Двухмерная теорема Котельникова с учетом направления сканирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 520.874

ДВУХМЕРНАЯ ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА С УЧЕТОМ НАПРАВЛЕНИЯ СКАНИРОВАНИЯ © Б.И. Лубышев1'2, А.Г. Обухов2

1Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 2Институт солнечно-земной физики СО РАН, 664033, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 126а.

Рассматривается вопрос о выборе оптимального частотного разноса между каналами приемного устройства крестообразного интерферометра с частотным сканированием. Получена зависимость границ частотного разноса от часового угла и склонения. Исследование проведено на основе обобщенной двухмерной теоремы Котельникова с учетом направления сканирования. Диаграмма направленности радиотелескопа рассматривается как фильтр пространственных частот. Стоит подчеркнуть, что при преобразовании двухмерного сигнала прибегаем к двухступенчатой процедуре: дискретизации и поэлементному квантованию.

Ключевые слова: радиоинтерферометр; двухмерный сигнал; дискретизация; многочастотный прием; сетка отсчетов; сетка фиксированных частот.

SCANNING DIRECTION-WISE KOTELNIKOV TWO-DIMENSIONAL THEOREM B.I. Lubyshev, A.G. Obukhov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia. Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS, 126a Lermontov St., Irkutsk, 664033, p/o box 29, Russia.

The paper deals with the problem of selecting an optimum frequency separation between the receiver channels of the frequency-scanning crossed interferometer. A dependence of the frequency separation boundaries on the hour angle and declination is obtained. The study is based on the generalized Kotelnikov two-dimensional theorem taking into account the scanning direction. A radio telescope beam is considered as a space-frequency filter. It is emphasized that the transformation of a two-dimensional signal requires a two-step procedure involving discrete sampling and element-by-element quantization.

Keywords: radiointerferometer; two-dimensional signal; discrete sampling; multifrequency reception; reference grid; fixed frequency grid.

Введение

Современный радиотелескоп представляет собой большую, чрезвычайно сложную и дорогую экспериментальную установку. При проектировании такого устройства необходимо, с одной стороны, уложиться в разумную стоимость (иначе строительство никогда не будет закончено), с другой стороны, обеспечить наблюдательные возможности, заметно превышающие наблюдательные возможности уже существующих радиотелескопов (иначе не удастся получить никаких новых результатов).

При проектировании Сибирского солнечного радиотелескопа (ССРТ) для получения двухмерных изображений был выбран вариант частотного сканирования Солнца, что существенно снизило стоимость инструмента и повысило его информативность. Однако принцип частотного сканирования сам по себе не давал ответов на следующие вопросы: сколько нужно частотных каналов, какая полоса частот должна быть у каждого канала и насколько должны быть разнесены центральные частоты соседних каналов.

1Лубышев Борис Ильич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общеобразовательных наук заочно-вечернего отделения ИРНИТУ, старший научный сотрудник ИСЗФ СО РАН, тел.: 89149379256, e-mail: lubyshev@iszf.irk.ru

Lubyshev Boris, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Аssociate Professor of the Department of General Studies of the Correspondent and Extramural Department INRTU, Senior Researcher of the Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS, tel.: 89149379256, e-mail: lubyshev@iszf.irk.ru

2Обухов Альберт Георгиевич, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: 83952381325, e-mail: obuhov@iszf.irk.ru

Obukhov Albert, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Аssociate Professor, tel.: 83952381325, e-mail: obuhov@iszf.irk.ru

Исходя из практической необходимости решения вышеперечисленных вопросов, впервые была обобщена на двухмерный случай теорема Котельникова с учетом направления сканирования (т.е., в некотором смысле, при динамическом пространственном двухмерном спектре). Затем, на основе обобщенной теоремы Котельникова, получен ряд теоретических зависимостей, применимых к любому крестообразному интерферометру с эквидистантным расположением антенн. К ним относятся: зависимость границ частотного разноса от часового угла и склонения; влияние полосы частот отдельного канала на пространственную частотную характеристику всего интерферометра; ряд зависимостей для сетки перестраиваемых частот и для сетки фиксированных частот; ограничения, которые накладывает затенение антенн на использование частотного разноса. В завершение на основании полученных зависимостей выбран конкретный вариант многочастотного приемного устройства.

В данном разделе рассматривается вопрос о выборе оптимального частотного разноса между каналами приемного устройства крестообразного интерферометра с частотным сканированием и моментами съема информации в каналах. Получена зависимость границ частотного разноса от часового угла и склонения. Рассмотрение проведено на основе обобщения двухмерной теоремы Котельникова с учетом направления сканирования.

При преобразовании двухмерного сигнала (радиоизображения Солнца) в цифровую форму прибегают к двухступенчатой процедуре: дискретизации и поэлементному квантованию [1].

Дискретизация осуществляется представлением этого сигнала по какому-либо орто-нормированному базису. Базис линейного пространства чаще всего выбирается исходя из модели сигнала. Представление состоит в проектировании сигнала на ^-мерное пространство, натянутое на данный базис, т.е. коэффициенты представления находятся как скалярные произведения сигнала на соответствующие базисные функции. При рассмотрении диаграммы направленности как низкочастотного фильтра пространственных частот используется стационарная модель сигнала с ограниченным пространственным спектром.

Таким образом, дискретизацию радиоизображения Солнца можно проводить на основе теоремы отсчетов, обобщенной на двухмерный случай, если учесть, что спектр радиоизображения отличен от нуля на ограниченном участке пространственной частотной плоскости. Для ССРТ [2] огибающая спектра пространственных частот представляет собой квадрат.

Следовательно, для цифровой обработки радиоизображения, казалось бы, что можно использовать дискретизацию по прямоугольному растру. Однако мы привязаны к траектории движения Солнца. Двухмерная теорема отсчетов шире одномерной, так как двухмерный интервал является существенно более сложным математическим объектом, чем одномерный. Проблема оптимизации числа отсчетов радиоизображения Солнца при его дискретизации сводится к плотной упаковке составляющих спектра при его периодическом продолжении на плоскости пространственных частот в косоугольной системе координат в зависимости от направления сканирования Солнца.

Модель сигнала с ограниченным (финитным) спектром

В радиоастрономии наибольшее распространение получила концепция Брейсуэлла [3, 4], согласно которой диаграмма направленности (ДН) рассматривается как фильтр пространственных частот. Следовательно, модель сигнала имеет финитный спектр.

Оценка числа независимых координат сигнала с ограниченным носителем спектра была впервые проведена В.А. Котельниковым для обоснования импульсной передачи непрерывных функций [5], затем К. Шеноном при рассмотрении количества информации непрерывных сообщений [6]. В этих работах используются интерполяционные формулы Коши-Уиттекера [7, 8]. Другой подход для выяснения роли интервала Найквиста-Котельникова-Коши непосредственно связан с соотношением неопределенности для преобразования Фурье [9].

Важным обобщением является теорема отсчетов в ^-мерном пространстве. Первые результаты при дискретизации многомерных стационарных случайных получены в работах Х. Миякавы [10]. Важные результаты выбора оптимальной двухмерной решетки дискретиза-

ции получены Н.К. Игнатьевым [11, 12]. Систематическое изложение результатов многомерной дискретизации имеется в работе Д. Питерсона и Д. Миддлтона [13]. В статьях И.Т. Турбо-вича, А.А.Харкевича и Н.А.Железнова [14-16] исследована оценка точности рядом Котельни-кова сигнала, имеющего неограниченный спектр. Д. Габор построил модель сигнала при одновременной локализации по оси времени и оси частот [17, 18].

В общем случае минимизация количества ячеек в абстрактных пространствах осуществляется построением минимальной в-сети [19]. К сожалению, идея обобщенного квантования еще далека от практического осуществления. Трудность состоит в сложности определения функции расстояния в пространстве сигналов. Оценка приближения функции с ограниченным спектром при помощи конечного ряда Котельникова дана в работах [20-22].

Однако, в свою очередь, для решения задачи оптимальной дискретизации и выбора числа каналов приемного устройства нами были проведены самостоятельные теоретические исследования.

Принцип организации двухмерного разрешения

В свете вышеизложенного рассмотрим вопрос формирования радиокарты Солнца в двухмерном режиме с фиксированным частотным разносом.

Диаграмма направленности крестообразного интерферометра [23]:

sin(N—x)-sin( N—y)

F (x, y)=---

nd К T . nd

(1)

N-sin

Ä

-x

-N-sin

Ä

-y

где x, y - направляющие косинусы по отношению к линиям антенн плеч антенных решеток; N - число антенн в плече радиоинтерферометра; Ä - длина волны; d - расстояние между антеннами в решетке.

Диаграмма направленности F(x,y) имеет максимумы при

=pÄ =qÄ <2)

где p, q = 0, ±1, ±2, .... - интерференционные порядки.

Для обеспечения оперативности наблюдений в режиме двухмерного разрешения в ССРТ использован принцип параллельного анализа методом многочастотного приема [2]. Метод многочастотного приема заключается в том, что вся рабочая полоса частотного приемного устройства разбивается на ряд дискретных частотных каналов. Каждому каналу соответствует на небесной сфере своя диаграмма направленности. Положения максимумов этой диаграммы направленности определяются интерференционными порядками и центральной частотой канала. Каждой паре NS и WE интерференционных порядков на небесной сфере соответствует веер максимумов диаграммы направленности, имеющих одинаковый азимут и разные высоты. Расстояние между двумя соседними максимумами веера определяется частотным разносом между каналами приемного устройства и временем наблюдения.

Таким образом, в ССРТ использовано дискретное сканирование по высоте путем организации многочастотного приема и непрерывное сканирование по траектории движения центра солнечного диска вследствие вращения Земли.

Оптимальная дискретизация двухмерных радиоизображений

При наблюдениях на ССРТ информация о радиояркости наблюдаемых точек солнечного диска дискретизуется и квантуется по уровню с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Положение наблюдаемых точек на диске Солнца (конфигурация сетки отсчетов) определяется частотным разносом между каналами приемного устройства и моментами

съема информации с выходов каналов.

Задача оптимальной дискретизации радиоизображения состоит в сокращениях избыточности регистрируемой информации. С точки зрения теории информации задача сокращения избыточности состоит в выборе алгоритмов формирования дискретных радиоизображений, обеспечивающих минимальную избыточность при заданной точности регистрации.

Характеристикой количества регистрируемой информации служит объем дискретного радиоизображения (в битах):

V = п ■ М,

где М - число уровней квантования радиоизображения по амплитуде; п - число точек дискретизации радиоизображения.

Предполагая независимость процессов дискретизации аргументов и квантования элементов радиоизображения, можно рассматривать каждый этап дискретизации отдельно. Задача квантования элементов радиоизображения сводится к выбору конфигурации сетки отсчетов с минимальным числом узлов, удовлетворяющих условиям двухмерного аналога теоремы Котельникова.

Область спектральной чувствительности радиотелескопа в плоскости пространственных частот определяется диаграммой направленности инструмента.

Спектр диаграммы (1):

1 -I-W 1 jy W

F(u,v) = ^ j F{x,у) ■ e~'Ua+vy)dxdy =

N ^ d ,T d

- m—( N+1) x m—2mx

• e_mdx •

N ^ -rnd(N+I) y _md2kx

e 1 • e X • e

Ii-

k—1

'Vydy — IIS

Л (2m _ N _ 1) _ i

(3)

•S

TTd (2k _ N _ 1) _ V

X

m—1 k—1

где и, V- пространственные частоты; ¿{х] - функция Дирака (дельта-функция). Координаты максимумов спектральной чувствительности радиотелескопа:

ит = ж - (2т - N-1),

Я (4)

V, = ж ^ (2к - N -1),

где т, к = 0+1, ±2.

Для ит, ук справедливы соотношения:

-ж- (N -1) < ит <ж- (N-1),

Я Я (5)

-ж- (N -1) < V, <ж- (N -1). Я Я

Из (5) следует, что область спектральной чувствительности радиотелескопа ограничена квадратом:

-ж-(N-1) < и, V <ж-(N -1) (6)

Я Я

со стороной 20 =2ж — (N-1).

Я

При дискретизации радиоизображения ^у) на строки сетки отсчетов, дискретизован-ное радиоизображение можно представить в виде:

f*(x,y) = f (x,y) T S[xcosa + ysina —mh],

(7)

где h - расстояние между строками; (cos a, sin a) - вектор единичной длины перпендикулярный строкам (рис. 1).

Спектр дискретизованного радиоизображения с использованием теоремы о свертке:

/ (m,v) =- J I f (х,у)е dxdy=- J J f(u-o ),(v-© )•

2 „2 x У

4л —да—да 4 л —да—да

j да да

- 11 TS mh—x cosa—y sin a

4л —да—да m=—да

—¡(со x+о y) e x y dxdy

(8)

do do ,

x y

где ах, оу - переменные интегрирования на плоскости ^у). После замены переменных

xcosa+ysina=x', -xsina+ysina=y' вычисляется внутренний двойной интеграл (8).

Рис. 1. Дискретизованное радиоизображение. Строки совпадают с направлением движения Солнца

да

Так как

^ e = ^ 8

а —

2жт

h

то

/*('0;) = ^J j j /(м -®.r.v-®v)<5[

®. v - a v )o ya v eos a - cox sin a

■Y*

m=-m

После замены переменных

2жт

(o cosa + o sin а) —

1 y h

dmx drny.

(9)

o cosa + o sina = o

-a sina + a cosa = a

x y y

вычисляется двойной интеграл, и получаем окончательное выражение:

т»* / ч h ~, 2жк 2кк . ч

/ = — ¿¿/(и--— cosa,v---—sin а),

4ж h h

(10)

Рис. 2. Спектр дискретизованного радиоизображения

Таким образом, спектр дискретизованного радиоизображения является периодическим продолжением спектра недискретизованного изображения в направлении единичного вектора (cosa, sina) с периодом 2ж4) (рис. 2).

2ж

> ■

2Q

h max(|cosa|,|sina|)'

то есть

ж

h G(a)'

(11)

где G(a) = max(|cosa| ,|sina|)

—m —m

X

Предельная дискретизация соответствует плотнейшей упаковке периодически размноженных спектров (рис. 3).

Рис. 3. Спектр дискретизованного радиоизображения, являющийся периодическим продолжением спектра недискретизованного изображения в направлении единичного вектора

Расстояние h между строками определяется частотным разносом Ж между каналами. Согласно (2) перемещение максимумов диаграммы направленности при перестройке частоты:

Af

Af

Ax = — x , Ay = — y .

j* p? J J q

(12)

Из рис. 1 следует, что

В силу (12):

h = |Ax • cosa +Ay • sina|.

h =

AL f

• x• cosa + y • sina .

(13)

После подстановки (13) в (11) получаем условие на величину частотного разноса:

Ial| a fh

л Q

• G(a)

, (14)

x cosa + y sina

где a, x, y - функции часового угла t и склонения ó вдоль траектории Солнца для данной широты р места наблюдения:

x = cos ó- sin t,

y = cosósinp-cos t - sinó-cos р, ctga = tgt - sin р.

В координатах высота H - азимут А условие (14) принимает вид:

ж

|Af| f ]г~тР

G(a)

|sin( A + a)| • cos H

(15)

10 30 50 70 90

Рис. 4. Графики оптимального (максимально возможного) частотного разноса

Графики оптимального (максимально возможного) частотного разноса приведены на

рис. 4.

Управление частотным разносом в соответствии с этими графиками обеспечивает оптимальный (максимально возможный) шаг между строками сетки отсчетов.

Режим опроса каналов формирует столбцы сетки отсчетов. Расстояние между строками сетки определяется частотным разносом между каналами. Приемное устройство радиотелескопа может быть реализовано в двух вариантах: с сеткой фиксированных частот (СФЧ - с постоянным частотным разносом между каналами) и сеткой перестраиваемых частот (СПЧ - с изменением частотного разноса между каналами).

Заключение

1. Выполнен анализ оптимальной сетки отсчетов на основе обобщения двухмерной теоремы Котельникова с переменным направлением сканирования источника.

2. Показано, что для достижения оптимального (обусловленного геометрией антенной системы) двухмерного разрешения ССРТ необходимо обеспечить величину частотного разноса между каналами приемного устройства в интервале (340-980 кГц) в зависимости от момента времени.

3. Основой для создания архитектуры приемного устройства системы регистрации и обработки информации послужило 180-канальное приемное устройство с фиксированным частотным разносом 620 кГц.

Работа поддержана в рамках базового проекта 11.16.1.6. «Геоэффективные процессы в хромосфере и короне Солнца».

Статья поступила 17.11.2015 г.

Библиографический список

1. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку сигналов. М.: Советское радио. 1979. 312 с.

2. Основные проектные параметры Сибирского солнечного радиотелескопа / Г.Я. Смольков, Т.А. Тресков, Б.Б. Криссинель, Н.Н. Потапов // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца: сб. науч. трудов / Акад наук СССР [и др.]. 1983. Вып. 64. Физика Солнца. С. 130-148.

3. Bracewell R.N. Strip integration in radioastronomy // Austr. J.Phys. 1956. V. 9. Р. 198-217.

4. Bracewell R.N, Riddle A.C. Inversion of fanbeam scans in radioastronomy // The Astrophys. J. 1967. V. 150. P. 427-434.

5. Котельников В.А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи. М.: Изд-во МЭИ (ТУ), 2003. 24 с.

6. Шенон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Иностранная литература, 1963. 830 с.

7. Джери А.Д. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения // ТИИЭР. 1977. Т. 65. № 11. С. 53-89.

8. Драган Я.П. Модели сигналов в линейных системах. Киев: Наукова думка, 1972. 302 с.

9. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М.: Физмтгиз, 1962. 220 с.

10. Miyakava H. // J. Inst. Electr. Commun. Engs. Japan, 1959. V. 42. P. 4-10.

11. Игнатьев Н.К. Общие методы исследования систем с дискретизацией // Электросвязь. 1960. № 8. С. 3-11.

12. Игнатьев Н.К. Оптимальная дискретизация двухмерных сообщений // Известия вузов. Радиотехника. 1961. № 6. С. 21-26.

13. Питерсон Д. Методы дискретного и быстрого преобразования Фурье для N-мерных решеток // ТИИЭР. 1970. Т. 58. № 8. С. 170-172.

14. Турбович И.Т. К вопросу о применении теоремы Котельникова к функции времени с неограниченным спектром // Известия вузов. Радиотехника. 1956. Вып. 13. № 8. С. 11-12.

15. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Гостехиздат, 1957. 236 с.

16. Железнов Н.А. Некоторые вопросы теории информационных электрических систем // Труды ЛКВИА. Т. 191. 1960. С. 155-160.

17. Gabor D. Theory of Information // J. IEE. 1946. V. 93. P. 429-457.

18. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М.: Физматгиз, 1960. 255 с.

19. Колмогоров А.Н., Тихомиров В.Н. £ - энтропия и £ - емкость множеств в функциональных пространствах // Успехи математических наук. 1959. Т. 14. Вып. 2. С. 3-86.

20. Драган Я.П. Структура и представления моделей стохастических сигналов. Киев: Наукова думка, 1980. 384 с.

21. Цыбаков Б.С., Яковлев В.П. О точности восстановления функции с помощью конечного числа членов ряда Котельникова // Радиотехника и электроника. 1959. Т. 4. № 3. С. 542-552.

22. Ландау Г. Метод выборок, передача информации и частота Найквиста // ТИИЭР. 1967. Т. 55. № 10. С. 56-62.

23. Сибирский солнечный радиотелескоп: современное состояние инструмента, наблюдения и данные / В.В. Гречнев, С.В. Лессовой, Г.Я. Смольков [и др.] // Препринт ИСЗФ СО РАН. 1996. № 4-96. 36 с.

УДК 519.233.5

К ВОПРОСУ НОРМИРОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК © А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматриваются определения числовых и функциональных вероятностных характеристик, использующих операцию нормирования. К их числу относятся моментные функции, отражающие вероятностные взаимосвязи случайных величин. Проводится анализ терминологии, обусловленный некорректным наименованием сложных мо-ментных характеристик. Предложен специальный способ нормирования, отвечающий вероятностному смыслу нормируемых характеристик. Представлены результаты численных экспериментов, подтверждающих высказываемые теоретические предположения.

Ключевые слова: случайная величина; закон распределения вероятностей; моментные функции; нормирование; численный эксперимент.

1

Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, тел.: 89148992771, e-mail: petrov@istu.edu

Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, tel.: 89148992771, e-mail: petrov@istu.edu