CC BY
114
-□ □-
Сучасш методи розрахунку перехидних процеыв е наближеними, що призводить до значних похибок регулювання. Показано, що тдвищити точтсть систем автоматичного регулювання, гх швидкодю та забезпечи-ти оптимальний режим роботи можна шляхом використання для розрахунку перехидних процеыв методу квадратур. Дослиджуеться система четвертого порядку i показано вплив сталих часу на характер перехидних процеыв. Описан методи визначення сталих часу и)ен-тифшованог системи
Ключовi слова: метод, перехидний процес, система, регулювання, квадратура, рiвняння,
точтсть, швидкодiя
□-□
Современные методы расчета переходных процессов являются приближенными, что приводит к существенным погрешностям регулирования. Показано, что увеличить точность систем автоматического регулирования, их быстродействие и обеспечить оптимальный режим работы можно путем использования для расчета переходных процессов метода квадратур. Исследуется система четвертого порядка и показано влияние постоянных времени на характер переходных процессов. Описаны методы определения постоянных времени идентифицированной системы
Ключевые слова: метод, переходный процесс, система, регулирование, квадратура,
уравнение, точность, быстродействие -□ □-
1. Вступ
Перехвдш процеси вщносяться до основних характеристик кожно1 системи автоматичного регулювання (САР), за якими ощнюеться не пльки стш-юсть 11 роботи, але й точшсть i швидкодiя. Перехвдш процеси широко використовуються для розрахунку оптимальних налагоджень регуляторiв, компенсато-рiв, фшм^в тощо, а також для визначення швидкосп руху динамiчних систем, особливо в сучасних комп'ю-терно-штегрованих системах управлшня (К1СУ) як при 1х проектуванш, так i експлуатацп. Розрахунок перехщних процесiв вiдноситься до основних алгорит-мiв програмного забезпечення роботи кожно1 К1СУ технологiчним процесом. Методи розрахунку перехщ-них процесiв роздiляються на алгебра'1чш та частотнi [1-3]. Першi заснованi на визначеннi коренiв характеристичного рiвняння, а другi - на використанш дшс-но1 (ДЧХ) або уявно1 (УЧХ) частотних характеристик. Точшсть розрахунку перехщних процесiв ввдомими методами е недостатньо високою, особливо для ди-намiчних систем високого порядку. З тдвищенням порядку САР суттево збiльшуеться розрахунковий час перехщного процесу. Оскiльки для сучасних К1СУ одним 1х важливих параметрiв е 1х швидкодiя, то з метою
©
УДК 681.2.66 (0754.8)
|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.39419|
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПЕРЕХ1ДНИХ ПРОЦЕС1В СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКУ МЕТОДОМ КВАДРАТУР
Й. I. Стенцель
Доктор техычних наук, професор, завщувач кафедри*
E-mail: stencel@sti.lg.ua О. I. Проказа Кандидат техычних наук, доцент* E-mail: kafKISU.Elena@gmail.com К. А. Л i т в i н о в Аспiрант* E-mail: LitvinovK@yandex.ru *Кафедра комп'ютерно-iнтегрованих систем управлiння Схiдноукраíнський нацюнальний унiверситет iM. Володимира Даля пр. Радянський, 59-а, м. Северодонецьк, Украша, 93400
зменшення розрахункового часу перехвдних процесiв 1х математичнi моделi спрощуються або використову-ються наближенi методи, до яких вщноситься метод зворотного перетворення Лапласа. Цей метод вщно-ситься до алгебра1чних, суть якого полягае у визна-ченнi корешв характеристичного рiвняння динамiч-ного об'екту, за котрими розраховуеться перехвдний процес. Так як при розрахунку перехщного процесу методом зворотного перетворення Лапласа юльюсть корешв е обмеженою, то його точшсть е не достатньо високою, а за рахунок складносп розрахунку - значно зменшуеться його швидкодiя. Окрiм того при використанш цього методу виникають суттевi проблеми у тому випадку, коли об'ект керування мае значний час чистого запiзнення або характеристичне рiвняння мае декiлька комплексних корешв.
2. Аналiз лiтературних даних i постановка проблеми
Особливiстю кожно1 САР е наявнiсть у них техно-логiчного об'екта керування (ТОК), засобу вимiрю-вального контролю (ЗВК), регулятора, виконавчого мехашзму (ВМ), нормуючих i промiжних вимiрюваль-них перетворювачiв та iнших додаткових елементiв,
наприклад, П1дсилювач1в, суматор1в сигнал1в тощо. До основних шерцшних елемент1в кожно! САР в1д-носиться ТОК, ЗВК, регулятор 1 ВМ. У залежност1 в1д складност ТОК описуються лшшними диференщ-альними р1вняннями як першого, так 1 вищого порядку [4, 5], регулятори - нульового, першого та другого порядку, ЗВК - нульового, першого, другого та б1льш високого порядку. Виконавч1 мехашзми у б1льшост1 випадюв описуються диференщальним р1внянням першого порядку. Таким чином, характеристичне ди-ференщальне р1вняння, котре описуе САР, як правило, е високого порядку. Як вщомо [6], яюсть регулю-вання оцшюеться за характером перехщного процесу. Причому час регулювання та перерегулювання кожно! САР повинш бути м1шмальними. До позитивних якостей алгебра!чних метод1в сл1д вщнести можли-в1сть розрахунку перехщного процесу за визначеними коренями з наступним тдсумовуванням часткових перехщних процеав [7-11]. До основних недол1к1в таких метод1в е необхщшсть визначення корешв. Особливо це стосуеться САР, котр1 описуються диферен-щальними р1вняннями високого порядку. Тому, як правило, алгебра!чш методи використовуються для достатньо простих систем. Частотш методи достатньо повно описаш в [12-15]. 1х суть полягае в штегруванш ДЧХ або УЧХ системи регулювання. Через складшсть неперервного штегрування р1внянь, котр1 описують ДЧХ чи УЧХ, приходять до дискретного принципу штегрування за рахунок под1лу плошд тд цими кривими на вщповщш трапецп з подальшим розра-хунком часткових перехщних процеав для кожно! трапецп та !х тдсумовуванням. Щ методи е достатньо складними, вщзначаються достатньо низькою точш-стю розрахунку та малою швидкод1ею 1 не знайшли практичного використання як при проектуванш систем регулювання та !х параметричному синтез^ так 1 в експлуатацп К1СУ технолопчними процесами. Тому проблема розробки нових метод1в розрахунку пере-хщних процес1в, котр1 характеризуються високою точшсть та швидкод1ею, е актуальною. У данш робо-т1 пропонуеться новий частотний метод розрахунку перехщного процесу, котрий базуеться на уведенш в р1вняння ДЧХ додаткового полшому, що приводить його до ДЧХ другого порядку (квадратур) з1 сталими часу, залежними вщ частоти ю.
3. Мета стати i задачi дослщжень
Метою статт е дослвдження перехщних процеав САР, котра описуеться лшшним диференщальним р1внянням четвертого порядку, методом квадратур. Для досягнення поставлено! мети вир1шувалися на-ступш задача
- за частотними характеристиками САР визначити додатковий полшом системи, що дозволило привести 11 ДЧХ до р1вняння квадратур;
- визначити стал1 часу квадратур 1 привести по-р1вняння ДЧХ квадратур з ДЧХ реально'! системи, що дозволяе в аналиичнш форм1 розрахувати перехщний процес системи;
- виконати дослщження частотних характеристик замкнено! САР за каналом регулювання методом квадратур;
- розрахувати перехщш процеси замкнено! САР методом квадратур.
4. Динамiчнi моделi об'екта четвертого порядку
Як правило, до таких ТОК вщносяться пор1вняно складш технолопчш апарати, наприклад, реактори, абсорбери, випарш установки, ректифжацшш колони тощо. Так1 ТОК характеризуються не т1льки шерцшш-стю, але й значним часом чистого затзнення, котрим звичайно нехтувати не можна. Якщо до складу САР входить ТОК, ЗВК, ВМ першого порядку та П1-регу-лятор, то роз1мкнена САР за каналом регулювання описуватиметься наступним р1внянням:
4 d у з d у 2 d у dy , 4 dt4 3 dt3 2 dt2 1 dt
(1)
де т1, т2, т3, т4 - стал1 часу; у, х - вих1дна та вхщна ко-ординати вщповщно; к - коефщ1ент передач!; t - час перехщного процесу.
Приймемо, що САР е стшкою, а '!'! характеристичне р1вняння може мати як дшсш так ! комплексн! корен!. Якщо вс1 корен! р1вняння (1) е дшсними та вщ'емними, то перехщний процес матиме аперюдичний характер, котрий оцшюеться часом регулювання. При наявност! комплексних корешв перехвдний процес буде коли-вальним та оцшюеться не т1льки часом регулювання, але й перерегулюванням [7, 8]. САР, яка описуеться р1внянням (1) мае 4 кореш, серед яких можуть бути й комплексш. Осюльки визначення корешв, особливо при наявност комплексних, е шод1 достатньо складною задачею, то при розробщ програмного прикладного забезпечення роботи К1СУ юльюсть корешв об-межуеться, що приводить до суттевих похибок при розрахунку налагоджувальних параметр1в та кривих перехщного процесу. Частотш методи через !х складшсть, як правило, не використовуються для таких щлей, незважаючи на те, що !х вщносять до найб1льш точних. До частотних метод1в можна вщнести й метод квадратур, який вперше був описаний в [9, 10]. Вико-наемо дослщження системи регулювання четвертого порядку методом квадратур та зробимо його оцшку щодо його придатност1 до використання в К1СУ техно-лопчними процесами.
Виходячи з р1вняння (1), передавальна функщя тако! системи мае вигляд:
Wn
к.
-1)
(2)
де s - оператор Лапласа; кО - коефщ1ент передач1 об'екта.
Уводячи замшу s = jю, де ю - кругова частота, р1в-няння (2) приводиться до такого вигляду:
Wo (jю) = к
(1 -
т2ю2 + т;4ю4)
тю +тю I +ю (т-тю )
(1 -,
- jюkl
(Т1 -т>2)
ТЮ +ТЮ I +ю (т-тю |
(1 -т
(3)
Позначимо в (3):
Кео Н = кс
(1 -т
(1 -
ти + т,ш I + ш (т-ти I
- дiйсна частотна характеристика (ДЧХ);
ко (т1 -т>2)
1тО (ш) = ш
(1 -
, . В (ш)-К (ш) WО(jш) = у '-
' В(ш)
В(ш
В(
В(ш)
Покажемо, що полiном К(ш) мае множником квадрат частоти:
К (ш) = -ш2т2 (3 - 4ш 2т2 + ш4 ).
Знайдемо вщношення полiномiв:
К (ш)
В(ш)
т2 (3 -4ш2т2 + ш4т4)
(1 -
тш ! +ш (т-тш !
= ш2No2 (ш),
де
(1 -
тш ! +ш (т-тш )
Для УЧХ вiдношення полiномiв дорiвнюе:
р(ш)
В(ш)
(т1 -т>2)
(1 -т
72 =ш^1 (
де
(4)
N01 (ш) =
(т -т>2)
(1 -т
(10)
Враховуючи (9) i (10), рiвняння (7) приймае на-ступну форму:
(5)
Wo (jш) = [l-ш2No2 (ш)]-jшNol (ш).
(11)
- уявна частотна характеристика (УЧХ).
У рiвняння (3) уведемо наступш позначення:
С(ш) = 1 -т2ш2 + т>4;
В(ш) = (1 - т2ш2 + т^ш4 )2 + ш2 (т1 - т>2 )2;
О (ш) = шко (т -т>2).
Тодi рiвняння (3) у формi вiдношення полiномiв приймае такий вигляд:
, . С(ш) О(ш)
W0 (jш) = ^-4-М-г. (6)
ои ' В(ш) В(ш)
Позначимо К(ш) = В(ш)-С(ш) звiдки
С(ш) = В (ш)-К(ш),
де К(ш) - додатковий полшом. З врахуванням цього рiвняння (6) набувае вигляду:
Аналiз рiвняння (11) показуе, що функщя N01 (ш) для системи регулювання мае розмiрнiсть часу i для ди-ференцiального рiвняння другого порядку N01 (ш) = £,о1, тобто дорiвнюе множнику б^я першо1 похiдноi цього рiвняння, а (ш) мае розмiрнiсть квадрату часу тобто (ш) = £,о2 i дорiвнюе множнику бiля друго'1 його похщноь Тобто рiвняння (1) приводиться до на-ступного iдентифiкованого рiвняння другого порядку:
d2y
dy
+^01^+у = kox,
dt
dt
(12)
(7)
(8)
, , т2 (3 -4ш2т2 + ш4т44) N02 (ш)=---„ П , ,Ч2 ^ „,2. (9)
де £,01!, £,02; - сталi часу ьо'1 квадратури щентифжова-но1 системи.
Так як змшною е частота ш, то з (11) випливае, що передавальна функщя САР е сукупшстю квадратичних передавальних функцш, як називатимемо квадратурами. З рiвняння (11) видно, що ДЧХ Яе0 (ш) = 1 -ш^02 (ш), а УЧХ - 1т0 (ш) = (ш). Звiдси випливае наступний висновок: сталi часу при першш похiднiй квадратур пов-шстю визначаються УЧХ при деякiй частой ш1к, а сталi часу при другш похiднiй квадратур - ДЧХ при деякш частотi ш^, де 1, j - вiдповiдно номер перших i других похiдних квадратур. Так система четвертого порядку мае двi квадратури, тобто 1 = 1,2 i j = 1,2, то, приймаю-чи до уваги, що Яе0 (ш) = 0 при ш = шп, де шп частота переходу, маемо: 1 -ш^02(шп) = 0 або (шп) = 1/шП. Як показано в [10], при частой переходу для першо'1 квадратури (шП) = т122, де т12 - стала часу при другш похвднш першо'1 квадратури. Подальша задача поля-гае в тому, яким чином визначити сталу часу т11 при першш похiднiй першо'1 квадратури. Н можна знайти в дiалоговому режим^ спочатку прийнявши т11 = 2т12, що вiдповiдае критичному перехiдному процесу. Дал^ розрахувавши ДЧХ реального об'екта за рiвнянням (4) та щентифжовано! для першо'1 квадратури за рiвнянням
(ш) = к (1 - тЦш2) / (1 - т22ш2 )2 + ш2 (т11)
та змшюю-
чи сталу часу т11 добиваються того, щоби площа мiж цими кривими була мiнiмальною. При цьому потрiбно враховувати, що кривi ДЧХ реального та щентифжо-ваного об'екпв при ш = 0 i ш = шП повинш спiвпадати. Пiдставивши знайдене значення стало! часу в рiвняння (11), можна визначити частоту, характерну для першо1 квадратури.
5. Динамiчнi моделi одноконтурно! САР за каналом регулювання
Розглянемо одноконтурну САР, котра за каналом регулювання описуеться наступною передавальною функщею:
W ) = (13)
^ 1 + ^ (s) (s) Wз (s) (s)
де
W1 н=к,,
^ М=£т W4 М=
T4S + 1
W (s)= W1 (^ (s) W3 (s) ^ 1 Wl (s) (s) Wз (s) (s)
Т^2 + T6s + 1
СТ^4 + T33s3 + Т2¥ + T1s +1'
де
кс = 1/к4; Т1 = (к1-4Т,)/к2-4;
Т2 = (тт2 + тт3 + тт4) /к2 4;
Тз3 = (тТ2Т3 + Т;Т2Т4 + тТ3Т4) /к2-4; Т44 = Т;Т2ТзТ4/к2-4; Т5 = к^^; Тб = к^ + Т4; к2-4 = к2к3к4, к1-4 = к^к3к4.
Частотна передавальна функщя САР мае вигляд:
(1 - Т2ю2) + jюT6
де
Wс (jю)= кС (1 - т2ю2 + т^) + jю(тl - Т33ю2)~ = ^ (ю)-jImс (ю),
Кес (ю) =
= к (1 - Т2ю2)(1 -Т2ю2 + Т4ю4) + ю2Тб (Т - Т3ю2 С (1-Т22ю2 + Т44Ю4)2 + Ю2 (Т1 -Т33ю2)2
- дшсна частотна характеристика системи;
1тС (ю) =
(1 - Т2ю2)(Т -Т>2) + Тб (1 - Т2ю2 + Т44ю4)
де
- передавальш функцп регулятора, ВМ, ТОК, 1 ЗВК вщповщно.
Враховуючи передавальш функцп елементарних динам1чних ланок, отримуемо:
(14)
С(ю) = (1 - Т52ю2)(1 - Т22ю2 + Т44ю4) + ю2Т6 (Т1 -Т33ю2);
В(ю)=(1 - Т22ю2 + Т44ю4)2 + ю2 (Т1 -Т33ю2)2;
D(ю) = ю[(1 -Т2ю2)(Т -Т3ю2)+ Т6(1 -Т|ю2 + Т4ю4)] .
К (ю) = В(ю)-С (ю) =
"(Т-Т22 + Т2 + Т1Т6) + = ю2 +ю2 (Т24 - 2Т1Т33 - Т44 - Т52Т22 - Т33Т6) + +ю4 (2Т36 - Т44Т22 + Т52Т44) + Т48Ю6
З останнього р1вняння видно, що полшом К (ю) мае множником квадрат частоти ю . Шдставивши цей полшом в р1вняння (18), отримуемо:
Кес (ю) = кс
1 -
К (ю)
В(ю
= кС [1 -ю (ю)], (19)
Полшом у р1внянш (19) дор1внюе: О0 + ю2О1 + ю4О2 + Т48ю6
NС2 (ю) =
(1 - Т22ю2 + Т44ю4 )2 + ю2 (Т1 - Т33ю2 )2
(20)
де
(15)
0 = Т2 - Т2 + Т2 + ТТ •
"о 11 12 т т Ч 16
01 = Т2 - 2 Т1 Т3 - Т4 - Т5 Т2 - Т3 Т6 ;
О2 = 2Т36 - Т44Т22 + Т52Т44.
(16)
Як видно з (18), УЧХ мае множником частоту ю. Позначивши 1тС (ю) = D(ю) / В(ю) = юNС1 (ю), де:
= юкг
(1 - Т22ю2 + Т44ю4 )2 + ю2 (Т - Т33ю2 )2
(17)
Nсl (ю) =
= [(1 - Т2ю2 )(Т - Т3ю2) + Т6 (1 - Т|ю2 + Т4ю4)] (1 - Т22ю2 + Т44ю4 )2 + ю2 (Т1 - Т33ю2 )2
р1вняння (18) приймае наступну форму:
(21)
- уявна частотна характеристика системи. Р1вняння (15) для передавально! функцп запишемо таким чином:
Wс (jю)= к
К (ю
С (ю)
В(ю) •'в(ю)
= кг
1 -
В(о
D (ю)
В(ю)
(18)
Wс (-ю) = кс [(1 -ю2^2 (ю)) - jюNсl (ю)] . (22)
Пор1внюючи р1вняння (11) 1 (22) приходимо до висновку, що динам1чш модел1 системи регулювання приводяться до квадратур з р1зними функщями N1 (ю) 1 N (ю), котр1 характеризують ввдповвдш стал1 часу вдентифжованих систем. Таким чином можна ствер-джувати, що САР можна описати динам1чною моделлю у форм1квадратур:
tt2 d2y dy
+ ^C1i3T +У = k0x-
dt
dt
(23)
де Çc1i, Çc2i - сталi часу i-oï квадратури щентифжова-hoï системи регулювання.
Як показують дoслiдження для стшких об'екпв та систем регулювання, KOTpi не мають резонансних частот, у бшьшосп випадкiв достатньо обмежитися пльки першою квадратурою. При цьому похибка роз-рахунку перехiднoгo процесу не перевищуе 5 вiдсoткiв за рiзницею площин мiж ДЧХ реальнoï та щентифжо-ванoï системи регулювання в област змiни частоти га вщ 0 до гап. Як видно з (11) i (22) характер перехвдного процесу визначаеться вщношенням сталих часу вщ-пoвiдних квадратур, а розрахунок кривих перехвдного процесу виконуеться за ввдомими аналiтичними рiв-няннями [9, 11, 12]. Передавальна функщя щентифь кoванoï системи
WIC ( jra) = ki,
(1 -ю2^2 ) +
З рiвняння (24) для iдентифiкoванoï системи от-римуемо:
- дшсну частотну характеристику:
Reic (га) =
(1 -га2^;
(1 -ю2^2 )2 + га%2'
уявну частотну характеристику:
ImIC (га) =--.
ICl j (1 -га2^2)2 + »%2
ДЧХ. На рис. 2, а приведет графжи залежностей N2C (га) = f(га) (крива 1) i N1C (га) = f(га) (крива 2), а на рис. 2, б графжи залежност сталих часу щентифжова-нoï системи: Ç2 = f (га) (крива 1), = f (га) (крива 2) та '¿х вщношення К (га) = ^1/ Ç2 = f (га) (крива 3). З графшв рис. 2, а видно, що зi збiльшенням частоти ввд га = гап i вище значення параметрiв реальнoï системи N2C (га) i N1C (га) зменшуються. З графшв залежнoстi сталих часу для iдентифiкoванoï системи та '¿х вщношен-ня (рис. 2, б) можна зробити висновок, що перехщт процеси квадратур е коливальними. Якщо точтсть розрахунку перехiднoгo процесу е недостатньою, то можна використати другу квадратуру. Дослщження показують, що ДЧХ другoï квадратури описуеться на-ступним рiвнянням:
Re22C (га) = 1980га4 Re21C (га),
(27)
де Re22C (га) =
1 -га2^2
(25)
(26)
Розглянемо систему, динамiчнi ланки яко1 опису-ються такими передавальними функцiями:
- регулятор пропорцшно-штегральний
W1 (s) = к1 +1/ т^з = 0,5 +1/ (0,^).
- виконавчий механiзм
W2 (s) = к2 / (т 2s +1) = 0,9 / (^ +1);
- технолопчний об'ект керування
W3 = к3 / (т^ +1) = 0,95/ (l50s +1);
- зааб вимiрювального контролю
к4/ ^ +1) = 1,2/ (25s +1).
ДЧХ та УЧХ реально1 (кривi 1) та вдентифжовано1 (кривi 2) системи регулювання приведет на рис. 1.
З рис. 1, а видно, що рiзниця площин тд ДЧХ у дiапазонi частот вщ ш = 0 до ш = шП реально1 та вден-тифжовано1 САР незначна, якою можна знехтувати. Для дослвджувано1 САР сталi часу першо1 квадратури дорiвнюють: £,2 = 12,62 i £,2 = 13,15. Так як вщношення / £,2 = 0,96, то перехiдний процес е коливальним. Про наявтсть коливального процесу свщчить й характер
(1 - га2^21 )2 + га2^11 - ДЧХ першо1 квадрату-
(24) ри; Ç11, Ç21 - сталi часу першoï квадратури.
0,15
Рис. 1. Частоты характеристики реально!' (кривi 1) та щентифковано!' (кривi 2) САР: а — ДЧХ; б — УЧХ
Для УЧХ друго! квадратури маемо:
Im21c (га) = -
(1-(га /к)2 &) + (га /к)2 ^
(28)
Графiки ДЧХ щентифжовано! САР двома квадратурами приведет на рис. 3, а, а УЧХ - на рис. 3, б.
1
а
Коефщ1ент k визначаеться як вщношення частот мак-симум1в реально! та вдентифжовано! УЧХ першою квадратурою. З рис. 3, а видно, що ДЧХ друго! квадра-тури (крива 3) е незначною, якою в багатьох практич-них випадках можна знехтувати. На рис. 3, б приведен! УЧХ реально! (крива 1) та щентифжовано! (крива 2) САР двома квадратурами, а також !х р1зниця (крива 3). Таким чином, можна зробити висновок, що при щентифжацп САР двома квадратурами похибка роз-рахунку перехщного процесу е незначною, тобто змен-шуеться приблизно в 5 раз1в у пор1вняння з щентифь кащею т1льки першою квадратурою, яка не перевищуе 5-7 вщсотюв. Як правило [13, 14], розрахунок пере-хщних процеав виконуеться за характеристичним р1внянням САР при умов1 дп на не! одинично! стутн-часто! функцп.
де стал1 часу:
Т1 = ^^ Т2 =т1 (т2 +т3 +т4 ) / к2к3к4, Т3 = Т1 (Т2Т3 + Т2Т4 + Т3Т45 ) / k2k3k4, Т4
Т5 = к1т1т 4, Т6 = к1т1 + т4 - екв1валентш стал1 часу; к1,---,к4 - коефщ1енти перетворення динам1чних ланок; т1,---, т6 - стал1 часу динам1чних ланок.
Характеристичне р1вняння тако! системи мае ви-гляд:
d4y d3y d2y dy Т4тт + Т3^у + + Т1-у + у = 0. 4 dt4 3 dt3 2 dt2 1 dt
(30)
Рис. 2. Графки функцiй сталих часу: а — (ю) = f (ю) (крива 1) i N2C (ю) = f (ю) (крива 2) реальноТ САР; б - ^ (ю) = f (ю) (крива 1), (ю) = f (ю) (крива 2) i К (ю) = f (ю) (крива 3) щентифкованоТ системи
Згвдно з (13) диференщальне р1вняння САР четвертого порядку мае вигляд:
Т + Т + Т ^ Т dt4 + Т dt3 + Т dt2 "
+ у = к
1 dt
Т, d х dx .
5тт+Т6^-+1 5 dt2 6 dt
(29)
Рис. 3. Частотнi характеристики реальноТ САР (кривi 1), та iдентифiкованоТ для першоТ (кривi 2) i другоТ квадратури (кривi 3): а - ДЧХ; б - УЧХ
Передавальш 1 частотш характеристики мають ви-гляд:
п2 2 .
W2 (s) = к
(1 - Т22ю2 + Т44ю 4) +
(1 - Т22ю2 + Т44ю4 )2 + ю2 (т, - Т33ю2 )2 ю(т, - Т3ю2)
•к (1 - Т22ю2 + Т44ю4 )2 + ю2 (т, - Т33ю2 )2 = Яе1 (ю)--1т1 (ю);
а
Яе2 (ю) = к
1т2 (ю) = к
(1 - Т22ю 2 + Т44ю4 )
(1 - Т22ю2 + Т44ю4 )2 + ю2 (т, - Т33ю2 )2 '
(32) Яе1 (ю) = к
1 -ю2т2
ю(Т, - Т>2)
(1 - Т22ю2 + Т44ю4 )2 + ю2 (т, - Т33ю2 )2
.0.20
(1 -
(34)
(33)
де т,, = 8,75; т21 = 8,52 - стал1 часу першо! квадратури. Р1вняння УЧХ першо! квадратури мае вигляд
Графжи ДЧХ (розраховаш за р1вняннями (16) 1 (32)) та УЧХ (розраховаш за р1вняннями (17) 1 (33)) приведен! на рис. 4, а \ б вщповщно. З рис. 4, а видно, що ДЧХ замкнено! САР (крива 1) та !! характеристичного р1вняння (крива 2) суттево в1др1зняються пом1ж собою. Якщо замкнена САР мае одну характерну точку, то для криво! 2 характеристичного р1вняння можна вид1лити дв1 таких точки: «а» 1 «б». Як пока-зують дослщження, точка «а» е точкою максимально! швидкост змши ДЧХ: dRe(ю)/dю = max. Дотична в цш точщ в1др1зае на частотнш ос частоту юХР1, яка е сталою часу при другш похщнш першо! квадратури, тобто т21 = 1/юХР1.
1т, (ю) = к
(1 -
(35)
Вщповщно для друго! квадратури маемо наступш наближен1 р1вняння:
Ке2 (ю) = к
1т2 (ю) = к
(1 -ю
22
ют,.
(1 -ю
(36)
(37)
де т12 = 4,075 т22 = 6,575 - стал1 часу друго! квадратури.
На рис. 5 приведен! ДЧХ та УЧХ характеристичного р1вняння четвертого порядку щентифжовано! (крива 1) ! реально! (крива 2) САР. З рисунка видно, що похибки розрахунку ДЧХ (крива 3) та УЧХ (крива 3) е незначними, що свщчить про можлившть з достатньою для практики точшстю обмежуватися т1льки першою квадратурою для розрахунку пере-хщного процесу навиь у тих випадках, коли ДЧХ не перетинае частотну в1сь.
Рис. 4. Частоты характеристики розiмкненоТ (кривi 1) i замкненоТ (кривi 2) САР: а - ДЧХ; б - УЧХ
Точка «б» визначае р!вном1ршсть змши швидкост1 руху ДЧХ за частотою ю, а дотична в цш точщ в1др1зае на частотн1й ос1 частоту юХР2, котра е сталою часу при другш похвднш друго! квадратури, тобто т22 = 1/ юХР2. ДЧХ першо! квадратури описуеться наступним р1в-нянням:
Рис. 5. Частоты характеристики щентифкованоТ другим порядком (кривi 1), реальноТ (кривi 2) замкненоТ САР та Тх рiзниця (кривi 3): а - ДЧХ; б - УЧХ
2
2
2
а
а
Як вказуеться в [14, 15], характер перехщно-го процесу, як правило, визначаеться площиною шд кривою ДЧХ, котра обмежуеться частотами вщ ш = 0 до ш = шП. Так як друга квадратура визнача-еться рiзницею мiж ДЧХ реального об'екта i пер-шо1 квадратури (крива 3 на рис. 5, а), то в обласи частот вщ 0 до шП амплiтуда ДЧХ цiеi амплггуди е достатньо малою. На рис. 6 приведет ДЧХ САР з П1-регулятором (W1 (s) = 0,5 + 1/125s, яка описуеться диференцiальним рiвнянням четвертого порядку. На рис. 6 позначено: крива 1 - ДЧХ реально1 САР; крива 2 - ДЧХ першо1 квадратури; крива 3 - рiз-ниця ДЧХ реально1 САР та 11 першо1 квадратури; крива 4 - ДЧХ друго1 квадратури. На рис. 7 приведет кривi перехщних процесiв: крива 1 - першо1 квадратури; крива 3 - друго1 квадратури i крива 2 -сумарна крива перехщного процесу.
Рис. 6. ДЧХ реально!' (крива 1), першо'' квадратури (крива 2), ïx рiзниця (крива 3) i друго'' квадратури (крива 4) замкнено'' САР з П1-регулятором
У(0
Рис. 7. Перехщж процеси першо'' квадратури (крива 1), друго'' квадратури (крива 3) та ïx сума (крива 2) замкнено'' САР з П1-регулятором
Дослщження показують, що частоти переходу через вкь га для ДЧХ реальних систем, кoтрi описуються диференцiальними рiвняннями парного порядку, i ДЧХ квадратур, як правило, е одними й тими ж. Якщо САР описуеться диференщальними рiвняннями не парного порядку, то мае мкце змiщення частот переходу.
5. Висновки
Показано, що перехщний процес складно! САР, яка складаеться з лшшних динамiчних елеменив i П1-регулятора та описуеться диференщальним рiвнянням четвертого порядку, можна розрахувати методом квадратур. Цей метод вщноситься до час-тотних, так як для розрахунку перехщних прoцесiв використовуеться дшсна та уявна частoтнi характеристики. Суть методу квадратур полягае в тому, що за рахунок уведення в частотну передавальну функщю складно! динамiчнoï системи додаткового полшому ïï передавальна функцiя приводиться до квадратур, яю мають форму передавально! функцiï другого порядку зi сталими часу, кoтрi залежать вщ сталих часу динамiчних ланок i кругово! частоти. Указуеться, що стала часу, яка е множником б^я друго'! пoхiднoï першо'! квадратури, повтстю визна-чаеться частотою переходу ДЧХ через частотну вшь. Сталу часу, яка е множником б^я першо'! пoхiднoï першо! квадратури можна визначити за м^мумом плoщi мiж реальною ДЧХ системи та ДЧХ першо'! квадратури. Другу квадратуру можна визначити за рiзницею мiж реальною та щентифжованою першою квадратурою ДЧХ. Показано, що для САР четвертого порядку частота переходу ДЧХ друго! квадратури дoрiвнюе такш же частoтi першо'! квадратури. Так як друга квадратура е незначною, то в багатьох прак-тичних задачах нею можна знехтувати. До основних позитивних якостей методу квадратур е розрахунок перехщних прoцесiв за аналиичними формулами, кoтрi використовуються для диференщальних рiв-нянь другого порядку. Особливо щнним е викори-стання методу квадратур для програмного забезпе-чення сучасних комп'ютерно-штегрованих систем управлiння технoлoгiчними процесами, у котрих, як правило, використовуеться наближений i складний метод зворотного перетворення Лапласа. Важливим для практики е дослщження систем регулювання високого порядку з зашзненням, а також викори-стання методу для розрахунку оптимальних налаго-джень регулятoрiв.
Лиература
1. Перов, В. Л. Управление химико-технологическими системами [Текст] / В. Л. Перов, А. Ф. Егоров, А. Ю. Ха-барин. - М.: МХТИ им. Д.И.Менделеева, 1981. - 52 с.
2. Обновленський, П. А. Основы автоматики и автоматизации химических производств [Текст] / П. А. Обнов-ленский, П. А. Коротков, А. Л. Гуревич, Б. В. Ильин. -М.-Л.: Химия, 1965. - 608 с.
3. Анисимов, И. В. Основы автоматического управления технологическими процессами нефтехимической и нефтеперерабатывающей промышленности [Текст] / И. В. Анисимов. - Л.: Химия, 1967. - 123 с.
4. Таганов, И. Н. Моделирование процессов массо- и энергопереноса [Текст] / И. Н. Таганов. - Л.: Химия, 1979. - 203 с.
5. Стенцель, Й. I. Математичне моделювання техноло-пчних об'екйв керування [Текст] / Й. I. Стенцель. -К.: 1СДО, 1993. - 328 с.
6. Стенцель, Й. I. Автоматизащя технолопчних процеав х1м1чних виробництв [Текст] / Й. I. Стенцель, О. В. Поркуян. - Лу-ганськ: вид-во Схщноукр. нац. ун-ту ¡м. В.Даля, 2010. - 300 с.
7. Макаров, И. М. Линейные автоматические системы [Текст] / И. М. Макаров, Б. М. Менский. - М.: Машиностроение, 1982. - 504 с.
8. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического регулирования [Текст] / В. А Бесекерский., Е. П. Попов. - М.: Наука, 1972. - 768 с.
9. Стенцель Й. I. Автоматизащя технолопчних процеав х1м1чних виробництв [Текст] / Й. I. Стенцель. - К.: 1СДО, 1995. - 360 с.
10. Стенцель, Й. I. Розрахунок перехщних процеав складних систем регулювання методом квадратур [Текст] / Й. I. Стенцель, I. 6. Киричук, О. В. Савельева // Наук.-техн. зб1рник «Автоматизащя технолопчних процеав та промислова еколопя». -1997. - Вип. 1. - С. 2-5.
11. Воронов, А. А. Основы теории автоматического управления. Т. 1 [Текст] / А. А. Воронов. - М.: Энергия, 1980. - 312 с.
12. Фельбаум, А. А. Методы теории автоматического управления [Текст] / А. А. Фельбаум, А. Г. Бутковский. - М.: Наука, 1971. - 743 с.
13. Нетушил, А. В. Теория автоматического управления [Текст] / под ред. А. В. Нетушила. - М.: Высшая шк., 1983. - 488 с.
14. Солодовников, В. В. Частотный метод построения переходных процессов [Текст] / В. В. Солодовников, Ю. И. Топчеев, Г. В. Крутикова. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 196 с.
15. Крутов, В. И. Основы теории автоматического регулирования [Текст] / В. И. Крутов, Ф. М. Данилов, П. К. Кузьмик и др. -М.: Машиностроение, 1984. - 368 с.
-□ □-
Розроблеш математичш моделi грудкування шихти у барабанних i таршчастих грануляторах. Запропоноваш системи управлтня, що використо-вують у якостi керуючих дш кут нахилу та швид-тсть обертання гранулятора. Представлен резуль-тати моделювання, як показують, що застосування систем забезпечить стаб^защю гранулометричного складу шихти i призведе до зниження витрат палива для процесу сткання
Ключовi слова: грудкування, шихта, автомати-зована система управлтня, математична модель,
балансовий метод
□-□
Разработаны математические модели окомкова-ния шихты в барабанных и тарельчатых грануля-торах. Предложены системы, которые используют в качестве управляющих воздействий угол наклона и скорость вращения гранулятора. Представлены результаты моделирования, которые показывают, что применение систем обеспечит стабилизацию гранулометрического состава шихты и приведёт к снижению расхода топлива для процесса спекания
Ключевые слова: окомкование, шихта, автоматизирована система управления, математическая
модель, балансовый метод -□ □-
УДК 622.788.34:519.876.2
|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.39035]
МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ УПРАВЛ1ННЯ БАРАБАННИМИ I ТАР1ЛЧАСТИМИ ГРАНУЛЯТОРАМИ СИПКИХ МАТЕР1АЛ1В
В. О. Рахуба
Кандидат техычних наук, доцент Кафедра автоматизованого управлтня технолопчними процесами Запорiзька державна шженерна академiя пр. Ленша, 226, м Запорiжжя, УкраТна, 69006 E-mail: victoriya.teacher@gmail.com
1. Вступ
Серед сучасних задач розвитку прничо-металур-гшно! промисловост Укра!ни перше м1сце посвдають питання енерго- та ресурсозбереження. Одними з най-б1льш енергоемних технологш е виробництво агломерату та зал1зорудних окатюв. Поряд 1з цим недоско-нал1сть тдготовки матер1алу до сткання призводить до виходу велико! дол1 продукту зворотного циклу та коливань продуктивност1 агломерацшних машин. Вщомо, що продуктившсть агломашини пропорцшна газопроникност1 шару шихтового матер1алу, яка де-
термшуеться яюстю грудкування [1]. Також результат процесу випалу залежить в1д мщност1 та фракцшного складу сирих окатюв. Отже, одними з найважливь ших чинниюв, що впливають на результат процес1в сткання та випалу, е гранулометричний склад шихти та мщшсть гранул. Формування цих характеристик вщбуваеться в ход1 грудкування сипко! зал1зорудно! маси; тсля чого вони зазнають певних змш тд час транспортування 1 завантаження грудковано! шихти на агломерацшш та випалювальш машини. Тому тд-вищення р1вня автоматизованого управлтня цими процесами забезпечить зниження витрати енергоноа-
