CC BY
57
УДК 530. 12:531.551
А. В. Тимошкин, Е. В. Савушкин
КОСМОЛОГИЯ ФРИДМАНА-РОБЕРТСОНА-УОКЕРА С НЕЛИНЕЙНЫМ НЕОДНОРОДНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ
Рассмотрена пространственно-плоская Вселенная Фридмана, заполненная идеальной жидкостью с нелинейным неоднородным уравнением состояния, зависящим от времени. Получены решения гравитационного уравнения движения. Показано, что при этом возможно появление периодической Вселенной, повторяющей циклы космического ускорения фантомного (нефантомного) типа с возникновением космологических сингулярностей.
Ключевые слова: темная энергия, космологические сингулярности, космическое ускорение.
1. Введение
В настоящей работе рассматривается феноменологическая модель темной энергии, в которой темная энергия имеет нелинейное неоднородное уравнение состояния (см.: [1, 2]). В настоящее время Вселенная расширяется с ускорением, причиной которого является идеальная жидкость (темная энергия), которая слабо взаимодействует с обычной материей и имеет необычное уравнение состояния. В частности, давление такой идеальной жидкости является отрицательным. Идеальная жидкость с неоднородным уравнением состояния в наиболее общем виде была введена в [3] (см. также примеры в [4-6]). Представляет интерес изучение природы темной энергии относительно ускорения и космического расширения Вселенной. Наиболее общие модели идеальной жидкости с неоднородным уравнением состояния была введена в работах [7-10], (см. также примеры в [11]). Идеальная жидкость с зависящим от времени нелинейным неоднородным уравнением состояния изучалась в работах [12, 13]. Некоторые примеры уравнений подобного типа найдены в работах [14-18]. Показано. что в зависимости от выбора параметров состояния темной энергии возможен переход такой Вселенной от фантомной эры к нефантомной с возникновением космологической сингулярности. Получены выражения для масштабного фактора и его первой и второй производной. Найдены значения параметров, при которых Вселенная расширяется с ускорением (квинтэссенция) и расширяется с замедлением. Заметим (см. работу [1]), что наблюдаемые данные показывают, что Вселенная сейчас расширяется с ускорением, причем эффективный параметр состояния очень близок к -1. При этом не исключена возможность фантомной Вселенной
(м/ < -1) или квинтэссенции (-1 <у>^ <-^) и
точной космологической постоянной (м/ = -1).
2. Нелинейное уравнение состояния для Вселенной и его решение
Рассмотрим Вселенную, заполненную идеальной жидкостью (темной энергией), удовлетворяю-
щей нелинейному неоднородному уравнению состояния, зависящему от времени [3]:
р = w (?) р + /(р) + Л (?),
(1)
где w (?) и Л (?) зависят от времени ?, и /(р), в общем случае, произвольная функция.
Это уравнение состояния для случая Л (?) = 0 исследовалось в [7, 8] для различных функций w (?) и Л (?). В работах [12, 14] функции w (?) и Л (?) рассматривались периодическими, в работе [5] - линейными функциями от времени. Уравнение состояния подобного вида является типичным в модифицированной гравитации [1].
Запишем закон сохранения энергии
р + 3Н (р + р) = 0
(2)
и уравнение Фридмана для пространственно-пло ской Вселенной
3
12Н =р,
(3)
где Н =-----постоянная Хаббла, 12 = 8лО с грави-
а
тационной постоянной Ньютона О, р - плотность энергии, р - давление, а (?) - масштабный фактор.
С учетом уравнений (1)-(3) получим гравитационное уравнение движения
Р +
1
^Р2[(w^) + 1)р + /(р) + Л(t)] = 0 .
(4)
Рассмотрим модель, в которой функция Л (?) = 0, и выберем параметр w (?) периодическим:
^ (? ) = -1 + «(1 + Pcosю■ ?), (5)
где а > 0 и в > 0. Выберем функцию /(р) в виде
[19]:
/ (р)=А^р, (6)
где А - постоянная. Тогда уравнение (4) примет вид
3
р + -\/31[а(1 + всоБ®?)р2 + Ар] = 0. (7)
Решение уравнения (7) выглядит так:
P(t ) =
1
а л/3. „ а
----1---kap ------------
A 2 3 . 2 Л 2
—k A + а
4
■ J3IA л
sm at------kA cosat
2
(8)
Параметр Хаббла равен k
H (t )=
a s[b 1 n a -------1------kae ----------------
A 2 3 і 2 .2 , a2
—k A + a 4
■ ^ л
sin at---------------kA cosat
2
Производная H(t) имеет вид
>/3,. .
0,2 2 cosat +---kAsin at
h (t )=-aeka 3 2 . P(<).
3
4
k2 A2 +a2
tc = — arctg a
+ 2n 7
+-----n, n є 7.
a
. SkA
sin at---------cosat
2
i(t) = exp
где ^ =
V3
f л
f4 - 3 k1 A + ава
1A ) 4 3 k2 A2 +a2
V 4)
2
ka/3a
2з
4
, ^3 =
k2 A2 +a2
SkA - 2a\.
(9)
Первая производная масштабного фактора имеет вид
4kA2X3
a (t ) = a (t)-----------T/f
\[ba
k-a
(10)
( + a2t2) 1 + [karctgat + k2 ]2
Вторая производная равна
ч 4kA2X3
г (t ) = ----------^— x
(12)
Космологические сингулярности возникают периодически при
k - >/3с
а \а
l(t)
(l + a2t2 ) {1 + [iarctgat + Х2 ] 4kA2X1
і
k -у/3о
а \а
-2а
at {1 + \arctgat + Х2 ] } +^
+Аз \arctgat + Я2 ]
Если 0 < а < 1, то обе производные положи-
тельны, происходит расширение Вселенной с ускорением (квинтэссенция).
Рассмотрим случай w (?) = а1? + Ь, Л(?) = с? + С, где а1, Ь, с, С - некоторые постоянные.
Решение гравитационного уравнения движения выглядит так:
(1З)
Плотность энергии и постоянная Хаббла одновременно стремятся к бесконечности, т. е. мы имеем сингулярность типа Big Rip [20].
Производная по времени обращается в нуль,
1 2 п
если t0 =-----arctg—=---1— n , n e Z .
a sJ3kA a
Если A > 0 и t < t0, имеем H < 0 - Вселенная находится в нефантомной фазе, а при t > t0 H > 0 -Вселенная переходит в фантомную фазу.
Масштабный фактор задан выражением
P(t ) =
З A
Be
С (t+D)
er
rf (t)-1
arctg L, [arctgat + L, ]j, (11)
Параметр Хаббла задан выражением
H (t )=■
Be
С (t+D)2
er
rf (t)-1
(14)
(15)
2
2
X
X
X
X
x
X
+
— З2 —
где erf(t) - интеграл вероятности. Производная H( t) равна:
Н (t ) = -
2 A1Be
С (t+D )2
Вєс(t+D) erf (t)-1
С (t + D) erf (t) + -= e С(t+D) \jn
. кС І 2п л/Зк
где A1 = ^-, B = -J=-----------------—
1 v3a1 \у/ЗкС 4
~ "s/sk d + A
С =--------c , D =----------.
(16)
4c Если t = t1, где t1 - решение уравнения
erf (t )=b e
1 -С (t+D)
возникает космологическая сингулярность типа Big Rip.
Таким образом, мы исследовали различные режимы, которые являются следствием постулата нелинейного неоднородного уравнения состояния идеальной жидкости.
3. Заключение
В результатах работы отметим, что изучена модель Вселенной с нелинейным неоднородным уравнением состояния, которое задается нелинейными функциями времени. Изучено влияние нелинейности и параметров нелинейных функций на природу космологических явлений: переход от нефантомной эры Вселенной к фантомной с расширением и возможным периодическим возникновением космологических сингулярностей.
Мы выражаем благодарность профессору С. Д. Одинцову за обсуждение работы и ценные замечания.
Список литературы
I. Nojiri S ., Odintsov S . D . Introduction to modified gravity and gravitational alternative for dark energy // Int. J . Geom . Meth . Mod . Phys . 2007 . V. 4 . P 115-146 .
2 . Nojiri S . , Odintsov S . D . Modified gravity with negative and positive powers of the curvature: unification of the inflation and of the cosmic accel-
eration // Phys . Rev. D . 2003. V. 68. 123512 [hep-th/0307288].
3 . Brevik I ., Nojiri S . , Odintsov S . D . ,Vanzo L . Entropy and universality of Cardy-Verlinde formula in dark energy universe // Phys. Rev. D . 2004 .
V. 70 . 043520 [hep-th 0401073] .
4 . Бревик И . , Горбунова О . Г. Темная энергия и космология с вязкостью // Изв. вузов . Физика . 2006 . Т . 49 . № 5 . C . 82-87 .
5 . Brevik I . , Elizalde E . , Gorbunova O . G ., Timoshkin A. V. A FRW dark fluid with non-linear inhomogeneous equation of state // Europ . Phys . J . 2007 .
C . 52 . P 223-228.
6 . Бревик И . и др . Ускоренное расширение Вселенной Фридмана, заполненной идеальной жидкостью с неоднородным уравнением состо-
яния // Изв . вузов . Физика . 2007 . Т . 50 . № 8 . С . 79-84 .
7 . Nojiri S . , Odintsov S . D . Inhomogeneous equation of state of the universe: phantom era, future singularity and crossing the phantom barrier //
Phys . Rev. 2005. D 72 . 023003 [hep-th/ 0505215] .
8 . Nojiri S . , Odintsov S . D . The new form of the equation of state for dark energy fluid and accelerating universe // Phys . Lett . 2006 . B 639 . P 144-
150 .
9 . Brevik I ., Nojiri S . , Odintsov S . D ., Vanzo L . Entropy and universality of Cardy-Verlinde formula in dark energy universe // Phys . Rev. 2004. D 70 .
043520 [hep-th 0401073] .
10 . Capozzielo S . , Cardone V. , Elizalde E . et al . Observational constraints on dark energy with generalized equations of state // Phys. Rev. 2006 .
D 73. 043512 [astro-ph/0508350].
II. Brevik I ., Gorbunova O . G . Dark energy and viscous cosmology // Gen . Rel . Grav. 2005. V. 37 . P 2039-2045.
12 . Nojiri S . , Odintsov S . D . The oscillating dark energy: future singularity and coincidence problem // Phys . Lett. 2006 . B 637 . P 139-148 .
13 . Brevik I . et al . Dark energy fluid with time-dependent inhomogeneous equation of state // Europ . Phys . J . 2007 . C 51. P 179-183.
14 . Горбунова О . Г . Квазиосциллирующая темная энергия // Изв . вузов . Физика . 2007 . Т . 50 . № 1. C . 94-95.
15 . Ren J ., Meng X . H . Dark viscous fluid described by a unified equation of state in cosmology // Int . J . Mod . Phys . 2007 . D 16 .P. 1341-1348.
16 . Ren J ., Meng X . H . Modified equation of state, scalar field and bulk viscosity in Friedmann universe // Phys . Lett. 2006 . B 636 . P 5-12 .
17 . Hu M ., Meng X . H . Bulk viscous cosmology: Statefinder and entropy // Phys . Lett. 2006 . B 635. P 186-194 .
18 . Cardone V., Tortora C . , Troisi A. , Capozziello S . Beyond the perfect fluid hypothesis for the dark energy equation of state // Phys . Rev. D . 2006 .
V. 73. 043508. ar-Xiv: 0511528 [astro-ph] .
19 . Nojiri S . , Odintsov S . D . The final state and thermodynamics of dark energy universe // Phys . Rev. D . 2004. V. 70 . 103522 [hep-th/0508170] .
20 . Nojiri S . Dark energy and modified gravities // TSPU Vestnik . 2004. Issue 7(44) . P49-57 .
— ЗЗ —
Тимошкин А. В., кандидат физико-математических наук, доцент.
Томский государственный педагогический университет.
Ул. Киевская, 60, г. Томск, Томская область, Россия, 634061.
E-mail: timoshkinAV@tspu.edu.ru
Савушкин Е. В., кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник.
Томский государственный педагогический университет.
Ул. Киевская, 60, г. Томск, Томская область, Россия, 634061.
E-mail: mari-tomsk@rambler.ru
Материал поступил в редакцию 25.11.2010.
A. V. Timoshkin, E. V. Savushkin
frw cosmology with a non-linear ingomogeneous equation of state
A dark Friedman-Robertson-Walker fluid governed by a non-linear ingomogeneous equation of state (EoS) is considered that it can be viewed as a conveniently simple paradigm for the whole class of models that exhibit phase transitions from a non-phantom towards a phantom era. On the other hand, such dark fluid models may also describe quintessence-like cosmic acceleration. Adding a cosmological constant-like term to the EoS led us to the conclusion that at some t = t1 a future singularity forms, in the sense that the energy density and the Hubble parameter simultaneously approach infinity at this value.
Key words: dark energy, cosmological singularity, cosmic acceleration.
Timoshkin A. V
Tomsk State Pedagogical University.
Ul. Kiyevskaya, 60, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634061.
E-mail: timoshkinAV@tspu.edu.ru
Savushkin E. V.
Tomsk State Pedagogical University.
Ul. Kiyevskaya, 60, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634061.
E-mail: mari-tomsk@rambler.ru
