ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПОДКЛАССОВ РАВНОМЕРНО ЗВЕЗДНЫХ И ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

СУЛТЫГОВ МАГОМЕТ ДЖАБРАИЛОВИЧ

SULTYGOV M. G.

профессор кафедры математического анализа, Professor of the Department of mathematical analysis, кандидат физико-математических наук, Candidate of physical and mathematical Sciences, Ингушский государственный университет, г. Магас

Ingush state University, Magas

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПОДКЛАССОВ РАВНОМЕРНО ЗВЕЗДНЫХ И ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ

SUFFICIENT CONDITIONS FOR CERTAIN SUBCLASSES OF UNIFORMLY STARLIKE AND CONVEX FUNCTIONS

Аннотация: В статье рассматривается одно из дополнений к фундаментальным результатам геометрической теории многомерного комплексного анализа по проблемам классов голоморфных функций. Удивительное использование специальных классов функций вызвало новый интерес к теории функций в последние несколько десятилетий. Существует обширная литература, посвященная геометрическим свойствам различных типов специальных классов функций. Отображение свойств различных подклассов голоморфных и однолистных функций потенциально полезно в ряде распространенных областей математических, физико-технических наук. В частности, для решения прикладных задач, которые могут быть выражены в терминах классов функций комплексной переменной, но которые демонстрируют несоответствующие геометрические формы, мы можем соответствующим образом выбрать одну или другую из таких форм и тем самым преобразовать неудобную геометрическую форму в гораздо более удобную и легкую в обращении геометрическую форму.

Мотивированные в основном известными работами в нашем настоящем исследовании мы определили достаточные условия для семейства класса функций MD(X, а, Р) и KD(X, а,р) в полных ограниченных кратно круговых областях D с Сп.

Abstract: The article considers one of the additions to the fundamental results of the geometric theory of multidimensional complex analysis on the problems of classes of holomorphic functions. The surprising use of special classes of functions has sparked new interest in function

theory in the last few decades. There is extensive literature on the geometric properties of various types of special classes of functions. Mapping the properties of different subclasses of holomorphic and single-leaf functions is potentially useful in a number of common areas of mathematical, physical and technical Sciences. In particular, for solving applied problems that can be expressed in terms of classes of functions of a complex variable, but which exhibit nonconforming geometric shapes, we can appropriately choose one or the other of such shapes and thus transform an inconvenient geometric shape into a much more convenient and easy - to-handle geometric shape. Motivated mainly by known works in our present study, we have determined sufficient conditions for a family of class of functions MD(X, a, ft) and MD(A, a, ft) in complete bounded multiples of circular domains D с Cn .

Ключевые слова: Равномерно звездные и выпуклые функции, порядок, коэффициенты Тейлора, радиусы параметризации, бицилиндр, гиперконус, логарифмически выпуклая ограниченная полная двоякокруговая область.

Key word: Starlike and uniformly convex functions of order, the coefficients of the Taylor radii parameterization, bicylinder and hyperconus, logarithmically convex complete bounded circular region in two ways.

Введение.

В 1916 году Л. Бибербахом [1] была высказана знаменитая гипотеза: что |сп| <п,п = 2,3,... имеет место для всех регулярных и однолистных в единичном круге Izl < 1 функций f(z) = z + %п=2 cnzU.

Гипотеза привлекала внимание многих математиков, и при попытке доказать ее были развиты многие методы геометрической теории функций комплексного переменного [2], однако доказательство гипотезы было получено лишь в 1985 году французским математиком Л. де Бранжем [3].

Целью статьи является по радиусам параметризации границ областей Рейнхарта построить эффективные достаточные условия голоморфных равномерно звездных и выпуклых функций в виде многомерного аналога гипотезы Бибербаха.

При этом рассматриваются классы равномерно звездообразные и выпуклые функции, голоморфные в полных ограниченных кратно круговых

областях Б с Сп или в их подобластях Бг = гБ, где Б —замыкание области Б и г Е (0,1).

В работе И.И.Баврина [4] изучается класс обобщенно однолистных функций QD, и различные его подклассы Мп [4,с. 12], [4,^15], с точки зрения оценки тейлоровых коэффициентов разложения функции этих классов в двойные степенные ряды. Используя решение Л. де Бранжем проблемы Бибербаха для функций 5 одной комплексной переменной, И.И.Баврин решил в положительном смысле сформулированный для функций класса QD многомерный аналог проблемы Л. Бибербаха. Указанный результат дополнен многочисленными более точными оценками тейлоровых коэффициентов в различных подклассах класса QD.

Результаты статьи дополняют многочисленные точные оценки тейлоровых коэффициентов в различных подклассах изучаемого класса.

Определение 1. Назовем f(z) Е Н (Б с Сп) функцией класса QD [4,с. 10], если в Б с Сп имеет разложение

№ = 1 + 1^=^ (1) и Р(гк) = zkf(v1zk,...,гк,...,упгк), как функция переменного гк, однолистна в сечении области Б c комплексной прямой

Ру[к] =К =^:УтЕ С\{0},т = 1,...,к — 1,к + 1,...п};

при ут = 0 функция Р(гк) = zkf(0, ...,гк, .,0) однолистна в сечении Лт = Б П {гт = 0:т = 1, ...,к — 1,к + 1, ...,п}.

Пусть функция /(г) = /(г1, ...,гп) Е Н(Б с Cn),f(z) = /(г1, ...,гп) Е Н(Б с Сп), аг = (аг1, ..., агп), а Е С1 голоморфна в области Б и имеет разложения f(z) = 1 + 1\^1=1 акгк, где к = (к1,..., кп) е Ып-мультииндекс,

гк = П=1^, 1к1

Здесь Ьу[/(г)] = уГ(г) + ^^(г) = I™ Г(г)[5,с.10]. Обратным

1

к нему является оператор L-1f(z) = / £у-1/(£г)^.

Для упрощения записи все рассуждения из работы [6] ниже проводятся для случая двух комплексных переменных, однако полученные результаты легко переносятся на случай многих комплексных переменных.

Определим некоторые подклассы класса QD в следующем виде.

Определение 2. [4,^12]. Для того чтобы голоморфная в области Б функция /(г1,г2), /(0,0) = 1 принадлежала классу Мп, необходимо и достаточно, чтобы

Ь1/(г1, г2) Яе . 1 >0.

(2)

Определение 3. Для того чтобы голоморфная в области Б функция /(г1,г2), /(0,0) = 1 принадлежала к звездной функции порядка р, Мр (Р), 0<р<1, необходимо и достаточно, чтобы

1,

Яе-

>Р.

(3)

Функция f(z1,z2)E Мп (Р) называется звездообразной или звездной функцией порядка р.

Определение 4. Для того чтобы голоморфная в области Б функция f(z1,z2), f(0,0) = 1 принадлежала к выпуклой функции порядка р, ^о (Р), 0<Р <1, необходимо и достаточно, чтобы

Яе 1 1 > р.

(4)

1^(21,2^)

Функция f(z1,z2)E Ып (Р) называется выпуклой функцией порядка р.

Заметим, что Мп '•= Мп(0) и Ып '•= Ып(0) семейство классов звездных и выпуклых функций. С ними тесно связаны следующие классы функций

МП[Р] ^^=\fEQD:

- 1

<1-Р

и

Мп[р] :=

f£QD■■

Ь1/(г1,г2)

-1

<1-р

Отметим, что Мв[р] С МВ(Р) и Ыв[р] С

Определение 5. Классом Мв[р] назовем множество всех голоморфных в области Б функций f (г) = f (г1, г2), представимых рядом (1) и удовлетворяющих условию

^1/(21^2)

-1

<1-0

(5)

для всех 0 < а < 1.

Сделаем промежуточный вывод:

Мв[р] с МВ(Р) с Мв(0) = МВ с QD.

Далее приведем аналитические критерии для функций в этих классах.

Определение 6. Равномерно звездным классом Мв(а,Р),а > 0,0 < Р <1 назовем множество всех голоморфных в Б с Сп функций /(г) вида (1), что Р(гк) = zkf(l1zk,... ,гк,... ,1пгк), как функция переменного гк равномерно звездная в Б П Р{[к], а при 1т = 0 функция Р(гк) = гк/(0,... ,гк,... ,0) равномерно звездная в 1т и, следовательно, f(z) удовлетворяет условию:

Мв(а,р) := \f е > а

-1

+ Р

(6)

Определение 7. Равномерно выпуклым классом Жв(а,Р),а > 0,0 < Р < 1 назовем множество всех голоморфных в Б с Сп функций [(г) вида (1), что Р(гк) = zkf(l1zk,... ,гк,... ,1пгк), как функция переменного гк равномерно выпуклая в Б ПР^], а при 1т = 0 функция Р(гк) = г^(0,...,гк,...,0) равномерно выпуклая в 1т и, следовательно, [(г) удовлетворяет условию:

Жв(а,р) :=

1(?Г(*1,г2)

fеQD:Re■

> а

Г (21,22)

Ь1/(г1,г2)

-1

+ Р

(7)

Ь1/(г1,2-2)

Используя зависимости между классами звездных и выпуклых функций по теореме 6.1 [4,с.21], мы определяем равномерно выпуклые функции f(z1,z2)еNв(a,p), тогда и только тогда, когда Ь^(г1,г2)еМв(а,Р) и,

обратно, если функция f(z1,z2)ЕMD(a,p), то функция L-1f(z1,z2) Е Жп(а,р). Эти аналитические характеристики используется для того, чтобы получить достаточное условие принадлежности голоморфной функции f(z1,z2)Е QD к классу равномерно звездных Мп(а,р) и к классу равномерно выпуклых функций Жп(а, Р).

Для таких классов Жв(а,Р) в теореме 1 и Жв(а,Р) и в теореме 2 ранее в [6,с.24] нами получены некоторые достаточные условия для того, чтобы г2) был в классах Жп (а, Р) и Жв (а, Основные результаты.

Основываясь на приведенных выше определениях, мы определим следующие аналоги подклассов класса Муругусундарамоорти (Murugusundaramoorthy) и Магеша (Magesh) [7] для многих комплексных переменных.

Определение 8. При 0<А<1,0<а<1 и р >0 через Мв(Х,а,р) обозначим подкласс QD, состоящий из функций вида (1) и удовлетворяющий аналитическому критерию будем называть

Определение 9. При 0 < Л < 1,0 < а < 1 и @ > 0 обозначим через

>Р

г2)

1 (8)

(1-Х)Г(г1,22) + ХГ(г1,г2)

ЖВ(Х, а,р)

— подкласс QD, состоящий из функций вида (1) и удовлетворяющий

аналитическому критерию

Ь1Г(г1,г2)+ Ь(12)Г(г1,г2)

(2)

>Р

Ь1Г(г1,г2) + Л Ь(12)Г(г1,г2)

(2)

1

(9)

Сформулируем достаточные условия для функций в классах

функций Мв(Х,а,р) и Жв(А,а,р), обусловленные Муругусундарамоорти (Миг^ши^агатоогШу) и Магеша (Magesh) [7] для многих комплексных переменных.

Хорошо известно, что специальные классы функций играют важную роль в геометрической теории функций, особенно в решении по Эе Branges [3] знаменитой гипотезы В1еЬегЬаеИ [1].

Приведем теперь достаточное условие принадлежности для функций в классах функций Жп(Л,а,р) и Жп(Л,а,р) в виде многомерного аналога гипотезы Бибербаха [1].

Теорема 1. Для функций /(г1,г2) Е Мв(Х,а,р), 0 <Х<1, 0 < а < 1 и р > 0 при 1к1 = к1 + к2 >2, имеем оценки коэффициентов Тейлора: . . 1 — а

\ак1,к2и'-<П)ц11=2та+р) — (а+ю(1 + т—я)] (10)

Теорема 2. Для функций /(г1,г2) Е Жв(Х,а,р), 0 < Х<1, 0 < а < 1 и р > 0 при 1к1 = к1 + к2 >2, имеем оценки коэффициентов Тейлора:

1 — а

< ¿к^--о) 1^=2тт(1+Р) — (а+р)(1 + тл—ю (11)

В оценки коэффициентов Тейлора (10)и (11) входит величина

= Бир(1г11к11г21к2) для всех (г1,г2)^Б^С2. Для конкретного вида области Б важно уметь вычислить йк к (В). С целью получения эффективных оценок коэффициентов Тейлора возникает вопрос о выделении специальных классов областей Б, для которых можно эффективно вычислить йк1>к2(Б). Пусть Бг-та область Б, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне. Как доказал А.А.Темляков [8], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде:= г^т), 1г21 = г2(т), 0< т < 1, где 71(0) = 0, г1(1) <ю, г((т) >

0, (0 < т < 1) и г2(т) = Я2ехр — ¡^-^й1пг1(т)] , г2(1) = 0. Такое

Международный научный журнал 72

ЦИФРОВАЯ НАУКА_№4 2020

параметрическое представление области Б1 позволяет эффективно вычислить Лк к (Б1). Действительно, при 1к1 = к1 + к2 > 0

¿к11к2(01) = Г*1 {щ),считая 00 = 1. [9]

Заметим так же, что если область Б - бицилиндр Цг11 < Я1,1г21 < Я2} , то очевидно, что йк кг (Б) = Щ1 • Я22. Итак, в случае тех областей Б, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также в случае бицилиндра оценки коэффициентов Тейлора являются эффективными.

Теорема 3. Для функций f(z1, г2) е Жи2 (Л, а,@) в бицилиндре

и1,К2 = {(^1,22) е С2: Ы < Я1, 1221 < Щ многомерный аналог гипотезы Бибербаха в виде эффективных оценок коэффициентов Тейлора имеет вид:

1 — а

<- (12)

П*1 • *22 £щ=2[1к1(1 + Ю — (« + Ю(1 + № — Я)]

Теорема 4. Для функций /(г1, г2) е МК (X, а, (3) в гиперконусе К1 = {(г1,г2) е С2:1г11 + 1г21 < 1}, , где граница этой области представима в параметрическом виде: дК1 = {(г1,г2) е С2:1г11 = т,1г21 = 1 —т ,0 < т < 1},

с^к1,к2(/: = (у^) многомерный аналог гипотезы Бибербаха в виде

эффективных оценок коэффициентов Тейлора имеет вид: , , ,, 1 — а

1ак к (/:К1)1 -г- (13)

1 к1,к24 ^ к^^^^ит+ю — ^+ю^ + т—л)]

В качестве последнего примера приведем аналог гипотезы Бибербаха в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области

Брд ¥ {(г1,г2) е С2: ^ + ^ < 1;р = ^,т,п,Че

Отметим, что Бр1 ч е (Т) тогда и только тогда, когда р > 1. В области Бр (1 е (Т) радиусы параметризации ^ (т) и г2 (т) имеют вид

та (1 — т)а г1р(т) =--—,Г1«(т)= У )Ч

rq + (1 — т)р' rq + (1 — т)р

dk k (f:Dpq) = , где О0 = 1.

Ki,K2\J p,qJ \k1q+k1pj \k1q+k2pj ' м

Теорема 5. Аналог проблемы Бибербаха для функций f(z±, z2) Е MDp,q (X,a,fi)

в Dp q — логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области многомерный аналог гипотезы Бибербаха в виде эффективных оценок коэффициентов Тейлора записывается в виде:

К, k2(f:Dp,q ^ *

kiq+k2P

(1 — a)(k1q + k2p) qp

*-kl-kT-———-(14)

( kiq) p (к2р) q Z?kl=2[lkl(1 + P) — (a + Ю(1 + \k\X — X)]

Теорема 3. Для функций f(z1, z2) Е Жи2 (X, a, ft) в бицилиндре

многомерный аналог гипотезы Бибербаха в виде эффективных оценок коэффициентов Тейлора имеет вид:

К, k2(f:U^i,R2)l

1— a

Теорема 4. Для функций f(z1, z2) Е NKi (X, a, ft) в гиперконусе многомерный аналог гипотезы Бибербаха в виде эффективных оценок коэффициентов Тейлора имеет вид:

К, k2(f--Ki)l

1— a

~ kiklk2k2 ^kl=2\k\m(1 + Ю — (а + Ю(1 + \k\X — X)] (16) Теорема 5. Аналог проблемы Бибербаха для функций f(z1,z2) Е KD^q(X,a, ft) в Dp q — логарифмически выпуклой ограниченной полной

двоякокруговой области многомерный аналог гипотезы Бибербаха в виде эффективных оценок коэффициентов Тейлора записывается в виде: \ак1,к2(Г'Ор,ч ^ <

к-1д+к.2Р

(1 — о)(к1ц + к2р) чр <-^-^-—-~- (17)

(к1Я) р (к2Р) * х^шт+Р) — (а+ю(1 + т—л)]

Библиографический список:

1. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildug des Einheitskreises vermitteln // S. - B. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl. 1916. PP. 940-955.

2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., Наука. 1966. 628 с.

3. De Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture. // Acta Math. №154. 1985. PP. 137-152.

4. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы. —М. -1976. -99 с.

5. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе.

— 1991. —200 с.

6. Султыгов М.Д. О достаточных условиях для равномерно звездных и выпуклых функций многих комплексных переменных // Фундаментальные и прикладные научные исследования. —Пенза. — МЦНС «Наука и просвещение» —2017. - С.23—26.

7. Murugusundaramoorthy G., Magesh N. On certain subclasses of analytic functions associated with hypergeometric functions. Appl. Math. Letters, 2011, 24, 494-500.

8. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных //Доклады АН СССР. - 1958. - Т. - 120. - №5. -С.976-979.

9. Султыгов М.Д. Проблема Бибербаха для равномерно выпуклых функций многих комплексных переменных// XII МНПК от 10.10.2017 МК-221 «Наука и образование». http://naukaip.ru. - С. 11-14.