Дискретные методы динамического анализа грузоподъемных кранов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы

В первом контуре есть одна линейная местная подвижность. Она принадлежит ролику. Во втором контуре имеется две избыточных связи (линейная и угловая), одна из которых (линейная) передается через ролик на сепаратор. Таким образом, каждый ролик дает одну избыточную связь и в данной передаче будет число избыточных связей, равное числу роликов. Следовательно, исследуемая планетарная зубчато-роликовая передача является статически неопределимой, а при рассмотрении передачи как пространственной она имеет степень статической неопределимости, равную числу роликов.

Задача динамического анализа и оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) металлоконструкций (м/к) кранов при динамических воздействиях возникает при расчетах кранов на волнение моря, при расчетном анализе работы кранов на подкрановых рельсовых путях с отклонениями от нормативного состояния, сейсмических расчетах и во многих других случаях. В настоящее время стало очевидно, что основным направлением развития расчетного анализа являются методы динамического анализа (МДА), однако реализация МДА наталкивается на две основные проблемы.

Первая связана с формированием матричного уравнения движения многомассовой системы, которое имеет вид:

{I ин } + {I дис } + {I упр } + {I н } = {I э } + {I дин }, (1)

где {I ин} - вектор сил инерции; {I дис} - вектор дис-сипативных сил; {I упр } - вектор сил упругого сопротивления; {I н} - вектор сил, обусловленных действием нелинейных факторов; {I э} - вектор эксплуатационных нагрузок; {I дин} - вектор внешних динамических воздействий на систему.

Применение классических методов (Лагранжа, Даламбера и других) для формирования уравнения движения как системы твердых тел влечет за собой сложные и громоздкие преобразования [1], не позволяющие строить алгоритмы автоматизированного формирования уравнений движения для пространственных систем произвольной конфигурации.

Традиционным подходом является использование метода конечных элементов (МКЭ), при этом пространственные м/к грузоподъемных кранов моделируются набором массивных и тонкостенных стержне-

Литература

1. Киреев С.О. Приложение теории графов к анализу энергетического качества планетарных механизмов // Вестн. машиностроения. 1996. № 6.- С. 14-18.

2. Панкратов Э.Н., Шумский В.В., Лушников С.В. Волновые редукторы с промежуточными звеньями // Бурение и нефть. 2003. № 2. С. 26-30.

3. Павлова Л.А. Метод графов в структурном исследовании пространственных механизмов. Дис.... канд. техн. наук. М., 1976.

29 сентября 2006 г.

вых конечных элементов (КЭ) открытого и закрытого профилей с прямолинейной осью. Основой МДА является решение матричного дифференциального уравнения движения второго порядка с п степенями свободы, вытекающего из (1):

[М ]{К} + [С ]{¥ } + [К ]{¥} + {Я(¥, V)} = {Р(0},

{V} = Го};{К} = (2)

В уравнении (2) [М], [С] и [К] - соответственно матрица масс, демпфирования и жесткости системы; {Р(/)} - вектор внешних нагрузок, зависящий от времени и включающий в себя эксплуатационные и динамические нагрузки; {Я^,Й)} - вектор сил, обусловленный нелинейными свойствами системы.

Механическая система (2) является линейной, если ее характеристики - матрицы [М], [С] и [К] - не зависят от состояния системы {{V},{Й}}, а вектор {Я(У, V)} = {0} . Решением (2) является вектор-функция перемещений {К(/)} и соответствующие ей скорости {V (/)} и ускорения {V (()}, характеризующие перемещения конечно-элементных узлов системы на заданном отрезке времени.

Второй проблемой МДА является выбор метода решения уравнения движения (2). Уравнения движения несущих металлоконструкций кранов как правило являются жесткими, и их интегрирование традиционными численными методами Рунге - Кутта, Адамса и др. приводит к существенным вычислительным трудностям [1, 2]. В расчетной практике это привело к созданию ряда упрощенных методов, ориентированных именно на решения уравнений движения многомассовых систем (2): в методе центральных разностей предполагается, что перемещение системы изменяется

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

УДК 621.867.3

ДИСКРЕТНЫЕ МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ГРУЗОПОДЪЕМНЫХ КРАНОВ

© 2007 г. А.В. Синельщиков, М.Н. Хальфин

по квадратной параболе, проходящей через точки - к)}, {У{Г}}, {У(и + к)}, в методе Ньюмарка ускорение в пределах шага к считается постоянным, а в в-методе Вилсона - изменяющимся по линейному закону.

Исследование и поиск эффективных методов решения уравнений движения ведется уже несколько десятилетий и несмотря на большое количество разработанных методов лишь немногие в настоящее время используются в инженерной практике. Как правило, выбор метода осуществляется исходя из его известности и доступности вычислительных процедур. В силу простоты методы Ньюмарка и центральных разностей используются практически во всех современных программных комплексах расчетного анализа. Вместе с тем существуют и другие явные и неявные вычислительные схемы, предоставляющие более широкие возможности.

Метод решения уравнения движения должен обладать следующими свойствами:

1) быть безусловно устойчивым;

2) предоставлять средства контроля полноты учета диссипативных свойств системы;

3) диссипативные свойства системы должны учитываться с одинаковой точностью во всем спектре частот колебаний;

4) вычислительная сложность метода должна быть сопоставима с явными методами;

5) должен решать задачу динамического анализа при движении, обусловленном кинематическими граничными условиями.

Последний пункт важен для проведения расчетов с учетом больших перемещений, например при расчетном анализе падения кранов, поворота башни и изменения вылета крана.

При выборе вычислительной схемы для практических инженерных расчетов грузоподъемных кранов необходимо также учитывать схему распространения волн деформации в решетчатых конструкциях, а также вид матрицы масс (диагональный или заполненный) и возможность учета больших перемещений и больших углов поворота.

В работе рассмотрены некоторые редко используемые вычислительные схемы, предоставляющие дополнительные возможности контроля получаемого решения. Реализация вычислительных схем достаточно проста и может быть использована в практических вычислениях наравне с традиционными вычислительными методами.

Наиболее простой и известный метод, на основании модификации которого построен ряд рассматриваемых методов, - метод Ньюмарка (№'Я'тагк) [3], основанный на решении уравнения динамического равновесия в момент времени + к:

[М ]{К (/,. + к)} + [С ]{¥ (/,. + к)} + +[К ]{¥ (^ + к)} = + к)}; (3)

{V (Г, + к)} = {V (Г,)} + к{У (Г,)} + +к 2 (1/2 -р){1/(/,.)} + к 2Р{К(/,. + к)};

{V(ti + к)} = {V(ti)} + к(1 -y){F(ti)} + Ay(F(ti + к)},

где к - шаг интегрирования; ß, y - коэффициенты метода Ньюмарка.

Решением уравнения (3) является вектор перемещений {V(t, + к)}. Для получения векторов скорости {V (ti + к)} и ускорения {V (ti + к)} необходимы дополнительные вычисления.

В случае y = 1/2 и ß > 1/4 метод Ньюмарка является безусловно устойчивым. Максимальная точность учета диссипативных свойств системы на высоких частотах достигается при ß = 1/4(y + 1/2)2 и y > 1/2.

Метод Боссака (Bossak) [4] является развитием метода Ньюмарка:

[M ](1 - a){V (ti + к)} + [M ]a{V (tt)} +

+[C]{V (ti + к)} + [ K ]{V (ti + к)} = {P(ft + к)}; (4) {V (ti + к)} = {V (ti)} + W (ti)} + +к 2 (1/2 -ß){V(ti)} + к 2ß{V(ti + к)}; {¡V (ti + к)} = {¡V (ti)} + к (1 - y){V (ti)} + кY{F (ti + к)},

где a, ß, y - коэффициенты метода Боссака.

В (4) случае a = 0 расчетная схема метода Боссака соответствует методу Ньюмарка. Условия устойчивости выполняются для a < 1/2, ß > y/2 > 1/4 и a + y > 1/4. Опыт практических расчетов показал, что точность расчетов и сходимость метода Боссака обеспечивается для значений коэффициентов a = ± 0,1; ß = 0,3025;

Y = 0,6.

Метод Боссака характеризуется хорошим учетом диссипативных свойств в широком диапазоне частот и менее чувствителен к неправильному выбору коэффициентов по сравнению с методом Гилбера - Хьюза -Тейлора. Метод Боссака может успешно заменить метод Ньюмарка во всех практических расчетах.

В методе Гилбера - Хьюза - Тейлора (Hilber -Hughes - Taylor) [5] упругие силы вычисляется в момент времени, определяемый коэффициентом a < 0 между ti и ti + к или ti + к(1 + a). При a = 0 метод Гил-бера - Хьюза - Тейлора соответствует методу Нью-марка:

[M ]{V (ti + к)} + (1 + a)[ K ]{V (ti + к)} -

-a[K ]{V (ti)} = {P(ti + к)}; (5)

{V (ti + к)} = {V (ti)} + кф (ti)} + +к 2 (1/2 -ß){V(ti)} + к 2ß{V(ti + к)};

{V(ti + к)} = {V(ti)} + к(1 - y){V(ti)} + кY{F(ti + к)}, где a, ß, y - коэффициенты метода Гилбера - Хьюза -Тейлора.

В работе [5] не приводятся соотношения для коэффициентов a, ß, y, а также не указывается их влияние на устойчивость метода, однако практика инженерных расчетов показала, что коэффициенты существенно влияют на точность результатов и устойчивость метода. Приемлемые результаты были получены при значениях коэффициентов a = - 0,1; ß = 0,3025;

Y = 0,6.

Метод Гилбера - Хьюза - Тейлора можно рассматривать как вариант метода Боссака. Однако особенности вычисления сил упругости в (5), а также отсутствие в уравнении движения диссипативной составляющей требует дальнейшего обоснования применения метода для решения нелинейных задач.

Метод Парка - Хьюзнера (Park - Housner) [6] относится к классу полунеявных методов. Он сочетает лучшие особенности неявных и явных методов - низкую вычислительную сложность и потребность в памяти с безусловной устойчивостью. Недостаток метода заключается в использовании диагональной матрицы масс [М]. Матрица жесткости [K] представляется в виде суммы нижней и верхней треугольных матриц [K] = [KL] + [KU]. Вычислительная схема предусматривает решение двух систем уравнений. Метод Парка -Хьюзнера реализуется следующим образом:

1) формирование матрицы жесткости [K] и масс [M] системы;

2) разложение матрицы жесткости [K] на нижнюю и верхнюю треугольные матрицы [K] = [KL] + [K] [KL] = [KU]T;

3) формирование матричных систем уравнений:

[L] = [M]([E] + «PA2[M|-1[Kl]);

[U] = [E + aPh2[M|-1[KU];

{g(t, + h)} = aph2(p{P(t, + h)} + (1-p){P(t,)}) +

+ [M]({V(t)} + ph {V (t,)}); (6)

4) решение двух матричных систем уравнений [L]{y(ti + h)} = {g(t, + h)}, [U]{ V(t, + h)}* = {y(t, + h)};

5) вычисление вектора перемещений { V(t, + h)} и скорости {V (t, + h)}:

{V(t, + h)} = (1/p)({V(t, + h)}*- (1-p){V(t,)}); {V (t, + h)} =(1/(ah))({ V(t,+h)}}-{ V(t,)})-(1/a-1) {V(t,)}.

В (6) a, P - коэффициенты метода Парка-Хьюз-нера.

Для a = 1/2, Р = 1/2 метод является безусловно устойчивым. При значениях a > 1/2 и Р > 1/2 наблюдается существенное искажение диссипативных свойств в области низких частот.

Полунеявный метод Трухильо (Trujillo) [7] использует диагональную матрицу масс [M], а матрицы жесткости [K] и диссипации [C] должны быть симметричными и положительно определенными. Матрицы [K] и [C] представляются в виде суммы нижней и верхней треугольных матриц [K] = [KL] + [KU] и [С] = [CL] + [Си]. Расчетная схема выглядит следующим образом:

f h h2 Л

[M ] + [CL ]- + [ K l ] —

2 о

f

[m] - [cü ] 2- [kl ]h-2 о

i i+f Ji-

V (ti)}-

h h -[K]^{V(ti)} + ({P(ti)} + {Pit, + h)}) 4;

V ti +-

{v (ti)}+4 ({(ti)}+{(ti+h }

f

2 Л

[M] + [CU ]- + [K

2 о

[M ] - [Cl ]h - [ KU ]h

f

2 Л

{v (ti+h )}-

h Л]

V ti + -

-[K]-\V ti +

f

{P(ti)}P\ ti +

h

{v (ti+h )}={v ^ ti+21+h f{v>f ti+2 ]}+{v> (ti+h)

[K] = [KL ]+[KU ], [C] = [CL ] + [CU ], h = 2At, t, = ih = 2iAt.

По сравнению с методом Парка-Хьюзнера результаты, получаемые при помощи метода Трухильо лучше соотносятся с теоретическими.

Метод «пространство-время» (Space-time) [8, 9] основан на использовании уравнения равновесия в следующей формулировке:

[A]{ V(t,)} + [B]{V(t, + h)} + {s(t,)} = {P(t,)} ,

где [A], [B] - квадратные матрицы; {s(t,)} - вектор узловых потенциальных сил, вычисленных в момент времени t,. Вычислительная схема выглядит следующим образом:

1) формирование матрицы жесткости [K] и масс [M] системы;

2) вычисление вектора правых частей: ( ' a^ , 1 ^

{F(ti + h)} = {P(ti + h)}- [K]| 1 - - Iah - - [M]

{V (ti)};

3) решение матричной системы уравнений: {V (t, + h)} = {F (t, + h)};

fa 2 1 Л [K ]—h + - [M ] 2h

4) вычисление вектора перемещений:

{V (Г, + к)} = {V (Г,)} + к ({V (Г,)} + (1 -а)Г (Г, + к)})

без учета диссипативных свойств системы; {V (Г, + к)} = {V (/,.)} + к ((1 - р)Г (/,.)} + Р{К (/,. + к)}), р = 1 -а1 (1 + у) (7)

с учетом диссипативных свойств системы;

5) вычисление узловых потенциальных сил:

{*(/,. + к)} = [ К ]{¥ (Г, + к)}.

В (7) а, Р - коэффициенты метода «пространство-время».

Преимущество метода «пространство-время» заключается в возможности его использования как для динамического, так и для квазистатического анализа. При а = 1,0 вычислительная схема может быть использована даже если матрица масс [М] = 0. В этом случае перемещения будут обусловлены кинематическими граничными условиями. При [М] Ф 0 безусловная устойчивость метода обеспечивается при

а> л/2/2.

При сравнении дискретных методов динамического анализа грузоподъемных кранов необходимо также учитывать реализуемую методом схему распространения воздействия по металлоконструкциям крана. Особую актуальность это приобретает при расчетном анализе решетчатых конструкций. На рисунке показаны схемы распространения воздействия в металлоконструкциях башни башенного крана в зависимости от используемого метода. Стрелки показывают направление передачи воздействия между узлами ко-нечноэлементной модели.

t + 3At

t + 2 At

t + At

t + 3At

t + 2 At

t + At

t + 3At

t + 2 At

t + At

t + 3At

t + 2 At

t + At

Схемы распространения воздействия в металлоконструкциях башни башенного крана: а - неявные методы; б - явные методы; в - метод Трухильо; г - метод «пространство-время»

Учет схемы распространения воздействия особенно важен при проведении динамического анализа в нелинейной постановке. Неявные методы обеспечивают бесконечную скорость передачи воздействия, в то время как в явных методах скорость передачи зависит от наличия связей между направлениями распространения воздействия и физических свойств этих связей. В обоих случаях скорость распространения превышает наблюдаемую в реальных конструкциях.

Точность получаемых результатов зависит и от вида матрицы масс. Очевидно, что использование заполненной матрицы масс дает более точные результаты, поскольку учитывает вращательные и поперечные степени свободы. Использование диагональной матрицы масс обосновано только при использовании метода центральных разностей или полунеявных методов.

Несмотря на широкое применение дискретных методов динамического анализа и их активное развитие в последнее десятилетие следующие вопросы все еще остаются открытыми:

1) для решения дифференциальных уравнений гиперболического типа используются параболические аппроксимирующие функции;

2) скорость распространения воздействия по РДМ выше, чем в реальных конструкциях;

3) расчетные частоты колебаний расходятся с наблюдаемыми экспериментально;

4) велико влияние на результаты расчетов паразитных колебательных процессов отсутствующих в реальных конструкциях.

В целом приведенные дискретные методы динамического анализа обладают достаточной точностью и позволяют решать задачу линейного динамического анализа грузоподъемных кранов. Нелинейный динамический анализ грузоподъемных кранов целесообразно проводить методами прямого интегрирования уравнений движения [1].

Литература

1. Синельщиков А.В. Численные методы нелинейного динамического анализа грузоподъемных кранов // Изв. Тул-ГУ. Сер. Подъемно-транспортные машины и оборудование. Вып. 4. Тула, 2003. С. 77-84.

2. Синельщиков А.В. Динамика и сейсмостойкость мостовых кранов: Дис. ... канд. техн. наук. Астрахань, 2000.

3. Bathe K.-J. Finite Element Procedures. Prentice Hall. New Jersey, 1996.

4. Wood W.L., Bossak M., Zienkiewicz O.C. An alpha modification of Newmark's method // Int. J. Num. Meth. Eng. 1981. № 15. Р. 1562-1566.

5. HilberH.M., Hughes T.J.R., Taylor R.L. Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics // Earthquake Eng. And Struc. Dyn. 1977. № 5. Р. 283-292.

6. Park K., Housner J.M. Semi-implicit transient analysis procedures for structural dynamics analysis // Int. J. Num. Meth. Eng. 1982. № 18. Р. 609-622.

7. Truhillo D.M. An unconditionally stable explicit algorithm for structural dynamics // Int. J. Num. Meth. Eng. 1977. № 11. Р. 1579-1592.

8. Bajer C. Trangular and tetrahedral space-time finite elements in vibration analysis. Int. J. Numer. Meth. Eng. 1986. № 23. Р. 2031-2048.

9. Bajer C. Space-time finite element formulation for the dynamical evolutionary process // Appl. Math. and Comp. Sci. 1993. № 3(2). Р. 251-268.

Астраханский государственный технический университет; Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

10 ноября 2006 г.

t

t

t

t

t

t

t

t