotki in-formatsii. Tula: Izd-vo Tul'sk. gos. un-ta; 2000. Russian.

10. Kadomtsev BV. Dinamika i informatsiya. 2-e izd. M.: Redaktsiya zhurnala «Uspekhi fizicheskikh nauk»; 1999. Russian.

11. Sit’ko SP, Mkrtchyan LN. Vvedenie v kvantovuyu me-ditsinu. Kiev: «PATTERN»; 1994. Russian.

12. Yashin AA. Informatsionno-polevaya samoorganizat-siya biosistem [Informational-field selforganization of biosystems]. Vestnik novykh meditsinskikh tekhnologiy. 2000;7(1):30-

8. Russian.

13. Kotel’nikov VA. Teoriya potentsial’noy pomekho-ustoychivosti. Moscow: Radio i svyaz’; 1998. Russian.

14. Marshl SL. Tsifrovoy spektral’nyy analiz i ego priloz-heniya. Moscow: Mir; 1990. Russian.

15. Vaynshteyn LA, Vakman DE. Razdelenie chastot v teorii kolebaniy i von. Moscow: Nauka; 1983. Russian.

16. Verlan’ AF., Sizikov VS. Integral’nye uravneniya: Me-tody. Algoritmy. Programmy (Spravochnoe posobie). Kiev: Naukova dumka; 1986. Russian.

17. Rozen R. Printsip optimal’nosti v biologii. Moscow: Mir; 1969. Russian.

18. Veselovskiy VN, Yashin AA. Vvedenie v informat-sionnuyu teoriyu virusov. Tula: Izd-vo «Tul’skiy poligrafist»; 2000. Russian.

19. Overman KC, Mix DE. A novel view of Fourier analysis. Procecdings of the IEEE. 1981;69(10):1372-3.