Дисперсионные уравнения в задаче о распространении электромагнитных волн в линейном слое и метаматериалы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958; 517.927.4

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов

ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ СЛОЕ И МЕТАМАТЕРИАЛЫ1

Аннотация. Рассмотрена задача о распространении поляризованных электромагнитных волн в линейном слое. Получены и проанализированы дисперсионные уравнения для постоянных распространения. Рассмотрен случай метаматериала как внутри слоя, так и для полупространств, его ограничивающих.

Ключевые слова: уравнения Максвелла, задача дифракции, линейная краевая задача на собственные значения, линейный слой, метаматериал.

Abstract. Problem of propagation polarized electromagnetic waves in a linear layer is considered. Dispersion equations for propagation constants are obtained and analyzed. Cases of metamaterial in the layer and in half-spaces are studied.

Keywords: Maxwell equation, diffraction problem, linear boundary eigenvalue problem, linear layer, metamaterial.

Введение

Работа посвящена изучению распространения поляризованных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в линейном слое, расположенном между двумя изотропными полупространствами. Несмотря на то, что эта задача является классической в электродинамике, она еще не исследована в полной мере для метаматериалов. Заметим, что многие авторы не рассматривают эту задачу (и подобные ей) как задачу на собственные значения, хотя при такой электродинамической постановке ее необходимо рассматривать именно таким образом. Основной результат работы - это дисперсионные уравнения для постоянных распространения. Два из них - это давно известные уравнения, хотя и полученные здесь в большей общности (по одному для каждого типа волн), в одном частном случае они встречаются в [1]. Эти известные уравнения в настоящее время не представляют интереса с точки зрения метаматериалов (поскольку допускают метаматериал только в полупространствах, ограничивающих слой, и не допускают метаматериала в слое). В то же время получено еще два дисперсионных уравнения (опять-таки по одному для каждого типа волн), существенно отличающихся по форме от двух упомянутых. Именно они представляют интерес при изучении метаматериалов. Из одного из этих уравнений, в частности, следует, что ТЕ-волны не распространяются в слое с отрицательной диэлектрической проницаемостью. Задача распространения электромагнитных волн в линейном слое из метаматериала активно изучается в настоящее время, с некоторыми аспектами исследований можно познакомиться по работам [2-5].

1. Уравнения Максвелла и задача дифракции

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью произ-

1 Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.

вольного типа, расположенный между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость £1 > £о и £3 > £о соответственно, где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума (вообще говоря, математически это условие не обязательно, это хорошо видно при выводе дисперсионных уравнений). Считаем, что всюду Ц = ^о, где Цо - магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени в виде [6]

E(x, y, z, t) = E+ (x, y, z)cosrot + E_(x, y, z)sinrot;

H(x, y, z, t) = H + (x, y, z)cosrot + H_ (x, y, z)sinrot,

где ro - круговая частота; E, E+, E_, H, H +, H_ - вещественные искомые функции. Образуем комплексные амплитуды полей E(x,y,z) и H(x,y,z):

E = E+ + iE_; H = H + + iH _.

Везде ниже множители cos rot и sin rot будем опускать. Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла

rot H = -iro£E; rotE = irojiH, (1)

условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = о , x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x < о и

x > h . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид £ = £2 . Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны

Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны E = (о, Ey ,о) ,

T

H = {HX ,о, Hz) . Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от z, Hy = Hy (x)eiyz, Ex = Ex (x)eiyz , Ez = Ez (x)eiyz, из (1) получаем систему уравнений

iyHx ^)_H'z ^) = _iro£Ey ^),

<_iyEy xx ) = iro|iHx xx), (2)

E'y {x) = iro^Hz ^),

где у - неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

После простейших преобразований из системы (2) получаем

У2Ey xx) _ E’y xx) = ro2^£Ey xx).

Пусть k2 = ю2Ц£о , Ц = , выполним нормировку в соответствии

d d у є /

с формулами х = кх, — = k—, у = —, є/ = — (/ = 1, 2, 3). Обозначим

dx dX k Єо

Еу (X) = У (X) . Опуская значок тильды, получаем

У" (х) = у2 7 (х )-єУ (х). (3)

Будем рассматривать (3) как систему, положим У'(х) = 2 (х):

'7' (х ) = 2 (х),

2' (х) = (у 2-є)у (х). ()

Будем искать действительные решения У(х), 2(х) для системы (4).

2

аем у действительным (так что Е не зависит от 2).

Также будем полагать, что функция У (х) дифференцируема в слое так,

что

У (х)е С(-«,; + ~)пС1 (-«,; 0] п С1 [0; И] п

п С1 (И; +^]п С2 (-~;0)п С2 (0; И)п С2 (И; + ~).

Решение системы дифференциальных уравнений. Для х < 0 имеем £ = £1, из (4) получаем уравнение У" = (у2 -£1 )у (здесь мы считаем

у —£1 > 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности). В силу условия на бесконечности получаем решения

У (х ) = Лех'^Г—£;

2(х) = л/у2 —£1е*'^ . (5)

Для х >И имеем £ = £3 и из (4) получаем уравнение У" = (у2 -£3 )у

2

(здесь, по тем же причинам, что и при х < 0, мы считаем у -£3 > 0). В силу условия на бесконечности получаем решения

У (х) = Бе~(х-И)у2-£3;

2(х) = -у2 -£3Бе_(х-и)у2-£3 . (6)

Постоянные Л и Б в (5) и (6) определяются граничными условиями. Внутри слоя £ = £3 и 0 < х < И из (4) получаем уравнение

У" = (у2 - £2)У . Здесь мы можем рассматривать два случая:

а) У —Є2 — 0 ; общее решение внутри слоя есть

У(х) = Сіє х^у2 Є2 + С2вх^у2 Є2 ;

хУІу 2 —є2 + С2Є^^у2 —

(7)

2

б) У —Є2 ^ 0 ; общее решение внутри слоя есть

У(х) = Сі віп^Є2 —у2х + С2 ео^Є2 — у2х ;

2 (х) = ^2 — у2 С Сі ео^ Є2 — у2 х — С2 віп^/ Є2 —у2 х |.

Граничные условия. Условия сопряжения для полей Е и Н дают [У ]х=0 = ^ [У ]х=И = ^ [ 2 ]х=0 = ^ [ 2 ]х=И = ^

(8)

(9)

где Г/(х)! = = ііш /(х)— ііш /(х) обозначает скачок функции на

х=хо х—— хо —0 х——хо +0

границе раздела сред.

Обозначаем У (И ) = Е() (известная величина - падающее поле),

У (0) = Еу0), причем В = ЕУ) и А = Е(0). Тогда 2(0) = д/у2 — єіЕ(0) и

2 (И ) = —у2 —єзЕ(И).

В случае (а) из условий сопряжения (9) и решений (5)-(7) получаем систему

Еу0) = Сі + С2,

Е(уИ)= СХе~И^2 + С2еИ^2, Ь2 — єіе(0)^у2 — Є2 (—Сі + С2),

-Л2 —є3Е|И) ^у2 —є2

+С2 е^А/у2:Є2

решая которую, мы получаем дисперсионное уравнение

Уу2 — є2 — Уу2 — єі д/у2 — є2 — Л2 — є3 = є2^Л/у2

Уу2 — Є2 ^у2 — Єі д/у2 — Є2 + д/у2 — Єз

(і0)

2 2 2 где у -£1 >0, у -£2 >0, у -£3 >0 (анализ этого уравнения в разд. 4).

В случае (б) из условий сопряжения (9) и решений (5), (6), (8) получаем систему

зі

Еу0) = С2,

Е У

Е^И) = Сі віпд/Є2 —у2И + С2 еовд/є2 — у2И, л/у2 — ЄіЕУ0) = Сі У Є2 —у2, ^у2 — ЄзЕ(И) = д/у2 —Є2 (-Сі ео^Є2 —у2И — С2 віпд/Є2 —у2/

Из последней системы находим

є2 —у2 — Л2 — єі\/у2 —є3 • Г 2 , /2,

у2 — Єі +Уу2 — Є3 УЄ2 — у2

віПд/є2 —у И = ео^Є2 —у

>/ё

(іі)

если еовд/є2 — у2И Ф 0, то получаем известное уравнение

л/є2 —у2 (^л/у2 — єі + Уу2 —Є3 ^

*ё| V є2—у

Є2 — у2 у2 —є^у2 — Є3

(і2)

2 2 2 причем у —Єі — 0 , Є2 — у — 0 , у — £3 — 0 .

Если же условие еовд/£2 — у2И Ф 0 не выполняется, то мы можем записать последнее уравнение через котангенс, однако в этом случае собственные значения можно выписать явно.

Если еовд/£2 — у2И = 0 , то

І-

£2 —у =

2 я(2и + і) 2 4є2И — л (2и + і)

2И

и у =

4И2

Кроме того, из (11) получаем в этом случае £2 - у2 = Уу2 -£1>/у2 -£3 .

Подставляя в последнюю формулу выражение для у2 и выполнив простейшие преобразования, получаем

И =

л(2и + і) І 2є2 — єі — £3

|(є2 —£і )(£2 —є3) ’

(і3)

причем в силу условий у2 -£1 > 0, £2 - у2 > 0 , у2 -£3 >0 подкоренное выражение в формуле (13) неотрицательно. Подставляя И из формулы (13)

2

2 2 (2 — Єі )(є2 — £3)

в формулу для у , получаем, что у = і-------------------------------.

2є2 —єі — є3

Решая неравен-

є2 —єі

2 п £2 — £3

ство у > 0, легко получаем, что £2 — £і <-------- или £2 — £3 <

є2 —є3 — і є2 —єі — і

2

3. ТМ-поляризованные электромагнитные волны

Т

Рассмотрим ТМ-поляризованные волны Е = (Ех,0, Ег) , Н = (0, Ну , 0) , где ( • )Т - операция транспонирования. Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от г, Ну = Ну (х )егуг, Ех = Ех (х)егуг , Ег = Ег (х)егуг, из (1) получаем систему уравнений

у(Ех (х )У- Е1(х ) = Ю2Ц£Ег (х ), (14)

" 2 2 (14) _у (Ех (х))-уЕИх)=ю ^£(гЕх (х)),

здесь у - неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны). Введем обозначения к2 =ю2Ц£0 с ^ = 1^0 и выполним нормировку в соответствии с формулами х = кх, й = кй, у = ~,

йх йх к

£ I

£ I =— ( = 1, 2, 3). Переобозначаем Ег = 2 (х), 1Ех = X (х) и, опуская зна-

£0

чок тильды, систему (14) приведем к виду

X ' + (£-у2 )х = 0,

1 (15)

2 =1X'. у

Будем искать те значения спектрального параметра у, для которых существуют действительные решения X(х), 2(х) системы (15), у полагаем

действительным (так что \Ех |2 и |Ег |2 не зависят от г).

Полагаем, что функции X(х), 2(х) дифференцируемы так, что

X(х)е С(-«,; + <~)пС1 (-«,; 0] пС1 [0; И] п

п С1 (И; +«,] пС2 (-«,; 0) п С2 (0; И) п С2 (И; + ~);

2(х)е С(-«,; + ~)пС1 (-«,; 0) пС1 (0; И)пС1 (И; + ~).

Решение системы дифференциальных уравнений. Для х < 0 имеем £ = £ и из (15) получаем уравнение X* = (у2 -£1) (здесь мы считаем

у -£1 > 0 , ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности). В силу условия на бесконечности получаем решения

X(х) = ЛехУу2-^, 2(х) = ^у -£1 Лex^'У2—£l . (16)

Для х > И имеем £ = £3 и из (15) получаем уравнение X* = (у2 -£3 )

2

(здесь, по тем же причинам, что и при х < 0, мы считаем у -£3 > 0). В силу условия на бесконечности получаем решение

X(х) = Бе_(х-И Ху2-£3;

2(х) = -Уу -£3.Бе~(х-И)у2-£3 . (17)

у

Постоянные Л и Б в (16) и (17) определяются граничными условиями. Внутри слоя £ = £3 и 0 < х < И из (15) получаем уравнение

X" = (у2 - £2 ) . Здесь мы можем рассматривать два случая:

2

а) у -£2 > 0 ; общее решение внутри слоя есть

X(х) = Сіє х^у2 £2 + С2вх^у2 £2 ;

2(х) = ^у —£2 (—Сіє~^у2 —£2 + С2в^у2 —£21; (і8)

2

б) у —£2 — 0 ; общее решение внутри слоя есть

X(х) = Сі віп^Є2 —у2х + С2 еовд/£2 —у і

— у2 х;

2(х)=^-2 — ^Сі ео^£2 —у2х — С2 віп ^£2 —у2х^. (і9)

..,2

у

Граничные условия. Условия сопряжения для полей Е и Н дают

[-у и=°. [-у и =0; 12 и=0- [ 2 и=(20)

где Г/(х)! = = Ііш /(х)— Ііш /(х) обозначает скачок функции на

х=хо х—хо —0 х—хо +0

границе раздела сред.

Обозначаем 2 (И) = Е() (известная величина - падающее поле),

2(0) = е(0) , причем В = —. у Е^И) и А = . у — Е(0). Тогда

уу2 — £3 Уу 2 — єі

X(0)= у Е(0) и X(И) = — у Е()

у2 — £3

Л2 —-і уу

В случае (а) из условий сопряжения (20) и решений (і6)-(і8) получаем систему

Л2 —-іА = -\/у2 —-2 (С2 — Сі)

—Сіє

(И) = д/у2 — є2 (—С-И^2

Е2 =

+ С2є

єіА = є2 ((і + С2 ),

є2

Сіе'

у2 —є2 + С2Є^л/у2—

= є3 В.

Решая последнюю систему, мы получаем дисперсионное уравнение

єіУ у2 — є2 — є2>/ у2 — єі є3л/ у2 —є2 —є2л/ у2 —є3 = р2ИуІ'

-і>/ у2 —-2 + -2\/ у2 —-і -У у2 —-2 + -2 \1 у2 —-3

= Є Vу2 —є2, (2і)

2 2 2 где у -£1 >0, у -£2 >0, у -£3 >0 (анализ этого уравнения в разд. 4).

В случае (б) из условий сопряжения (20) и решений (16), (17), (19) получаем систему

Уу2 —-іА = 7-2 —у2 Сі, е(и) = У 2 у_^Сі ео^є 2 — у2 И — С2 віп д/є 2 — у2 И^, єіА = є2С2, -2 ^Сі ві^-2 — у2И + С2 ео^-2 —у2И^ = Є3В.

Из последней системы находим

єі £3 (2 — у2)— є 27 у2 — єі\/ у2 — є3

5-у/і

ео^-2 —у И =-

є2

л/ є2 — у2 Iе є3\/у2 — єі + єУу2 — є3 )

ві^є2 — у 2И, (22)

если еовд/ -2 — у2 И Ф 0, то получаем известное уравнение

є2\/є2 —у2 ((є3\/

>/—и=-

у2 — єі + єУ у2 — є3

єіє3 (2 —у2 ) — £ 2>/у 2 — єі7 у 2 — є3

(23)

где у2 — Єі — 0 , £2 — у2 — 0 , у2 — є 3 — 0 .

Если же условие ео^-2 — у2 И Ф 0 не выполняется, то мы можем записать последнее уравнение через котангенс, однако в этом случае можно получить более простое уравнение для собственных значений.

Если сш^ с'2 -у2И = 0, то л/^2

-у2 =

я(2п + 1) 2 4 Є2^ -л (2п + 1)

2И

4И2

Из (22) получаем Є1Є3 (2 - У2) = є2 VУ2 - Є1VУ2 - е3 •

Подставляя в по-

следнее уравнение выражение для у2 и выполнив простейшие преобразования, получаем уравнение

(

2 с2 - с1 - с3

:Р +

1

(2 - с1 )(е2 - с3 ) (2 - с1 )(е2 - с3 )

(

1 -

Єї є

Л

1Ь3

с2

= 0

и

4И2

Р=- 2 2,

к (2п +1)

2 2 2 где у - £1 >0, £2 - у > 0, у - £ 3 >0.

Теперь еще нужно учесть, что р , найденное из квадратного уравнения,

должно быть положительным.

4. Анализ дисперсионных уравнений

Во всех четырех дисперсионных уравнениях (10), (12), (21) и (23) из

22

условий у - £ 1 >0 и у - £ з >0 следует, что £1 и £ з могут быть произвольных знаков (именно об этом шла речь в разд. 1). В настоящее время с практической точки зрения представляет интерес лишь случай £1 > £0 и £3 > £0, где £0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, поэтому мы не будем слишком подробно останавливаться на рассмотрении случаев, отличных от упомянутого. Ясно, что классические уравнения (12) и (23) вообще не допускают метаматериала в слое, поскольку при их выводе используется условие

£2 - у > 0 , а значит, £2 > 0. В этом отношении указанные уравнения не представляют интереса с точки зрения изучения метаматериалов.

ТЕ-волны (уравнения (10) и (12)). Уравнение (10) запишем в виде

И = -

1

(

2^-е 2

Видно, что в (24)

Ли

1 2 I 2

>/У - е2 -1 Д - с1

Vу2 - с2 + 1 /у2 - с1

Уу2 - С2 -1 у/у2 - с1

Vу2 - с2 +" Л2 - с1

д/у2 - с 2

Л

У - сз

7у2 - е2 ^а/У2"

(24)

< 1 и

л/у2 -е2-4

У - с3

л/у2 - е2 + >/у2 - с 3

< 1.

Поскольку множитель перед логарифмом в (24) положителен, то в этом случае всегда И < 0. Но И обозначает толщину слоя, поэтому такой случай физически не реализуется.

Перейдем к уравнению (12), которое является классическим и при

2

£1 = £3 приведено в [1]. Из условия £2 - у > 0 сразу получаем, что £2 > 0 (из этого и рассмотрения уравнения (10) следует, что в случае ТЕ-поляризации волн в линейном слое с отрицательной диэлектрической проницаемостью не существует!). Если представить (12) в форме

л(п + 1)

И = } ’ +

Vе2 -У2 4Г "2

■агС^

>/е2-У2 (V

у2 -1 ^У2 -£3

•2 л/У^/У7

£3

/е 2-У Уе2-У е2-У

то легко показать, что п > 0 - целое число.

Из последней формулы ясно, что прямая у2 = £2 является асимптотой. Из формулы (12) видно, что, вообще говоря, все допустимые значения у лежат в промежутке от -д/£2 до і/£2 . Если £1 < 0 и £3 < 0 , то у принимает все значения из этого промежутка (рис. 1). Пусть условие £1 < 0 и £3 < 0 не выполняется. Обозначим а = шах(1,£3), ясно, что в этом случае 0<а<£2-Тогда у принимает все значения из множества (-^2",^ О1 ^,^/£2) (рис. 2).

5 10 15

Рис. 1. £1 = -3 , £2 = 2, £3 = -4

20

ТМ-волны (уравнения (21) и (23)). Из уравнения (21) получаем

( Г^> Го Го А

И=

1

Ли

£1\/У2-£2 -£2>/У2 -£1 £3^1 У2 -£2-£^д/У^-£3

1\/У

£1>/У2 -£2 + £2 >/У2 -£1 £3л/У2 -£2 + £2 л/У2"

-£

2 2 2 где выполняются условия У -£1 >0, у -£2 >0, у -£3 >0.

(25)

У

И

0

л/5

Y

/ /

З 1O 1З

Рис. 2. Єї = 1, Є2 = З, є3 = 1,5

2O

Здесь, если £} < 0 , £2 < 0, Єз < 0 , то величина под знаком логарифма по модулю меньше 1 и опять получаем отрицательное значение для к . То же самое верно и при Єї > 0, £2 > 0 , £3 > 0 . В остальных случаях может получиться как отрицательное значение к, так и положительное (одна из возможностей представлена на рис. 3).

Рис. 3. £ = 2, £2 = -5, £3 = -1

Наиболее интересным кажется случай £ > £0, £2 < 0, £3 > £о (£о - диэлектрическая проницаемость вакуума), тогда у2 > max(ej, £3) > 1. Здесь возможно провести более полный анализ уравнения (21). Сразу заметим, что по-

скольку при указанных условиях

1 2 I 2

ЄІ1 Д -2 -е2> /Y -Єї

ЄІА /у2 -є2 + є2/' /у2 -Є1

>1

h

O

и

є3>/Y2 -є2 -є2>/Y2 -єз

у

є3\/Y2 -є2 +єУY2 -єз

> 1 , то величина под знаком логарифма в (2З) по

модулю всегда больше единицы. Значит, нам лишь осталось указать условия, при которых указанная величина положительна. Формулу (21) можно привести к виду

є12 (y2-є2 )є2 (y2-Єї ) є2 (у2-є2 )є2 (y2-є3 ) = 2hj

ЄїЛІY2 - є2 + Є2УY2 - Єї | ( ЄзуіY2 -Є2 +Є^у2 - Є3

= Є Vу2 є2 . (26)

Из формулы (26) ясно, что числители дробей в левой части (23) должны одновременно иметь одинаковые знаки. Преобразуем (26) следующим образом:

h =

2д/Y2 -Є2

ln

(є1 - є2 )(є3 - є2 ) (Єї + є2 ) - є1 є2 ) (є3 + є2 ) - є3є2 ( W Y2 -є2 + W Y2 -Єї j ^ єз\/ Y2 -є2 + є2>/ Y2 -є3 |

.(27)

В последнем выражении представляют интерес только множители (у2 (1 + ^2)_ е1е2) и (у2 (з + е2 )_ е3е2), все остальные множители положительны. Значит, указанные два множителя должны быть либо оба отрицательны, либо оба положительны. Если они оба отрицательны, то из этого сле-

дуют условия |Є2І >Єї, |Є2І >Єз и Y2

> max

є1,є3,

є1 N є3 |є2І

|є1 +є2І |є3 + є2І

(см.

Єї |є2і і і Є3 ІЄ21 і і

рис. 4). Но і—■—^ > Єї Є2 >Єї и і- —^ > Є3 Є2 > Є3, окончательно получа-

Іє1 + є2І

ем, что

Y2 >|є2І

max

є1

є3

є3 + є2І

Л

є1 + є2 є3 +є2

. Нетрудно показать, что в этом слу-

чае lim h = O.

Если же оба указанных множителя положительны, то имеется четыре случая:

а) |є 2 < Єї , у < Є3 и у2 ^ max (єї, Є3). В этом случае есть вертикальная асимптота h = O (поскольку под знаком логарифма в (2З) число, большее единицы, а множитель перед логарифмом стремится к бесконечности);

б) Є3 <|є2| <єі и max (єї, Є3) = Єї <у2

є3 |є2І |є3 + є21

. Тогда получаем, что

Єз |є2 2 Є3ІЄ2І

єі <і—. При у > і—!—*7 получаем мнимые значения для h;

|є3 + є 21

|є3 + є2І

і

<

Ы( \ 2 £1 N21

<£3 и max (£1, £3 ) = £3 <у <1——| . Тогда получаем, что

|£1 + £2|

£1tal 2 £1N2I

£3 < |!—7 . При у > ,—!—*7 получаем мнимые значения для h;

є1 + є2

|є1 + є21

г) |є2І >є1, |є2І >є3 и max(є1,є3 ) < Y2 <|є2І

min

є1 є3

1 |є1 +є 2І єз+є2 j

Каждая из указанных возможностей показана на рис. З-8.

4O

35

30'

2З

2O

15'

10'

Y

0 0.2 0.3 0.4 0.З 0.6 0.7

Рис. 4. Єї = 3 , Є2 = 5 , Є3 = 2 (|&21 > Єї и |&21 > Є3 )

50

40

30

20

10

'Ъ

0 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

Рис. З. Єї = 3, Є2 = -1, Є3 = 2

0.22

Перейдем к уравнению (23), это уравнение является классическим и при £1 = £3 приведено в [1]. Все, что было получено в этом разделе для уравнения (12), справедливо и для уравнения (23). Качественное поведение дисперсионных кривых такое же, как на рис. 1, 2.

h

Y

35-

30

25-

20

15

10

5

0 0.3

5.5

4.5

0.4 0.5 0.6 0.7

Рис. 6. Єї = 3, Є2 =-2, Є3 = 1,9

0.8

0.9

0 0.4 0.6

80'

70'

60'

50'

40

30

20

0.8

1 1.2 1.4

Рис. 7. є1 = 2, є2 = -3 , є3 = 4

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Рис. 8. Є1 = 3,9, є2 =-4,1, Є3 = 4

У

И

У

6

5

И

У

И

Список литературы

1. Snyder, A. Optical Waveguide Theory / A. Snyder, J. Love. - London : Chapman and Hall, 1983.

2. Шатров, А. Д. О разрешимости задач возбуждения плоскослоистых сред из метаматериалов / А. Д. Шатров // Радиотехника и электроника. - 2007. - Т. 52. -№ 8. - С. 909-916.

3. Шатров, А. Д. Электродинамический анализ линзы Пендри / А. Д. Шатров // Радиотехника и электроника. - 2007. - Т. 52. - № 12. - С. 1430-1435.

4. Шевченко, В. В. К волновой теории плоской линзы из отрицательного материала / В. В. Шевченко // Радиотехника и электроника. - 2008. - Т. 53. - № 9. -С. 1121-1127.

5. Банков, С. Е. Аналитическое исследование фокусировки электромагнитного поля линзой Веселаго / С. Е. Банков // Радиотехника и электроника. - 2009. -Т. 54. - № 2. - С. 133-143.

6. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. - 1972. - V. 35. - № 1. -P. 44-47.

Валовик Дмитрий Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: dvalovik@mail.ru

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: smirnovyug@mail.ru

Valovik Dmitry Viktorovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 517.958 Валовик, Д. В.

Дисперсионные уравнения в задаче о распространении электромагнитных волн в линейном слое и метаматериалы / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1 (13). - С. 28-42.