Структурный анализ планетарной зубчато-роликовой передачи 2К-Н Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.833.5

СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ПЛАНЕТАРНОЙ ЗУБЧАТО-РОЛИКОВОЙ ПЕРЕДАЧИ 2К-Н

© 2007 г. С. О. Киреев, Ю.В. Ершов, Н.И. Ковалёва

Введение

Планетарные цевочные редукторы широко используются в приводах современных машин, предназначенных для различных целей и условий работы, что обусловлено их большими эксплуатационными возможностями [1, 2]. Одной из разновидностей таких механизмов являются планетарные зубчато-роликовые передачи (рис. 1), которые обладают рядом особенностей, присущих только этим конструкциям. Поэтому изучение структуры механизмов данного типа представляется актуальной задачей, рассмотрению которой посвящена данная статья.

Постановка задачи

Процедура анализа является неотъемлемой частью исследований структурных схем механизмов на первой стадии их изучения. На последующих стадиях структурный анализ также сохраняет свое единство с кинематическим, кинетостатическим и другими этапами теоретического исследования изучаемого объекта.

К главной задаче структурного анализа относится построение наглядной модели, отображающей существующую систему связей звеньев механизма между собой. Решение этой задачи заслуживает особого внимания, потому что на этом этапе исследования формируются основные свойства объекта изучения: габариты, конструктивные особенности проектируемого механизма и возможность реализации необходимого передаточного отношения.

Метод решения

При проведении данного этапа используем метод, разработанный в работе [3] на базе общей теории графов, который основан на анализе независимых контуров механизма и их взаимодействии. Структура механизма исследуется на его математической модели-графе. В графе механизма звенья, числом п, образуют множество вершин, а кинематические пары, числом р - множество ребер. Класс и вид кинематических пар характеризуются матрицей подвижности, состоящей из трех элементов - (Г, первый

элемент матрицы-строки обозначает количество независимых вращательных движений, допускаемых парой, второй - поступательных, третий - винтовых. Проанализировав с этих позиций схему планетарной зубчато-роликовой передачи (рис. 1), результаты заносим в табл. 1.

Таблица 1

Кинематические пары (КП) Звенья, составляющие КП Матрица подвижностей Класс КП

A 1-H (100) V

B H-2 (100) V

C 2-3 (120) III

D 1-3 (120) III

E 3-4 (220) II

F 4-1 (100) V

Рис. 1. Структурная схема зубчато-роликовой передачи

Структурный анализ состоит из следующих этапов:

1. По структурной схеме механизма составляется его (п, р)-граф, где ребра идентифицируются матрицами подвижностей кинематических пар.

2. Подсчитывается число независимых контуров по формуле:

К = р - п +1. (1)

Независимым контуром называется такая замкнутая последовательность звеньев и кинематических пар, в которой все звенья и кинематические пары различны и п > 3 и отличаются от любой другой последовательности хотя бы одной кинематической парой.

3. Для получения набора независимых контуров из графа удаляется «К» ребер таким образом, чтобы не осталось ни одного замкнутого контура. Оставшаяся часть графа - дерево.

4. К дереву добавляется одно ребро и таким образом создается первый независимый контур. Ребро выбирается так, чтобы в первый контур входили ведущее звено и стойка.

5. Подсчитываются контурные подвижности (/) и связи (дк). Расчет подвижностей в контуре производится следующим образом [3]:

а) для замыкания контура без натяга требуется шесть подвижностей (330);

б) подвижности каждого контура определяются по формуле:

(Щ) k = 1 / + (-1) • (330) + (-1) • (Щ) 0 , (2)

г =1

где (Щк - матрица подвижностей анализируемого контура; 1 (/) г - сумма матриц подвижностей кине-

г =1

матических пар, являющихся характеристиками данного контура; (330) - матрица подвижностей, обеспечивающая замыкание контура без натяга; (Щ)0 - матрица подвижности входного звена, т.е. основной подвижности.

Знак «-» в матрице (2) означает избыточную связь (недостаток подвижностей), знак «+» - избыточную подвижность.

6. Все сказанное в п. 5 повторяется для следующего ребра. Оно тоже образует с ветвями данного дерева независимый контур. В расчет по данному контуру входят только новые ребра, которые не принимали участия в предыдущем случае.

7. Продолжая далее аналогичным образом, создается каждый раз новый контур добавляемым ребром и ветвями дерева. Каждый последующий контур должен «присоединиться» к предыдущим теми ребрами, которые участвуют в расчете данного контура. В остальном порядок расчета контуров безразличен. Каждое ребро графа участвует в расчете только один раз.

8. Для контуров, имеющих избыточные подвижности (Щ > 0), определяются звенья и группы звеньев, имеющие подвижность.

9. Для механизмов, в независимых контурах которых имеются избыточные подвижности, строится контурная сеть, где каждый контур изображается в виде прямоугольника, в котором проставляются: его

номер и номера его звеньев, число и вид избыточных связей, звенья и группы звеньев, имеющие подвижности и их характер.

Контуры соединяются между собой линиями, отражающими взаимосвязь независимых контуров. Эта взаимосвязь выражается в том, что подвижности кинематических пар дерева могут быть использованы в равной степени в любых независимых контурах, в которые они входят. Поэтому «лишние» подвижности одного контура могут быть использованы в последующих контурах при определенных условиях.

Если элементы одного контура являются одновременно элементами другого (по дереву), между контурами проводится линия. Иными словами, в каждом последующем контуре определяют, к каким вершинам предыдущего «присоединяются» ребра, являющиеся характеристиками данного контура, проводят соответствующие линии и метят их этими вершинами.

Затем проводят анализ контурной сети:

- если в контуре имеется подвижность у звена (группы звеньев), номер которого стоит на линии, соединяющей этот контур с последующим, то эта «лишняя подвижность» может быть реализована, если в последующем контуре имеется соответствующая избыточная связь;

- если подвижность имеется у другого звена, то она не может быть реализована;

- подвижность может быть реализована через контур (контуры), не имеющий избыточных связей, при последовательном соединении.

Решение задачи

Согласно перечисленным этапам проводим структурный анализ планетарной зубчато-роликовой передачи.

1. По структурной схеме механизма строим его граф (рис. 2).

Из структурной схемы передачи видно, что при однопарном зацеплении ролик образует кинематические пары с зубчатым колесом 1, с сателлитом 2 и с сепаратором 4. На графе эти кинематические пары изображены сплошными ребрами. Остальные ролики при многопарном зацеплении образуют аналогичные кинематические пары, которые на графе изображены пунктирными линиями.

2. Подсчитываем число независимых контуров по формуле (1), в которой общее число звеньев п определим из выражения

п = п' + пр,

где п' = 4 - число звеньев без учета роликов; пр - число роликов, которое изменяется в зависимости от передаточного отношения.

Общее число кинематических пар определим из выражения:

р = р' + пр рр,

где р'=3 - число кинематических пар, образованных звеньями без учета роликов; рр = 3 - число кинематических пар, в которые входит каждый ролик.

(110)

(110)

(110)

3(2)1 >-W (110)

(110)

■ " " (110)

3(3)1 . -л 3 у

(110)

■ -/'з(и)Л,

, I ___

Тогда общее число контуров после преобразований определим так: К=р-п+1 = р '+пр рр - (п'+ пр) + 1= 2 пр.

Из полученной формулы следует, что каждый ролик образует два контура.

3. Из графа удаляем 2пр ребер так, чтобы не осталось ни одного замкнутого контура. Получаем дерево (рис. 3).

Рис. 2. Граф планетарной зубчато-роликовой передачи

4. К дереву прибавляем ребро 2 - 3(1). Получаем

Рис. 3. Дерево графа планетарной зубчато-роликовой передачи

первый независимый контур, образованный первым роликом - 1, Н, 2, 3 с кинематическими парами Л, В, С, Б.

5. Проводим анализ подвижностей первого контура по формуле (2), определяем звенья и группы звеньев, имеющие подвижности или избыточные связи.

6. Продолжая далее аналогичным образом, проводим расчет второго контура 1, 3, 4, образованного первым роликом, с кинематическими парами Б, Е, Б.

Данные расчета заносим в табл. 2, в которой пунктиром обозначены ребра, принадлежащие «К» (удаленные ребра); зачеркнуты («//») ребра, участвующие в расчетах предыдущих контуров; аналогично зачеркнуты кинематические пары контура. Оставшиеся пары являются характеристиками данного контура.

Остальные ролики образовывают по два контура, аналогичных независимым, контур 1, Н, 2, 3 и 1, 3, 4, поэтому они не рассматриваются.

В результате поконтурного анализа выявляются места сосредоточения избыточных связей, местных подвижностей и их вид. При наличии местных под-вижностей они могут пойти на замещение недостающих линейных и угловых в последующих контурах, если требуемая подвижность есть у звена, которое входит в эти последующие контуры.

Таблица 2

№ контура Контуры Кинематические пары контура Расчет связей и подвижностей в контурах q

1 (100) (120) j (120) ^ 4—Ч100)\4—' Л, В, С, Б Щ1=(100)+(100)+(120)+(120)+ +(-1)(330)+(-1 )(100)=(010) -1

2 (120) Nv | (220) (100)/Ч к-" ч4) Б, Е, Е Щ2=(100)+(220)+(-1)(330)+ +(-1)(100)=(-1-10) 2

Выводы

В первом контуре есть одна линейная местная подвижность. Она принадлежит ролику. Во втором контуре имеется две избыточных связи (линейная и угловая), одна из которых (линейная) передается через ролик на сепаратор. Таким образом, каждый ролик дает одну избыточную связь и в данной передаче будет число избыточных связей, равное числу роликов. Следовательно, исследуемая планетарная зубчато-роликовая передача является статически неопределимой, а при рассмотрении передачи как пространственной она имеет степень статической неопределимости, равную числу роликов.

Задача динамического анализа и оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) металлоконструкций (м/к) кранов при динамических воздействиях возникает при расчетах кранов на волнение моря, при расчетном анализе работы кранов на подкрановых рельсовых путях с отклонениями от нормативного состояния, сейсмических расчетах и во многих других случаях. В настоящее время стало очевидно, что основным направлением развития расчетного анализа являются методы динамического анализа (МДА), однако реализация МДА наталкивается на две основные проблемы.

Первая связана с формированием матричного уравнения движения многомассовой системы, которое имеет вид:

{I ин } + {I дис } + {I упр } + {I н } = {I э } + {I дин }, (1)

где {I ин} - вектор сил инерции; {I дис} - вектор дис-сипативных сил; {I упр } - вектор сил упругого сопротивления; {I н} - вектор сил, обусловленных действием нелинейных факторов; {I э} - вектор эксплуатационных нагрузок; {I дин} - вектор внешних динамических воздействий на систему.

Применение классических методов (Лагранжа, Даламбера и других) для формирования уравнения движения как системы твердых тел влечет за собой сложные и громоздкие преобразования [1], не позволяющие строить алгоритмы автоматизированного формирования уравнений движения для пространственных систем произвольной конфигурации.

Традиционным подходом является использование метода конечных элементов (МКЭ), при этом пространственные м/к грузоподъемных кранов моделируются набором массивных и тонкостенных стержне-

Литература

1. Киреев С.О. Приложение теории графов к анализу энергетического качества планетарных механизмов // Вестн. машиностроения. 1996. № 6.- С. 14-18.

2. Панкратов Э.Н., Шумский В.В., Лушников С.В. Волновые редукторы с промежуточными звеньями // Бурение и нефть. 2003. № 2. С. 26-30.

3. Павлова Л.А. Метод графов в структурном исследовании пространственных механизмов. Дис.... канд. техн. наук. М., 1976.

29 сентября 2006 г.

вых конечных элементов (КЭ) открытого и закрытого профилей с прямолинейной осью. Основой МДА является решение матричного дифференциального уравнения движения второго порядка с п степенями свободы, вытекающего из (1):

[М ]{К} + [С ]{¥ } + [К ]{¥} + {Я(¥, V)} = {Р(0},

{V} = Го};{К} = (2)

В уравнении (2) [М], [С] и [К] - соответственно матрица масс, демпфирования и жесткости системы; {Р(/)} - вектор внешних нагрузок, зависящий от времени и включающий в себя эксплуатационные и динамические нагрузки; {Я^,Й)} - вектор сил, обусловленный нелинейными свойствами системы.

Механическая система (2) является линейной, если ее характеристики - матрицы [М], [С] и [К] - не зависят от состояния системы {{V},{Й}}, а вектор {Я(У, V)} = {0} . Решением (2) является вектор-функция перемещений {К(/)} и соответствующие ей скорости {V (/)} и ускорения {V (()}, характеризующие перемещения конечно-элементных узлов системы на заданном отрезке времени.

Второй проблемой МДА является выбор метода решения уравнения движения (2). Уравнения движения несущих металлоконструкций кранов как правило являются жесткими, и их интегрирование традиционными численными методами Рунге - Кутта, Адамса и др. приводит к существенным вычислительным трудностям [1, 2]. В расчетной практике это привело к созданию ряда упрощенных методов, ориентированных именно на решения уравнений движения многомассовых систем (2): в методе центральных разностей предполагается, что перемещение системы изменяется

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

УДК 621.867.3

ДИСКРЕТНЫЕ МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ГРУЗОПОДЪЕМНЫХ КРАНОВ

© 2007 г. А.В. Синельщиков, М.Н. Хальфин