CC BY
73
УДК 621.396.96
А.А. Руфов
аспирант, кафедра радиотехники и радиосистем, ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
А.Д. Поздняков
д-р техн. наук, профессор, кафедра радиотехники и радиосистем, ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Аннотация. В данной статье рассмотрены основы процессов дискретизации и восстановления сигналов по теореме Котельникова, в основе которой лежит базисная система синкум {sin(x)/x}. Представлены результаты проведенного моделирования метода обработки модулированных сигналов, основанного на преобразовании Котельникова, с последующим анализом и оценкой средне-квадратического значения восстановленного сигнала.
Ключевые слова: дискретизация, теорема Котельникова, модуляция, АМ-, ЧМ-, ФМ-сигналы, среднеквадратическое значение сигнала.
A.A. Rufov, Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs
A.D. Pozdnyakov, Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs
SAMPLING THEOREM AND ITS APPLICATION TO RESTORATION MODULATED SIGNALS
Abstract. This article describes the fundamentals of discretization and restoration signals using Kotelnikov theorem, which based on function {sin(x)/x}. The article presents the results of modeling of the computational algorithm discretization and restoration processes of modulated signals and then measuring and assessing its rms value of the restoration.
Keywords: sampling, Kotelnikov theorem, modulation, AM, FM, PM signals, RMS-value.
Преобразование Фурье широко используется в радиотехнике как инструмент для определения параметров сложных дискретизированных сигналов, таких как амплитуда, частота, фаза, глубина модуляции и др. Однако Фурье-анализ не всегда удается применить при работе с сигналами в реальном времени из-за сложных вычислительных процедур и невозможности восстановления сигнала при малом числе отсчетов.
Переход от непрерывного сигнала к дискретному осуществляется с потерей информации или с искажениями. Восстановление непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам и устранение потерь информации зависит от параметров дискретизации - то есть шага дискретизации, способа восстановления сигнала, наличия окон, а также от свойств, вида и других параметров сигнала [1, с.13]. Так при каких же условиях, накладываемых на исходный сигнал и на частоту дискретизации можно с нужной степенью точности и минимальными погрешностями восстановить исходный сигнал по его цифровым значениям? Ответ на этот вопрос дает важная теорема, называемая теоремой Котельникова (отсчетов) [2, с.29].
Теорема имеет следующую формулировку: если наивысшая частота в спектре
функции в((1) меньше, чем /т, то функция в(/) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на ^ /т секунд.
в ()=! в
' п >
Э1П
V 2/т ;
t--
2/
т J
= 1 в (п -АО
»
t -
2/1
Э!П [йт (( - п )]
,((- п-А)
(1)
где /т - максимальная информационная частота в сигнале, сот - круговая частота, определяемая как ст = 2п/т, )2 /т = Аt - интервал между двумя отсчетными точками на
' п >
оси времени, в — = в (п ■Аt) - выб орки функции в ^) в моменты времени t = п ■Аt, а
V 2/т )
последовательность выборок в (п ■ Аt) на временной оси называется спектром. Роль базисных функций рп ^) выполняют функции отсчетов:
ЗШ ^ - п ■Аt)] (2)
рп (0= »т( - п■*) . (2)
Для оценки возможностей использования теоремы Котельникова для определения среднеквадратического значения (далее СКЗ) сигналов было проведено моделирование данных процессов и расчет погрешностей определения СКЗ при различных значениях параметров сигнала. СКЗ восстановленного сигнала можно представить [2, с. 59]
искз =
1
тТ,
т ■ Т
Л> (')]2 <*,
(3)
> 0
где т - число периодов исследуемого сигнала.
Так как параметры исходного сигнала известны, то их можно сравнить с результатами оценки СКЗ по формуле (3). Соответственно по формуле (4) рассчитывается относительная погрешность определения СКЗ сигнала.
^МБ
А - А ->-т ■ 100%
(4)
где А>, Ат - значения амплитуд исходного и восстановленного сигналов соответственно.
Амплитудно-модулированный сигнал (далее АМ-сигнал) представляет собой произведение информационной огибающей и(0 и гармонического колебания ее заполнения с более высокими частотами. Форма записи АМ-сигнала:
тАм ^) = АаМ -[1 + М ■ т ^)] , (5)
где ААМ - постоянная амплитуда несущего колебания при отсутствии входного (модулирующего) сигнала т^), а М - коэффициент амплитудной модуляции (далее АМ),
который характеризует глубину АМ, и находящийся в пределах от 0 до 1 для всех гармоник АМ-сигнала.
5
При фазовой модуляции (далее ФМ) значение фазового угла постоянной несущей частоты колебаний со0 пропорционально амплитуде модулирующего сигнала
т(t). Соответственно, уравнение фазово-модулированного сигнала (далее ФМ-сигнал) определяется выражением:
тфм (t) = АфМ cos (®0t + k ■ m (t)) , (6)
где k - коэффициент пропорциональности.
С увеличением значений т(t) полная фаза колебаний i//(t) = ®0t + k ■ т(t) нарастает во времени быстрее и опережает линейное нарастание co0t и наоборот.
Частотная модуляция (далее ЧМ) характеризуется линейной связью модулирующего сигнала с мгновенной частотой колебаний, при которой мгновенная частота колебаний образуется сложением частоты высокочастотного несущего колебания со0 со значением амплитуды модулирующего сигнала с коэффициентом пропорциональности:
co(t ) = ®0 + k ■ т (t). (7)
Соответственно, уравнение частотно-модулированного сигнала (далее ЧМ-сигнал) может быть представлено как:
( t \
тчм (t) = Ачм
cos I aQt + k j т (t)dt
V
(8)
Погрешность СКЗ может быть оценена на любом числе периодов. Некоторые результаты исследований приведены на рисунках 1-3. Графики погрешностей приведены в зависимости от числа отсчетов, приходящихся на период, от 2,356 до 5,623.
7 6 \ —
сР 5 - £П Ы и
о о \
а) , Р. 3 й О К 2
1 О 2 +============^-========j |Ц|1||" 3 2,8 3,3 3,8 Число отсчетов, приходящиа 4,3 Л,8 5,3 5,8 сся на один период
Рисунок 1 - Распределение погрешности СКЗ для АМ-сигнала при глубине модуляции
М = 0,9, амплитуде ААм = 1 и частоте ^ = 9^
Можно заметить, что восстановленный сигнал тем точнее, чем больше число дискретных отсчетов на период и чем больше количество периодов. Для корректного восстановления непрерывного сигнала с допустимой погрешностью порядка 0,1...0,4% достаточно трех-четырех отсчетов на один период. При увеличении числа отсчетов на период погрешность определения СКЗ снижается до 0,01.0,07%.
10 I I 1 I I 1 I 1 I I 1 I I I I 1 I I 1 I 1 I I 1 I I 1 I I I I I I I I A
LP г и 6 о
^ 2 " v/^
2 3 2 8 3 3 за -2 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 Число отсчетов, приходящих 4 3 4 8 5 3 5 8 ся на один период
Рисунок 2 - Распределение погрешности СКЗ для ЧМ-сигнала при f0 = 1,5 fs
Рисунок 3 - Распределение погрешности СКЗ для ФМ-сигнала при ^ = 1,5 ^
Использование теоремы Котельникова в модулированных колебаниях позволяет ускорить процессы дискретизации и восстановления, так как она требует гораздо меньшее число отсчетов сигнала. Как следствие, упрощается аппаратная и программная реализация алгоритмов анализа и синтеза, основанных на этой теореме.
Список литературы:
1. Тропченко А.Ю., Тропченко А.А. Цифровая обработка сигналов. Методы предварительной обработки. Учебное пособие по дисциплине "Теоретическая информатика". СПб.: СПбГУ ИТМО, 2009. 100 с.
2. Поздняков А.Д. Поздняков В.А. Автоматизация экспериментальных исследований, испытаний и мониторинга радиосистем. М.: Радиотехника, 2004. 208 с.
List or referenses:
1. Tropchenko A.U., Tropchenko A.A. DSP. Pre-treatment methods. The manual on discipline "Theoretical informatics". Spb.: SPBSU ITMO, 2009. 100 p.
2. Pozdnyakov A.D., Pozdnyakov V.A. АПоздняков А.Д. Поздняков В.А. Automation of experimental research, testing and monitoring of radio systems. М.: Radiotec, 2004. 208 p.
