CC BY
132
УДК 512.772
Доказательство теоремы Римана—Роха для кривых
В. С. Куликов
И. Р. Шафаревичу
Введение
Одним из центральных результатов теории алгебраических кривых является теорема Римана—Роха. Эта теорема имеет много приложений, она является инструментом в доказательстве различных результатов. Имеется много книг и курсов лекций по алгебраической геометрии, однако практически ни в одном из них не приводится доказательство теоремы Римана— Роха для кривых. На это есть несколько причин. Во-первых, теорема Римана—Роха для кривых есть частный случай общей теоремы Римана-Роха-Хирцебруха-Гротендика для многообразий произвольной размерности. Во-вторых, доказательство является достаточно трудным. Наконец, доказательство теоремы Римана—Роха с точки зрения приложений мало что дает.
В настоящей работе приводится «элементарное» доказательство теоремы Римана-Роха, основанное на понятии распределений, введенном А. Вейлем. Это доказательство следует доказательствам, приведенным в курсе Лекций Ж.-П. Серра ([1]) и в курсе лекций 1968 г. И.Р. Шафаревича «Алгебраические кривые» (не опубликовано). Это доказательство может
г
быть изложено в начальном курсе лекций по алгебраическим кривым для студентов, владеющих лишь основными понятиями алгебраической геометрии.
Автору посчастливилось быть учеником выдающегося математика и мыслителя Игоря Ростиславовича Шафаревича. Автор поступил на мех-мат факультет МГУ в 1966 году. На первом курсе И.Р. читал общий курс линейной алгебры. В 1967-1968 уч. году он читал спец. курс «Алгебраическая геометрия», на основе которого была написана его знаменитая книга ([2]). В 1968 г. И.Р. читал спец. курс «Алгебраические кривые», записки которого использованы автором.
В следующем году Игорю Ростиславовичу исполняется 90 лет. Автор с благодарностью посвящает ему эту работу.
1. Предварительные сведения и формулировка теоремы Римана—Роха
Мы предполагаем знания, не превосходящие первых четырех глав книги И.Р. Шафаревича ([2]). Напомним некоторые понятия.
Пусть X неособая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем к, к(Х) — поле рациональных функций на X. Пусть Ох — локальное кольцо в точке х <Е X. Элементы этого кольца — это функции регулярные в точке х. Пусть тх С Ох максимальный идеал, состоящий из функций /, обращающихся в нуль в точке х; при этом Oxjmx — k.
Условие неособости (гладкости) кривой X в точке х равносильно тому, что идеал тх является главным, тх = (t), где элемент t е Ох называется локальным параметром в точке х. Каждую функцию / € к(Х), f ф 0, можно представить в виде
/ = Г -и, где и, и-1 е Ох.
Число п обозначается ux(f) и называется порядком функции / в точке х. Если п > 0, то п - это порядок нуля, а если п < 0, то — п — это порядок полюса.
Пусть DivX — группа дивизоров кривой X. Это свободная абелева группа, порожденная точками х. Таким образом, дивизор D записывается в виде -D = ]Ca€X пхх> гДе пх = vx{D) £ Ê Z и fîj = 0 для почти всех х (за исключением конечного числа). Степень дивизора D определяется равенством degD — = Дивизор D называется эффективным (положитель-
ным), если все ux(D) > 0. Отсюда получается структура упорядочивания в группе DivX; считают, что D] > D2, если D\ —
-D2> 0.
Каждой функции / € к(Х), / ф 0, сопоставляется дивизор (/) определяемый формулой
(/) = !>.(/)*.
хех
Дивизоры функций называются главными. Они образуют подгруппу Р(Х) С DivX. Факторгруппа С1(Х) = DivX/P(X) называется группой классов дивизоров. Два дивизора Dx и £>2 из одного класса, т. е. отличающиеся на дивизор функции, называются линейно эквивалентными.
Если D = (/) главный дивизор, то его степень равна нулю (см. [2], гл.З, §2),
deg (/) = 0.
Отсюда следует, что мы можем говорить о степени класса дивизоров.
Линейные системы дивизоров. С каждым дивизором D G DivX связывается векторное пространство C{D) С к(Х). Оно состоит из 0 и функций, для которых дивизор Df = (/) + D эффективен,
C(D) = {fek(X) I (f) + D> 0}u{0}.
Два эффективных дивизора Dfl и Df2 равны (/1//2) > 0 и поэтому /1//2 = const, /1 = с/2. Поэтому множество эффективных дивизоров линейно эквивалентных дивизору D естественным образом параметризуется проективным пространством
\D\ = nC(D)).
Отметим, что если D — 0, то пространство £(0) = {/ G G к(Х) | (/) > 0} = к состоит из констант. Действительно, если (/) > 0, то функция / не имеет полюсов и всюду регулярна на проективном многообразии, следовательно, / = const.
Покажем, что векторные пространства C(D) конечномерны и обозначим
1(D) = dimkC{D).
Очевидно, что если D' > D, то C(D) С jC(D'). Сравним векторные пространства C(D) и C(D + х), где х G X.
Теорема (Нетера о пробелах). Для любого дивизора D G G DivX и точки х G X размерность
l(D + х) = 1(D), либо 1(D) + 1,
т.е. при добавлении к дивизору точки размерность 1(D) подскакивает максимум на единицу.
Доказательство. Пусть D = пх + Dx, где дивизор Di не содержит точку х. Тогда D + x — (k + l)x + Di и для любой функции / G C(D+x) имеем ux(f) > — (k+l). Пусть t G Ox — локальный параметр в точке х. Тогда f-tk+x G Ох и мы можем рассмотреть значение этой функции в точке х, (ftk+1)(x) = Л(/). Получаем линейную функцию
Л : C(D + х) -)> к, /н*А(/).
Очевидно, что / G C(D)^f ■ tk+1 Етх С Ох, то есть Л(/) = Q Таким образом, C(D) = ker Л и отсюда следует доказательство. □
Следствие. Для любого дивизора D G Div X
1(D) = dimkC(D) < oo.
Доказательство. Достаточно знать, что 1(D) < оо для какого-то одного дивизора D, так как любой другой дивизор мы можем получить из D прибавляя или отбрасывая по одной точке. Но для одного дивизора, нулевого, D — 0, мы это знаем: £(0) = к и ¿(0) = 1. □
Канонический класс. Пусть Г21 (X) — пространство одномерных рациональных форм w, или короче, дифференциалов, на кривой X (см. [2]). Пространство Qx(X) является одномерным векторным пространством над полем к(Х).
Для каждого дифференциала со G Î21 (X) определим кратность их(со) в точке х G X. Именно, если t G Ох — локальный параметр в точке х, то со можно записать в виде со = и ■ dt, где и 6 к(Х) и мы полагаем
их(со) = ь>х{и).
Легко проверить, что их(ш) не зависит от выбора локального параметра t. Каждому дифференциалу со G Г2х(Х) сопоставляется дивизор
И =
хех
Пусть со0 ф 0 один из дифференциалов. Тогда Q1 (X) = = к(Х)со0 и для любого дифференциала со G il1(X) имеем w = / • со0, где / G к(Х), и (w) = (/) + (ш0). Таким образом, все дивизоры (со) линейно эквивалентны и принадлежат (составляют) одному классу. Этот класс дивизоров называется каноническим и обозначается К.
Пусть П^Х] С — пространство дифференциалов
первого рода, т. е. дифференциалов регулярных на всей кривой, или, другими словами, таких что (ш) > 0. Пусть К0 = (соо) дивизор дифференциала со0 G Г2х(Х). Тогда
С{К0) = {/ G k(X) | (/) + К0 > 0, то есть (fco0) > 0}.
Таким образом, С(К0) ~ &[Х] = {со G &(Х)\ (со) > 0}. Как известно ([2]), h1 = dimfcf^JX] является бирациональным инвариантом. Число
h1 = l(K)=g
называется (геометрическим) родом кривой X.
Пусть D G DivX. Проинтерпретируем аналогичным образом пространство C(K — D). Более точно, нужно писать С(К0 —
—D), где K0 — (u0), ojq € fi^X), это дивизор канонического класса. По определению £(К0 — D) состоит из функций / е G k(X) таких, что (/) + К0 - D > 0, т. е. (/) + (ш0) -D> 0, или (и>) — D > 0, где из = fojQ. Наоборот, если для со £ Г2х(Х) имеем (u)-D > 0, то о; = fu>0, где (f) + K0-D>0, т.е. feC{K0-D).
По аналогии с пространствами C(D) С к(Х) определим пространства fl(D) С i)x(X) условием
0(£>) = П\Х) | (OJ) + D > 0}.
Например, если D = х\ + • • • + хг, то Q,(—D) есть пространство регулярных дифференциальных форм, имеющих в точках Xi, • • • ,хг нули.
Мы получили, что
ЦК0 - D) = iî(-D). (1)
Мы построим пространства Л4, двойственные пространствам Q(—D), используя понятие распределений (или «аделей»), введенное А. Вейлем.
Теорема (Римана—Роха). Для всех дивизоров D € DivX имеем
l{D)-l(K-D) = degD-g+l. (2)
Доказательству этой теоремы посвящена оставшаяся часть работы.
2. Распределения
Распределением называется набор функций г = {гх}хех, гх 6 к(Х), причем rx Е Ох для всех точек х G X кроме конечного числа. Порядок их[гх) называется порядком распределения г в точке х, ux(r) = их(гх).
Другими словами, распределение г — это отображение г : X —> к(Х) такое, что vx{rx) < 0 только в конечном числе точек. Поскольку к(Х) является полем и, в частности, кольцом, то множество 71 всех распределений также является кольцом, где операции определены «покоординатно».
Поле к(Х) естественным образом вкладывается в кольцо И\ функция / G к(.X) отождествляется с распределением г = = {гх}, где rx = f для каждой точки х G X. Таким образом, 71 является векторным пространством над полем
Т <Z К, Т~к{Х).
Пусть D = Ylx£Xvx(D)x G DivX. По аналогии с векторными пространствами (над к)
C(D) = {/ G к(Х) | ux(f) + vx(D) > 0, G X}.
определим векторные пространства 7Z(D) С 71,
n{D) = {r G тг I ux(r) + ux(D) > 0, Vx G X}.
В отличие от £(D) пространства являются бесконечно-
мерными над к. Очевидно, что
C(D) = mn(D).
Очевидно, что если D' > D, то 7Z(D') D 7Z(D). Рассмотри включения
7l{D + xо) Э TZ(D),x0 G X.
В отличие от векторных пространств C(D), для которых dim.A:£(i5 + x)/C(D) = 0 или 1 экзотически зависит от D и х, для пространств 7£(D) имеем
dimkK(D + x)/n{D) = 1. (3)
Действительно, пространство 7Z(D) можно записать в виде
K(D)= ЦрС'О,,
хех
где t = tx — локальные параметры в точках х £ X. Следовательно,
7г(£> + x0)/n(D) ~ i-^o^+^^/r^oP)^,
и, как легко видеть, пространства t пОх одномерны.
Теперь рассмотрим пространства Т + 71(В). Очевидно, что <Итк(^+ЩВ+х))/(Т+ЩВ)) < 1, т.е. = 0 или 1. Оказывается, что подскоки размерностей пространств £(В) и Т-\-71(В) происходят в «противофазе».
Предложение. Равносильны следующие условия
<Мтк(Т + ЩВ + х))/Р + ЩВ) =0, соотв. = 1
сПткС(В+х) / £(В) = длткТГ\П(В+х)/ТГ\П(В) = 1, соотв. = = 0. Другими словами, для любой точки х € X имеем
<Итк£(В + х)/ЦВ)+<Итк(Т + ЩВ + х))/Р + ЩВ) = 1. (4)
Доказательство. Имеем
(ИщкС(В + х)/С(В) = 1 ^ С(В + х) ф С(В) 3 / е £(£> + ж),
/ £ £(£>) 3 /е^П7г(£>+ж),/ £ ^П7г(Г>), Т.е. /€^есть базис одномерного пространстваЛ(В + х))/И(В) -ФФ- .Т7 + 72.(1?) =
= ^ + 72.(£> + ж) + 72.(1? + х))!Т + 72.(£>) = 0. □
Следствие. Для любых дивизоров В' > В имеем
&\ткС(В')/С(В)+&тк(Т+ЩВ'))/Т+ЩВ) = АщВ'-^Б.
(5)
Доказательство. Пусть В' = В+В0, где В0 > 0. Тогда deg Д) = = deg.D/ —deg.D. Формула (5) получается применением формулы (4) deg Во раз для deg В0 точек, из которых состоит дивизор В. □
3. Теорема Римана—Роха в ослабленной форме
Рассмотрим векторное пространство М(В)=П/(Г + ЩВ))
и обозначим его размерность
m(D) = dim kM(D).
Позже мы покажем, что m(D) < оо.
Выясним для начала смысл пространства М.(0) = 71/(F+ +7£(0)). Пространство 7^.(0) состоит из распределений г = для которых все vx(r) > 0, т.е. функции rx G к(Х) регулярны в точках х. Любую функцию / G к(Х) можно представить в виде
/ = а„пГп H-----h а0 + g,
где, g G Ох, t — локальный параметр в точке х, a a_ni_n H-----1-
+а0 — главная часть функции / в точке ж. Образ функции / в к(Х)/Ох состоит из ее главной части.
Факторпространство 1Z/7i(0) состоит из наборов 77 = {т^} главных частей rjx G к(Х)/Ох, причем почти все (т.е. кроме конечного числа х) г)х равны нулю. Проблема Кузена состоит в отыскании функции / G к(Х), имеющей в конечном числе точек заданные главные части. Из точной последовательности
Т -> 71171(0) -> 71/(Т + 71(0)) 0
следует, что равенство Л4(0) = 0 означает, что любая проблема Кузена имеет решение.
Теорема (Римана—Роха в ослабленной форме). Для любого дивизора D G DivX имеем
l(D) - m(D) = deg D + 1 - m(0), (6)
где m(0) = dimfc.M(0) = dimk7l/(T + 71(0)) . Доказательство. Для дивизоров D' > D имеем 71 D !F-\-TZ(D') D D T + 7i(D). Если L D Li D Lï три векторные пространства, то имеем эпиморфизм L/L2 —> L/L\, ядро которого есть Za/L2. Применяя это к включениям 1Z D T -f Tl(D') D J + 7Z(D), получаем, что имеется эпиморфизм
ф : M(D)->M{D'),
ядро которого kei"0 = (F + 7l(D'))/(F + 7l(D)). Предполагая, что размерности m(D) < oo, получаем, что
dim(.F + K{D'))/(F + 7l(D)) = m(D) - m(D').
Отсюда следует, что формула (5) может быть переписана в виде
/(£>') - l(D) + m(D) - m(D') = degD' - degD (7)
Обозначим
l(D)-m(D)=X(D).
Тогда имеем
x(D')-x(D) = degD'-degD. (8)
Формула (8) верна для любой пары дивизоров D' и D. Действительно, пусть D">D и D">D', например, D" = H.O.K.(D, D'). Тогда формула (8) для пары D', D следует из соответствующих формул для пар D",D и D",D'. Применяя формулу (8) для D' = 0, получаем формулу (6), так как /(0) = 1. □
Для доказательства теоремы Римана—Роха нам остается доказать, что m(D) < оо и выяснить смысл m(D), доказать, что m(D) = l(K-D).
4. Теорема конечности
Теорема. Для любого дивизора D £ DivX пространство M.(D) конечномерно,
m(D) < оо.
Доказательство. Во-первых, заметим, что теорему достаточно доказать хотя бы для одного дивизора D. Действительно, если для пары дивизоров D, D' один из них является большим, например, D' > D, то имеется эпиморфизм 'ф : M.(D) —> M(D'), ядро которого кег'ф = (F + 7l(D'))/(F+7l(D)) конечномерно в силу (5). Поэтому конечномерность À4(D) равносильна конечномерности Л'i(D'). Если D и D' два произвольных дивизора,
то мы можем рассмотреть дивизор В" > В и В" > £)', и из конечномерности Л4(В) получить конечномерность А4(В') в два шага.
Сначала рассмотрим вопрос о конечности т(В) в случае, когда X — аффинная кривая. Мы докажем, что для В = О имеем
М( 0) = 0.
(Отсюда следует, что (в аффинном случае) и для любого дивизора М(В) = 0).
Как мы видели в начале предыдущего параграфа, условие .М(О) = + 7£(0)) = 0, означает, что проблема Кузена всегда разрешима. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки х £ X и любого целого числа п > 0 3 / £ к(Х) такая, что
^(/) = -пяиу(/) > 0 для у ф х. (9)
Тогда для любого распределения г £71 мы можем с помощью таких функций шаг за шагом понижать порядки полюсов в распределении г и привести г в 7^(0), тем самым получить, что 11 = ?+ 11(0).
Покажем существование функций / £ к(Х), удовлетворяющих условию (9). Пусть х £ X С Ат и — локальный параметр в точке х. Возьмем функцию д = т,г- Тогда их(д) = —п. Пусть у1,...,уг — полюса функции д, отличные от точки х и имеющие в них порядки к\,... ,кг, к = шах^ кг. Существует многочлен И £ А;[АШ] такой, что
Нуг) = 0, * = 1,...,г, Цх) ф 0.
*
Тогда функция / = д ■ Нк удовлетворяет условию (9).
Пусть теперь X С Рт проективная кривая. Покажем, что существует дивизор В, для которого М(В) = 0, т.е. 71 = = Р + ЩВ). Пусть й С Г гиперплоскость, которая транс-версально пересекает X в й = с^Х точках хх,...,ха, и пусть
Е = Х]_-\-----\-Xci дивизор гиперплоского сечения. Докажем, что
при достаточно большом п
М{пЕ) = 0.
Пусть Ат =Рт\Яи7 = 1\ Эирр Е — аффинная кривая, У с Ат. Мы знаем, что для У пространство Му(0) = 0, т.е. 7= Т + Отсюда следует, что если в распределении
г = {гх} Е 71 не рассматривать компоненты гх в бесконечно удаленных точках хг,..., ха, то существует функция / Е к(Х), имеющая такие же главные части как и гх в остальных точках х. Тогда в распределении г — / компоненты гх — / Е Ох во всех точках х ф Х{, г = 1,...,
Пусть п максимальный порядок полюсов распределения г в точках Хг, 1УХ{ (гХ{) > -п, г = 1,..., й. Тогда г-/ € 71{пЕ). Мы показали, что для каждого распределения г существует функция / € к(Х) и такое п Е М, что г £ Т+ЩпЕ). Следовательно,
ип>0(Г + ЩпЕ))=71.
Теперь достаточно доказать, что существует такое п0, что при п> п0
Т + Щ(п + 1)Е) = Т + ЩпЕ) (10)
Тогда 71 = Т + 71(щЕ) и, следовательно, М(щЕ) = 0.
Для доказательства (10) нужно показать, что эпиморфизмы
ф : М{пЕ) -» М{{п+1)Е)
имеют нулевое ядро кег^ = (Р+Щ(п + 1)Е))/(Р+ЩпЕ)) = 0 при п > п0. Из формулы (5) следует, что кег^ = 0
1({п + 1 )Е) - 1{пЕ) = с^ (п + 1 )Е - с^пЕ = degЕ —
Таким образом, нужно доказать, что существует такое щ, что при п > щ выполняется равенство
1({п + 1)Е)-1(пЕ) = <1. (11)
Пространство С[пЕ) состоит из функций / е к(Х), для которых в точках Х{, 1УХ{{/) > —п, г = 1,..., с?, и которые регулярны в остальных точках. Достаточно построить (1 функций /¿, г = 1,..., с1, таких, что
^ Ш = —(п + 1), (/¿) > -п при ] ф г. (12)
Очевидно, что такие функции /1,..., /<* образуют базис пространства С((п + 1 )Е)/С(пЕ) и это дает равенство (11).
Достаточно построить функции /1,...,/^, которые удовлетворяют (12) при каком-то одном п = щ. Действительно, существует функция Л € к(Х), имеющая в точках хх,...,х^ полюс первого порядка иХ{(Н) = —1, и регулярная в остальных точках. Достаточно взять к = где Ь = 0 уравнение гиперплоскости Н, а Ь' — 0 уравнение гиперплоскости, не проходящей через точки Х\,... ,ха- Теперь, если п > щ, п — щ + к, то функции /¿/г*1, г = 1,..., удовлетворяют условиям (12) при п = щ + к.
Найдем гиперповерхности с уравнениями Фг(ж) = 0, г = = 1,..., не проходящие через точку х* и проходящие через остальные точки х3, ] ф г, т. е.
Ф<(®,-) = 0 при 2 ф г и Ф<(®4) ф 0.
Пусть формы Фг имеют степень deg Ф; = г. Пусть щ = г — 1. Тогда функции /г = „ф'+1, г — !,...,(!, удовлетворяют условиям
О
(12) при п — щ и все доказано. □
5. Вычет дифференциала
Пусть X — неособая проективная кривая, со € — ра-
циональная дифференциальная форма (дифференциал). Пусть 1б1и Ь £ Ох — локальный параметр в точке х. Тогда со можно записать в виде со — /ей, а функцию / € к(Х) разложить в ряд Лорана,
/ = С_пгп + • • • + с-хГ1 + д, де Ох.
Коэффициент с_1 при называется вычетом дифференциала в точке х и обозначается Иезх со,
ЫеЗя со = с_ 1-
Это определение корректно.
Теорема (инвариантности). Определение Resx to не зависит от выбора локального параметра в точке х.
Для доказательства в случае char к = 0 мы можем воспользоваться трансцендентным методом. В силу принципа Ле-фшеца можно считать, что к = С. В комплексном анализе доказывается, что
0-1 2т J^'
где 7 замкнутый путь вокруг точки х, гомотопный окружности. Это доказывает инвариантность.
Теорема (о сумме вычетов). Для любого дифференциала и € £ сумма вычетов равна нулю,
Resx и) = 0.
хех
Доказательство в комплексном анализе (в случае к = С) сразу следует из формулы Стокса.
В случае конечной характеристики поля к одно из доказательств этих теорем можно найти у Серра ([1]). Другое доказательство, предложенное Тейтом, И.Р. Шафаревич рассказал в лекциях по алгебраическим кривым в 1968 г.
6. Теорема двойственности
Как мы показали в первом параграфе, пространство С(К - D) изоморфно пространству
il(-D) - {we ill(X) I (a})-D> 0}.
Вычет дифференциала позволяет установить невырожденное спаривание между пространствами tt(-D) и M(D) = 72/(Т + +71(D)). Сначала определим билинейную форму на Ох(Х) х 72 положив
(и, г) = ]PResx (гх ■ и).
хех
Рассмотрим подпространства Гl(—D) С Г2х(Х) и Т+1Z(D) С 7Z и покажем, что они ортогональны относительно этого спаривания. Действительно, если f € Т С 7Z, a eu G Г2х(Х), то
(u,f) = J2Res* СМ = °
х&Х
по теореме о сумме вычетов.
Если си G Çt(—D) иге 7Z(D), то для каждой точки х G 6 X имеем: их(ш) — vx(D) > 0 и vx[rx) + vx(D) > 0. Поэтому vx(rxu) — ux(rx) + vx(uj) > 0 и, следовательно, Res^ (rxco) = 0 и поэтому (со, г) = 0. Мы получаем, что
Îî(-D) JL Т + К{р)
и, следовательно, спаривание fi*(X) х 71 —> к индуцирует спаривание Çl(—D) х M.(D) к и мы получаем линейное отображение
3d ■ Q(-D)->M(D)*, (13)
\jD(w)](r) = (ш,г).
Теорема (двойственности). Для каждого дивизора D G е DivX спаривание Q(—D) х A4(D) —> к является невырожденным, т. е. отображение jo является изоморфизмом. Доказательство. Идея состоит в том, чтобы рассмотреть вложения 0(-£>)с0х(Х), M(D)*C J(X) в пространства fi1 (Л") и J(X), имеющие бесконечную размерность над полем к, но являющиеся (одномерными) векторными пространствами над полем к(Х), и определить А; (X)-линейное отображение j : 0*(Х) —>• -» J(X), которое индуцирует отображение jp на пространствах Q(-D) и M(D)*, т.е. получить коммутативную диаграмму
jD: iï(-D) -» M(D)*
П П (14)
j: fi!(X) J(X)
Осуществим эту программу.
Пространство дифференциалов Г2*(Х) является объединением подпространств fi(-D), поскольку для Vсо Е существует дивизор D такой, что (со) — D > О,
Щ-D) С Г2х(Х) = IJ Q(-D).
De DivX
С другой стороны, элементы пространства M(D)* можно рассматривать как линейные формы на пространстве 7Z, равные нулю на подпространстве F+7Z(D). Поэтому все пространства A4(D)* вкладываются в одно пространство
M(D)* С 7Z* — Нот* (72, к). Рассмотрим пространство
J(X) = U M(D)* С тг*, De DivX
т. е. J(X) — это пространство линейных функций на 7Z, которые обращаются в нуль на Т С 7Z, и для каждой из которых существует дивизор D такой, что эта функция обращается в нуль на 7Z(D). (Можно интерпретировать J(X) как пространство, топологически двойственное пространству TZjT, снабженному топологией, которая определяется векторными пространствами — образами 7L(D)). Мы получаем отображение j : ^(Х) —> J(X), индуцированное спариванием ^(Х) х 7Z -» к, которое на подпространствах Q(—D) С Г2х(Х) индуцирует отображения jo-Покажем, что J(X) является векторным пространством над полем Т — к(Х). Пространство 71* — Нот^(72., к) является к(Х)~ векторным пространством, в котором умножение определено так: если / Е Т, х £ 71*, то (fx)(r) — x(fr)- Покажем, что J(X) выдерживает умножение на элементы поля к(Х). Пусть х £ Е J(X), / Е к(Х). Тогда х принадлежит некоторому пространству M.(D)*, т.е. существует дивизор D Е DivX такой, что X = 0 на подпространстве T+7Z(D) С 7Z. Очевидно, что /х = О на пространстве F. Если г Е 7Z((f~~l) 4- D), то fr Е 7Z(D)). Поэтому fx — 0 на пространстве Т + 7Z(D\), где D\ — (/-1) + D.
Следовательно, fx € Ai(Di)*, т.е. fx £ J(X). Очевидно также, что j есть линейное отображение £(Х)-пространств.
Прежде чем доказывать теорему двойственности, т. е. что все отображения jp являются изоморфизмами, докажем, что отображение j : Г21(Х) —> J(X) является изоморфизмом.
Лемма. Пусть со £ ^(Х) и j(co) £ M(D)*. Тогда со £ Q(-D).
Доказательство. По условию j(ui) линейная функция на 7Z, аннулирующая Т + TZ(D). Предположим, что со Г2(—D). Тогда найдется точка х £ X, для которой vx(co) + ux(—D) < 0. т.е. vx(w) < ux(D). Пусть п = их(ш)~hl и рассмотрим распределение г = {га;} такое, что гу = 0 при у ф х и гх = где t — локальный параметр в точке х. Тогда г £ H(D), так как п < vx(D) и, следовательно, —п + vx(D) > 0, т. е. ux(rx) + vx(D) > 0. С другой стороны, vx(rxLo) = —1, и, следовательно, Resx (гхсо) ф 0 и (ш,г) ф 0, т.е. j(co)(r) ф 0. Это противоречит тому, что j(co) аннулирует 1Z(D). Лемма доказана. □
1) Мономорфность j.
Пусть j(uj) = 0. Тогда j(ui) £ M(D)* для любого дивизора D и поэтому в силу леммы со £ D) для любого дивизора D. Поэтому со = 0.
2) Эпиморфность j.
Докажем, что пространство Cokerj = J(X/j(fl1(X)) имеет конечную размерность над полем к. Но j является А;(^-линейным отображением £(Х)-пространств. Поэтому Cokerj есть /г(Х)-линейное пространство, а так как dim^^X) = оо, то Coker j = 0 и j — эпиморфизм.
Очевидно, что Пх(Х) = UoeDivX&(D), и по определению J(X) = UneDivX D)*. Покажем, что в этих обозначениях можно считать, что D > 0. Действительно, пусть D = D0 — D^, где D0 > 0, £>оо > 0. Тогда D0 > D и поэтому Ü(D) С ii(D0) и мы можем в объединении заменить D на D0 > 0. Аналогично, так как D0 > D, то -D > -D0 и M(-D)* С M{-D0)*, и мы можем в объединении заменить D на Do > 0. Итак,
Q!(X) = U П{Н), J(X) = U М(-Н)* (15)
я>о н>о
Рассмотрим отображения (13) для И = —Я,
3-н : П(Я) -> М(—Н)*.
Воспользуемся теоремой Римана—Роха в ослабленной форме и оценим размерности пространств 0,(Н) и М(—Н)*. Из (1) имеем П(Н) ~ С(К + Я) и поэтому <ИткП(Н) = 1{К + Я). По формуле (6) для дивизора И = К + Я имеем
1(К + Н). - т(К + Я) = с!её Я + (с^ X + 1 - т(0))
и так как т(К + Я) > 0, то
<ШпЛП(Я) >degЯ + a, (16)
где Q; = deg^í'+l—т(0) константа, не зависящая от дивизора Я.
С другой стороны, dimfcЛ/í(—Н)* = (ИткМ.(—Я) = т(—Я). По формуле (6) для дивизора И = — Я имеем
1(-Н) - т(—Н) = -degЯ + 1 - т(0).
Так как Я > 0, то /(-Я) = 0 и
dim кМ(-НУ = т(—Н) = deg Я + р, (17)
где /3 = т(0) — I константа, не зависящая от дивизора Я. Из (16) и (17) получаем, что
dimA;Coker = dimfc.Л/í(-Я)* - dimfcí](Я) < /3 - а = 7.
Отсюда и из (15) следует, что
dimfcCokeг3 = Ц&Щ) < 7
И эпиморфность ] доказана.
Вернемся к доказательству теоремы двойственности, т. е. К доказательству того, что ]г> является изоморфизмом. Моно-Морфность следует из диаграммы (14) и мономорфности ]. Докажем, что уп эпиморфизм.
Пусть х^МфУс J{X). Так как ] эпиморфизм, то За; е € Г2х(Х) такая, чтоз(ш) = х■ Но так как з'(ш)еЛ4(ОУ, то в силу
36
леммы со е Q(—D), причем j(co) = jD(co) = х> и следовательно, jD эпиморфизм. Теорема двойственности доказана. □
Следствие. m(D) = dimfci2(—D).
Из (1) получаем, что m(D) — l(K — D). Доказательство теоремы Римана—Роха завершено.
7. Замечания к теореме Римана—Роха
1) Теорема Римана—Роха для кривых является частным случаем общей теоремы Римана—Роха—Хирцебруха—Гротен-дика, которая выражает эйлерову характеристику х{£) локально свободного пучка £ на неособом проективном многообразии через классы Чженя — аналоги канонического класса.
2) На языке пучков теорема Римана—Роха для кривых формулируется так. Дивизору D € DivX соответствует локально свободный пучок Ox{D), причем £(D)~H°(X, Ox(D)). Теперь теорема Римана-Роха распадается на две части.
Во-первых, эйлерова характеристика x{Çx{D)) пучка Ox(D) выражается через эйлерову характеристику структурного пучка Ох,
dimH°{Ox(D)) - dimH\Ox(D)) = degD + l-g, (18)
Во-вторых, применяется теорема двойственности
h'iOxiD)) = h°(Kx <S> Ox(-D)), (19)
которая является частным случаем теоремы двойственности Серра.
Если соотносить это с нашим доказательством, то нужно отметить, что
H\Ox{D)) ~ nftF + KiD)) = M{D).
Действительно, пучок Ох (D) является подпучком постоянного пучка к(Х). Имеем точную последовательность пучков
О Ox(D) к{Х) k(X)/Ox(D) -> 0.
Из точной последовательности когомологий получаем
к(Х) Н°(Х, к(Х)/Ох{В)) -4 Н^Х, Ох{Р)) 0.
Пучок А = к(Х)/Ох(Е>) есть «пучок небоскребов». Его группа сечений Н° (X, А) отождествляется с прямой суммой групп Ах = к(Х)/ОхФ)х, которая, очевидно, изоморфна 72/71(0). Точная последовательность показывает тогда, что Н^Х, Ох(Щ) отождествляется с М.{0).
Получаем следующее соотношение приведенного доказательства теоремы Римана—-Роха для кривых с общими теоремами. Теорема Римана—Роха в ослабленной форме (6) соответствует формуле (18), теорема конечности следует из теоремы конечности когомологий когерентных пучков на полных многообразиях, а теорема двойственности соответствует формуле (19), частному случаю теоремы двойственности Серра.
Список литературы
1. Серр Ж. Алгебраические группы и поля классов.
— М.: Мир. 1968.
2. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии.
— М.: Наука. 1972.
Московский государственный университет печати имени Ивана Федорова. E-mail: vskulikov@mail. ru. Поступила 10 февраля 2012 г.
