Метод расчета гидродинамики и динамики старта подводного аппарата с учётом упругих колебаний его корпуса Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

/—-—\ (■Р1

ВО

ч___/

УДК 621.455

© В. Г Дегтярь, В. И. Пегов, В. В. Степанов, 2015 Метод расчета гидродинамики и динамики старта подводного аппарата с учётом упругих колебаний его корпуса1

Разработан метод совместного расчёта гидродинамики, динамики и упругих колебаний корпуса аппарата при старте. Представлены зависимости для определения коэффициентов инерционных, позиционных и вращательных сил, действующих на аппарат со стороны жидкости, а также совместная система дифференциальных уравнений, описывающая динамику аппарата при старте с учётом его упругих колебаний.

Ключевые слова: гидроупругость, моделирование, гидродинамические коэффициенты, динамика, упругие колебания, подводный аппарат. При постановке и решении «связанных» задач гидроупругости имеются большие сложности математического плана. Они возникают вследствие физической разнородности системы «жидкость - упругий аппарат» и отсутствия унифицированного математического аппарата для комплексного описания поведения такой системы. В связи с этим важное значение в проблеме формирования математической модели гидродинамики и динамики старта аппарата приобретает разработка способов сопряжения различных частей задачи гидроупругости, не связанных физической общностью.

В данной работе рассматривается осе-симметричный аппарат, осуществляющий подводный старт из пускового устройства цилиндрической формы. Направление движения аппарата в пусковом устройстве осуществляется с помощью упругих опор, расположенных на пусковом устройстве, и одной жёсткой опоры в хвостовой части аппарата. Для решения задачи динамики аппарата используется связанная с ним система координат 0ХУ2 и неподвижная система координат О0Х0У020. Начало связанной системы координат расположено в центре масс, а оси связанной системы координат совпадают с главными осями инерции аппарата. В начальный момент связанная и неподвижная системы координат совпадают (рис. 1).

При движении аппарата отклонение его продольной оси от оси пускового устройства невелико, линейные размеры платформы, в которой размещено пусковое устройство, значительно больше линейных размеров аппарата, поэтому платформа заменяется бесконечной плоской стенкой (рис. 2). Кольцевой зазор между аппаратом и пусковым устройством остаётся сухим. Для учёта упругих колебаний

1 ] 1 У(х,у) /—^ V

—I [\| У 1 Н 2

\1 м -V

1 —1 У м

У/Ж 1

■ 1 1

и ¡1

£

Рис. 1. Схема выхода аппарата из пускового устройства:

1 - упругое тело; 2 - твёрдое тело; 3 - платформа; 4 - упругая опора; 5 - пусковое устройство; V - угол тангажа

аппарата в жидкости необходимо принять следующие допущения [1]:

1) корпус аппарата представляется безопорной балкой;

2) формы свободных колебаний аппарата при колебаниях в воздухе и в жидкости идентичны;

3) смещения корпуса аппарата при его упругих колебаниях малы;

4) жидкость, окружающая аппарат, идеальная, несжимаемая, течение её потенциальное.

При сделанных предположениях задача

1

Работа поддержана РФФИ. Грант 14-08-00128.

п *

I-

п

V I-

я 2

о cv

< I

(1 03

5

О CÛ

Q.

<D

О ii

о

<D CQ

o>

cv cv cv

I 3

Z k

Рис. 2. Расчётная схема: 1 - поверхность аппарата; 2 - жёсткий экран;

3 - зеркальное отображение аппарата

определения гидродинамических характеристик аппарата, совершающего малые колебания при выходе его из пускового устройства движущейся под водой платформы, сводится к задаче об обтекании тела вращения, проходящего через жёсткий экран перпендикулярно его плоскости в полупространство, заполненное жидкостью.

Общий алгоритм решения гидродинамической части этой задачи аналогичен определению гидродинамических нагрузок на аппарат как на твёрдое тело [2], и в этой работе приведены только характерные отличия. Расчётная схема для решения гидродинамической части задачи представлена на рис. 2.

Представим упругий прогиб корпуса аппарата у(х, в виде функции от продольной координаты точек аппарата х и времени Принимая в качестве таких функций собственные формы колебаний аппарата, запишем выражение упругого прогиба в виде [2, 3]:

N

v(x, t) = £ р (t)f (x) ,

P(t) - перемещения точки приведения (обобщенная координата);

f (x) - нормальная функция, описывающая i-ю форму собственных колебаний; t - время;

N - количество собственных форм колебаний, учитываемых в расчёте.

Схема выхода аппарата из пускового устройства приведена на рис. 1.

В силу предположения о потенциальном характере обтекания аппарата, а также с учётом выражения (1) запишем потенциал возмущённых скоростей жидкости в виде:

( N Л

фЕ=ф1их +ф2 ц, +£ PJi (x)l cos е + V ¿=1 )

+ Ф6шг cos9, (2)

где ji - единичные потенциалы;

их, иy - проекции линейной скорости центра масс аппарата на оси связанной системы координат OX и OY соответственно;

wz - проекция угловой скорости аппарата на ось связанной системы координат OZ.

Для определения каждого единичного потенциала необходимо решить внешнюю задачу Неймана [1]

дФ,

ЛФ, = 0;

д n

= V ■ n

(3)

с учётом нулевых граничных условий на бесконечности. Граничные условия на поверхности аппарата приведены к недеформируемой поверхности и для учёта упругих колебаний имеют вид:

дФ 2(Р)

дп

(

= - х

= V2( P) • n ( P) =

N Л

s Pf (х)|-cos е. (4)

V

и , m

i=1

В выражениях (3) и (4) n - вектор нормали к поверхности тела; W - поверхность тела; хТ - координата центра масс тела; x - продольная координата рассматриваемой точки. Вектор скорости произвольной точки тела определяется зависим остью:

V (P) = Г(-ux -&zr cos 0) +

(1)

+j

-и, -

г,гЧх)+шг (х - хт )|. (5)

где у(х, ^ - суммарный прогиб корпуса упругого изделия в сечении с координатой х;

i=1

При известном потенциале можно опре-

Q

/—-—\ (■Pi

во

\___/

делить кинетическую энергию жидкости с помощью выражения:

ж О J L PlVl

2 (Q) " dn

(6)

Кинетическая энергия аппарата определяется выражением:

T =1M (u2+u2)+1 Jz +

(7)

2 ^ 2

1 N L

+ 2 Z P2 J m(x) fi2

2 i= 1 0

Суммарная кинетическая энергия аппарата, совершающего упругие колебания при плоском движении, запишется в виде:

T = Т + Тж = 2 k (M(M+ А, 22)]+ + ^26и,Юг + 2[®2 66)] +

N . г

+ И z Z P J ■■26 (x)kif (x)dx +

i=1 0

N . r

+ u„SP j kf (x)dx +

i=1 0

N L

U * S P j ^ 22 (x) Kfi (x) ^

i=1 0

1 N L

- 2 P2 j i»(x) /2 (x)dx

2 i=1 0

w w '

kt =1 (l + R" [K0 (R n i/L )/K1 (R П i/L )]j, (9)

где K0, Kx - бесселевы функции нулевого и первого порядков второго рода; R - радиус цилиндра; L - длина цилиндра; i - число узлов формы колебаний.

Для расчёта распределения давления по поверхности аппарата необходимо рассмотреть интеграл Коши - Лагранжа, который в связанной системе координат имеет вид:

д'ФЕ дФЕ дФЕ (»

+-L-u_+-Ч 2PifiW+

dt д x

N

^ '\x

i=1

д y v i=1

P_ + 1 ( T2 t,2'

P 2

+ UxZPifiix)|-cos0 + p +1 (U2 -V?)+

(10)

1 N N 1

+1 ЕЕ РР /л/М^ 22 М (*)/, М *, (8)

2 г-=1 У=1 0

где Х^ - присоединённые массы аппарата, распределённые по длине;

М - масса аппарата;

т(х) - масса аппарата, распределённая по длине;

JZ - главный момент инерции аппарата относительно оси 02;

- редукционный коэффициент, учитывающий растекание жидкости при упругих колебаниях корпуса изделия [1-3];

() - точка над переменной означает дифференцирование по времени.

Введение редукционного коэффициента позволяет значительно сократить объем вычислений при сохранении точности расчетов. В [1] приведена аналитическая формула расчёта используемых при вычислении присоединенных масс редукционных коэффициентов для кругового цилиндра, совершающего поперечные колебания:

+ g (l - x) = ^ , „ ^ „ Р

где U = q - Ve - вектор относительной скорости жидкости;

q = §гаёФ Е - абсолютная скорость жидкости, вызванная движением изделия; Ve - вектор переносной скорости; гш - давление жидкости на бесконечности; р - плотность жидкости; д'Ф z/dt - в первом члене этого выражения штрих означает, что производная берётся в связанной с аппаратом системе координат; во всех остальных случаях штрих означает производную по продольной координате аппарата.

В рассматриваемом плоском движении двойное интегрирование давления по поверхности аппарата позволяет найти главный вектор

Si 2п

N = - J J px'r cos QdQds (11)

0 0

и главный момент относительно центра масс

S, 2п

Mz = J Jr[rr' + x'(x - xT )]p cos QdQds, (12)

0 0

а также коэффициенты этой силы (главного вектора) и главного момента:

2N 2M,

С =

mz =

(13)

n

рата;

РсУл РсУл ЯМЬ

В выражениях (11) - (13) 5М=рК2;

г - радиус аппарата в текущем сечении; ¡5

R - радиус цилиндрической части аппа- Л

¡5

о cv

8 - длина образующей, вышедшей за экран части аппарата;

Ь - длина аппарата;

^а = д/и +и2у - модуль линейной скорости центра масс аппарата;

частные производные X и Г имеют следующие выражения: х' = дх/дэ и г' = дг/дя

Применяя гипотезу стационарности, найдём выражения для коэффициентов позиционных и вращательных гидродинамических сил и моментов с учётом упругих колебаний корпуса аппарата: Гд С^

г^а_

да

= ^ST )rdx +

+ -

Уа = а, = и=0 0

2Rп

S,

S

Z P J ki Ф2 f!(x) dx;

M i=1

f^yrn_

^У ~

8®

2 n 1 2 П f

У a=a: = ®=0

S,

M 0

J(uixu6T +Ф6 - r )rdx -

2 R ntpi i*i Ф6 fi(x) dx;

SM 2=1

f

с а _

д C

\ да, I _

V 1 У а_а, _ ю_0

= IT f^^ + ф'2 (x x)rdx+

+-

s

°M 0

2 R n

S

ZPf(x)fj(x)dx; (14)

M j=1 0 f

m>

д m„

\да , _n

V -/a = ai = ю=0

< i

« 03

5

О CQ

Q.

<D

О ü

ii

о

<D CQ

o>

cv cv cv

2 П

l

j(uixu2x + Ф2 )r W + (x - xr ^dx+

+ -

M 0

2 R n

S

'M i=1

ZP j kiФ2 /(x)["■' + (x - xT 1\dx;

/а = а = ю = 0

2 п

l

j(wixw6x + ф6 - r)r [rr' + {x - xT )]dx-

M 0

2 R яЛ^'-

S

Z Pi j кг Фб f!(x )[rr' + (x - XT )]dx;

M i =1 0

а, I д mz т/ =1 z

да

* У а = а; = ю=0

/

^ j (u1tU2T + Ф2 )кг!г \гг' + (Х - Хг )]dx +

'M 0

_2 п

+-

2 ^ п S.

N _ ' __.. ,

'М j=1

где w

2т'

w6t - безразмерные коэффициенты относительных скоростей по оси т. Для вычисления этих коэффициентов используется алгоритм, приведённый в [2];

a=arctg(-u/ux)- угол атаки аппарата как твёрдого тела;

аг. = arctg (- p/ их ) - дополнительный угол атаки, обусловленный упругими колебаниями; ш - безразмерная угловая скорость; P{ = PJL - безразмерное перемещение точки приведения.

При выводе совместной системы уравнений, описывающей динамику, необходимо отметить, что в силу выбора параметров, определяющих движение аппарата, кинетическая энергия зависит от его скоростей в связанной системе координат их, и^, wz и обобщенных координат P , характеризующих упругие деформации аппарата. Поэтому уравнения движения распадаются на две группы: группу уравнений Эйлера - Лагранжа для скоростей в связанной системе координат их, и^, wz и группу уравнений Лагранжа для обобщенных скоростей р.

В рассматриваемом случае плоского движения аппарата уравнения Эйлера - Лагранжа будут иметь вид:

d д T

■-ю.

д T

= Fx;

dt дих z диv

л у

d дT дT

+ -= FJ

dt ди

ди

У

(15)

d dT_ dt да.

д T д T .. + --и ^ — = Mz,

-у У дих

ди.

где Е , Еу - проекции главного вектора внешних сил, действующих на аппарат;

М2 - проекция главного момента внешних сил.

Уравнения Лагранжа записываются в

виде:

дТ

Ж дРг , ,

где V - обобщённая сила /-го тона колебаний. Потенциальная энергия аппарата в вакууме определяется выражением:

^ + ^ = V, (16)

dP дР '

U = -2

2! EI (x)

d 2v(x, t)" д x2

dx, (17)

R/R

Экспериментальное значение Расчетное значение

5

0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 3. Сравнение расчетного и экспериментального значений реакции жёсткой опоры

t/t

TT •I-

•

Перемещение аппарата как твердого тела J;

■V

«

*

■

4 ■

a

♦

•

1

у

4

*

♦

№ » ♦

ru 0

0 r

22

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 t/t

Рис. 4. Расчётное сравнение перемещений в упругой опоре с учётом и без учёта упругих колебаний аппарата

где EI(x) - изгибная жёсткость аппарата.

Совместную систему уравнений, описывающую динамику аппарата и его колебания, удобно записать в матричном виде:

Ap=Z, (18)

где A - матрица инерции;

p - вектор-столбец динамических реакций; Z - вектор-столбец внешних воздействий;

0 0 0 0 0 Г23 rd2l rd22 ••• rd2N

0 r32 r33 ri r$32 ••• r^3N

0 r d21 r 1 i 2

0 rd22 rd32 d21 d22 0............

d

1N

d

0 rd2Nrd3N dN1 dN 2

d

U X К

uy K

M'z

P = V'

P V'

Pn VN

(19)

n ¡t s

In z

V I-

<o S

0

max

0

о cv

где гп=М+Хп; г22=М+Х22; гЪ2=г2Ъ=Х26, г^З^ -члены, характеризующие инерционные харак- где ^.вн, Еу теристики аппарата как жёсткого тела;

d =

{(m(x)f (x)f, (x) + л1кк~]'к 22 (x )f (x)fj (x))dx

члены, характеризующие инерционные ха-

V =Vt + CP,

- проекции главного вектора и момента внешних сил не гидродинамической природы, действующих на аппарат; g - ускорение свободного падения; au = cos В, a12 = - sin $ - направляющие ко-

рактеристики упругого аппарата при колебани- синусь1;

УА - модуль линейной скорости центра масс

аппарата;

С j - коэффициент приведённой жёсткости.

ях;

'¿2г = | ^22 (х) Кг /г ; =- | X26 (Х)^ £ (х)с1х

0 0 - члены, характеризующие взаимное влияние

движения аппарата как твёрдого тела и его упругих колебаний;

и х, и у - проекции линейного ускорения центра масс аппарата;

сс г - проекция углового ускорения аппарата; Р - ускорение точки приведения по 1-й форме колебания.

Элементы вектор-столбца Z определяются выражениями:

К' = (М +^22 )и +^26® 2 +

+ ш.

N »

S P j Ь22 (x)Ы (x)dx - au (Mg - A) -

- 0,5CxpSMVj + F

Vy= (M + K )ox&z + 0,5C;ap SMV¡ +

N

+o,5c;pSMv] l®z/Va + 0,5^ cy apSMVA -

i=1

- au (Mg - A) + F7; Mz = 0,5 maap SMLV¡ + 0,5 mwzpSMV2AL2vJVA +

< i

и те 5

О CQ

О.

<D

О ü

Sí

о

<D CQ

o>

cv cv cv

+ 0,5^ m?afiSuLVA + и X P í^22 {x)U (x )dx +

+ al2A{xT - xA)+MB;

Расчёты, демонстрирующие применение математической модели, представлены на рис. 3 и 4. При проведении расчётов учитывались первые три формы собственных колебаний аппарата.

Результаты расчетов демонстрируют удовлетворительную сходимость при моделировании реакции жёсткой опоры, а также возможную погрешность (~18 %) в случае неучёта упругих перемещений корпуса аппарата при расчёте перемещений в упругой опоре, что может повлиять на точность действующих на аппарат оценок нагрузок и точность определения условий несоударения аппарата с элементами пускового устройства. Список литературы

1. Короткий А. И. Присоединённые массы судна: справ. Л.: Судостроение, 1986. 312 с.

2. Дегтярь В. Г, Пегов В. И. Гидродинамика ракет подводного старта ракет. М.: Машиностроение, 2009. 448 с.

3. Бишоп Р., Прайс У. Гидроупругость судов / пер. с англ. Л.: Судостроение, 1983. 282 с.

Поступила 30.07.14

Дегтярь Владимир Григорьевич - доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РАН, академик РА-РАН, генеральный директор - генеральный конструктор ОАО «Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева», г. Миасс Челябинской обл.

Область научных интересов: создание баллистических ракет подводных лодок, межконтинентальных баллистических ракет, ракетно-космических комплексов, системное проектирование, прикладная гидродинамика и аэродинамика, механика конструкций из композиционных материалов, материаловедение.

Пегов Валентин Иванович - доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник отдела фундаментальных проблем аэрокосмических технологий Челябинского научного центра УрО РАН, г. Миасс Челябинской обл. Область научных интересов: гидродинамика, газодинамика, динамика летательных аппаратов.

Степанов Владимир Викторович - ведущий математик ОАО «Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева», г. Миасс Челябинской обл.

Область научных интересов: динамика полёта летательных аппаратов, гидродинамика.