CC BY
4References:
1. Z.M. Li, Z.Z. Guan, Horizontal Well Completion and Stimulation Technology, Beijing, Petroleum Industry Press, 1995.
2. H.M. Guo, Introduction of Production Logging, Beijing, Petroleum Industry Press, 2003.
3. W.P. Luo, Foreign Production Logging Technique for Horizontal Well, Well Logging Technology. 21(1997)380-384.
4. R.K. Yarullin, geophysical studies of existing horizontal wells at a late stage of oil field exploitation. [Text] /A. G. Tikhonov. // Scientific and technical bulletin of AIS " Logger ". - 2010. - No. 000. - P. 3-14.
5. R.K. Yarullin, downhole equipment at the stand - as an obligatory element of testing during development and transfer to production. [Text] / Electronic
scientific journal "Oil and Gas Business". - 2012. - No. 3. - S. 300-308.
6. A.R. Yarullin, Testing well tools on the stand as an obligatory checking stage of development and manufacturing application. [Text] / R. Valiullin, R. Yarullin, A. Yarullin. // Electronic scientific journal «Oil and Gas Business». - 2012. - Issue 3. - pp. 309316.
7. Pat. 2 Russian Federation. A device for calibrating hot-wire sensors for fluid flow velocity [Text] / Patent holders State educational institution of higher professional education "Bashkir State University". -/28; dec. October 28, 2009; publ. May 10, 2011, Bull.
RESEARCH OF THE RANDOM PROCESS LOAD CURRENT OF THE TRANSFORMER
SUBSTATION
Khmelnitsky E.
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Electrical Engineering and Electromechanics, Dniprovsky State Technical University, Kamianske, Dnipropetrovsk region, Ukraine
Klyuyev O.
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Electrical Engineering and Electromechanics, Dniprovsky State Technical University, Kamianske, Dnipropetrovsk region, Ukraine
Dehtyar K.
Bachelor of the Department of Electrical Engineering and Electromechanics, Dniprovsky State Technical University, Kamianske, Dnipropetrovsk region, Ukraine
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ВИПАДКОВОГО ПРОЦЕСУ СТРУМУ НАВАНТАЖЕННЯ ТРАНСФОРМАТОРНО1 ЩДСТАНЦП
Хмельницький С.Д.
Кандидат техтчних наук, доцент кафедри Електротехтки i Електромехатки, Днтровський державний технгчнийунгверситет, Кам'янське
Днтропетровська область, Украна Клюев О.В. Кандидат техтчних наук, доцент кафедри Електротехтки i Електромехангки, Днгпровський державний технгчнийунгверситет, Кам'янське
Днтропетровська область, Украна Дехтяр К.Р.
Бакалавр кафедри Електротехтки i Електромехангки, Днгпровський державний технгчнийунгверситет, Кам'янське
Днтропетровська область, Украна https://doi. org/10.5281/zenodo. 7198622
Abstract
In article the technique of the analysis of electrical loads of consumers as non-stationary casual processes with hidden periodicities is submitted. The estimation of outcomes of decomposition of casual process in a trigonometrical series happens on the basis of inspection of statistical hypotheses. The obtained performances of investigated casual process can be used for prediction of his extremes, and also for the purposes of optimum control. Аннотация
В статье представлена методика анализа электрических нагрузок потребителей как нестационарных случайных процессов со скрытыми периодичностями. Оценивание результатов разложения случайного
процесса в тригонометрический ряд происходит на основании проверки статистических гипотез. Полученные характеристики исследуемого случайного процесса могут быть использованы для прогнозирования его экстремальных значений, а также для целей оптимального управления.
Keywords: load current as a random process, hidden periodicities, trigonometric series, statistical hypothesis, agreement criterion, correlation function.
Ключевые слова: ток нагрузки как случайный процесс, скрытые периодичности, тригонометрический ряд, статистическая гипотеза, критерий согласия, корреляционная функция.
Вступ. Ввдоме, що iснуючi методи досль дження i прогнозування випадкових стацюнарних процеот не застосовт безпосередньо до проце^ нестацюнарних. Однак в енергопостачант побуто-вих i промислових навантажень, навантажень при-мкьких залiзниць i т.д. часто приходиться зштов-хуватися з нестацiонарнiстю випадкових проце^ струму споживання. Як правило, пстограми, отри-манi в таких випадках, мають декiлька вершин i не апроксимуються нормальним розподiлом. Бажано з такого нестацiонарного випадкового процесу видь лити, якщо це можливо, детермiновану складову, залежну вiд часу, i випадковий стацiонарний про-цес, до якого можуть бути застосоват в залежностi вiд конкретно! мети рiзноманiтнi методи досль дження.
Мета роботи складаеться у викладенi i практичному застосуваннi методики аналiзу нестацюнар-них випадкових процесiв зi схованими перюдично-стями.
Матерiали i результати досл1джень. У зага-льному випадку нестацiонарного випадкового процесу не кнуе статистичних методiв його досль дження. Однак випадковi процеси в електропоста-чаннi мають добову, тижневу, рiчну й iншу перюдичшсть у силу перiодичностi роботи пщпри-емств i транспорту, побутових навантажень. Труд-нощiв обробки нестацiонарного випадкового процесу можна уникнути, якщо як математичну модель прийняти наступне його представлення [1]:
x(t )= m(t )+8(t), (1)
де х(1) — дослiджуваний процес; ш(1) — ма-тематичне очшування, яке залежить вiд часу; 8(1) — стацiонарний нормальний процес з параметрами N(0, а).
Передбачаеться, що нестацюнартсть випадкового процесу х(1) обумовлена тiльки змiнним ма-тематичним очжуванням, яке у свою чергу е детер-мiнованою функцiею. Тодi центрований випадковий процес 8(1) = х(1) — ш(1) мае властивкть стацiонарностi. Якщо припущення вiдносно 8(1) вiрнi, то при достатньо представницькгй вибiрцi з процесу х(1) середне значення 8(1) наблизиться до нуля i залишиться тiльки детермiнована функда ш(1). Математичне очкування ш(1) в силу перю-дичностi випадкового процесу х(1) може бути
представлене у виглядi ряду Фур'е, коефiцieнти якого визначаються методом найменших квадратiв [2].
Таким чином, представимо функцiю m(t) ввд-рiзком ряду Фур'е: a г
m(t) = — + ^(a¡ cosQ¡t + b¡ sinQ¡t), (2) 2 i=i
2л. .
де Qi = i; i = 1,...,r; T - перiод першо! гармонiки.
Процес збору експериментальних даних при-пускае здiйснення операцй' дискретизацй' за часом безперервних реалiзацiй випадкового процесу. Ця операцiя звичайно проводиться через рiвнi промь
жки часу A(t). Причому величина iнтервалу дис-кретностi A(t) повинна бути такою, щоб значення випадкового процесу на кнцях iнтервалу x(tj) i x(tj+ j) були некорельованi. Вибiр величини A(t)
вщповвдно до зазначено! умови забезпечуе, з одного боку, незалежнсть вибiркових значень процесу x(t), що уможливлюе застосування для !х обробки розвинених методiв математично! статистики; з шшого боку, можна чекати швидку збiжнiсть ряду Фур'е, тобто таку, коли число членiв у розкладанш (2) не перевищить максимального, котре можливо визначити при такому крощ кванту-вання. Загальна кiлькiсть вихщних даних при m реалiзацiях випадкового процесу буде дорiвнювати n = ml i повинне бути парним. Зареестроваш значення x(t) зручно заносити в таблицю, кожен рядок яко! вiдповiдае визначенш реалiзацii, а число стовпцiв дорiвнюе числу значень випадкового процесу l в однiй реалiзацii'.
Виразивши вiдхилення випадково! величини вiд ii математичного очiкування, одержимо:
e(tj)= x(tj)- —0-¿(ai cosraitj + bi sinroitj), (3)
де j = 1,..., n . Для оцшки невiдомих коефiцiентiв а
0, ai
вимагатимемо вiдповiдно до методу найменших квадрата [2], щоб
S=Ё82(tj)=Ё x(tj)--0-E(aicosQitj + bisinQitj)
j=i j=i L 2 i=i _
^ min
(4)
по змшним а о, a;, b .
Екстремальне значения виразу (4) виходить у результат! розв'язання системи ршнянь:
dS. = = о; = о.
dar
da; ' db:
(5)
Розв'язання системи (5) ктотно спрощуеться при використант матрично! алгебри. Введемо мат-рицю:
А =
Л
соав112
соя»^п
sin ro1t1
sin ro1t2
cos ш rt1
cosшrt2
sin rort1
sin ш rt2
sin ш1tn
cos шrtn
(6)
яка мае n рядив i 2r +1 стовпцiв. Далi поз-начимо Со = ao,Cj = а1зС2 = Ь1з...,
C2r—1 = ar,C2r = br .
Тодi транспонована матриця-стовпець С за-пишеться у виглад:
С' =(Co,C1,C2,...,Ci,...,C2r—1,C2r ). (7) У такому випадку рiвияння (3) перепишуться в такий спосiб:
E = X — AC . (8)
Вираз (4) у матричнш формi запису прийме ви-гляд:
sin шrtn
отриманих у виглад лшшно! комбшаци вихвдних
даних x(t j) (j = 1, n). Питання про кiлькiсть чле-
н1в ряду Фур'е, яке потрiбно зберегти в розкладаинi, визначаеться перевiркою на значимiсть оцшок кое-фщентш за критерiем Стьюдента.
Перш нж застосувати критер1й Стьюдента, не-
обхвдно знайти дисперси оцшок С коефiцiентiв С . Вони повиннi виражатися через дисперси вимiрю-вано! величини x(tj) за допомогою деяко! лшшно! комбшаци, тому що сам оцшки е лшшними комбь нацхями результат1в вимiру x (tj). У загальному
S = E'E = (X — AC)' (X — AC) = XX — 2C'A'X+CA 'АРерс1е елементами головно1 дагошш 4 / 4 ' матрицi коварацш. 3i сказаного вище про ввдсут-
(9) нiсть кореляци мiж сусвдшми значениями випадко-
де E = (£(ti), s(t2 £(tn )), вого процесу x(tj) i x(tj+1), випливае умова:
X'=(X! (t1 ),...,x1 (t[), cmfxftlxft H = 0 (12)
x2 (t1 ),..,x2 (tl ),...,x; (t1 ),...,x; (t[ ),...,xm (t1 ),...,xm (tC))1_xl j J'xl j + 1JJ .
Випадковий процес x(t) вiдрiзняеться ввд ста-
2 1 2 - вектори-стовпцi розмiрнiстю (n x 1).
Диференцiюючи (9) по кожному коефщенту с i, одержимо систему р1внянь:
— 2A'X + 2AAC = 0 , (10)
вщкшя оцшки коефщентш с i визначаються з розв'язання системи:
C = (a'A)—1A'X (11)
за умови, що матриця B = А А - невиро-джена. Матриця В з урахуванням властивостей тригонометричних функцiй виходить квадратною, дiагональною, розмiром (2r + 1) x (2r +1).
Як показано в [2], отримаш оцiики с; (i = 0,2r) володiють наступними важливими властивостями: величини с i е незм1щеними оцшками коефiцiентiв с i i не залежать ввд вигляду розподiлу s(t); отримаш оцшки е найкращими з усiх можливих шших,
цюнарного процесу s(t) з параметрами N(0, а)
на величину невипадково! функцп m(t), тому роз-глянутi перетини цього процесу мають однаковi ди-
2
сперсй а . Тодi з урахуванням (12) випливае вираз для дисперсш D(X) результат1в вимiрiв x(tj):
D(x) = а 2E , (13)
де E — одинична матриця.
Далi визначимо дисперси оцшок коефiцiентiв
с i. Позначимо матрицю
(а'А)—1 А' = F . (14)
Тодi (11) можна записати у виглядi:
С = FX (15)
i матриця дисперсш оцшок визначиться як результат наступних перетворень:
d[C] = D[FX] = FD[X]F' =(a'a) 1 А' а 2Ea(a'a) 1 =а 2 (a'a) 1 =а 2B—1.
(16)
Таким чином, за формулою (16) можуть бути визначеш дисперси оцшок коефщентш с i, 1 = 0,1,...,2r. Варто пщкреслити незалежнють цих оцшок, що випливае з дагонального виду матрицi В.
Тому що а — величина неввдома, то вона за-мшюеться на оцшку S 2 дисперс1й у перетинах ви-падкового процесу x(t), обумовлену за формулою [3]:
1
S2 =
(x - AC )'(x - AC)
v
(17)
де v = n — 2r — 1- число ступен1в свободи. Якщо матриця дисперс1й оц1нок коеф1щент1в ряду Фур'е визначаеться виразом
d[c ]=S2B—1,
то погр1штсть оц1нок коеф1щент1в
ti,v =
c- — cii
л/Dc"
(18)
(19)
максимальна: 12
SLx = max (s2,s2,...,s2 ) .
Якщо значення статистики
(20)
G =
s2 + s2 +... + s2
(21)
мае розпод1л Стьюдента 3i v = n — 2r — 1 ступенями свободи.
Г1потеза Н 0, що перевiряегься, полягае в
тому, що сi = 0 . При цьому, якщо значення ti v, обчислено за (19), виявляеться б1льше критичного t кр для даного рiвня значимостi q%, то ппотеза
Н о в1дкидаетъся, i оцшка приймаеться значимою
[4]: с ^ 0 . У випадку, якщо виконуеться зворотна
умова, то оцшка коеф1щента с i вважаеться незна-чущою, i даний член розкладання вщкидаетъся. Варто щдкреслити, що якщо дослвджуваний
процес x(t ) у дшсносл е стацiонарним, то ва кое-фiцiенти в розкладанш (2) виявляться статистично незначущими за винятком коефiцiента a о [5].
Шсля того як виконана апроксимац1я функцп m(t) рядом Фур'е, по отриманих величинах s(t j )
будуемо гiстограмy i перевiряемо нормальнiсть ро-
2
зпод1лу за критерiем xi-квадрат X .
Для перевiрки г1потези Н о про р1вн1сть дисперсий процесу в р1зн1 моменти часу можна засто-сувати критерш Кокрена. У кожному перетинi випадкового процесу s(tk ) (k = 1, l) обчислюеться оц1нка дисперсй' Sk . З l дисперс1й Sk вибираеться
виявиться менше О^ , знайденого по табли-
цях [4] для у = ш — 1 ступетв свободи, I дисперсй i заданого р1вня значимостi, то гшотеза про р1в-нiсть дисперсш приймаеться.
Подальше дослщження укладаеться в рамки метод1в, застосовуваних для стацiонарних проце-с1в. Спектральна щiльнiсть i кореляцшна функц1я виражаються взаемно одна через шшу перетворен-нями Фур'е:
да
Я(т)=| ) сов2лМГ ,
0
да
)= 4[ Я (т) сов2лМт, (22)
а нормована кореляцшна функц!я i нормована спектральна щшьшсть запишуться у вигляд1:
,_RM s(f)= S(f)
рМ=
D
D
(23)
де D — дисперс1я обчислена по одн1й реал1за-цй' процесу s(t) утворено! як сума m реалiзац1й тако! ж загально! тривалост1.
Функцй' р(т) й s(f ) аналог1чно зв'язан1 пере-твореннями Фур'е:
да
р(т) = Js(f)cos2TCfidf ,
о
да
s(f ) = 4jp(i)cos2^fTdT. (24)
о
Для перев1рки ефективност1 викладено! вище розрахунково! методики був зд1йснений анал1з результата вим1ру випадкового процесу зм1ни д1ю-чого значення струму в однш з фаз вторинно! обмотки трансформатора тиристорного перетворювача одного з прокатних цех1в Кривор1зького металур-г1йного комб1нату. Усього було зроблено 2320 ви-м1р1в струму з штервалом м1ж вим1рами в одну секунду. У такий споаб був отриманий вихщний ви-падковий процес, який наведений на рисунку 1.
Рисунок 1 Графж навантаження силового трансформатора
Рисунок 2 Математичне оч^вання випадкового процесу змти наванта-ження силового трансформатора
2
S
о
Шсля того, як були узят1 перш1 п'ятнадцять га-рмошк ряду ( r = 15 ), програма, написана мовою
програмування середовища Matlab, здгйснила роз-рахунок оцiнок коефiцieнтiв ряду Фур'е за формулою (11). При цьому отриманi наступнi результати:
- оцгнка постшно! складово! ряду а0 = 1758;
- значення амплпуд косинусо!дальних складо-вих а1з..., а15 : -52.6, 6.5, 101.7, 2.2, 57.1, -19.3, 24.1,
-23.3, 19.2, -55.6, -4.1, -5.9, 33.9, -2.2, 9.1;
- значення амплггуд синусо!дальних складо-
вих Ь1>...,Ь15 : 62.1, -42.7, 29.1, 11.5, -17.7, -6.5, -
16.8, -26.6, -14.1, 14.9, 7.2, 0.73, -7.7, -1.3, -5.4.
Оцшка дисперси випадкового процесу, визна-
чена за формулою (17), Б2 = 1908 Г 8 = 43.68. Величини дисперсш оцгнок коефгщентш
Яо,а;,Ь; вгдповгдно до (18) доргвнюють:
Эа0 = 3.37, Ба1 = БЪ1 = 1.72, 1 = 1,...,г .
ДалГ за формулою (19) обчислеш значення 1 — статистики Стьюдента, записаш в наступному по-
Ь с
рядау tg0,tSl,t^,t
,...,tST,tfir : 956А
Ь; за критерieм Стьюдента отримаш HacTynHi результати: статистично незначущими виявилися ощ-нки i ixni значения приймаються
р1вними нулю. Графш детермiноваиоï перiодичноï складово].' дослвджуваного процесу наведений на рисунку 2.
Для стацюнарносп центрованого процесу s(t ) необхщне виконання умови сталосл дисперси. Для цього визначаеться оцшка дисперси S^ в кожному
перетиш випадкового процесу s(t ).
Нижче наведенi результати обчислень у порядку S2,S2,...,S29: 2405.4, 1762.1, 1703.9, 2007.4, 2101.1, 1499.7, 2148.2, 1650.3, 1559.7, 1210.8, 1479.8, 2087.7, 1600.9, 1582.8, 1852.1, 1748.8, 2563.3, 1563.1, 1621.9, 1882.7, 1825.7, 2130, 2305.4, 1846.5, 1780.4, 2001.1, 1701.3, 1812.7, 2438.4.
Визначаеться максимальне значення i сума ди-
29
39.4, 49.1, 4.9, 33.4, 77.6, 22.6, 1.7, 8.8, 44.2, 13.1, 14.9, 4.9, 18.6, 12.9, 17.9, 20.5, 14.7, 10.9, 42.8, 11.5, 3.2, 5.5, 4.6, 0.57, 26.3, 5.97, 1.67, 1.04, 7.03, 4.16.
Критичне значення для V = 2289 i ршш зна-чимосп q = 5% по таблицях [4] доршнюе 1.97. ni-сля перевiрки значимосп оцшок коефщентш a; i
сперсш:
ш: Smax = S27 = 2563.3, £ S,2 = 55203.
i=1
Рисунок 3 - Стащонарний процес зм1-нення навантаження силового трансформатора, який накладаеться на перюдичну складову По (21) обчислюсться значення статистики Ко-крена О = 0.0464. Табличне значення для довГр-чо! гмовГрносп 0.95, кшькосл поргвнюваних дисперсш 29 Г ступенгв свободи V = 79 доргвнюе Окр = 0.0545. З нергвносл О < О^ випливае,
що даш вибГрки з гмовГршстю 0.95 не суперечать п-потезГ про ргвшсть дисперсш. Таким чином, центрований випадковий процес е стацюнарним Г його графгк наведений на рисунку 3.
Шсля визначення статистично! кореляцгйно! функци процесу ) Г побудови и графка виникае необхгдшсть аироксимацй' кореляцшно! функци аналгшчним виразом, зручним при подальшому до-
слГдженнг Для згладжування залежносп р (т), використовуемо функцгю виду:
Р(х) =
(25)
Рисунок 4 Графгки функцИ р (т) та залеж-ност1 р(т), яка II апроксимуе
Для визначення параметра а використову-еться метод найменших квадрапв. Застосовуючи даний шдхГд, складаеться наступне нелшшне ргв-няння вгдносно параметра а : 1 1
р* (т; )е—ат1 —2ат1 = 0, (26)
1=1 1=1
де р (т1) - значення емтрично! нормовано!
кореляцшно! функци в моменти часу т 1.
Виргшуючи ргвняння (26) методом бкекци, знаходимо а = 0.318. ТодГ аналгшчний вираз нормовано! кореляцшно! функци мае вигляд:
( \ —0.318 т| р(т) = е 1 1. (27)
Згладжена функцГя р(т) Г емтрична функцгя р (т) показаш на рисунку 4.
t,c
—a x
Кореляцшна функцш характеризуе взаемозв'я-зок ординат графша навантаження, визначае порядок частот, 1х сп1вв1дношення 1 тим самим однозначно зв'язана з функщею розпод1лу енерги про-цесу по частотах, тобто спектральною щшьшстю.
да
)= 4[е"ах ео82лМт =
Користаючись виразом (27) i формулою (22) знаходимо однобiчну нормовану спектральну щшь-шсть
4a
15.88
a2+4к2f2
15.76 + 4к 2f2
(28)
Графiк функцй' s(f) наведений на рисунку 5.
Спектральна щiльнiсть показуе питому потуж-тсть випадкового процесу струму навантаження, що приходиться на одиничнi штервали частоти.
Висновки. У данш роботi викладаеться загаль-ний п1дх1д до аналiзу нестацiонарних випадкових процес1в i3 прихованими перiодичностями, як1 ви-значаються режимом електроспоживання промис-лових п1дприемств. Пропонуеться у якостi матема-
тично! моделi прийняти представления досл1джува-ного випадкового процесу у вид1 суми детермшова-но! функцй i3 змшним математичним оч1куванням i стацiонарного нормального процесу з нульовим математичним очшуванням. В1дн1маючи 1з нестацю-нарного випадкового процесу змшне математичне оч1куваиня, отримаемо центрований випадковий процесс, середне значення якого при досить пред-ставницькш ви6орц1 наблизиться до нуля i зали-шиться тшьки детермшоваиа функщя.
Рисунок 5 - Графж odHo6i4Hoi нормовано'г' спектральног щiльностi випадкового процесу x(t)
У силу перюдичносп дослвджуваного випадкового процесу математичне очшування може бути представлено у вигляд1 ряду Фур'е, коефщенти якого визначаються методом найменших квадрат за умовою мш1шзаци суми ординат центрованого випадкового процесу.
Питання щодо кшькосл член1в ряду Фур'е, яш необхвдно зберегти у розкладенш, розв'язуеться пе-рев1ркою на значимкть оцшок коефщ1ент1в за кри-тер1ем Стьюдента 1з попереднш визначенням вели-чини дисперси оцшок коефщ1ент1в. Перев1рка гшо-тези про р1вшсть дисперси у р1зш моменти часу розраховуеться на основ1 критерию Кокрена. У роз-рахунках коефщ1ент1в Фур'е взят1 перш1 п'ятна-дцять гармошк з визначенням оцшки постшно! складово! та значень амплггуд синусних 1 косинус-них складових.
Як ввдомо для стационарно! випадково! функцй, окрш сталосп математичного очшування, необ-хвдно мати сталкть дисперси. За даними виб1рки 1з центрованого випадкового процесу побудована ш-шрична функц1я щшьносл розпод1лу. Узгодження 1мшричного 1 теоретичного розподшв перев1ря-
лося за критер!ем Пiрсона, у результатi чого з в1ро-г1дн1стю 0,95 немае пщстав в1дкидати г1потезу щодо нормальност1 розпод1лу. Кореляц1йна функция детермшованого процесу визначена через ко-реляцшш моменти. Апроксимац1я виконана стандартною експоненщальною залежн1стю.
Отриман1 характеристики дослвджуваного випадкового процесу можуть бути використанш для прогнозування його екстремальних значень а також для ц1лей оптимального керування.
Список лытератури:
1. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. - М.: Наука, 1968. - 464с.
2. Серебренников М. Г. Первозванский А.А. Выявление скрытых периодичностей. - М.: Наука, 1965. - 234 с.
3. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ (Подход с использованием ЭВМ). - М.: Мир, 1982. - 488 с.
4. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983. - 416с.
5. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.: Мир, 1974. - 464с.
0
