CC BY
5
УДК 519.17
Достаточноеусловиепринадлежн ости кривой границе с воей выпуклой оболочки в An
И.В. Поликанова
Алтайский государственный педагогический университет (Барнаул,Россия]
A SufficientCondition for a Curve to Belong to Boundary of its Own ConvexHullin A"
IV. Polikanova
OltaiStatePedagogicalUniversity (Earnoul,Russia)
В статье рассматриваютсянекоторые обобщения выпуклойкривойи соотрсирвнтя мсждт он ре-десяетыми !^1^ио:тасс^1РИ1^]^1РВн1х.
тсновсой результатотносится к рривым вп-мерном аффинное простр атсьвеАп-.оевырож-вьнонькрьвть внс лежьт ра гыаницесвоепвынак-уойрВолочш,еснавсмкая гаоерплоскосте порксе-каетее нееолки чемк стысоах.СХэосновыкрсася итотнойтыпукрв1хмрвжестр.ато ртворждавие оробщает боееуранний (ылрк^.Утезультатввто-та,олнтсс^ш,^В^с^я[Р1^^иЕырьгрждытавряющим собой компактные множества в Ап. Для евклидова пространства Еп размерности п в 1947 г. В. Густин доказал более сильную теорему: связное множество, пересекаемое всякой гиперплоскостью не более чем в п точках, представляет собой простую непркрывнуюруиврю.лежащуюнагртнице вык етклогк мняжества. нкмерин.что варыскнивном аеостранстве paзмеестрпт п нтния рригса ответим ги^^с^ы^тчеоер^5^1тииеГ^о-леесемыв тоонан входите нередклотие сыпуттыя криво й. Таким образом, установленный факт вместе с результатом В. Густина показывает близость понятийвыпуклости вовсех трвх простртнслвах. Ключевые слова: выпуклая кривая, слабовыпуклая кривая, порядок кривой, эника, кривая моментов.
Б01: 10.14258/izvasu(2022)4-22
The paper discusses some generalizations of ttne cornier: curve andtherelationsMp^tween theelasses of curvesthey define.
The isy^in resuU concernsthe eurves isin-<rimensionvs affins spateAn: a non-uegeeerate curve ynAn hes on the boundcryepits coevee huh ie anyhyperplane mtersectsrt in atmoste pe^ei^t^s. It ^juetified nythe ^lier^ry of convee sats^Ms statemenc eenethliees an earlier (20re) rnoidt oftteyauthreconnermngdeeeureestihateec ermpaat sets m An.h.Gustin ^onnel meee 7 a syrenger dienrern for a Euclidean space En of dimension n: a connected set intersected by any hyperplane at no more than n pointe is a simple continuous curve lying on the boundary of a convex set Note that in a projective space of dimension n the requirement that the curve intersects aH hyeerplanes at oemare taannpointi ^eiincluded in the definition of a convex curve. Thus, the established I^e^ct, togetherwith the resultof V. Gustin, shows the oontiguityof theconcepts of ctnvexity in all three spaces.
Key words: convex curve, weakly convex curve, order of curve, enic, moment curve.
Введение. Обозначения: An - те-мерное аффинное пространство, En - те-мерное евклидово пространство, RPn - действительное проективное те-мерное пространство. Кривая (линия) — одномерное связное многообразие в одном из указанных пространств. Невырожденная кривая — кривая, не содержащаяся ни в какой гиперплоскости. Максимум точек пересечения множества с гиперплоскостями при условии конечности значения называется порядком множества. В статье обсуждаются некоторые обобщения понятия вы-
пуклой кривой, связанные с порядком множества, и соотношения между определяемыми ими классами кривых.
Изначально выпуклая кривая рассматривалась как связное подмножество границы выпуклого множества в A2 или E2. Строговыпуклая кривая — выпуклая кривая, не содержащая отрезков.
Существуют различные обобщения понятия выпуклости для кривой, обусловленные: а) расширением класса кривых с сохранением некоторых свойств выпуклых кривых, б) перенесением
его в другие пространства, в) увеличением коразмерности.
Естественным обобщением типа а) служит понятие локально выпуклой кривой, как кривой, всякая точка которой имеет окрестность (на кривой), являющуюся выпуклой кривой. Тогда всякая выпуклая кривая является локально выпуклой в указанном смысле. Логарифмическая и архимедова спирали представляют собой локально выпуклые, но не выпуклые кривые. Поэтому такое понятие расширяет класс выпуклых кривых. Однако само понятие окрестности точки на кривой с самопересечениями можно трактовать по-разному. Пусть кривая 7 е А2 задается погружением г = г^), t е I, где I числовой промежуток. Если под окрестностью точки х е 7 понимать окрестность, индуцированную на кривой объемлющим пространством, т. е. пересечение пространственной окрестности и точки х с кривой 7 как образом числового промежутка I при погружении г(Ь), то в этом случае самопересекающиеся кривые следует исключить из класса локально выпуклых кривых. Если точку самопересечения х рассматривать как набор х = [г(Ьа)\ а е А} параметрических точек, «привязанных» к параметрам, то понятие окрестности можно соотносить с параметрическими точками г^а), понимая под этим термином образ окрестности Ja точки ta в I при погружнии г(1). В последнем случае мы получим более широкий класс кривых, включающий и самопересекающиеся кривые, такие как декартов лист, улитка Паскаля. Почему же такое, казалось бы, естественное определение локальной выпуклости кривой не фигурирует в научной литературе? Картину «портят» прямолинейные дуги (отрезки), существование которых допускается сформулированным выше, в том числе уточненным определением. Именно благодаря им в данный класс попадают кривые с различными направлениями выпуклости вдоль кривой, например, кривая
{(х + 1)3 при х е (—ж, — 1)
0 при х е (—1,1) . (х — 1)3 при х е (1, +ж)
В частности, в этот класс включаются абсолютно все ломаные. Из ломаных легко получить и гладкие линии, подпадающие под это определение, «сглаживая» окружностями углы так, чтобы оставались прямолинейные отрезки — «участки перегиба». Если же потребовать, чтобы кривые не содержали прямолинейных отрезков, то, наоборот, класс кривых неоправданно сузится, так что не будет содержать ломаных вообще, даже выпуклых.
В научной литературе мы нашли понятия локальной выпуклости, сформулированные отдельно для регулярных (класса гладкости Сх) кривых
и отдельно для ломаных.
Регулярная кривая в E2 называется локально выпуклой, если соответствующая ей угловая функция (угол касательной к кривой по отношению к оси как функция параметра, т. е. угол
f (t) iC
между единичным вектором и первым оа-
зисным ортом i ортонормированного правого базиса |iji|) строго монотонна, что равносильно условию знакопостоянства кривизны [1, с. 567]. По определению замкнутая строго выпуклая регулярная кривая локально выпукла. Установлено [2, с. 163 - 165], что замкнутая регулярная плоская кривая без самопересечений выпукла тогда и только тогда, когда ее угловая функция является слабо монотонной функцией параметризации кривой. Отсюда следует, что замкнутая без самопересечений локально выпуклая кривая выпукла.
Замкнутая ломаная, заданная упорядоченным набором вершин x0, xi, ..., xk, называется локально-выпуклой, если ориентированный угол между всеми парами векторов xi-lxi, xix-+l, i = l,...,k, при условии xk = x0, xk+i = xi, принадлежит промежутку (0, п) (или (—п, 0) при другой ориентации ломаной) [3, с. 142].
Единого понятия локально выпуклой кривой, охватывающего как регулярные, так и негладкие кривые, нам не известно даже в случае евклидовой плоскости.
В.С. Климов установил в [1] для локально выпуклой замкнутой кривой 7, а также для локально выпуклой замкнутой ломаной 7 неравенство:
N(y) < 2\degj\, (1)
где N(y) - максимальное число точек пересечения, а в случае ломаной — максимальное число связных компонент пересечения y со всевозможными прямыми, degY - степень кривой y (в случае ломаной Е.С. Запутряева называет эту характеристику индексом ломаной [3]).
Тут уместно вспомнить предложение, которое, на наш взгляд, послужило источником важных обобщений.
Предложение 0 [4, с. 49]. Кривая строго выпукла тогда и только тогда, когда пересекает любую прямую не более чем в двух точках.
Так как степень гладкой замкнутой несамопе-ресекающейся кривой равна ±1 [5, теор. 5.5, с. 75], то из неравенства (1) также вытекает, что замкнутая несамопересекающаяся локально выпуклая кривая пересекается с прямыми не более чем в двух точках. Тогда из предложения 0 вытекает
Теорема 0. Регулярная замкнутая несамопе-ресекающаяся локально выпуклая кривая является строго выпуклой.
В терминах «порядка множества» строгая выпуклость кривой равносильна тому, что ее порядок равен двум.
Обобщениями по размерности понятия выпуклой кривой занимались И. Шоенберг, В. Седых и автор данной статьи. В.Д. Седых предложил термин «слабовыпуклая кривая» для кривой, лежащей на границе своей выпуклой оболочки. Таковой является всякая кривая на выпуклой гиперповерхности. Слабо выпуклые кривые интересовали его в связи с изучением точек уплощения [6, 7]. Нами в качестве выпуклых рассматривались кривые в Е", в каждой точке которых существует (п — 1)-гранный угол раствора не меньше некоторого фиксированного значения, а также более узкие классы строго и сильновыпуклых кривых [8]. Определенные таким образом выпуклые кривые оказываются слабо выпуклыми. Обратное неверно, что демонстрирует локсодрома на сфере: она слабо выпукла, однако при приближении точек кривой к полюсам содержащие их двугранные углы «разворачиваются» в полупространство, и их растворы стремятся к нулю. И. Шоенберг определил выпуклую ломаную в Е" как ломаную, не содержащуюся ни в какой гиперплоскости и пересекаемую всякой гиперплоскостью не более чем в п точках. Невырожденную замкнутую (являющуюся гомеоморфным образом окружности) в Е2" кривую он назвал выпуклой, если все вписанные в нее замкнутые ломаные выпуклы в Е2" (рассмотрение кривых в четномерном пространстве обусловлено тем, что таких замкнутых кривых в Е2"+1 не существует). Для нее И. Шоенберг установил изопериметрическое неравенство, оценивающее длину через объем выпуклой оболочки [9], и показал, что выпуклые кривые в Е2" лежат на границе своей выпуклой оболочки. Если принять во внимание, что выпуклые по Шоенбергу кривые в Е2" имеют порядок 2п, то последний факт также следует и из теоремы В. Густина [10], доказавшего, что связное множество в Е", имеющее порядок п, представляет собой простую непрерывную кривую, лежащую на границе выпуклого множества.
Поскольку в проективном пространстве отсутствует понятие выпуклой оболочки, то идея Шо-енберга определения выпуклости через порядок множества оказалась востребованной и породила ряд обобщений, возвратившихся в евклидову геометрию под теми же названиями [11-13]. Именно, замкнутая кривая называется выпуклой в ИР", (или Е"), если всякая гиперплоскость пересекает её не более, чем в п точках с учётом кратности пересечения. Заметим, что сильно выпуклые кривые по определению Поликановой могут не быть выпуклыми в указанном смысле. Например, гладкая замкнутая кривая в Е3, представляющая собой объединение четырех полуокружностей, вписанных в боковые грани куба, является сильно выпуклой и пересекается плоскостями, параллельными основаниям и расположенными между ними, в четырёх точках. Более того, эта кривая даже
не имеет конечный порядок: боковые грани куба пересекают кривую по бесконечному множеству точек — полуокружности. Исследованием проективных выпуклых кривых занимались С. Анисов [11,12], Б. Шапиро [13] и другие.
Главный результат статьи (теорема 1) устанавливает, что класс кривых порядка n в An включается в класс слабо выпуклых кривых. Так как в свободном доступе имеется только 1-ая страница статьи В. Густина с анонсом его открытий, нам трудно судить о том, насколько существенна метрика пространства для обоснования утверждения и различаются ли доказательства для An и En .
1. Необходимые факты из теории выпуклых множеств. Границу и внутренность множества X в An будем обозначать дХ и intX соответственно, а относительно содержащей его m-мерной плоскости через дтХ и intmX.
Множество называется выпуклым, если вместе с каждой своей парой точек оно содержит и прямолинейный отрезок с концами в этих точках.
Выпуклой оболочкой множества X называется минимальное выпуклое множество, содержащее X; минимальность понимается в том смысле, что всякое выпуклое множество, содержащее X, содержит и его выпуклую оболочку. Обозначается conv X.
Выпуклая оболочка k + 1 точек общего положения называется k-мерным симплексом с вершинами в данных точках.
Экстремальной точкой множества X, иначе крайней, называется точка, не являющаяся внутренней ни для какого отрезка с концами в X. Множество экстремальных точек множества X будем обозначать ext X.
Сформулируем ряд фактов относительно выпуклых оболочек и экстремальных точек.
Предложение 1.
a) Ki С K2 ^ convKi С convK2.
b) convKl U convK2 С conv(Kl U K2).
c) conv (convK) = convK.
Предложение 2 [14, теор. 2.6, с. 20].
Выпуклая оболочка компактного множества компактна.
Предложение 3 (теор. Каратеодори) [14, теор. 2.4, с. 18].
Выпуклая оболочка множества X есть объединение всех m-мерных симплексов (m < n) с вершинами в X.
Предложение 4 [14, пример 2.2, с. 18]. Пусть X, Y - непустые выпуклые множества. Тогда
conv(X U Y)= У [AB]
Aex, BeY
Предложение 5 [14, замечание 4.1, с. 31].
Крайние точки выпуклого множества принадлежат его границе относительно содержащей его аффинной плоскости.
Предложение 6 (теор. Крейна-Мильмана) [14, теор. 4.2, с. 32].
Если выпуклое множество X компактно, то X = сопл(вхЛХ) .
Предложение 7 [14, теор. 4.1, с. 31].
вхЛ(еоплХ) С X.
Предложение 8 [14, пример 1.4, с. 10].
Граница п-мерного симплекса S есть объединение (п — 1)-мерных симплексов Sj (его граней), натянутых на все вершины симплекса S, кроме j-ой.
2. Вспомогательные утверждения. Вывод основного результата опирается на леммы.
Лемма 1. Если точка С е X не является крайней точкой множества сопи X, то существует симплекс размерности > 1 с вершинами в X, содержащий точку X в качестве своей внутренней точки.
Доказательство. Если С е X не является крайней точкой множества сопи X, то существуют точки А, В е сопи X, такие, что С е [АВ] и С = А, С = В. По теор. Каратеодори (предл. 3) существуют симплексы Б а и Б в с вершинами в X, такие, что А е Б а и В е Sв (не исключено, что Б а и Sв - нульмерные симплексы, совпадающие с точками А и В соответственно). Пусть Т - множество вершин обоих симплексов. Тогда Т С X. По предл. 4
С е сопи (Ба и Б в).
Учитывая, что симплекс является выпуклой оболочкой своих вершин, на основании свойств выпуклых оболочек (предл. 1) выводим:
Б а и Б в С сопи Т ^
сопи(БА и Б в) С сопи(сопи Т) = сопиТ и, следовательно,
С е сопи Т.
Так как конечное множество Т компактно, то по предл. 2 компактна и его выпуклая оболочка сопи Т. По теореме Крейна-Мильмана (предл. 6)
Т=
conv(вxt(conv Т)).
Значит,
С е сопи(вхЛ(сопи Т)).
По предл. 3 найдется симплекс с вершинами в вхЛ(сопи Т), содержащий точку С. Пусть Б - симплекс минимальной размерности т из всех таких
симплексов, т < п. Заметим, что С е вxt(conv Т), поскольку С внутренняя точка отрезка [АВ], причем, А, В е Сопи Т. Поэтому 1 < т < п. Если бы С е дтБ, то точка С по предл. 8 принадлежала бы (т — 1) -мерной грани симплекса Б, что противоречило бы минимальности размерности т содержащего точку С симплекса. Значит, С е По предл. 7
вxt(conv Т) С Т.
Вспоминая, что Т С X, заключаем, что вершины симплекса Б принадлежат множеству X. Симплекс Б - требуемый.
Лемма 2. Пусть С - внутренняя точка k-мерной грани
Бо = сопи {Ао, Аь ..., Ак}
п-мерного симплекса
Б = сопи {Ао, Аь ..., Ап}
в Ап, 1 < k < п. Тогда гиперплоскость а, проходящая через точки
Ао
, Ап, С,
разделяет точки А0 и А1.
Доказательство. Поскольку векторы А0А1,..., А0Ап линейно независимы, то их можно принять за базис векторного пространства Vп, присоединенного к аффинному пространству Ап. Рассмотрим аффинную систему координат А0ёъ с базисом = A0Ai, г = 1,...,п. В ней вершины симплекса Б имеют координаты:
Ао(0, 0,...,0), АД0,...,0,0,...,0),
а точка С имеет координаты (а1,..., аи, 0,..., 0), где
к
а1 > 0,...,ак > 0, ^ а < 1
i=1
(это следует из предл. 8, если начало координат перенести в точку Ао).
Подставляя в уравнение гиперплоскости
а : 61x1 + ... + ЬпХп + Ьо = 0
(2)
(здесь Ь^ е К, j = 0,1,... ,п) координаты точек Ао,..., Ап, С, найдем коэффициенты уравнения гиперплоскости а из системы
Ьо + Ьо = 0
Ьз + Ьо = 0 ............ =>
Ьп + Ьо = 0
Ь1а1 +-----+ Ьк а.к + Ьо = 0
Г Ьо = —Ьо
Ь3 = —Ьо
Ьп = —Ьо
Ь1 = («2 +
Подставляя их в (2) и деля обе части равенства на Ь0, получим уравнение гиперплоскости а :
1 - (а2 +-----+ ак)
а1
Х1 + Х2 + ■■ ■ + Хп - 1 = 0.
Обозначим левую часть равенства через I(М) = I (Х1,Х2, ...,Хп). Тогда
I (Ао) = -1, I (А1)=1 - (а2 + ■■■ + ак) - 1.
а1
Учитывая, что а2 + ■ ■ ■ + < 1 - а1, оценим 2-е значение:
1 - (а2 + ■ ■ ■ + ак) 1 > 1+(а1 - 1) 1=0 ^
а1
а1
I(А1) > 0.
Значит, точки А0 и А1 принадлежат разным открытым полупространствам, ограниченным гиперплоскостью а, что и требовалось установить.
3. Основной результат. Доказанное ниже достаточное условие слабой выпуклости кривой усиливает более ранний результат автора [15], относящийся к кривым, являющимся компактными множествами.
Теорема. Невырожденная кривая в Ап лежит на границе своей выпуклой оболочки, если всякая гиперплоскость пересекает ее не более чем в п точках.
Доказательство. Пусть всякая гиперплоскость пересекает линию 7 не более чем в п точках. Так как крайние точки выпуклого множества являются граничными для него (предл. 5), то достаточно доказать, что все точки линии 7 - крайние для ее выпуклой оболочки. Допустим, что это не так: существует точка С 6 не являющаяся крайней для сопл По лемме 1 существует симплекс S размерности т, 1 < т < п с вершинами на 7 и содержащий точку С в качестве внутренней точки.
Если т < п - 1, то, поскольку линия не содержится ни в какой гиперплоскости, можно указать еще п - т - 1 точек линии 7, отличных от С, и таких, что вместе с вершинами симплекса S они образуют (п- 1)-мерный симплекс <5. Тогда гиперплоскость, содержащая (п - 1)-мерный симплекс
если т < п - 1, или если т = п - 1, будет иметь п +1 точек пересечения с именно: вершины симплекса и точку С. А это противоречит определению Следовательно, т = п.
Пусть < = сопл {А0 ,А1,...,Ап} - п-мерный симплекс, содержащий точку С в качестве внутренней. Вершины симплекса можно считать занумерованными в соответствии с одним из двух естественных порядков точек на 7 (возрастания или убывания сответствующих им параметров).
Более того, можно считать, что точка С не принадлежит дуге А0А1, в противном случае обратный порядок точек приведет нас к требуемой ситуации, поскольку дуги А0А1 и Ап-1Ап не имеют общих внутренних точек. По лемме 2 гиперплоскость а, проходящая через п точек А2, ...,Ап,С общего положения, разделяет точки А0 и А1. Если бы дуга А0А1 не пересекала гиперплоскость а, то она содержалась бы в объединении двух непересекающихся открытых полупространств, ограниченных гиперплоскостью а и представляющих собой открытые множества в Ап. Но связное множество, содержащееся в объединении двух непересекающихся открытых множеств пространств, целиком содержится в одном из них [16, теор. 7G, с. 120]. Поэтому дуга А0А1, представляющая собой связное множество, должна целиком содержаться в одном из открытых полупространств, ограниченных а. А это не так. Значит, дуга А0А1 пересекает гиперплоскость а в некоторой точке D, отличной от А0 и А1. Точка D должна совпадать с одной из точек набора А2,..., Ап, С, так как иначе гиперплоскость а пересекала бы линию 7 в п +1 точках, что противоречило бы определению Но С 6 А0А1. Поэтому D совпадает с одной из точек А2,... ,Ап. Получили, что линия 7 имеет точку самопересечения, что противоречит определению линии как одномерного многообразия. Полученное противоречие доказывает, что все точки линии 7 суть крайние для ее выпуклой оболочки, а, значит, 7 6 д(сопл т. е. линия 7 слабо выпукла в смысле Седых. Теорема доказана.
Эникой называется кривая в Ап, задаваемая в некоторой аффинной системе координат параметризацией
т = ^ ■ ■ ; п
(здесь верхние индексы обозначают степени). В Еп она называется кривой моментов. Учитывая, что эника пересекается с каждой гиперплоскостью не более чем в п точках [17, следствие 8], выводим
Следствие. Эника в Ап лежит на границе своей выпуклой оболочки.
Заключение. Таким образом, класс слабо выпуклых кривых в аффинном и евклидовом пространствах является самым широким из рассмотренных выше обобщений выпуклой кривой и совпадает в размерности 2 с классом обычных выпуклых кривых, а класс выпуклых кривых, определяемых через порядок, совпадает в размерности 2 с классом строго выпуклых замкнутых кривых. Неизученным остается вопрос о соотношении классов выпуклых кривых в смысле Поликановой и выпуклых кривых, определяемых через порядок множества. Приведенный во введении пример сильно выпуклой кривой показывает, что они не совпадают.
Библиографический список
1. Климов В.С. О локально выпуклых кривых //Моделирование и анализ информационных систем. 2017. Т. 24, №5. DOI: 10.18255/1818-10152017-5-567-577.
2. Gray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. New York, 1997.
3. Запутряева Е.С. Изгибания равносторонних многоугольников с сохранением индекса // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. DOI: 10.18255/1818-10152017-5-567-577.
4. Christian Bar. Elementary Differential Geometry. Cambridge, 2010.
5. Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М., 2004.
6. Седых В.Д. Теорема о четырех вершинах пространственной кривой // Функцион. анализ и его прил. 1992. Т. 26, вып. 1.
7. Седых В.Д. Теорема о четырех вершинах плоской кривой и ее обобщения // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6, № 9.
8. Поликанова И.В. Выпуклые кривые в En. Новосибирск, 1984.
9. Schoenberg I.J. An isoperimetric inequality for closed curves convex in even-dimensonal euclidean spaces // Acta mathematica. 1954. Т. 91.
10. Gustin W. Sets of finite planar order. //Duke Math. Journal. 1947. Т. 14.
11. Анисов С.С. Выпуклые кривые в RPn // Локальные и глобальные задачи теории особенностей: сб. ст. к 60-летию академика Владимира Игоревича Арнольда (Россия, Москва). Тр. МИАН. 1998. Т. 221.
12. Anisov S.S. Projective convex curves //The Arnold-Gelfand mathematical seminars: geometry and singularity theory. Boston, MA. 1997.
13. Shapiro B. Discriminants of convex curves are homeomorphic //Proceedings of the American Math. Soc. 1998. Vol. 126, № 7.
14. Лейхтвейс K. Выпуклые множества. М., 1985.
15. Поликанова И.В. О линиях с фиксированным максимумом точек пересечения с гиперплоскостями: c6. трудов XVII региональной конф. по математике «МАК-2014», посвящ. 40-летию факультета математики и информ. техн. Барнаул, 2014.
16. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.
17. Поликанова И.В. Пересечения полиномиальных линий с плоскостями // Известия Алт. гос. ун-та. 2017. Т. 96, № 4. DOI: 10.14258/izvasu(2017)4-26.
