CC BY
24
АСТРОНОМИЯ
Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 1. С. 76-86.
УДК 524.834 Б01: 10.24411/2500-0101-2019-14107
ДИРАКОВСКАЯ ЗВЕЗДА В Я2-ГРАВИТАЦИИ
Н. М. Бакирова1, Э. М. Бакирова1'", В. Н. Фоломеев2'3'6
1 Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, Бишкек, Киргизия 2Институт физико-технических проблем и материаловедения Национальной академии наук Кыргызской Республики, Бишкек, Киргизия 3Научно-исследовательский институт экспериментальной и теоретической физики, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алма-ата, Казахстан "[email protected], ь[email protected]
Исследуются стационарные компактные сильно гравитирующие конфигурации, состоящие из двух спинорных полей. Последние описываются специальным анзацем, позволяющим получать сферически симметричные решения с диагональным тензором энергии-импульса. Рассмотрение выполняется в рамках теорий тяготения Эйнштейна и модифицированной Д2-гравитации. В обеих теориях получены регулярные асимптотически плоские решения, описывающие объекты с конечными массами и размерами. Построены зависимости массы исследуемых конфигураций от энергии осцилляций спинорных полей. Рассчитаны распределения метрических функций и спинорных полей вдоль радиуса систем. Выявлены отличия в физических характеристиках получаемых объектов, обусловленные модификацией гравитации.
Ключевые слова: спинорное поле, компактные гравитирующие конфигурации, модифицированная гравитация.
Введение
В последние десятилетия в литературе появилось большое количество работ, по-свящённых рассмотрению различных фундаментальных полей в космологических и астрофизических приложениях. Это относится, в частности, к моделированию современного ускоренного расширения Вселенной [1] и описанию её ранней инфляционной стадии. Здесь наибольшее применение нашли различные скалярные (бо-зонные) поля со спином 0. Такие поля также широко используются для моделирования компактных астрофизических сильно гравитирующих объектов — бозонных звёзд [2].
Однако во Вселенной могут существовать и гравитирующие объекты, состоящие из полей с ненулевым спином. В частности, это могут быть конфигурации, описываемые полями с целочисленным спином: Янга — Миллса [3] (безмассовые векторные поля) или Прока [4] (массивные векторные поля). В случае полей с нецелочисленным спином в литературе рассматриваются гравитирующие конфигурации со спи-норными (фермионными) полями (поля Дирака) [5; 6]. Такие конфигурации удерживаются от схлопывания под действием собственного поля тяготения благодаря
Работа В. Н. Фоломеева поддержана грантом БК05236494 (научные исследования в области естественных наук, Министерство образования и науки Республики Казахстан).
принципу неопределённости Гейзенберга. Поскольку спин фермиона имеет внутреннюю ориентацию в пространстве, система, состоящая только из одной дираковской частицы, не может обладать сферической симметрией. Для обеспечения последней можно взять два фермиона с противоположными спинами, т. е. рассмотреть два спинорных поля. Для каждого из таких спиноров тензоры энергии-импульса не будут сферически симметричными (поскольку будут присутствовать недиагональные компоненты), однако их сумма даст диагональный тензор, совместимый со сферической симметрией пространства-времени (см. ниже).
Описанные выше сильно гравитирующие конфигурации обычно строятся в рамках общей теории относительности (ОТО) А. Эйнштейна. Целью данной работы является исследование влияния модификации эйнштейновской теории тяготения на физические свойства компактных конфигураций, образованных такими спинор-ными полями, с использованием указанной выше возможности введения двух дира-ковских полей с противоположными спинами. Необходимость модификации теории гравитации может быть обусловлена рядом причин. В частности, при рассмотрении эволюции современной Вселенной модификация ОТО позволяет избавиться от использования новых, ещё экспериментально не открытых субстанций — тёмной энергии и тёмной материи, введение которых необходимо в рамках ОТО для объяснения современного ускорения Вселенной и внутренней структуры галактик и их скоплений [1]. В простейшем случае модификация ОТО сводится к замене эйнштейновского гравитационного лагранжиана ~ К на модифицированный лагранжиан ~ Г(К), где Г(К) есть некоторая функция от скалярной кривизны К. В настоящее время такие теории гравитации с успехом применяются для моделирования различных космологических аспектов современной и ранней Вселенной (обзор по данной тематике см. в работах [7-9]). Кроме того, в Г (К) гравитации исследуются различные модели релятивистских [10; 11] и нейтронных звёзд [12-19].
В рамках данной статьи мы используем такую модифицированную теорию гравитации для случая сильно гравитирующего спинорного поля. При этом исследуется случай простейшей К2-гравитации, которая часто рассматривается в литературе как одна из жизнеспособных альтернативных космологических моделей, адекватно описывающая ускоренное расширение ранней и современной Вселенной [7-9].
Структура статьи следующая: в разделе 1 представлена постановка задачи и общие уравнения для Г (К)-гравитации и спинорных полей с диагональным сферически симметричным тензором энергии-импульса. Полученная система дифференциальных уравнений решается численно в разделе 2 для частного случая квадратичной Г(К)-гравитации. Наконец, в разделе 3 просуммированы полученные результаты.
1. Постановка задачи и общие уравнения
Мы будем рассматривать компактные гравитирующие конфигурации, состоящие из спинорного поля и моделируемые в рамках модифицированной теории гравитации (МТГ). Соответствующее действие для такой системы может быть представлено в виде [сигнатура метрики (+, —, —, —)]
(1)
где О есть ньютоновская гравитационная постоянная, Г (К) — произвольная функция скалярной кривизны К, а 58р обозначает действие спинорного поля. Последнее
получается из варьирования лагранжиана для спинороного поля ф с массой
1 Пс — — —
Ьзр = — (ф- ф^фф) - /С2фффф. (2)
В это выражение входят ковариантные производные
ф;, = [д, + 1/8 шаь,(1а1 ь - 7ЬГ)]Ф,
а 7" есть матрицы Дирака в стандартном представлении в плоском пространстве [см., например, [20], формула (7.27)]. В свою очередь, матрицы Дирака в кривом пространстве 7м = е^7а получаются с использованием тетрады е^, а шаьм есть спиновая связность [её определение см. в [20], формула (7.135)].
Варьируя действие (1) по метрике и по спинорному полю, получим соответственно гравитационные уравнения и уравнение Дирака в кривом пространстве. При этом удобно представить произвольную функцию Г (Я) в виде Г (Я) = Я + ак(Я), где к(Я) есть новая произвольная функция от Я, а а — произвольная константа (при а = 0 мы возвращаемся к ОТО). В итоге получается следующая система уравнений:
1 8ПС
(1 + акд) Скг - - а (к - Я кд) 5к + а {5к дтп - 5Гдкп) (кд );т;п = ~Тк,
гк^кф;к - /сф = 0,
(3)
(4)
где Ск = Як - 15кЯ есть тензор Эйнштейна, кд = 1к/1Я, а точка с запятой обозначает ковариантную производную. В правую часть уравнения (3) входит тензор энергии-импульса спинорного поля, который может быть представлен (уже в симметричном виде) как
1кс
Тк = -4-дк1 [флф;1 + фЦф;г - фф;ЛГф - фЛгф] - 5кЬБр.
(5)
Отметим здесь, что, как обычно, учитывая уравнение Дирака (4) (и соответствующее сопряжённое уравнение для ф), лагранжиан (2) зануляется, и соответственно последнее слагаемое в (5) равно нулю.
Для получения конкретной формы уравнений МТГ и уравнения для спинорного поля сферически симметричную метрику удобно выбрать в виде
1т2
1в2 = N(т)о(т)21(х0)2 - г2 Ш2 + 8Ш2 в V)
N (т)
(6)
где N(т) = 1 - 20т(т)/(с2т), причём функция т(т) соответствует текущей массе конфигурации на радиусе т; х0 = сЬ — временная координата.
С использованием этой метрики свёртка уравнения (3) даёт уравнение для скалярной кривизны
Я" = -I 2 + ^ + Я' - ^ Я'2 + '
т N о к2д 3Nк2R
Якд- 2к--
1 {8пС
а (
Т + Я
(7)
где Т есть свёртка тензора энергии-импульса (5), а штрих обозначает дифференцирование по т.
Для описания спинорного поля необходимо выбрать соответствующий анзац на ф, совместимый со сферически симметричным линейным элементом (6). Это можно сделать в следующем виде (см., например, [6; 21]):
ф
т
2е-
0
яп ве-г* -%! сое в
-%! сое в -1! яп вег*
4
с
где Е есть энергия, связанная с осцилляциями спинорного поля, а f (г) и д(г) — две действительные функции. Подчеркнём здесь ещё раз, что такой анзац позволяет избавиться от недиагональных компонент тензора энергии-импульса.
Подставляя анзац (8) и метрику (6) в полевые уравнения (3) и (4) с учётом (5), получим
(9)
f' + f 4Ь + 2(7 + Г + ^ъ) + 9 (" у/Ь Йс(ь) = 0, 9' + 9 \4Ь + £ + 1 (1 - /Ь)1 + f ("С/ь + кЕь) =0, (10)
т' = Й1+Ы^^^ + « [2 (* - Д^) + N (^ + (IЬ + 2) Щ] }, (11) У = 1+1^{^/Ь [(Е (f2 + 92) + Кс(9^ - f9')] + |г (^ - (Н'я) }. (12)
Здесь уравнения (11) и (12) есть (°) и (1) компоненты гравитационных уравнений (3). Эти уравнения дополняются уравнением (7) на скалярную кривизну Д. Итого имеется система пяти дифференциальных уравнений в обыкновенных производных для пяти функций f, 9, а, т и Д.
2. Частный случай Д2 -гравитации
Проинтегрируем численно уравнения из предыдущего раздела. Для этого необходимо выбрать конкретный вид гравитационного лагранжиана. Здесь мы будем работать в рамках простейшей Д2-гравитации, для которой
^ = Д + ай(Д) = Д + аД2.
Значение свободного параметра а должно бы ограничено наблюдениями. В случае квадратичной гравитации имеются два типа ограничений на а. Во-первых, в пределе слабого поля имеются ограничения, следующие из наблюдательных данных по двойным пульсарам: |а| < 5 х 1015см2 [22]. Во-вторых, в режиме сильной гравитации имеется ограничение |а| < 1010см2 [13]. В качестве примера в рамках данной статьи мы рассмотрим некоторое промежуточное значение а = - 1013см2, позволяющее продемонстрировать эффект влияния модификации гравитации на физические свойства конфигураций, образованных спинорным полем. Здесь мы выбираем отрицательное значение а, поскольку, как это указывается в работе [18] для случая моделирования нейтронных звёзд в рамках ^(Д)-гравитации, только в этом случае удаётся получать асимптотически затухающее поведение метрических функций (а соответственно, скалярной кривизны Д и функции массы т(г)). В противном случае т(г) демонстрирует осциллирующее поведение и уже не может быть проинтерпретирована как функция массы.
Для выполнения численного интегрирования удобно ввести безразмерные переменные. Поскольку в рассматриваемой физической системе имеется характерный масштаб, связанный с массой спинора —, то обезразмеривание системы можно провести с использованием комптоновской длины волны Ас = К/—с:
г/Ас, Е = -Е, 7,9 = ^4ЛА3/2М^,9, т = Мт, £ = ДА2, а = а/А2, (13)
где Мр есть планковская масса. Используя эти новые переменные, можно переписать систему уравнений (7), (9)-(12) в безразмерном виде (чтобы не перегружать статью, здесь мы не приводим получающиеся в результате уравнения). Эта система
дополняется соответствующими граничными условиями, задаваемыми в окрестности центра конфигурации в виде
£ ~ £с + 2^2Х2, 9 ~ 9с + 292Х2, / ~ /х, а « ас + 2а2х2, т « 6тзх3,
где индекс «с» обозначает центральные значения соответствующих переменных. Входящие сюда коэффициенты разложения /Т, £2,т3,а2,92 находятся из системы уравнений (7), (9)-(12). В свою очередь коэффициенты разложения ас, £с и 9с, а также параметр Е являются произвольными. Их значения выбираются таким образом, чтобы обеспечить регулярность и асимптотическую плоскостность решений, когда при х ^ то должно получаться пространство-время Минковского.
ляций спинорного поля Е в ОТО и в ^(Д) гравитации при а = -1013 см2. При расчётах выбиралось безразмерное а = -10, что соответствует выбору комптоновской длины Ас = 106 см [см. (13)]
Интегрирование полученной системы уравнений выполнялось от центра конфигурации (при х ~ 0), где задавалась определённая величина 9с, соответствующая центральной плотности спинорного поля, до некоторой граничной точки х = хь, в которой функции 9,/ , £ и их производные стремились к нулю. Поскольку спи-норное поле экспоненциально быстро затухает с расстоянием согласно выражениям 9, / ~ е-^1-Е2 х, то эта точка приблизительно соответствует радиусу рассматриваемой конфигурации. В зависимости от величины центральной плотности спинорного поля безразмерный радиус хь составляет порядка 100 при 9с ~ 0 и уменьшается до Жь ~ 10 при 9с ~ 1. Это соответствует тому, что с ростом центральной плотности характерные размеры рассматриваемых конфигураций уменьшаются, а их масса при этом растёт. В свою очередь энергия осцилляций Е, стартуя со значения Е ^ 1 при 9с ~ 0, сначала уменьшается с ростом 9с, а затем снова растёт. Это проиллюстрировано на рис. 1, где показаны зависимости полной массы конфигураций М от Е для случая ОТО и МТГ. Из этого рисунка видно, что для обоих случаев характерно наличие максимума массы при определённом значении Е (или 9с). Такое поведение кривых напоминает поведение соответствующих зависимостей «масса — централь-
ная плотность (энергия осцилляций)» у бозонных звёзд, образованных комплексным скалярным полем (см., например, работы [6; 23; 24]). В случае бозонных звёзд наличие такого максимума соответствует границе между (линейно) устойчивыми и неустойчивыми конфигурациями [24]. Можно ожидать, что и в случае со спинор-ными звёздами это также будет иметь место. Но этот вопрос требует специального исследования.
Рис. 2. На верхнем рисунке показано распределение по радиусу плотности энергии спинорного поля (левая панель) и спинорных функций f, g (правая панель) для ОТО и модифицированной гравитации для конфигураций с E « 0, 84. Графики плотности энергии и функции f в ОТО и в F(Д)-гравитации практически совпадают. Для этих же конфигураций на нижнем рисунке даны распределения полной массы m(x) (левая панель) и метрической функции a(x) (правая панель)
На рис. 2 представлены распределения различных физических величин по радиусу рассматриваемых конфигураций. Здесь интересно отметить следующее: как видно из двух верхних рисунков, распределения плотности энергии спинорного поля и спинорных функций f ,g практически совпадают в ОТО и в модифицированной гравитации. При этом, как видно из двух нижних рисунков, распределения по радиусу функции массы m и метрической функции а заметно отличаются для двух
рассматриваемых случаев. Очевидно, что это непосредственно связано с влиянием модификации гравитации, которое сводится к наличию дополнительных вкладов в уравнения на массу (11) и метрическую функцию (12) (слагаемые с а в правых частях этих уравнений).
3. Заключение
В рамках модифицированной теории гравитации найдены стационарные решения, описывающие самогравитирующие компактные конфигурации, состоящие из спинорного поля. Основной целью работы было выявление отличий физических характеристик объектов такого рода, моделируемых в рамках теории гравитации Эйнштейна и модифицированной F(Я)-гравитации. В качестве примера рассмотрен частный случай Я2-гравитации. Исходя из имеющихся в настоящее время наблюдательных ограничений на величину свободного параметра а, содержащегося в такой теории гравитации, рассчитаны основные физические характеристики рассматриваемых конфигураций в рамках ОТО и F(Я)-гравитации. Для этого характерный масштаб длины выбирался равным Àc = 106 см. Получающиеся при этом объекты имеют размеры порядка сотен километров и массы порядка массы Солнца (M - 1033 г).
Сравнение полученных результатов показывает, что:
• для каждого фиксированного значения энергии осцилляций спинорного поля E полная масса конфигураций в рамках МТГ всегда меньше, чем у систем из ОТО;
• распределения плотности энергии спинорного поля по радиусу конфигураций в ОТО и F(R)-гравитации практически совпадают;
• распределения функции массы и метрической функции а заметно различаются у систем, моделируемых в разных теориях гравитации.
Очевидно, что полученные результаты являются существенно модельно зависимыми. Если рассматривать другие типы модификации ОТО, когда включаются не только квадратичные, но и, например, кубические добавки, то можно ожидать появления некоторых количественных отличий в характеристиках получаемых объектов (как это имеет место, например, у нейтронных звёзд, моделируемых в рамках F (R)-гравитации [17]). Но такие исследования должны быть проведены дополнительно, как и рассмотрение возможного влияния включения нелинейных членов в лагранжиан спинорного поля. Эту работу планируется выполнить в дальнейших исследованиях.
Список литературы
1. Amendola, L. Dark Energy: Theory and Observations / S. Amendola, S. Tsujikawa. — Cambridge : Cambridge University Press, 2010. — 491 p.
2. Schunck, F. E. General relativistic boson stars / F. E. Schunck, E. W. Mielke // Classical Quantum Gravity. — 2003. — Vol. 20. — P. R301-R356.
3. Bartnik, R. Particle-like solutions of the Einstein — Yang — Mills equations / R. Bartnik, J. Mckinnon // Physical Review Letters. — 1988. — Vol. 61. — P. 141-144.
4. Brito, R. Proca stars: gravitating Bose — Einstein condensates of massive spin 1 particles / R. Brito, V. Cardoso, C. A. R. Herdeiro, E. Radu // Physics Letters. — 2016. — Vol. B752. — P. 291-295.
5. Finster, F. Particle-like solutions of the Einstein — Dirac equations / F. Finster, J. Smoller, S.T.Yau // Physical Review. — 1999. — Vol. D59, no. 104020.
6. Herdeiro, C. A. R. Asymptotically flat scalar, Dirac and Proca stars: discrete vs. continuous families of solutions / C. A. R. Herdeiro, A. M. Pombo, E. Radu // Physics Letters. - 2017. - Vol. B773. - P. 654-662.
7. De Felice, A. f (R) Theories / A. De Felice, S. Tsujikawa // Living Reviews in Relativity. - 2010. - Vol. 13, no. 3.
8. Nojiri, S. Unified cosmic history in modified gravity: from F(R) theory to Lorentz noninvariant models / S. Nojiri, S.D.Odintsov // Physics Reports. - 2011. - Vol. 505. -P. 59-144.
9. Nojiri, S. Modified gravity theories on a nutshell: inflation, bounce and latetime evolution / S. Nojiri, S.D.Odintsov, V. K. Oikonomou // Physics Reports. - 2017. -Vol. 692. - P. 1-104.
10. Upadhye, A. Existence of relativistic stars in f (R) gravity / A. Upadhye, W. Hu // Physical Review. - 2009. - Vol. D80, no. 064002.
11. Babichev, E. Relativistic stars in f (R) and scalar-tensor theories / E.Babichev, D. Langlois // Physical Review. - 2010. - Vol. D81, no. 124051.
12. Cooney, A. Neutron stars in f(R) gravity with perturbative constraints / A. Cooney, S.DeDeo, D.Psaltis // Physical Review. - 2010. - Vol. D82, no. 064033.
13. Arapoglu, A. S. Constraints on perturbative f (R) gravity via neutron Stars / A. S. Arapoglu, C.Deliduman, K.Y. Eksi // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. - 2011. - Vol. 1107, no. 020.
14. Orellana, M. Structure of neutron stars in R-squared gravity / M. Orellana, F. Garcia, F.A.TeppaPannia, G.E.Romero // General Relativity and Gravitation. - 2013. -Vol. 45. - P. 771-783.
15. Astashenok, A. V. Further stable neutron star models from f (R) gravity / A. V. Astashenok, S. Capozziello, S. D. Odintsov // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. - 2013. - Vol. 1312, no. 040.
16. Ganguly, A. Neutron stars in the Starobinsky model / A. Ganguly, R. Gannouji, R. Goswami, S.Ray // Physical Review. - 2014. - Vol. D89, no. 064019.
17. Capozziello, S. Mass-radius relation for neutron stars in f(R) gravity / S. Capozziello, M.DeLaurentis, R.Farinelli, S.D.Odintsov // Physical Review. - 2016. - Vol. D93, no. 023501.
18. Astashenok, A. V. The realistic models of relativistic stars in f (R) = R + aR2 gravity / A.V.Astashenok, S.D.Odintsov, A.delaCruz-Dombriz // Classical Quantum Gravity. -2017. - Vol. 34, no. 205008.
19. Folomeev, V. Anisotropic neutron stars in R2 gravity / V. Folomeev // Physical Review. - 2018. - Vol. D97, no. 124009.
20. Lawrie, I. A unified grand tour of theoretical physics / I. Lawrie. - Bristol, Philadelphia : Institute of Physics Publ., 2002. - 564 p.
21. Dzhunushaliev, V. Energy spectrum and the mass gap from nonpertur-bative quantization a la Heisenberg / V. Dzhunushaliev, V. Folomeev. URL:https://arxiv.org/abs/ 1805.10566 (дата обращения 08.10.2018).
22. Naf, J. On the 1/c expansion of f (R) gravity / J.Naf, P. Jetzer // Physical Review. -2010. - Vol. D81, no. 104003.
23. Colpi, M. Boson stars: gravitational equilibria of selfinteracting scalar fields / M. Colpi, S. L. Shapiro, I. Wasserman // Physical Review Letters. - 1986. - Vol. 57. - P. 2485-2488.
24. Gleiser, M. Gravitational stability of scalar matter / M. Gleiser, R. Watkins // Nuclear Physics. - 1989. - Vol. B319.- P. 733-746.
Поступила в редакцию 15.10.2018
После переработки 08.02.2019
Сведения об авторах
Бакирова Нурзат Медеткановна, преподаватель кафедры электроники и теоретической физики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, Бишкек, Киргизия.
Бакирова Элизат Медеткановна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры электроники и теоретической физики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, Бишкек, Киргизия; e-mail: [email protected]. Фоломеев Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт физико-технических проблем и материаловедения Национальной академии наук Кыргызской Республики, Бишкек, Киргизия; Научно-исследовательский институт экспериментальной и теоретической физики, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алма-ата, Казахстан; e-mail: [email protected].
^HparcrncKaa 3Be3ga b R2-rpaBHTa^H
85
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 1. P. 76-86.
DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14107
DIRAC STAR IN R2 GRAVITY1
N.M. Bakirova1, E.M. Bakirova1'", V.N. Folomeev2'36
1Kyrgyz National University named after Jusup Balasagyn, Bishkek, Kyrgyzstan
2Institute of Physicotechnical Problems and Material Science
of the National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic, Bishkek, Kyrgyzstan
3Institute of Experimental and Theoretical Physics, Al-Farabi Kazakh National University,
Almaty, Kazakhstan
"[email protected], [email protected]
Stationary compact strongly gravitating configurations supported by two spinor fields are studied. The latter are described by a special ansatz permitting the obtaining of spherically symmetric solutions with a diagonal energy-momentum tensor. The consideration is carried out within the framework of the theories of Einstein's gravity and modified R2 gravity. In both theories, we obtain regular asymptotically flat solutions describing objects with finite masses and sizes. The dependencies of the mass of the configurations under investigation on the oscillation energy of the spinor fields are constructed. The distributions of the metric functions and the spinor fields along the radius of the systems are calculated. The distinctions in physical characteristics of the obtained configurations appearing due to the modification of the gravity are revealed.
Keywords: spinor field, compact gravitating configurations, modified gravity.
References
1. AmendolaL., TsujikawaS. Dark Energy: Theory and Observations. Cambridge, Cambridge University Press, 2010. 491 p.
2. SchunckF.E., MielkeE.W. General relativistic boson stars. Classical Quantum Gravity, 2003, vol. 20, pp. R301-R356.
3. BartnikR., MckinnonJ. Particle-like solutions of the Einstein — Yang — Mills equations. Physical Review Letters, 1988, vol. 61, pp. 141-144.
4. BritoR., Cardoso V., Herdeiro C.A.R., RaduE. Proca stars: gravitating Bose — Einstein condensates of massive spin 1 particles. Physics Letters, 2016, vol. B752, pp. 291295.
5. FinsterF., SmollerJ., YauS.T. Particle-like solutions of the Einstein — Dirac equations. Physical Review, 1999, vol. D59, no. 104020.
6. Herdeiro C.A.R., Pombo A.M., Radu E. Asymptotically flat scalar, Dirac and Proca stars: discrete vs. continuous families of solutions. Physics Letters, 2017, vol. B773, pp. 654-662.
7. DeFelice A., TsujikawaS. f (R) Theories. Living Reviews in Relativity, 2010, vol. 13, no. 3.
8. Nojiri S., Odintsov S.D. Unified cosmic history in modified gravity: from F(R) theory to Lorentz non-invariant models. Physics Reports, 2011, vol. 505, pp. 59-144.
9. Nojiri S., Odintsov S.D., Oikonomou V.K. Modified gravity theories on a nut-shell: inflation, bounce and latetime evolution. Physics Reports, 2017, vol. 692, pp. 1-104.
10. Upadhye A., HuW. Existence of relativistic stars in f (R) gravity. Physical Review, 2009, vol. D80, no. 064002.
xThe work of V.N.Folomeev is supported by grant BR05236494 (scientific research in the field of natural sciences, Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan).
86
H. M. BaKHpoBa, Э. M. BaKupoBa, B. H. Oo^OMeeB
11. Babichev E., Langlois D. Relativistic stars in f (R) and scalar-tensor theories. Physical Review, 2010, vol. D81, no. 124051.
12. CooneyA., DeDeoS., PsaltisD. Neutron stars in f(R) gravity with perturbative constraints. Physical Review, 2010, vol. D82, no. 064033.
13. Arapoglu A.S., DelidumanC., EksiK.Y. Constraints on perturbative f (R) gravity via neutron stars. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, 2011, vol. 1107, no. 020.
14. OrellanaM., Garcia F., Teppa Pannia F.A., Romero G.E. Structure of neutron stars in R-squared gravity. General Relativity and Gravitation, 2013, vol. 45, pp. 771783.
15. Astashenok A.V., Capozziello S., Odintsov S.D. Further stable neutron star models from f (R) gravity. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, 2013, vol. 1312, no. 040.
16. Ganguly A., GannoujiR., GoswamiR., RayS. Neutron stars in the Starobinsky model. Physical Review, 2014, vol. D89, no. 064019.
17. Capozziello S., De Laurentis M., FarinelliR., Odintsov S.D. Mass-radius relation for neutron stars in f (R) gravity. Physical Review, 2016, vol. D93, no. 023501.
18. Astashenok A.V., Odintsov S.D., de la Cruz-Dombriz A. The realistic models of relativistic stars in f (R) = R + aR2 gravity. Classical Quantum Gravity, 2017, vol. 34, no. 205008.
19. Folomeev V. Anisotropic neutron stars in R2 gravity. Physical Review, 2018, vol. D97, no. 124009.
20. Lawrie I. A unified grand tour of theoretical physics. Bristol, Philadelphia, Institute of Physics Publ., 2002. 564 p.
21. Dzhunushaliev V., Folomeev V. Energy spectrum and the mass gap from nonpertur-bative quantization à la Heisenberg. Available at https://arxiv.org/abs/1805.10566, accessed 08.10.2018.
22. NafJ., JetzerP. On the 1/c expansion of f (R) gravity. Physical Review, 2010, vol. D81, no. 104003.
23. ColpiM., Shapiro S.L., WassermanI. Boson stars: gravitational equilibria of selfinteracting scalar fields. Physical Review Letters, 1986, vol. 57, pp. 2485-2488.
24. Gleiser M., Watkins R. Gravitational stability of scalar matter. Nuclear Physics, 1989, vol. B319, pp. 733-746.
Accepted article received 15.10.2018 Corrections received 08.02.2019
