Динамика тел, погруженных в жидкость Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1:621.01

ДИНАМИКА ТЕЛ, ПОГРУЖЕННЫХ В ЖИДКОСТЬ

Ю.С. Павлюк, В.Д. Сакулин

Исследуется динамика тел, находящихся в емкости, заполненной несжимаемой идеальной жидкостью. Показано, что уравнения свободных колебаний твердых и упругих тел в жидкости отличаются от обычных уравнений колебаний в воздухе только инерционным коэффициентом. Дается оценка влияния жидкости на характер движения системы с дискретными и распределенными параметрами.

Рассмотрим динамику тел, находящихся в емкости (отсеке), заполненной несжимаемой жидкостью. Будем предполагать, что отсек заполнен полностью, т. е. будем пренебрегать волновыми движениями жидкости. Начнем с более простого случая - одномассовой системы, имеющей одну степень свободы (рис. 1).

Рис. 1. Одномассовая система в отсеке, заполненном несжимаемой жидкостью

Примем следующие обозначения: г(г) - абсолютное перемещение массы, - заданное перемещение основания, с - коэффициент жесткости упругой связи.

Дифференциальное уравнение движения тела в жидкости проще всего получить из выражений для кинетической Т и потенциальной П энергий и диссипативной функции Ф, используя уравнение Лагранжа второго рода

£

Л

ґ дТЛ

дд

дФ дП Л

+ + = 0,

дд дд

О)

где д - обобщенная координата.

Значение кинетической энергии можно представить в виде 2Т -Мі2 +ДМй2, или 2Т = М(м + ^)2 + ДМй2, где м(/) = г(г)->'(г) - относительное перемещение массы; М- масса тела; ДМ - присоединенная (приведенная) масса жидкости.

Потенциальная энергия П и диссипативная функция Ф имеют однотипные выражения:

211 = с и2, 2Ф = гй2.

Через г обозначен коэффициент сопротивления жидкости движению тела.

Используя уравнение Лагранжа (1) для обобщенной координаты и, получим:

(М + АМ)й + гй + си = -М у. (2)

При известных параметрах ускорения у (?) уравнение (2) позволяет определить соответствующие характеристики динамического состояния тела, находящегося в емкости с жидкостью. Коэффициент сопротивления жидкости движению тела обычно оценивается с помощью ло-

с5

гарифмического декремента колебаний дж по формуле г = ——. Частота собственных коле-

п сож

баний тела в жидкости озж при малом затухании определяется выражением

Щж М+ДМ 1+(дм)/м’

где щ = с/М - частота собственных колебаний тела в воздухе.

Приведенная масса жидкости может быть определена по формуле ДМ = мМж,

(3)

где м - коэффициент приведенной массы; Мж - масса жидкости, вытесненной телом.

С учетом (3) формуле для квадрата частоты собственных колебаний тела в жидкости можно придать вид

Если влияние границ жидкого объема несущественно, т. е. можно рассматривать колебания тела в безграничном объеме жидкости, то коэффициент присоединенной массы м = 1.

Рассмотрим теперь колебания двухмассовой системы, имеющей две степени свободы (рис. 2).

Введем обозначения: гх и г2 - абсолютные перемещения первой и второй масс; их и и2 -относительные перемещения масс; у - заданное перемещение основания; с,, и с2 - коэффициенты жесткости упругих связей; гх и г2 - коэффициенты сопротивления движению тел; М, и М2 -массы тел.

Учитывая, что их=гх-у, и2 = г2 -гх, запишем выражение для кинетической энергии системы:

2 Т = Му (¿! + у)2 + ДМХ й2 + М2 (й2 + щ+ уУ + ДМ г (“г +Щ У > где М, - масса г -го тела; ДМ1 - присоединенная масса жидкости г -го тела.

Потенциальная энергия П и диссипативная функция Ф в данном случае имеют вид

277 = с, и2 +с2и2, 2Ф = гх й2 +г2й2.

Используя уравнение Лагранжа (1) для обобщенных координат м, и и2, получим:

(М] + ДМ\ )щ +'']«!+ С] щ -г2й2- с2 и2 = -Мх у,

(М2+ДМ2)(и2+их) + г2й2+с2и2=-М2у. (5)

Если связь между массами слабая (т. е. с2 « сх), то система этих уравнений распадается на два независимых уравнения:

(Мх + ДМ\)«! +гхй1 + сх их = —М[ у,

(М2 + ДМ2 )и2 + г2й2 + с2и2 = -М2 у - (М2 + ДМ2 )йх. (6)

Следовательно, свободные колебания масс, образующих систему, будут происходить независимо одно от другого. Частоты собственных колебаний можно рассчитывать независимо:

у(г>

/////////////////////

Рис. 2. Двухмассовая система в отсеке, заполненном несжимаемой жидкостью

м& + {дм,)1м,У

(7)

Щж м,(1 + (ДМ,)/му (7)

Отсюда можно получить другое условие для разделения уравнений (5): частота собственных колебаний второй массы должна быть намного меньше частоты собственных колебаний первой, т. е. должно быть щ1ж «щж ■

Таким образом, в ряде практических случаев можно рассчитывать динамические параметры первой массы независимо от второй, а характеристики колебаний второй массы определять затем, используя в качестве воздействия на нее характеристики движения первой.

Если связь между массами жесткая (с, « с2, или щ1ж « щж ), то обе массы можно объединить в систему с одной степенью свободы, имеющую жесткость с) , массу М ~МХ + М2 и частоту

(8)

Щж

м{1 + (дм)/м) '

Уравнение колебаний такой системы имеет вид (2).

Изложенный подход можно применить и к многомассовой системе. Как следует из рассмотренных примеров, уравнения свободных колебаний твердых тел в жидкости отличаются от обычных уравнений колебаний в воздухе только инерционным коэффициентом. Поэтому уравнения свободных колебаний упругих тел в жидкости можно получать любым подходящим методом, добавляя к массе тела присоединенную массу жидкости. Это утверждение справедливо и для балочных упругих конструкций. Так, например, свободные колебания сосредоточенной массы, жестко связанной с консольной невесомой балкой (рис. 3), расположенной в жидкости, описываются уравнением

ЯF J

(М + ДМ)г +z = 0 . (9)

Рис. 3. Консольная невесомая балка с сосредоточенной массой, расположенные в жидкости

ЗЕ 3

Введем в рассмотрение приведенный коэффициент жесткости спр = ——- и перепишем уравнение (9) в следующем виде:

{М + ДМ)'г + спрг = 0.

Коэффициент спр легко определяется для различных систем методом конечных элементов.

Вынужденные колебания рассматриваемых систем при действии на основание кинематического возбуждения у{{) можно получить в относительных координатах, добавляя в правую часть уравнений силу Q = -М у:

(М + ДМ)й + спри = -М у. (10)

Рассмотрим изгибные колебания в жидкости балки с погонной массой т(х) и погонной жесткостью Ш(х) (рис. 4). Будем полагать, что известны формы /]ж (х) и частоты щж собственных колебаний балки в жидкости, так что относительные поперечные перемещения балки можно представить в виде суммы

Ограничимся учетом лишь первого тона изгибных колебаний балки. Тогда кинетическая энергия колеблющейся балки будет иметь вид

2Т = \т(х) [у + /Хж (*) Sx ]2 dx + \Дт(х)/2Ж {х) S2 dx,

о о

где Дт(х) - погонная присоединенная масса жидкости.

y(t)

2R,

EJ(x), т(х)

/ /"У 7777 / / / / /

X

/

'У7~7~7~У

Рис. 4. Упругая балка с распределенными параметрами, расположенная в жидкости

Потенциальная энергия балки будет определяться выражением

277 = \EJ{x)

d2fiжіх) с

dx2 1

dx.

Диссипативная функция равна

2Ф = з1ж Щх)

d2fiJx)

dx2 1

dx,

где з1ж -д1ж/(рщ1ж), дХж - логарифмический декремент первой формы колебаний упругой конструкции в жидкости.

Используя уравнение Лагранжа (1) для обобщенной координаты 5, (г), получим:

р (‘^1 3\ж Щ\ж Sx + Щ\ж у.

(И)

где

тпр = \[т{х) + Дт{х)]/?ж(х)(1х\

0

1

мпр = jm(x)fbll(x)dx;

Щи,

1

т

\EJ{x)

пр О

dx

dx =

1 +

щх

\flm{x)f20K{x)dx \m{x)f2M{x)dx

Щ] = I Ej(x)

d2f\*(*)

dx

dx \m{x)f20K{x)dx.

В случае упругой балки постоянного сечения

Щж

щх

■, Дт = мтэ%

(12)

1 + (Дт)/т ’ ^ ж ^ ^

где Дт - присоединенная масса жидкости; тж - масса жидкости, вытесненной балкой; т - масса балки.

Обозначим через К, радиус балки. Для круглого длинного цилиндра с 1/(2К1)>8, совершающего изгибные колебания в безграничном объеме жидкости, м-1 [1]. При 1/(27?1)< 8 значение м в зависимости от //(2^) может быть принято по экспериментальному графику, изображенному на рис. 5 [1].

Рис. 5. График значений коэффициента приведенной массы

Влияние зазора между стенками полости и балкой большого удлинения //(2^) > 8 на частоты ее собственных колебаний можно оценить при помощи зависимости коэффициента м от величины отношения радиуса емкости Л0, в которой колеблется балка, к радиусу балки по формуле [1]

1

м--

Д0/Я1-1

при (К^о/Т?! <2).

С возрастанием отношения влияние стенок полости уменьшается, а при Л0/^1 >2 ко-

эффициент ¡л = 1, т. е. частотные характеристики балки близки к тем, которые имеют место при ее колебаниях в безграничном объеме жидкости.

Рассмотрим на конкретном примере, как влияет жидкость на параметры движения внутренних элементов, находящихся в емкости. Пусть колебания тела в жидкости описываются уравнением

“+2 кй + щ*и-17Мм)*' °4)

Будем полагать, что параметры внешнего кинематического воздействия у(1) заданы в виде спектральной плотности ускорения, которая представляет собой нормальный белый шум с интенсивностью 80. Тогда решение уравнения (14) получим в виде [2]:

1

4ЬЖ (1 +ДМ/М)2 Приближенное значение дисперсии относительного ускорения

А? ~ Щж в и Учитывая, что

1

4ЬЖ (1+ ДМ/М)2'

(15)

Що

1 ДМ = мМж,

1 + ДМ/М

и принимая м = 1, из (15) находим

А, =

¿о Щц

1

(1 + мж/м)3’

где щ - собственная частота колебаний тела в воздухе.

(16)

В случае колебаний тела в воздухе (Мж = 0) дисперсия относительного ускорения тела будет определяться по формуле

дисперсия относительного ускорения тела в жидкости меньше дисперсии относительного ускорения тела в воздухе.

При увеличении Мж (т. е. при увеличении плотности жидкости или увеличении объема тела) дисперсия относительного ускорения тела снижается.

1. Ударостойкость судового энергетического оборудования /Ю.С. Крючков и др. - Л.: Судостроение, 1969. - 253 с.

2. Павлюк Ю.С., Сакулин В.Д. Аналитическая оценка вибронагруженности элементов оборудования транспортных агрегатов на этапе проектирования // Динамика и прочность конструкций: Тематич. сб. науч. трудов /Под ред. Ю.С. Павлюка. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 1999.

Аг0 ~ ¿о Щ /(4^о)>

(17)

где /г0 - параметр, характеризующий затухание колебаний тела в воздухе. В частности, для кж: = к0 из (16) и (17) следует:

(18)

При сделанных допущениях коэффициент Кж - (1 + Мж / М)3 показывает, во сколько раз

Литература

- С. 3-7.