CC BY
76
УДК 530.12:531.51; 524.834
В. К. Щиголев, Е. А. Семенова
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СКАЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ В ГЕОМЕТРИИ ЛИРЫ
Аннотация. Новые классы однородных космологических моделей для скалярных полей строятся на базе геометрии Лиры. Различные типы точных решений для модели получены применением двух методов, а именно метода генерирующей функции и формализма первого порядка.
Ключевые слова: космология, скалярное поле, фантомное поле, геометрия Лиры.
Abstract. The new classes of homogeneous cosmological models for the scalar fields are build in the context of Lyra’s geometry. The different types of exact solution for the model are obtained by applying two procedures, namely the generating function method and the first order formalism.
Key words: cosmology, scalar field, phantom field, Lyra’s geometry.
Введение
После того как А. Эйнштейном была сформулирована общая теория относительности (ОТО), были разработаны альтернативные геометрические теории для того, чтобы объяснить различные проявления феномена гравитации. Вейль [1], вдохновленный геометризацией гравитации, предложил более общую теорию, в которой и гравитация, и электромагнетизм описываются геометрически. В течение долгого времени теорию Вейля не воспринимали всерьез, поскольку из нее следует неинтегрируемость длины вектора при параллельном переносе. Позже Лира (H. Lyra) предложил модификацию рима-новой геометрии путем введения калибровочной функции, которая устраняет неинтегрируемость длины вектора при параллельном переносе [2]. Эта модификация римановой геометрии известна как геометрия Лиры. Следует отметить, что Лира ввел калибровочную функцию в бесструктурном многообразии, в результате чего скалярное поле смещения возникает естественным образом. Многие авторы исследовали космологические модели в геометрии Лира ранее (см., например, [3-12]). Интерес к этой альтернативной теории связан прежде всего с тем, что в ней гравитационные эффекты подобны эффектам теории Эйнштейна. Таким образом, в теории Лиры предсказываются те же наблюдаемые эффекты в пределах Солнечной системы, что и в линеаризованной ОТО.
Соленгом [13] было отмечено, что космология, основанная на многообразии Лиры с постоянным калибровочным вектором, либо подобна С-поле-вой теории Хойла - Нарликара [14, 15]), либо содержит некоторое вакуумное поле, которое вместе с полем калибровочного вектора можно рассматривать как космологический член. Вопреки распространенному утверждению, что вектор поля смещения может играть роль космологической константы сам по себе, мы хотим подчеркнуть, что в отсутствие других полей он не может играть эту роль, как это следует из уравнений, представленных в этой статье. В ОТО Эйнштейну удалось геометризовать гравитацию путем отождествления метрического тензора с гравитационными потенциалами. С другой стороны, в скалярно-тензорной теории Бранса - Дикке скалярное поле носит негеометрический характер. Геометрия Лира более соответствует принципу
геометризации Эйнштейна, так как и скалярное, и тензорное поля имеют геометрический смысл.
К настоящему времени некоторые авторы исследовали космологию в геометрии Лира с постоянным полем смещения и зависящим от времени. Например, в работе [12] рассмотрено зависящее от времени поле вектора смещения и получена модель Фридмана - Робертсона - Уокера (ФРУ) в многообразии Лиры. Такая модель свободна от сингулярности Большого взрыва и решает проблему горизонта так же, как в некоторых стандартных моделях на базе римановой геометрии. Отметим, что космологические модели в рамках геометрии Лира исследуются в различных контекстах (см., например, [16-24]). В последние десятилетия появился значительный интерес к альтернативным теориям гравитации в связи с исследованиями космологической инфляции и особенно в связи с открытием ускоренного расширения Вселенной в настоящее время, что надежно подтверждено наблюдательными данными [25-30]. Для того чтобы объяснить столь неожиданное поведение Вселенной, можно модернизировать теорию гравитации [31-36] или рассмотреть различные полевые модели так называемой темной энергии, уравнение состояния которой удовлетворяет условию w = p / р<-1/3. В связи с тем что значительно возрастает интерес к скалярным полям в ОТО и альтернативных теориях гравитации в этом контексте, исследования космологических скалярных полей в геометрии Лиры могут иметь непосредственное отношение к моделям космологического ускорения.
Большинство исследований в космологии Лиры связано с идеальной жидкостью. Насколько нам известно, случай скалярного поля в геометрии Лиры до сих пор не был исследован. Здесь мы хотели бы восполнить этот пробел. В данной работе мы рассмотрим космологическую эволюцию скалярного поля квинтэссенции и фантомного поля в рамках геометрии Лиры. Исходя из приведенной выше мотивации, мы получили точные решения модифицированных уравнений Эйнштейна для пространственно-плоской метрики ФРУ в геометрии Лиры. Для достижения этой цели мы использовали два метода, а именно метод производящей функции и формализм первого порядка (метод суперпотенциала).
1. Краткий обзор геометрии Лиры
Геометрия Лиры может рассматриваться как модификация римановой геометрии в направлении, сходном с геометрией Вейля. Здесь мы приводим краткие сведения из геометрии Лиры, необходимые для дальнейшего изложения результатов исследования.
В геометрии Лиры вектор смещения между двумя соседними точками
xi и xi + dxi определяется компонентами Vdxi, где ¥ = ¥(xk) - некоторая калибровочная функция. Система координат x1 и калибровочная функция V образуют систему отсчета (V, X). Переход в новую систему отсчета ('V , xn) задается как
V' = V (V, xk), ^ (xk), (1)
где ЭV/ / ЭV Ф 0, det | дx'i / дxk |Ф 0 .
Коэффициенты связности в геометрии Лиры задаются следующим образом:
*ij = Ÿ_1rjk - 2(8} 9k + Sk Фу - gjk<j ), (2)
T"'i
где i jk определяется в терминах метрического тензора gik, как и в римановой геометрии, а Фk - векторное поле смещения.
Лира [2] и Сен [3] показали, что в любой общей системе отсчета векторное поле Фk возникает как естественное следствие введения калибровочной функции Y в бесструктурное многообразие. Отметим, что *Гjk симметрична по двум нижним индексам.
Метрика на многообразии Лиры определяется интервалом
ds 2 =Y2 gikdxidxk, (3)
инвариантным одновременно относительно координатных и калибровочных преобразований.
Как следствие, параллельный перенос вектора ^ задается уравнением
d% =-rjk V Ydxk, (4)
где
ijk =*rjk - 28}Фk. (5)
При этом видно, что ijk несимметрична относительно j и k . Замечательным отличием от геометрии Вейля является то, что в геометрии Лиры длина вектора не меняется при параллельном переносе.
Как обычно, тензор кривизны определяется с помощью параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой и равен
/2/fm f'i
*R.jki=т-2
-(ТГд),I + (ТГл),k -Т2(fn}kГ-fп}1 ГL)
(6)
где Гд определяются из уравнения (5).
Свертка тензора кривизны (6) приводит к скаляру кривизны
*Я = Т-2 Я + 3Т-1ф',. + 2 фгфг- + 2 Т-1 (1п Т 2),г- фг', (7)
где Я - скалярная кривизна Римана, а точка с запятой обозначает ковариант-ную производную с символами Кристоффеля второго рода.
Инвариантный относительно координатных и калибровочных преобразований интеграл задается в виде
I =
jL^/-gТ 4 d 4 x, (8)
где d4x - элемент объема; L - скалярная функция.
Используя нормировку Y = 1 [3] и положив L = *R [10] в уравнении (8), легко найти, что выражение (7) приводится к следующему виду:
*R = R + 3фгг- + -3 фг фу. (9)
Уравнения поля получаются из вариационного принципа
8( I + J) = 0, (10)
где I определяется формулой (8), а действие J определяется плотностью лагранжиана материи L как обычно:
J = JL^-gd 4 х. (11)
Таким образом, уравнения поля в геометрии Лиры можно записать в следующем виде [3, 4]:
1 3 3 2
Rik - - gikR + - фу Фк - - gik ф^] = к Tik, (12)
где к2 = 8nG - гравитационная постоянная; здесь Tik представляет собой
тензор энергии-импульса материи и может быть выражен обычным образом через лагранжиан.
2. Уравнения поля
Уравнения Эйнштейна на многообразии Лиры имеют вид (12). Тензор энергии-импульса запишем как для эффективной идеальной жидкости:
Tik = (Р + Р)uiuk - PSik, (13)
причем uU = 1 и в сопутствующих координатах Ui = (1,0,0,0).
Представим также фу в виде времени-подобного векторного поля
фу = (Р, 0,0,0), (14)
где Р = P(t) - функция, зависящая только от времени.
Метрика для пространства-времени ФРУ записывается в виде
ds2 = dt2 - a2(t)(dr2 + ^2(r)dЙ2), (15)
где ^(r) = sin r, r,sinh r в соответствии со знаком кривизны k = +1,0, -1.
В этой метрике и с учетом выражений (13), (14) уравнения поля (12) сводятся к следующей системе уравнений:
3H2 + ^ - 4 Р2 = к2р; (16)
а2 4
2 H + 3H2 + k + 2 р2 =-к2 р, (17)
а2 4 V '
где H = а / а - параметр Хаббла.
Как следствие уравнений (16), (17) можно записать уравнение непрерывности для эффективной материи:
р + ДГ РР + 3Н 2 к2
3 о2 Р+Р+—2Р 2 к2
= 0. (18)
Легко заметить, что основные уравнения модели, т.е. (16), (17) и (18), могут быть представлены в стандартной форме ОТО:
О 3к О
3Н2 + — = к2ре1; (19)
а
2Н + 3Н2 + -к2 = -к2 Рeff, (20)
а2
Рeff + 3Н (*( + М ) = 0, (21)
путем введения двух эффективных значений плотности энергии и давления:
3Р2 3Р2
рeff=р+4К2, ^=Р+4К2. (22)
Для анализа космологических моделей часто используются уравнение состояния ^ и параметр замедления q , определяемые как
peff 1 2 Н аса 1 Н (23)
^ = ^^ = -1--^, q = -^ = -1-^. (23)
р^^т 3 н 2 а2 н 2
В отсутствие материи, когда р = р = 0, эффективное уравнение состояния равно ^ = +1, что соответствует так называемой предельно жесткой жидкости. Именно поэтому вектор смещения не может играть роль космологического члена, который предполагает ^ = -1.
Чтобы продвинуться дальше в исследовании модели, необходимо определиться с типом скалярного поля. Далее для простоты мы будем рассматривать пространственно плоскую космологию ФРУ с к = 0 .
3. Квинтэссенция и фантомное поле в космологии Лиры
В этой части работы мы рассматриваем квинтэссенцию или фантомное поле как источник гравитации в космологии Лиры. Это означает, что мы определяем эффективные параметры (22) следующим образом:
2 2 Рe# = §ф2 + V(ф) + Рeíf = |ф2 - Г(ф) + -$2, Р4)
где е = +1 представляет квинтэссенцию, а е = -1 относится к фантомному полю. В силу (24) основные уравнения модели (19), (20) записываются в виде
3Н2 = еф2 + 2Г (ф) + 3 Р2; (25)
и
И = -єф2- 4 Р2,
(26)
где и всюду далее будем предполагать, что 4пО = 1.
Даже при заданном потенциале V(ф) и функции смещения Р(^) достаточно сложно найти точные решения для этой модели. Тем не менее класс точных решений можно получить с помощью так называемой производящей функции [37, 38].
Так как Р(ґ) - все еще произвольная функция, мы можем перенести эту произвольность в выборе поля на новую функцию /(ф(ґ)), скажем, в следующем виде:
получим следующее выражение для эффективных параметров (24):
знак х кинетического члена в следующем выражении может изменяться (для є = -1) с положительного на отрицательный и наоборот.
Подставляя (28) и (29) в уравнения (19), (20), мы получаем следующую систему основных уравнений для нашей модели:
Для нахождения точных решений этих уравнений методом производящей функции [37, 38] мы предположим, что Е(ф) = ф . Применение последнего к системе уравнений (30), (31) позволяет получить следующее общее решение:
3.1. Метод производящей функции
Р2 = 3 / 2(ф)ф2.
(27)
Как результат подстановки выражения (27) в (24) мы имеем
р/ = 2 /2(ф)+є ф2 + к(ф); Рег/ = 2 /2(ф)+є ф2-к(ф).
(28)
(29)
2 '22
Переопределим скалярное поле следующим образом: | / (ф) + є | ф = V ,
т.е. К = ±|д/1 /2(ф) + є | йф , и положим х = БІ8п[/2(ф) + є]. В результате мы
Ре// =Х\V2 + и(^), Ре// =Х\V2 -и(^), где и(у) = V(ф(у)). Видно что,
(30)
И = -[ / 2(ф) + е]ф2.
(31)
(32)
И (ф) = -{[ / 2(ф) + є]^ (ф) й ф;
(33)
V (ф) = 2 Н2 (Ф) - 2[ /2 (Ф) + е]Р2 (ф);
(34)
(35)
Кроме того, как следует из (23) и (33), параметр уравнения состояния может быть записан как
«=-і+|[. / 2(ф)+е]( Н(ф)'
3 I Н (ф)
(36)
Рассмотрим далее два частных случая.
3.1.1. Случай Г(ф) = А
Для того чтобы получить точные решения в рамках рассматриваемого метода, необходимо задать функцию связи /(ф) или некоторые другие дополнительные условия. Здесь мы предполагаем, что функция связи может быть представлена в виде
/(ф) = ^іо Бій ^2° ф.
(37)
При условиях / > 1/2 и е = -1 кинетический член в (28), (29) может периодически менять свой знак, эволюционируя от фантомного режима к квинтэссенции и наоборот. Из формул (32)-(35) можно найти, что
ф = ^;
Н (ф) = -X
(/о2 +е)ф- — Бій Ю°ф ®0
(38)
(39)
(4°) . (41)
Соответствующее выражение для функции смещения может быть найдено из формул (27), (37) и (38) как
а(ф) = а° ехр і-/о +£ ф2 + /т(1-со8 ю°ф)|;
I 4 2®2 \
V (ф) = 3т " /2 " (/о2 + е)ф — БІП 2юоф ^1' 1 2 (./о2 + е) - Уо2 соЭ Юоф
2 Юо 2 -1
Обращаясь к (23) и (39), мы получим уравнение состояния в виде
1 + 2 Є + /°2 (1 - соб )
(/о2 + е)^- Ю-бш оі°Хґ
(42)
(43)
и подобное выражение для параметра замедления q с заменой множителя 2/3 на 1.
Некоторые свойства полученного решения показаны на рис. 1. Можно видеть, что модель ускоренно расширяется в любой момент времени. В некоторых точках, где cos = 1 - /2, наблюдается расширение типа де Ситтера
(q = -1), причем модель периодически пересекает фантомную границу в обоих направлениях в этих точках.
Рис. 1. Параметры { м>, д } и параметр Хаббла Н в случае Г(ф) = X как функции х = Хг (е = -1, ю0 = 5, /02 = 0,56, Х = 4)
3.1.2. Случай Г(ф) = Хф
Для того чтобы получить точное решение с интересными свойствами в этом случае, мы выберем функцию связи / (ф) в следующем виде:
/ (ф)=it-ф
При таком выборе мы имеем
Ф = Фо exp(Xt) .
(44)
(45)
После интегрирования уравнений (21)-(24) получаем для параметра Хаббла и масштабного фактора следующие выражения:
H = -X
/¿Xt + /t ln фо + e-texp(2Xt)
a(t) = at exp J -/°2X_ t2 - /2Xt ln -о - e-t (2Xt -1
(46)
(47)
где константа интегрирования выбрана так, что at = a(0). 198
Кроме этого, можно найти потенциал в виде
3(/021пФ + |ф2)2-еф2 -/0
(48)
Наконец, уравнение состояния может быть записано следующим образом:
w = —1 + — 3
/0 + «Ф exp(2Aí)
/&*+ /0 1п Ф0 + є%exp(2Aí)
2
(49)
Аналогичное выражение может быть получено для параметра замедления. Некоторые особенности этого решения показаны на рис. 2. Видно, что модель испытывает постоянное ускорение. Только в одной точке
¿0 =^ 1 1п(/0 / Ф0) расширение становится де Ситтеровским с д = —1 и модель пересекает фантомную границу, переходя от состояния квинтэссенции к фантомному.
Рис. 2. Параметры { м>,д } и масштабный фактор а в случае Р(ф) =Аф как функции х = ~кг (е = -1, ф0 = 1, /02 = 1,12)
3.2. Метод суперпотенциала
Другой класс точных решений можно получить методом суперпотенциала. Этот метод впервые был предложен для космологических моделей скалярного поля в [39], а позже был открыт еще раз как «формализм первого порядка» и расширен на случай двух и более полей в [40]. Метод суперпотенциала может эффективно применяться также для квинтомных моделей (см., например, [41]).
Представим в этот раз геометрическое поле вектора смещения как функцию нового поля а(і) в виде
Р2(ґ) = 4 а 2(().
(50)
Тогда система уравнений (25), (26) перепишется в форме 3H 2 =еф2 + 2У (ф) + а 2(ґ);
И = —еф2 — а 2(ґ),
(51)
(52)
Следуя методу, введем функцию суперпотенциала Ж (ф, а) уравнением
Н = Ж (ф, а), (53)
в котором параметр Хаббла Н (^), как функция времени, предположительно выражается через полевые функции ф(^), а(^). Подставляя (53) в (52), можно получить два уравнения первого порядка:
ф = -еГф, а = — Жа
(54)
где Жф=дЖ / Эф, Жа =ЭЖ / Эа.
Потенциал физического поля может быть получен из (51), (53) и (54) в следующем виде:
(55)
Поскольку потенциал зависит только от ф, имеем ЭУ / да = 0. Принимая во внимание (54) и (55), легко показать, что это равносильно
с1Жг
Г + 3ЖЖа = 0.
(56)
Рассмотрим простой пример точного решения, предполагая, что суперпотенциал представлен в следующем виде:
Ж (ф, а) = X (ф) У (а). Это позволяет переписать (44) в форме
ЗУ2 (а) — еУ2 (а)
( Х(ф) ^
X (ф)
— У ,2(а)
(57)
(58)
Рассмотрим пример конкретного решения этой модели, основанной на представлении
X (ф) = X0е Хф, У (а) = сИ(у1^а),
(59)
где ц = 3 — еХ2. 200
Тогда мы получим, что
ф = -еЖф = еХХ 0е-ХфсЬ(Л/ца);
а = -Жа = --/цХ0е-^ф8Ь^Л/ца);
Н (Г) = Х0в-Хф(1 ^(^/ца^)).
(60)
(61)
(62)
В то же время мы имеем следующее выражение для потенциала (58):
V (ф) = Ц X 2 е—2Хф.
Комбинируя и интегрируя уравнения (60), (61), можно получить
(63)
ехр(—Хф) = ^(д/ца)^ ц ,
(64)
где константа интегрирования выбрана равной нулю.
Подставляя последнее в (61), находим следующее уравнение для а :
_3_
а = —^¡Цx0 ^(л/ца)^ц .
(65)
Это уравнение может быть проинтегрировано в явном виде для ряда значений ц (т.е. X и е).
Как пример рассмотрим случай е = +1, Х = V3/2 , что дает ц = 3 / 2 . Интегрируя уравнение (65) и принимая во внимание (50), можно найти, что
а = л —агсіН '3
V З X0* + 2 ,
Р2 =
32 X 0
[(З X0* + 2)2 — 4]2’
(66)
где постоянная интегрирования выбирается из условия 1апЬ\/3 / 2 а(0) = 1. С помощью (62), (64) и (66) легко найти
И (і) = 2X0 3^ + 2
(3 X0і + 2)2 — 4
, а(і) = а0 (3X0* + 2) — 4
1/3
ф=т?1п
(3 X0і + 2)2 — 4
Из формул (23) и (67) можно показать, что
4 1 6
1 = — + ■
w =■
2
(67)
(68)
(69)
(3 Х^ + 2)^ ' 2 (3 х^ + 2)"
Основные свойства эволюция этой модели изображены на рис. 3.
Заключение
В данной статье мы исследовали космологические модели Фридмана -Робертсона - Уокера в нормальной калибровке для многообразия Лиры
с квинтэссенцией и фантомым скалярным полем как источников гравитации. Нами построены новые классы космологических моделей для таких скалярных полей в контексте геометрии Лиры. Различные типы точных решений для модели получены с помощью двух методов: метода генерирующей функции и формализма первого порядка. Можно надеяться, что полученные модели являются следующим шагом в развитии космологии Лиры и могут использоваться для описания поведения реальной Вселенной.
W----q ..Н ----а
1 2 3
Рис. 3. Параметры { w,q }, фактор а и параметр Хаббла H как функции х = X0t в случае е = +1,A = V3/2 ;Xо=3/2
Список литературы
1. Weyl, H. Gravitation und Elektrizi^t / H. Weyl // Sber. Preuss. Akad. Wiss. - Berlin, 1918. - P. 465.
2. Lyra, G. Uber eine Modifikation der riemannschen Geometric / G. Lyra // Math. Z. -1951. - V. 54. - P. 52.
3. Sen, D. K. Static cosmological model / D. K. Sen // Z. Phys. - 1957. - V. 149. -P. 311.
4. Sen, D. K. A scalar-tensor theory of gravitation in a modified Riemannian manifold / D. K. Sen and K. A. Dunn // J. Math. Phys. - 1971. - V. 12. - P. 578.
5. Bhamra, K. S. A cosmological model of class one in Lyra's manifold / K. S. Bham-ra // Aust. J. Phys. - 1974. - V. 27. - P. 541.
6. Kalyanshetti, S. B. A Static Cosmological Model in EinsteinCartan Theory / S. B. Kalyanshetti and B. B. Waghmode // Gen. Relat. Grav. - 1982. - V. 14. - P. 823.
7. Reddy, D. R. K. An anisotropic cosmological model in Lyra's manifold / D. R. K. Reddy and P. Innaiah // Astrophys. Space Sci. - 1985. - V. 114. - P. 285.
8. Reddy, D. R. K. A static conformally flat cosmological model in Lyra's manifold / D. R. K. Reddy and R. Venkateswarlu // Astrophys. Space Sci. - 1987. - V. 136. -P. 183.
9. Beesham, A. Friedmann's cosmology in Lyra's manifold / A. Beesham // Astrophys. Space Sci. - 1986. - V. 127. - P. 355.
10. Halford, W. D. Cosmological theory based on Lyra's geometry / W. D. Halford // Aust. J. Phys. - 1970. - V. 23. - P. 863.
11. Halford, W. D. Scalar-tensor theory of gravitation in a Lyra manifold / W. D. Halford // J. Math. Phys. - 1972. - V. 13. - P. 1699.
12. Beesham, A. FLRW cosmological models in Lyra's manifold with time dependent displacement field / A. Beesham // Aust. J. Phys. - 1988. - V. 41. - P. 833-842.
13. Soleng, H. H. Cosmologies based on Lyra's geometry / H. H. Soleng // Gen. Relativ. Grav. - 1987. - V. 19. - P. 1213.
14. Hoyle, F. A New Model for the Expanding Universe / F. Hoyle // Mon. Not. Roy. Soc. - 1948. - V. 08. - P. 372.
15. Hoyle, F. A new theory of gravitation / F.Hoyle and J. V. Narlikar // Proc. Roy. Soc. London Ser. A. - 1964. - V. 282. - P. 1.
16. Pradhan, A. Plane symmetric inhomogeneous perfect fluid universe with electromagnetic field in Lyra geometry / A. Pradhan, S.S.Kumhar // Astrophys Space Sci. -2009. - V. 54. - P. 137-146.
17. Pradhan, A. Inhomogeneous Perfect Fluid Universe with Electromagnetic Field in Lyra Geometry / A. Pradhan, P. Mathur // Fizika B. - 2009. - V. 18. - P. 243-264.
18. Pradhan, A. Accelerated Lyra's Cosmology Driven by Electromagnetic Field in Inhomogeneous Universe / A. Pradhan, P. Yadav // Int. J. Math. Sci. - 2009. DOI: 10.1155/2009/471938.
19. Pradhan, A. Cylinderically symmetric viscous fluid universe in Lyra Geometry / A. Pradhan // J. Math. Phys. - 2009 . - V. 50. - P. 022501-022513.
20. Pradhan, A. A new class of inhomogeneous cosmological model with electromagnetic field in normal gauge for Lyra’s manifold / A. Pradhan, H. Amirhashehi, H. Zanuddin // IJTP. - 2011. - V. 50. - P. 56-69.
21. Pradhan, A. Anisotropic Bianchi type-I string cosmological models in normal gauge for Lyra’s manifold with constant deceleration parameter / A. Pradhan, A. K. Singh // IJTP. - 2011. - V. 50. - P. 916-933.
22. Yadav, A. K. Lyra’s cosmology of inhomogeneous universe with electromagnetic field / A. K. Yadav // FIZIKA.B. - 2010. - V. 19. - P. 53-80.
23. Agarwal, S. LRS Bianchi type II perfect fluid cosmological models in normal gauge for Lyra’s manifold / S. Agarwal, R. K. Pandey, A. Pradhan // IJTP. - 2011. - V. 50. -P. 296-307.
24. Singh, R. S. A New Class of Magnetized Inhomogeneous Cosmological Models of Perfect Fluid Distribution with Variable Magnetic Permeability in Lyra Geometry / R. S. Singh // EJTP. - 2012. - V. 9, № 26. - P. 265-282.
25. Riess, A. G. Results from the High-z Supernova Search Team / A. G. Riess, et al. // Astron. J. - 1999. - V. 116. - P. 1009.
26. Perlmutter, S. Measurements of and H from 42 High-Redshift Supernovae /
S. Perlmutter et al. // Astrophys. J. - 1999. - V. 517. - P. 565.
27. Pradhan A. Inhomogeneous perfect fluid universe with electromagnetic field in Lyra geometry / A. Pradhan, P. Mathur // Fizika B. - 2009. - V. 18. - P. 243-264.
28. Zhang, H.-S. Crossing w=-1 by a single scalar on a DGP brane / H.-S. Zhang, Z.-H. Zhu // Phys. Rev. D. - 2007. - V. 75. - P. 023510.
29. Ram, S. Bianchi type-V cosmological models with perfect fluid and heat conduction in Lyra’s Geometry / S. Ram, M. Zeyauddin, C. P. Singh // Int. J. Mod. Phys. A. -2008. - V. 23. - P. 4991-5005.
30. Polarski, D. Reconstruction of a Scalar-Tensor Theory of Gravity in an Accelerating Universe / D. Polarski, A. A. Starobinsky // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 85. - P. 2236.
31. Copeland, E. J. Dynamics of dark energy / E. J. Copeland, M. Sami, S. Tsujikawa // Int. J. Mod. Phys. D. - 2006. - V. 15. - P. 1753.
32. Nojiri, S. Modified gravity with negative and positive powers of the curvature: unification of the inflation and of the cosmic acceleration / S. Nojiri and S.D. Odintsov // Phys. Rev. - 2003. - V. D68. - P. 123512.
33. Capozziello, S. Curvature quintessence / S. Capozziello // Int. J. Mod. Phys. - 2002. -V. D11. - P. 483.
34. Apostolopoulos, P. S. Mirage effects on the brane / P. S. Apostolopoulos et al. // Phys. Rev. - 2005. - V. D72. - P. 044013.
35. Nojiri, S. Introduction to Modified Gravity and Gravitational Alternative for Dark Energy / S. Nojiri and S. D. Odintsov // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. - 2007. - V. 4. -P. 115.
36. Diakonos, F. K. A Statistical Solution to the Cosmological Constant Problem in the Brane world / F. K. Diakonos and E. N. Saridakis // JCAP. - 2009. - V. 0902. - P. 030.
37. Chimento, L. P. Cosmological models arising from generalized scalar field potentials / L. P Chimento, V. Mendez and N. Zuccala // Class. Quantum Grav. - 1999. -V. 16. - P. 3749.
38. Sen, A. A. Quintessential Inflation with Dissipative Fluid / A. A.Sen, I. Chakrabarty, and T. R. Seshadri // Gen. Rel. Grav. - 2002. - V. 34. - P. 477.
39. Zhuravlev, V. M. The cosmological model with an analytic exit from inflation /
V. M. Zhuravlev, S. V. Chervon // Zh. Exp.Teor. Fiz. - 2000. - V. 18. - P. 259.
40. Bazeia, A. First-order formalism and dark energy / A. Bazeia, C. B. Gomes, L. Losano, R. Menezes // Phys. Lett. B. - 2006. - V. 633. - P. 415.
41. Amani, A. R. Stability of Quintom Model of Dark Energy in (m, m') Phase Plane /
A. R. Amani // Int. J. Theor. Phys. - 2011. - V. 50. - P. 3078.
42. Sahni, V. Statefinder - a new geometrical diagnostic of dark energy / V. Sahni,
T. D. Saini, A. A. Starobinsky, U. Alam // JETP Lett. - 2003. - V. 77. - P. 201.
Щиголев Виктор Константинович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической физики, Ульяновский государственный университет
E-mail: [email protected]
Семенова Елена Александровна студентка, Ульяновский государственный университет
E-mail: [email protected]
Shchigolev Victor Konstantinovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of theoretical physics, Ulyanovsk State University
Semenova Elena Alexandrovna Student, Ulyanovsk State University
УДК 530.12:531.51; 524.834 Щиголев, В. К.
Космологические модели скалярных полей в геометрии лиры /
B. К. Щиголев, Е. А. Семенова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 (24). -
C. 191-204.
