CC BY
24
УДК 532.696:534.121.1 Б01: 10.15350/17270529.2020.1.6
ДИНАМИКА СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ВИБРИРУЮЩЕЙ ПЛАСТИНЫ СО СВОБОДНЫМИ КРАЯМИ
АЛЕКСАНДРОВ В. А.
Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. На примере силиконового масла ПМС-100 исследовано поведение слоя вязкой жидкости на поверхности вибрирующей пластины со свободными краями. Обнаружено перемещение вязкой жидкости на поверхности вибрирующей пластины к участкам с пучностями изгибных колебаний с образованием отдельных капель. При высокочастотных вибрациях в каплях масла на поверхности свободных краев пластины возбуждаются капиллярные колебания, образуется струйка и возникают вихревые течения. С увеличением амплитуды изгибных колебаний пластины струйка в каплях отрывается от поверхности капли, образуя мостик жидкости. Проведен анализ наблюдаемых явлений, связанных с распределенными изгибными колебаниями пластины и капиллярными колебаниями, параметрически возбуждаемыми на поверхности капель вязкой жидкости.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: вязкая жидкость, вибрации пластин, капиллярные колебания, вихревые течения, струйки.
ВВЕДЕНИЕ
Исследованиями взаимодействия жидкости и вибрирующей стальной пластины, изгибные колебания которой возбуждаются пьезоэлектрическим преобразователем, было установлено, что при высоких частотах вибраций горизонтально установленной пластины предварительно нанесенный слой вязкой жидкости стремится занять участки поверхности пластины с пучностями изгибных колебаний [1, 2]. При этом вязкие жидкости, например, растительное и вакуумное масло или жидкое мыло, собираются на поверхности пластины в виде отдельных капель, в которых наблюдаются капиллярные волны и вихревые течения. В каплях на краях вибрирующей пластины создается течение в виде струйки, движение частиц жидкости в которой направлено в сторону внутренней части поверхности пластины. При частичном погружении вибрирующей стальной пластины в жидкость под углом при определенных условиях было замечено образование струй, исходящих от участков краев пластины с пучностями изгибных колебаний. Перемещение жидкости в пучности колебаний наблюдается также в тонких слоях жидкости в виде мыльных пленок воды [3 - 5]. В мыльных пленках воды достаточно больших размеров толщина пленки в пучностях и узлах колебаний может отличаться в сотни раз [6].
Слой жидкости на поверхности твердой подложки, в отличие от мыльных пленок воды, имеет свободную поверхность только с одной стороны и при вибрациях подложки повторяет ее движения. Вибрации слоя жидкости вместе с подложкой приводят к неустойчивости свободной поверхности жидкости и возбуждению возмущений в виде капиллярных колебаний. При этом в слое жидкости и в отдельных каплях жидкости, а также на их свободной поверхности, генерируются осредненные течения, которые при определенных условиях наблюдаются в виде струй [7]. Механизмы генерации осредненных эффектов в гидродинамических системах со свободной поверхностью и поверхностью раздела несмешивающихся жидкостей при вибрациях изучены в работе [8]. Вибрационные процессы в слое жидкости на гибкой подложке в виде пластин со свободными краями [2] становятся более интересными, так как в таких пластинах легко возбуждаются вибрации в виде изгибных колебаний с распределенной амплитудой.
В настоящей работе экспериментально исследовано поведение слоя силиконового масла ПМС-100 на поверхности вибрирующей полимерной пластины со свободными краями, возбуждаемой пьезоэлектрическим преобразователем.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Прямоугольная пластина размером 54*10*0,36 мм вырезана из прозрачного полиэтилентерефталата (PET), позволяющего наблюдать микрогидродинамические процессы в слоях и каплях жидкости на поверхности пластины при вибрациях. Источником вибраций пластины служит пьезоэлектрический преобразователь - пьезоизлучатель FML-20T-4,5A1-100, работающий на изгибных модах с рабочей частотой около 4,5 кГц. Пластина одним из коротких краев приклеена к краю дискообразного корпуса пьезоизлучателя, который участком края в диаметрально противоположной точке припаян к держателю, закрепленному на штативе струбцинами. Для возбуждения вибраций пластины на электроды пьезопреобразователя подавалось переменное напряжение амплитудой до 25 В от усилителя сигналов, вырабатываемых генератором звуковой частоты. Изображение капиллярных колебаний и течений в каплях на вибрирующей пластине выводилось на монитор компьютера с помощью микроскопа, оснащенного видеокамерой или на дисплей цифровой камеры. Для освещения капелек жидкости использовались импульсные светодиодные источники света, частота импульсов которых регулировалась электронным ключом, управляемым генератором прямоугольных импульсов.
В экспериментах на поверхность горизонтально расположенной пластины наносился слой силиконового масла толщиной не более 0,1 мм. После этого на электроды пьезоизлучателя подавалось переменное электрическое напряжение, амплитуда и частота которого контролировались двухканальным осциллографом и частотомером. Вибрации пластины возбуждались путем плавной настройки частоты сигналов генератора на собственные частоты изгибных колебаний пластины. Силиконовое масло ПМС-100 имеет
3 3
следующие краткие характеристики - плотность р = 0,966-10 кг/м , динамическая вязкость п = 96-10-3 Па с, кинематическая вязкость v = 10-4 м2/с, поверхностное натяжение о = 20,9-10-3 Н/м.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
На рис. 1 представлены фотографии пластины с нанесенным слоем масла при различных частотах вибрации. При низкочастотных вибрациях пластина совершает изгибные колебания, аналогичные консольной балке с прямоугольным сечением, а слой масла перетекает на участки поверхности пластины с пучностями изгибных колебаний и образует капли, вытянутые по всей ширине поверхности пластины. При вибрациях частотой 23 Гц и 136 Гц формы колебаний пластины соответствуют первой и второй моде изгибных колебаний консольной балки, пластина при этом является четвертьволновым резонатором одномерных изгибных колебаний.
С увеличением частоты переменного напряжения на электродах пьезоизлучателя в пластине возбуждаются вибрации в виде двумерных изгибных колебаний. При вибрациях пластины частотой 686 Гц масло скапливается на отдельных участках поверхности, симметрично расположенных на противоположных краях пластины. Капли масла при этом вытянуты вдоль краев пластины.
При возбуждении вибраций пластины частотой 4,2 кГц, близкой к резонансной рабочей частоте пьезоизлучателя (4,5 кГц), капли масла образуются в центре и на краях поверхности пластины и занимают участки, периодически расположенные на поверхности пластины. Капли в центре поверхности пластины имеют форму, близкую к форме сфероидального и шарового сегмента, форма капель на краях поверхности пластины является несимметричной. На поверхности капель масла вблизи торцевого края пластины наблюдаются струйки с течением, направленным в сторону внутренней части поверхности пластины.
0 Гц
23 Гц
136 Гц
686 Гц
4,2 кГц
Рис. 1. Масло ПМС-100 на поверхности PET пластины при различных частотах вибраций
Нанесение более толстого слоя масла ~ 0,2 мм и возбуждение вибраций пластины частотой 4,2 кГц приводит к получению практически симметричной картины распределения капель масла на поверхности вибрирующей пластины (рис. 2). С увеличением амплитуды вибраций в отдельных каплях возбуждаются капиллярные колебания и образуются струйки, поверхность которых деформируется капиллярными колебаниями. Также заметно, что расстояния между каплями в центре пластины вдоль ее оси немного отличаются.
Рис. 2. Масло ПМС-100 на поверхности PET пластины, вибрирующей частотой 4,2 кГц
Микрогидродинамические процессы в каплях масла на поверхности пластины вблизи ее торца исследовались с использованием микроскопа и макрообъектива, полученные изображения показаны на рис. 3.
На изображении капелек масла, засеянных трассерными частицами люминофора, видно, что струйки в каплях на торцевом и боковых краях вибрирующей пластины являются возвратными и создают вихревые течения в объеме самих капелек (рис. 3, а). С помощью трассерных частиц выявляются также медленные вихревые течения на поверхности капли сфероидальной формы в центре поверхности вибрирующей пластины. На поверхности этой капли отдельные частицы люминофора движутся по эллиптическим траекториям, визуализируя вихревые течения, другие частицы собираются в кластеры, вращающиеся в центре двух вихревых течений.
Исследования капель масла с возвратными струйками при стробоскопическом освещении показали, что на участках поверхности капелек со стороны края пластины образуются капиллярные колебания с распределенной амплитудой, максимум которой приходится на центр капли, откуда исходит струя (рис. 3, б). С увеличением амплитуды вибраций пластины струя в капле отрывается от ее поверхности и возвращается в каплю с противоположной стороны. При этом струя удерживается пленкой масла, образующейся между поверхностью капли и струей (рис. 3, в). В некоторых режимах импульсного высокочастотного освещения заметно, что пленка масла, так же как и поверхность струи, деформируется капиллярными колебаниями. Стробоскопический эффект выявляет также изгибные колебания краев пластины с амплитудой ~ 0,1 мм в пучности непосредственно под каплями. Колебания пластины в центре торцевого края и участков боковых краев пластины под каплями, изображенными на рис. 3, происходят в противофазе.
а) в)
Рис. 3. Вихревые течения в каплях масла в центре и на краях вибрирующей пластины (а), капиллярные волны и струйки в каплях на краях пластины (б), струйка и пленка жидкости над поверхностью капли на торцевом краю пластины (в)
В части экспериментов после нанесения слоя масла на участке поверхности пластины вблизи торцевого края с возбуждением вибраций пластины образовывались три капли со струйками по краям поверхности пластины и одна капля в центре поверхности, по форме к близкая шаровому сегменту (рис. 4). Продолжительные вибрации пластины в течение более 1 мин с амплитудой напряжения 25 В на электродах пьезоизлучателя приводят к периодическим выбросам части жидкости из объема капель со струйками. Такое поведение капель, по-видимому, вызвано биениями.
Импульсное освещение капелек масла частотой, равной частоте вибраций пластины, позволяет наблюдать также радиально-азимутальные капиллярные колебания на поверхности капли в форме шарового сегмента. Эти двумерные капиллярные колебания создают на поверхности капли вихревые течения. В капле в виде шарового сегмента наблюдается также явление перемещения микроскопических пузырьков воздуха к центру капли. Со временем микропузырьки сливаются и образуют в центре капли достаточно крупный пузырь, на поверхности которой возбуждаются капиллярные колебания в виде
стоячих волн, длина которых в 3^4 раза больше расстояния между пучностями капиллярных колебаний, возбуждаемых на поверхности капель на краях пластины. Явление образования пузырей в капле на поверхности вибрирующей пластины относится к гидродинамической кавитации. На центр капли приходится пучность изгибных колебаний пластины и в этом месте капли давление меньше из-за большей скорости колебательного движения частиц жидкости, вследствие этого микропузырьки увлекаются к центру капли внутренними течениями.
Рис. 4. Развитие пузырька воздуха в капле масла в центре вибрирующей пластины и капли масла с капиллярными волнами и струйкой на краях поверхности пластины
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Вибрации консольной пластины
Вибрации пластины частотой 23 Гц и 136 Гц на рис. 1 представляют одномерные изгибные колебания консольной балки. Уравнение одномерных колебаний пластины со свободным торцевым краем можно записать в виде
^ = s0 sin kbx cosct, (1)
где s - нормальное смещение точек поверхности пластины, - амплитуда смещения в пучности колебаний, k¿ = с/cb - модуль волнового вектора изгибной волны в направлении вдоль оси пластины, c - частота вибраций пластины, сь - скорость изгибной волны, x - координата точки поверхности пластины вдоль оси пластины. Скорость сь изгибной волны в пластине определяется дисперсионным соотношением
с, = ^Eh2p!/12Ppl(1 -¡2)-4С , (2)
где E - модуль Юнга, hpl - толщина пластины, pp¡ - плотность материала пластины,
Л - коэффициент Пуассона. Вибрации пластины со свободными краями соответствуют условию возбуждения в пластине стоячих изгибных волн, при котором на длине L пластины укладывается целое число m = 1, 2,... четвертей длин изгибных волн Ль:
L = (2m -\)\/4 . (3)
Дисперсионное соотношение для скорости изгибных волн может быть представлено также в виде выражения
PpCb =
Ehpi/12 (1 -Л2)] k2. (4)
Так как k¿ = 2ж/¿ъ , выражение (4) может быть представлено также через длину волны
pplc2b = 4ж2Eh2plj 12(l-Ц¿ . (5)
Плотности кинетической и потенциальной энергии в одномерной волне определяются через производные смещения по времени и координате: wk =(l/2 )p^( ds/dt )2 и
w = (l/2)p ,c\ (ds¡dx)2. Дифференцируя уравнение (1) по времени и координате получаем выражение для плотности энергии в виде
w = wk + wp = (l/2)pplc2bklsi (sin2 kbxsin2 at + cos2 kbxcos2 at) . (6)
Из этого выражения можно сделать вывод, что в стоячей изгибной волне в пластине максимумы плотности кинетической энергии приходятся на пучности колебаний, а максимумы плотности потенциальной энергии - на узлы колебаний. В моменты времени периода изгибных колебаний с максимальной скоростью смещения энергия в пластине представляет кинетическую энергию. Энергия W^ вибраций части пластины, шириной a и
длиной, равной длине изгибной волны Al = ¿b, равна удвоенной энергии, сосредоточенной между соседними узлами колебаний
V 2
W¿b = ahpiPpflkbs0 jsin2 kbxdx = (ahpA¡4)ppic¡kbso2. (7)
WK = (kbs2/4yhcl = (ж2So2/¿2. (8)
Так как масса этой части пластины равна m¿ = ahp¡¿,ppl, выражение энергии можно записать в виде
W s0 I 4)mÁb cb = (ж s0 / ¿b )mÁb cb .
В этом выражении коэффициент (k2si/4) является безразмерным и энергия вибраций
элемента пластины, совершающей изгибные колебания, оказывается пропорциональной массе этого элемента пластины и квадрату скорости изгибной волны
W¿b ~ m¿b c¡. (9)
Произведение квадратов модуля волнового вектора и амплитуды смещения в вибрирующей пластине равно отношению квадратов амплитуды скорости смещения в пучности колебаний и скорости изгибной волны k2sI =a2sЦc2Ъ = v\/cI , поэтому выражение для энергии вибраций элемента пластины может быть записано в простой форме
W¿ =(14) m¿ v2 =(14) m¿ a 2s2 . (10)
Выражение для плотности энергии может быть представлено также в виде
w = (l/4)pp! cl k2 s 2 (l + cos 2kbx cos 2at), (11)
которое показывает на то, что в пучностях и узлах колебаний пластины энергия осциллирует с удвоенной частотой колебаний самой пластины от нулевого значения до значения, равного w = (1/2) pplc^k^sl =(1/2) pp¡a2si. На участках пластины, приходящихся на середину между узлами и пучностями колебаний или на расстоянии Ax = ¿bl8 от узлов и от пучностей колебаний, плотность энергии равна w = (l/4)p ,clklsi = (\¡4) ppla2sl. Таким образом,
энергия в стоячей волне ведет себя подобно жидкости и периодически перетекает из пучностей в узлы колебаний и наоборот. Плотность потока энергии в пучностях и узлах стоячей волны равна нулю, так как стоячие волны представляют собой суперпозицию двух бегущих навстречу друг к другу волн и энергия от этих участков переносится волнами в противоположных направлениях.
Плотности кинетической и потенциальной энергии в вибрирующей пластине зависят от координаты, их средние значения за период колебаний можно записать в виде
wk = (l/4ppic2k¡so2 sin2 kbX и (12)
^р = (l/4kiC2k¡s0 cos2 kbx . (13)
Производные по координате от средних значений плотностей кинетической и потенциальной энергии в пластине запишутся в виде выражений
5wjдx = (1/4)ррС2k¡s¡kb sin2k,x и (14)
5 Wp/ д x = -(l/4)PpC2 kb so2 kb sin 2k,x. (15)
Производные (14) и (15) по модулю равны друг другу и их величина является максимальной на участках вибрирующей пластины, приходящихся на середину между узлом и пучностью колебаний. Физический же смысл этих производных является различным. Модуль вектора Умова в вибрирующей пластине можно представить выражением
S = Wkcb + Wpcb . (16) Плотность импульса в направлении переноса энергии при этом составит
Ps =(l/Cb ÍWk + Wp ). (17) Запишем выражение для производной от плотности потока импульса
dPs /dt = (1 сь )(dW ¡дк + dwp ¡dx)dx¡dt. (18)
В этом выражении dx/dt = сь - скорость переноса энергии вдоль оси пластины, равная скорости изгибной волны. Тогда
dPs/dt = dwk ¡dx + dwp ¡dx . (19)
Плотность импульса в пластине можно обозначить как Ps = рр1 u, а ее производную
через плотность материала пластины и ускорение dPs /dt = рр1 du/dt. Так как в
вибрирующей пластине движения частей пластины в продольном направлении не существует, то должно выполняться условие
dw¡dx = —dwp/dx . (20)
Ускорение в пластине, вызванное градиентом плотности кинетической энергии, представляет собой инерционное ускорение вдоль оси вибрирующей пластины
dujdt =(1 ppl)(дWJдx) i (21)
и пропорционально произведению частоты вибраций и скорости изгибной волны
dux ¡dt = (l/4)(v2 /с2 ]ась sin 2kbx . (22)
Производная плотности потенциальной энергии связана с напряжениями в пластине или, по-другому, с градиентами давления, развиваемыми вибрациями
gradp = (дWp/дx) i (23) При этом выполняется условие gradp = — (д WK/д x) i, которое можно записать также в
виде
gradp = -ppl dux/dt. (24)
Величина градиента давления в вибрирующей пластине может быть представлена в
виде
gradp = -(ж/2Áb )pplv2 sin 2kbx . (25)
Напряжениям в вибрирующей пластине, равным градиентам давления, можно сопоставить напряжения, создаваемые эффективными вибрационными продольными удельными силами fv , равными произведению напряжения на участке пластины и ее поперечного сечения
fv =-(ahpl Хж/Áb )(pplv0/2)sin2kbx. (26)
Удельная сила в вибрирующей пластине имеет размерность силы, деленную на длину или силы на единицу длины (Н/м). Полную эффективную силу в вибрирующей пластине
можно найти интегрированием удельной силы по длине пластины от узла до пучности колебаний
Fv =-Рр1аИр1уЦ4. (27)
Заметим, что выражения для эффективных вибрационных сил получены из осредненных плотностей энергии в вибрирующей пластине. Без осреднения эти силы являются пульсирующими с удвоенной частотой вибраций пластины и направлены в сторону узлов колебаний
fv =-(ahpi XppiV02/2)sin2£bx(l + cos2ct), (28)
Fv = -(ppiahpi v2 /4)(l + cos 2ct). (29)
Полную эффективную продольную силу в вибрирующей пластине можно выразить через массу части пластины, длина которой равна четверти длины изгибной волны:
Fv =-(mV4v0/4 )(l + cos2ct). (30)
Слой жидкости на поверхности вибрирующей пластины
Слой жидкости в контакте с твердотельной пластиной имеет пограничный адгезионный слой и свободную поверхность. Растекание жидкости по поверхности пластины слоем равномерной толщины связано с тем, что поверхностное натяжение жидкости меньше удельной энергии адгезии.
При вибрациях пластины со слоем жидкости ее частицы получают импульс и кинетическую энергию, пропорциональные, соответственно, скорости и квадрату скорости участков поверхности пластины через пограничный слой. Скорость vz колебательного движения поверхности вибрирующей пластины равна производной смещения
v = ds¡dt = -v0 sin kbx sin cot. (31)
Мгновенные плотности импульса P¡ и кинетической энергии wkl частиц жидкости плотностью р1, совершающие колебания вместе с участками вибрирующей пластины, можно записать в виде
P¡ = p¡ v sin kbx sin cot и (32)
wM = (l2)Piv0 sin° kbxsin°ct. (33)
Осредненную плотность кинетической энергии частиц жидкости на поверхности вибрирующей пластины можно представить в виде
Wu =(l/4)pv2sin2 кьх . (34)
Как видно из этих выражений, плотности импульса и кинетической энергии частиц слоя жидкости на поверхности вибрирующей пластины зависят от координаты. Их максимумы приходятся на пучности колебаний пластины с координатами x = (2m — \)\¡4 .
Картина распределения капель масла на рис. 1 на поверхности пластины, вибрирующей частотой 23 Гц и 136 Гц показывает, что капли масла находятся на участках поверхности пластины с пучностями изгибных колебаний и максимумами плотности кинетической энергии слоя жидкости.
Перемещение слоя жидкости можно объяснить следующим. Вибрирующая пластина придает колебательное движение слою жидкости в нормальном направлении к поверхности. Согласно закону Бернулли давление в движущейся жидкости меньше давления в неподвижной жидкости на величину гидродинамического давления p , равного по
величине плотности кинетической энергии. Величина гидродинамического давления в слое жидкости на поверхности вибрирующей пластины является максимальной в участках слоя, приходящихся на пучность колебаний пластины. При этом в слое жидкости имеются градиенты гидродинамического давления, определяемые производной плотности кинетической энергии по координате:
gradpgd = dwfri ¡dx . (35)
Из выражения плотности кинетической энергии находим производную
dw^ildx = (l/4)Pv2kb sin 2V . (36)
Эту производную можно записать в виде выражения
dwjdx = (l/4)A (vlld)®cb sin 2kbX, (37)
из которого видно, что она имеет максимум в слое жидкости на участках поверхности пластины в центре между узлами и пучностями изгибных колебаний. Ускорение в слое жидкости dux/dt = (l/р;) gradp d, связанное с градиентом гидродинамического давления и
направленное вдоль поверхности пластины в сторону пучностей колебаний, пропорционально произведению частоты вибраций пластины и скорости изгибной волны, так как отношение квадратов скорости смещения и скорости изгибной волны является безразмерным:
dujdt = (1 р)dwkl¡dx = (l/4)(v07c2С sin2kbX. (38)
На слой жидкости толщиной Ah на поверхности вибрирующей пластины, ограниченной площадью AS = aAx, таким образом, должна действовать сила, равная произведению массы объема этой жидкости и ускорения:
f = p1ShaAx(dux¡dt ) = pAhaAx(l/4)(v0/ c0)ccb sin0kfex. (39)
Если выбрать участок слоя жидкости, ограниченный узлом и пучностью колебаний пластины, силу, действующую на этот участок слоя жидкости, можно определить из выражения
4/4
F = (l/4)pAha(v0/c2 )ccb Jsrn2kbxdx . (40)
0
А/ 4
Так как J sin Okbxdx = l/kb , продольная сила, действующая на этот слой жидкости равна 0
F = (l/s4p AhaAb (v0/c°° )®cb = (l/4)p AhavO . (41)
Эта сила направлена вдоль оси пластины нормально к поперечному сечению слоя жидкости и на рассматриваемом участке Ax = Al4 должна создавать разность давления величиной
Ap = F¡ Aha = (l/4)p v0 . (42)
Полученное выражение для разности давлений в слое жидкости на участках поверхности вибрирующей пластины с пучностью и узлом колебаний по величине равно разности плотности кинетической энергии жидкости в среднем на этих участках поверхности пластины
Ap = AWki. (43)
В вязкой жидкости вследствие явления переноса импульса слой жидкости с большей скоростью тормозится с ускорением, пропорциональным кинематической вязкости
dvz /dt = v d0vz /dx0 = vk°vo sin kbx sin cot. (44)
При этом плотность импульса, теряемого вследствие вязкости, составляет
AP = -pl8v0 sin kbx cos cot, (45)
где 8 = vkl¡c .
Плотность wv потерь энергии в вязкой жидкости на поверхности вибрирующей пластины можно найти из выражения
W = (AP)2/0p = (р/0)82v0 sin0 kxcos0 cot. (46)
Величина этой плотности энергии в среднем за период колебаний пластины составляет
* = Р/4)^2У0в1п2 къх. (47)
Чтобы определиться с коэффициентом вязких потерь ё2 < 1, его следует представить в
виде
ё2 =у2 с2/с4 . (48)
Из дисперсионного уравнения для изгибных волн в пластине следует, что
с2/с4 = рр1 к/Б, где Б = Ек3/12(1 — ) - изгибная жесткость пластины [9]. Тогда
определяемый коэффициент можно выразить через физические свойства жидкости и пластины:
ё2 =У2рр1к/Б. (49)
Этот коэффициент также можно выразить через частоту с и длину изгибной волны Ль в пластине, которые можно определить из эксперимента: ё2 = 16ж4^2/с2Л4ь .
Плотность энергии в вязкой жидкости, теряемая при вибрациях с распределенной амплитудой, зависит от координаты. В связи с этим, частицы в слое жидкости с меньшей скоростью вибраций получат движение в сторону областей слоя с большей скоростью вибраций. В случае слоя жидкости на поверхности вибрирующей пластины это движение частиц жидкости будет направлено в сторону части слоя жидкости с максимальной плотностью энергии, то есть к участкам слоя, приходящимся на пучности изгибных колебаний пластины. При этом ускорение слоя жидкости вдоль поверхности вибрирующей пластины вследствие переноса импульса, связанного с вязкостью жидкости, составит
йпхУ1Ж = (1 р)8^у/дх = (1/4)ё2(у2/с62С ^п2кьх . (50)
Максимум этого ускорения, равный
дыХУ1& = (1/4)ё2 (у02/с62 К, (51)
приходится на участки пластины в центре между узлами и пучностями колебаний.
Так как из эксперимента известна частота вибраций пластины и возможно определение амплитуды вибраций и длины волны, выражение для ускорения лучше представить через эти величины
Л = (1/4Х1*0 )2 к5 = 8(т*0 )2 (ж!\ )5. (52)
В целом, плотность кинетической энергии в среднем частиц жидкости в слое вязкой жидкости на поверхности вибрирующей пластины равна
*» =(Р/4Х1 -ё2 )у0в1п2 кьх. (53)
В экспериментах с вибрациями пластины со слоем масла при частотах 23 Гц и 136 Гц
длина изгибной волны, соответственно, равна 216 мм и 72 мм. Тогда коэффициент ё2 для этих случаев составляет 0,0034 и 0,0079, что намного меньше единицы. Поэтому для низких частот вибраций вязкие потери энергии в слое жидкости можно не учитывать.
Перемещение слоя жидкости на поверхности вибрирующей пластины можно также объяснить как следствие переноса энергии и импульса изгибными волнами в пределах пучности и узла колебаний. Плотность потока кинетической энергии в слое жидкости равна модулю вектора Умова
^ = (* -*Х . (54)
Соответствующая этому потоку плотность импульса равна Р = (1/ с6 Х*и — *).
Отсюда ускорение в слое жидкости на поверхности вибрирующей пластины равно
йих/<Н = —(1/р )(д*ы/8х — 8*У18х) 1. (55)
Из выше приведенных рассуждений следует, что плотности кинетической и потенциальной энергии частиц вязкой жидкости на поверхности вибрирующей пластины по величине должны быть одинаковыми. Плотность потенциальной энергии в объеме слоя жидкости на поверхности вибрирующей пластины равна давлению, поэтому при одномерных изгибных колебаниях справедливо равенство
Дp = *ы = (р/4)(1 — ё2)у2 вш2 кbx{\ — ео82сг). (56)
С другой стороны, давление в жидкости со свободной искривленной поверхностью пропорционально поверхностному натяжению а - удельной энергии поверхности и кривизне K поверхности
Др = а(Кх + Ky ), (57)
где Кх = VЯ и X = уЯу , а Ях и Яу - радиусы кривизны во взаимно поперечных сечениях
слоя жидкости. При достаточно больших амплитудах вибраций формы образовавшихся капелек масла указывают на то, что радиусы кривизны их поверхности во взаимно поперечных сечениях практически одинаковы и поэтому Др = 2оК . Приравнивая давления, получим следующее выражение для кривизны в среднем поверхности образовавшейся капли
К = (р/ 8а% — ё2 ^т2 къх. (58)
Это выражение показывает, что свободная поверхность слоя жидкости на пластине с возбуждением ее вибраций приобретает кривизну, величина которой пропорциональна квадрату амплитуды скорости в пучности колебаний пластины (рис. 5, а). С увеличением амплитуды вибраций пластины амплитуда скорости частиц в слое жидкости и кривизна свободной поверхности этого слоя возрастают и, вследствие сохранения объема слоя жидкости, вся жидкость перемещается к участкам поверхности пластины с пучностями колебаний (рис. 5, б). При этом кривизна поверхности капли стремится к максимуму так, что выполняется условие
К = (р/8а)(1 — ё2 )у2 . (59)
Из геометрических построений (рис. 5, в) можно также выразить толщину слоя жидкости под искривленной поверхностью капли на поверхности пластины
к = Я — лIЯ2 — а2/4 » а2К/8 = (ра2/64а)(1 — ё2)у2 . (60)
Таким образом, толщина слоя капли, образовавшейся на поверхности вибрирующей пластины в результате скапливания слоя вязкой жидкости в пучностях колебаний пластины, оказывается прямо пропорциональной плотности кинетической энергии частиц жидкости в пучности колебаний пластины.
Рис. 5. Изменение толщины слоя жидкости на поверхности консольной пластины, совершающей одномерные изгибные колебания
Высокочастотные вибрации пластины со свободными краями представляют двумерные изгибные колебания, так как изгибные волны в пластине возбуждаются и в поперечном направлении к продольной оси пластины. В экспериментальном устройстве пьезоизлучатель с дискообразным корпусом закреплен к держателю диаметрально противоположным к пластине участком края корпуса. Ширина а пластины примерно в 5 раз меньше ее длины Ь . В общем случае, вибрации пластины могут представлять стоячие изгибные волны разной
длины в продольном и поперечном направлениях и волновые числа изгибных волн вдоль длины и ширины пластины могут отличаться: kbx ^ kb .
Картина распределения капель масла на поверхности пластины, вибрирующей частотой 628 Гц (рис. 2), соответствует колебаниям пластины, выражение которых можно записать в виде
^ = s0 cos kbxx cos kb y cos cot. (61)
Это уравнение описывает изгибные колебания пластины в плоскости ее оси, пространственно модулированные изгибными колебаниями в плоскости, поперечной оси пластины. Плотность кинетической энергии частиц жидкости на поверхности вибрирующей пластины пропорциональна квадрату скорости вибраций пластины и изменяется по закону
wu = (l/0)PC2s0 cos0 kbxx cos0 kbyy sin0 ct . (62)
При этом плотность кинетической энергии в среднем частиц в слое жидкости с учетом вязкости запишется в виде
Wk =(V4)Pi(l-82)v0 cos0 kbxxcos0 kbyy. (63)
Распределение капелек масла на поверхности пластины указывает на то, что вибрации пластины представляют случай распределенных изгибных колебаний, когда в пластине возбуждаются одновременно взаимно поперечные изгибные волны длиной Abx= L и длиной
A = 0a. Выражение для осредненной плотности кинетической энергии частиц жидкости на поверхности пластины можно переписать в виде
W = (l/4)p(l - 80 )v0 cos0 (ny/a)cos2 (0nx/L). (64)
Максимумы этого выражения приходятся на участки поверхности на краях пластины с координатами xy: (0,0), (0,a), (L/2,0), (L/2,a), (L,0) и (L,a).
В эксперименте капли масла находятся только на участках пластины с координатами (L/2,0), (L/2,a), (L,0) и (L,a), так как слой масла вблизи корпуса пьезоизлучателя отсутствовал из-за его перетекания в предыдущих экспериментах с возбуждением консольных колебаний пластины. Можно заметить, что капли масла имеют форму, вытянутую вдоль длинных краев пластины. Это можно объяснить тем, что радиусы кривизны их поверхности в поперечном и продольном сечениях различные из-за разной длины волн в пластине в продольном и поперечном направлениях к оси пластины: \x¡Aby = L/0a = 0,7 .
Вибрации пластины вместе с жидкостью частотой 4,2 кГц (рис. 1 и 2) представляют случай возбуждения в пластине изгибных волн одинаковой длины в продольном и поперечном направлениях. Вибрации пластины при этом могут быть записаны выражением
s = (l/0)s0 (cos kbx + cos kby)cos at. (65)
Если вибрации пластины соответствуют условию возбуждения одновременно в продольном и поперечном направлении изгибных волн одинаковой длины, равной ширине пластины A = a, то на углах свободных краев консольной пластины могут образоваться узлы двумерных колебаний. Поперечные координаты углов пластины задаются значениями y = 0 и y = a, соответственно, в них cos kby = l. Тогда в этих углах должно выполняться
условие cos kbx = -l, которое возможно при L = (2n + l)a/0.
Выражение для плотности кинетической энергии, сообщаемой частицам жидкости на поверхности пластины, вибрирующей в соответствии с вышеуказанным выражением, запишется в виде
W = (l/4)P;®2s0(coskbx + coskby)0 sin0 at. (66)
Плотность кинетической энергии в среднем в слое жидкости с учетом ее вязкости составит
wk = (l/8)p(l - 82 (cos kbx+cos hy)0. (67)
На рис. 6 представлены трехмерные поверхности тригонометрических функций вблизи их максимумов, которыми описываются зависимости плотности кинетической энергии в среднем для рассмотренных случаев. Картина поверхностей является аналогичной экспериментально наблюдаемой картине распределения капель масла на поверхности пластины, вибрирующей на разных частотах, что еще раз указывает на зависимость толщины капель от плотности кинетической энергии, передаваемой слою жидкости вибрирующей пластиной.
s = s0 sin кьх cos cot m = 1
s = s0 sin kbx cos cot m = 2
s - s0 cos khxx cos кь у cos cot
s = (1/2(cos kbx + cos A:A#y)cos at
Рис. 6. Распределение максимумов 3-мерных тригонометрических функций, описывающих плотности кинетической энергии в вибрирующей пластине со свободными краями при различных формах изгибных колебаний
Таким образом, экспериментально наблюдаемое явление скапливания жидкости на поверхности вибрирующей пластины на участках, приходящихся на пучности изгибных колебаний пластины, объясняется явлениями переноса энергии и импульса в слое жидкости.
Внутренние течения и пузырьки в полусферических каплях на поверхности вибрирующей пластины
Капли масла в виде шарового сегмента на поверхности пластины, вибрирующей частотой 4,2 кГц, как видно на рис. 4, имеют диаметр основания, равный половине ширины пластины d = а/2, что составляет около 5 мм. Капля при этом оказывается в центре пересечений взаимно поперечных изгибных волн одинаковой длины, в результате интерференции которых амплитуда колебаний поверхности пластины в центре капли достигает 0,1 мм. Максимальные значения скорости и ускорения вибраций в пучности колебаний пластины непосредственно под каплей на частоте 4,2 кГц составляют, соответственно, 2,6 м/c и 69,6-103 м/c2. В это же время на краях капли эти значения скорости и ускорения в два раза меньше. Очевидно, при этом в капле с радиусом основания 2,5 мм возникают градиенты скорости и инерционного давления, которые приводят к образованию в капле внутренних течений и кавитационных процессов. На центр капли приходится пучность колебаний пластины и гидродинамическое давление в среднем в центре капли больше по сравнению с этим же давлением на краях пластины. В результате из-за градиента гидродинамического давления, равного производной плотности кинетической энергии по координате вдоль поверхности пластины, в капле создаются потоки, направленные вдоль пограничного слоя к ее центру. Коэффициент вязких потерь для масла ПМС-100 на поверхности пластины, вибрирующей частотой 4,2 кГц с возбуждением волн длиной, равной
ширине пластины 10 мм, составляет 82 = 0,22 и вязкие потери энергии становятся существенными.
Толщина капли в ее центре сравнима с толщиной пластины, и в каждом периоде колебаний в один из полупериодов колебаний поверхность пластины движется в сторону капли, во второй полупериод - в сторону от капли. При этом пластина совершает работу и против инерционных сил капли, которые пропорциональны ускорению
d2sjdt2 = -(l/2)av0(coskbx + coskfey)cosat. (68)
Инерционное давление капли на поверхность пластины и, соответственно, в самой капле равно
Р = -p h (l/2)av0 (cos kbx + cos kfey) cos at, (69)
где h - толщина слоя жидкости в капле. Из полученного уравнения следует, что в
определенные моменты времени периода колебаний пластины с каплей на поверхности, инерционное давление оказывается отрицательным. Амплитуда этого давления достигает 20 Па, что может привести к образованию микропузырьков и их росту вблизи адгезионного слоя в капле масла на поверхности вибрирующей пластины.
Перемещение микропузырьков воздуха к центру капли можно объяснить их увлечением жидкостью внутри капли, движущейся к центру капли вследствие вязкости самой жидкости и неравномерности распределения скорости, передаваемой частицам жидкости вибрирующей пластиной. Слои жидкости в поперечных сечениях капли в перифериях капли имеют меньшую скорость по сравнению со слоем напротив пучности колебаний пластины и вследствие вязкости получают ускорение в направлении к центру капли.
Из формы колебаний пластины в то же время можно показать, что градиенты давления в слое жидкости вдоль поверхности вибрирующей пластины, определяемые производными от плотности кинетической энергии по координатам в пределах длины изгибной волны, равной ширине а пластины, имеют максимумы на участках, отстоящих от узлов колебаний на расстояниях, равных а/6 и а/3. Между тем образовавшиеся капли занимают участки пластины, ограниченные в интервале от а/ 4 до (3/4)а. Если амплитуда колебаний пластины в пучностях равна s0, то на указанных участках она равна (l/2)s0. Отсюда следует, что вся
капля масла вместе с участком вибрирующей пластины участвует в колебательном движении, описываемое уравнением
s = (l/2)s0 (cos kbx + cos kfey)cos at, (70)
где координаты x и y находятся в интервале от а/4 до (3/4)а. Как можно заметить, в указанных участках пластины находятся узлы колебаний в каждом из взаимно поперечных направлений.
Плотность импульса, передаваемой пластиной частицам жидкости в капле равна
Pi =(a/2)vo(coskbx + coskfey)sinat. (71)
При этом слои жидкости в поперечных сечениях капли из-за вязкости получают ускорения, равные
dvz/dt = v(d2vz/йх2 +d2vz/Sy2) =-(l/2)v42v0(coskbx + cosk&y)sinat. (72)
Отсюда можно получить выражение для вязких потерь плотности импульса в виде
AP = -pj (dvz /dt) = -(p; /2)8v0 (cos ^ x + cos k6 y)cos at. (73)
Плотность wv потерь энергии в вязкой жидкости на поверхности вибрирующей пластины можно найти из выражения
W = (AP)2/2p = (p/8)£2v2(coskbx + coskby)2 cos2 at. (74)
Величина этой плотности энергии в среднем за период колебаний пластины составляет
Wv =(pj 16)S2v2^ (cos kbx + cos kby )2. (75)
Вследствие зависимости плотности энергии вязких потерь от координат в объеме капли жидкость приобретает движение вдоль поверхности пластины с ускорением, равным
du/dt = -(V p lidwjdxy + (dwjdy)j]. (76)
Вязкие потери плотности энергии в капле в ее поперечном сечении, перпендикулярном оси пластины, имеют выражение
wv = (p/ 16)^2v2 (cos kby -1)2. (77)
Ускорение частиц жидкости, направленное в сторону центра капли, выражается через производную плотности энергии вязких потерь от координаты
duy/dt = (l/16)^2v2К (sin 2kby - 2sin kby). (78)
В центре капли это ускорение равно нулю, т.к. k6 = 2ж/а и y = а/2 . Координаты краев капли составляют y = а/4 и y = 3а/4, модуль продольного ускорения частиц жидкости на краях капли, направленного в сторону центра капли вследствие вязкости жидкости, равен
|du,/df| = (nj 4а)3\1. (79)
Исходя из частоты вибраций 4,2 кГц и амплитуды в пучности колебаний 0,1 мм, численное значение ускорения на краях капли должно составить 120 м/с . Из-за этого на краях капли, смачивающей поверхность пластины, остается лишь тонкий слой жидкости.
Вследствие наличия продольных ускорений в капле, вибрирующей вместе с участком поверхности пластины, жидкость в капле движется к центру капли, увлекая за собой микрочастицы воздуха. Со временем микропузырьки воздуха сливаются и образуют более крупный пузырь. При достижении определенных размеров полость пузыря начинает проявлять резонансные свойства и на поверхности пузыря возбуждаются капиллярные колебания в виде стоячих волн.
В зависимости от амплитуды вибраций пластины капли в центре ее поверхности имеют форму эллипсоидального и шарового сегмента. Радиусы R кривизны поверхности в каплях симметричной формы в продольном и поперечном сечениях являются одинаковыми. Толщина слоя жидкости под вершиной капли может быть определена из диаметра основания капли и кривизны ее поверхности
h = d2 К/ 8. (80)
В соответствии с изображениями капелек их диаметр основания составляет половину ширины пластины d = а/2, а кривизна их поверхности в вершине, пропорциональная плотности кинетической энергии в среднем, равна
К = (pi/4<jfl -82)v2. (81)
Как было показано, плотность кинетической энергии жидкости, сообщаемой пластиной, является пульсирующей с удвоенной частотой вибраций пластины. В связи с этим, давление в образовавшихся каплях на поверхности пластины также изменяется с удвоенной частотой колебаний пластины. При достаточно больших частотах и амплитудах вибраций пластины это может привести к пороговому параметрическому возбуждению капиллярных волн на поверхности капель.
Снижение порога параметрического возбуждения капиллярных волн на поверхности капли связано как с инерционными колебаниями самой капли, так и с периодическим изменением кривизны участка поверхности пластины под каплей. При малых амплитудах смещения в пучностях колебаний поверхности пластины по сравнению с ее линейными размерами, кривизна поверхности пластины равна второй производной от смещения по координате. Из формы колебаний пластины получим следующее выражение для кривизны ее поверхности под каплей
К/ = -(l/2)s0k2(coskbx + cosk6y)cos0t. (82)
Условия равновесия капли на подложке капли выражается соотношением
j cos 00 = <-<, (83)
где ах, а2 и а3 - удельные энергии поверхностей жидкость-газ, твердое тело-газ и твердое тело-жидкость, 0О - угол смачивания на межфазной линии [10]. При этом поверхностное натяжение жидкости равно удельной энергии ее свободной поверхности: а = а. Давление в жидкости под искривленной поверхностью определяется давлением Лапласа, равным произведению поверхностного натяжения и кривизны поверхности. Для дополнительных давлений в капле, связанных с искривленностью свободной поверхности и поверхностью пластины под каплей можно написать уравнение
аК = -аКр1 соъв0 . (84)
Отсюда следует, что изменение кривизны участка поверхности пластины под каплей должно привести к изменению кривизны ее свободной поверхности. В условиях сохранения межконтактной линии смачивания каплей поверхности пластины это приведет к изменению угла смачивания от вх до в2 за период колебаний пластины и возбуждению капиллярных колебаний на свободной поверхности пластины (рис. 7, а).
Рис. 7. Изменение формы капли (а) и движение жидкости в ней (б) при вибрациях на участке поверхности пластины с распределенной амплитудой колебаний
В экспериментах источником вынужденных колебаний пластины служит пьезоизлучатель, к корпусу которого пластина прикреплена краем, противоположным к торцевому краю. Капиллярные волны на свободной поверхности капли и изгибные волны в пластине, каждые из которых подчиняются своим дисперсионным законам, имеют различные скорости. В частности, длина изгибной волны в PET пластине при вибрациях частотой 4,2 кГц составляет 10 мм и скорость изгибной волны равна 42 м/c. Расчетная длина капиллярной волны для этой же частоты на поверхности силиконового масла ПМС-100 с поверхностным натяжением о = 20,9-10- Н/м в соответствии с дисперсионным уравнением о2 = (а/p1 )к3, где кс - волновое число капиллярной волны, составляет 0,2 мм и практически
совпадает с длиной капиллярных волн на поверхности капель масла на рис. 3, б. Скорость такой капиллярной волны равна 0,84 м/c, что в 50 раз меньше скорости изгибной волны в пластине, на поверхности которой находится капля масла. Из-за этого разность фаз между капиллярными колебаниями в капле и колебаниями участка поверхности пластины под каплей зависит от частоты так, что указанные колебания могут возбуждаться в противофазе, сохраняясь в некотором интервале частот их возбуждения. Это в свою очередь приведет к
увеличению амплитуды колебаний капли относительно поверхности пластины и к усилению кавитационных явлений в вибрирующей капле.
В вибрирующей капле вязкой жидкости ускорения, сообщаемые нормальными колебаниями пластины и возникающие из-за вязкости, направлены во взаимно перпендикулярных направлениях и изменяются с частотами, отличающимися в два раза. Поэтому траекторией движения частиц жидкости внутри капли, вибрирующей с небольшой амплитудой, являются седлообразные кривые. Достаточно большие амплитуды колебаний могут привести к увеличению скорости движения частиц и к круговым траекториям их движения внутри капли (рис. 7, б).
Капиллярные колебания в каплях в центре пластины едва заметны, но все же приводят к возникновению вихревых течений на сферической поверхности отдельных капель масла. Одной из причин возникновения двух вихревых течений, общее течение которых направлено вдоль диаметральной линии, может быть возбуждение двумерных радиальных и азимутальных капиллярных колебаний, когда азимутальные колебания возбуждаются на второй моде [11]. Такие колебания можно представить как результат сложения двух бегущих капиллярных волн по искривленной поверхности капли. Импульс волн передается поверхностному слою жидкости, в результате создаются замкнутые вихревые течения на поверхности капли, наблюдаемые в эксперименте (рис. 3, а).
Капиллярные колебания, струя и вихревые течения в каплях на краях вибрирующей пластины
Капли масла на краях поверхности вибрирующей пластины, в отличие от капель в центре поверхности пластины, имеют несимметричную форму, близкую к форме шарового полусегмента и их максимальная толщина приходится на край пластины (рис. 8, а). Изображения капель масла с капиллярными волнами, вихревыми течениями и струей на торцевом и боковых краях пластины, вибрирующей частотой 4,2 кГц, являются одинаковыми (рис. 3). В связи с этим, достаточно проанализировать вибрационные процессы в капле на поверхности торцевого края пластины.
Я Я
Рис. 8. Формы капель масла на поверхности вибрирующей пластины (а) и капиллярные колебания и струя в капле на поверхности торцевого края пластины (б)
Кривизна свободной поверхности капли на поверхности торцевого края пластины отличается от кривизны поверхности капли в центре пластины. Из-за несимметричности формы она имеет дополнительную кривизну Ке непосредственно над краем пластины,
радиус Яе которой равен половине толщины слоя жидкости в капле и намного меньше
радиуса R кривизны капли на участке в центре поверхности пластины (рис. 8, а). Давление Лапласа в среднем в капле непосредственно над краем пластины можно записать в виде
Ap = oKe. (85)
Плотность кинетической энергии жидкости в среднем при этом в капле над краем вибрирующей пластины имеет выражение
w = (A/1óXl )v2(coskby-1)2. (86)
Приравнивая давление Лапласа и плотность кинетической энергии, находим выражение для кривизны поверхности капли в виде
Ke =(p1/16a)(l S2 )v2 (cos kby-l)2. (87)
Максимум кривизны поверхности капли при этом приходится на центр торцевого края пластины с координатой y = а/ 2.
Плотность кинетической энергии частиц в каплях жидкости на участках поверхности вибрирующей пластины, так же как и в слое жидкости, изменяется с удвоенной частотой колебаний пластины. Соответственно, при достаточно больших амплитудах вибрации пластины, возможно пороговое параметрическое возбуждение капиллярных колебаний на свободной поверхности капелек жидкости с частотой вибраций пластины. Из-за колебаний пластины с распределенной амплитудой капиллярные колебания на поверхности капли непосредственно над краем пластины также являются распределенными. Капиллярные колебания на искривленной поверхности капли непосредственно вблизи края пластины и колебания этого же края пластины происходят во взаимно перпендикулярных направлениях с одинаковой частотой. Поэтому траектории движения частиц поверхности капли являются круговыми, максимальная скорость их движения приходится на плоскость колебаний пластины вдоль ее оси. Такое распределенное движение частиц жидкости на поверхности капли создает поверхностный поток, направленный в сторону от края пластины и с увеличением амплитуды вибраций пластины переходящий в отрывную цилиндрическую струю, поверхность которой модулируется капиллярными колебаниями.
Распределенные колебания пластин в контакте с водой создают на ее свободной поверхности течения, обусловленные возбуждением бегущих капиллярных волн [12]. Вязкость масла приводит к диссипации энергии волн и бегущие капиллярные волны на поверхности масла должны отсутствовать. Так, в эксперименте капля масла на поверхности края вибрирующей пластины находится в пределах узлов изгибных колебаний пластины и можно считать, что смещение в капиллярных колебаниях подчиняется закономерности смещения края пластины относительно узлов колебаний:
^ = s0 cos kby sin at. (88)
В дальнейшем эти распределенные колебания должны распространяться по поверхности капли масла в сторону от края пластины в виде затухающих капиллярных волн
^ = (s0 cos kby )e sin (at - kcx'}, (89)
где y = 2vk2 - коэффициент затухания амплитуды волны [13] из-за вязкости масла,
kc - волновое число капиллярной волны, x' - координата вдоль центральной линии
поверхности капли в плоскости колебаний пластины. Используя дисперсионное уравнение капиллярных волн выражение для коэффициента затухания можно записать в виде
/ = 2v(P¡/a)2/3a4/3. (90)
В эксперименте капиллярные колебания на поверхности капли силиконового масла возбуждаются частотой 4,2 кГц. Коэффициент затухания при этом должен составить Y = 0,2-106 с-1. Тогда амплитуда волны за период колебаний, равный 0,24 мс, должна уменьшиться в e48 раз, что указывает на невозможность существования бегущей капиллярной волны на поверхности капли масла из-за ее затухания.
Объяснить наблюдаемый эффект образования струи, исходящей от участка поверхности капли напротив пучности изгибных колебаний пластины, возможно исходя из того, что на поверхности капли возбуждаются капиллярные колебания конечной амплитуды и увлекают за собой часть жидкости, которая движется по инерции не отрываясь от капли из-за вязкости. На поверхности капли невязкой жидкости, например, капли воды, такой процесс при низких частотах вибраций приводит к периодическому отрыву частицы жидкости (рис. 9). Кроме этого, как показали эксперименты, струя на поверхности вибрирующей капли масла удерживается тонкой пленкой жидкости.
Рис. 9. Отрыв частицы жидкости от пучности капиллярных колебаний на поверхности капли воды диаметром основания 10 мм в емкости, вибрирующей частотой 50 Гц и амплитудой 0,5 мм
Скорость V потока жидкости в цилиндрической части струи можно оценить из диаметра d струи, приравнивая гидродинамическое давление, равное плотности кинетической энергии, к давлению Лапласа, равного произведению поверхностного натяжения и кривизны цилиндрической поверхности струи: =аК, где К = 2/d.
Отсюда скорость жидкости в цилиндрической струе равна V = . В соответствии с
рис. 3, б, в диаметр струи изменяется от 0,25 мм до 0,18 мм. Соответственно, скорость потока жидкости в струе составляет от 0,33 м/с до 0,46 м/с. Для сравнения, амплитуда скорости торцевого края пластины в узлах и пучности колебаний под каплей масла составляет 1,3 м/с и 2,6 м/с.
Жидкость в струе возвращается обратно в каплю с противоположной стороны от края пластины и распадается на течения, направленные в сторону края пластины, где плотность кинетической энергии в капле больше. Такой процесс поддерживается за счет источника вибраций пластины и в условиях сохранения объема капли может продолжаться длительное время.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На примере силиконового масла ПМС-100 показано, что вязкая жидкость на поверхности упругой пластины со свободными краями при возбуждении вибраций пластины в виде изгибных колебаний скапливается на участках поверхности пластины с пучностями колебаний, где плотность кинетической энергии имеет максимальное значение. С увеличением амплитуды и частоты вибраций пластины в каплях на участках поверхности краев пластины наблюдаются параметрическое возбуждение капиллярных колебаний, образование струи и внутренних течений. Наложение двумерных изгибных колебаний пластины и капиллярных колебаний в каплях в центре поверхности пластины приводит к гидродинамической кавитации с перемещением микропузырьков воздуха к центру капли и возбуждению капиллярных колебаний на поверхности пузырьков в каплях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров В. А. Гидродинамические явления при взаимодействии колеблющейся консольной пластины с жидкостью // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 2. С. 308-313.
2. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. Vortex flows in the liquid layer and droplets on a vibrating flexible plate // Microgravity Science and Technology, 2018, vol. 30, iss. 1-2, pp. 85-93.
3. Александров В. А., Копысов С. П., Тонков Л. Е. Возбуждение вихревых течений в мыльной пленке на отверстиях в пластине под действием изгибных колебаний // Химическая физика и мезоскопия. 2017, Т. 19, № 4. С. 581-587.
4. Gaulon C., Derec C., Combriat T., Marmottant P. Sound and vision: Visualization of music with a soap film // European Journal of Physics, 2017, vol. 38, no. 4, pp. 045804(18 p).
5. Drenckhan W., Dollet B., Hutzler S., Elias F. Soap films under large-amplitude oscillations // Philosophical Magazine Letters, 2008, vol. 88, no. 9-10, pp. 669-677.
6. Boudaoud A., Couder Y., Amar M. B. Self-adaptation in vibrating soap films // Physical Review Letters, 1999, vol. 82, no. 19, pp. 3847-3850.
7. Александров В. А., Копысов С. П., Тонков Л. Е. О механизме генерации струи с поверхности жидкости вибрирующей пластиной // Химическая физика и мезоскопия. 2017. Т. 19, № 1. С. 119-128.
8. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Черепанов А. А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 216 с.
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Том VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.
10. Сумм Б. Д. Гистерезис смачивания // Соросовский образовательный журнал. 1999. № 7. C. 98-102.
11. Chang C.-T., Bostwick J. B., Daniel S. and Steen P. H. Dynamics of sessile drops. Part 2. Experiment // Journal of Fluid Mechanics, 2015, vol. 768, pp. 442-467.
12. Александров В. А., Карпов А. И. Распределенные течения на поверхности жидкости вблизи вибрирующей пластины // Химическая физика и мезоскопия. 2019. Т. 21, № 3. С. 345-361.
13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Том VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.
Dynamics of a Layer of Viscous Liquid on the Surface of a Vibrating Plate with Free Edges
Aleksandrov V. A.
Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The dynamics of a layer of a viscous liquid in the form of silicone oil on the surface of a vibrating plate with free edges excited by a piezoelectric transducer is studied. Experimentally discovered the movement of a layer of viscous liquid to parts of the surface of the plate with antinodes of vibrations with the formation of individual drops, which is explained by the phenomena of energy and momentum transfer. During high-frequency vibrations of the plate, oil droplets form on the surface in the center of the plate along its axis and on the areas of the end edge and side edges of the plate. Capillary oscillations are excited in the droplets of oil formed at the areas of the edges of the vibrating plate, a trickle is formed and vortex flows arise. With an increase in the amplitude of the bending vibrations of the plate, the trickle breaks away from the surface of the droplet, forming a liquid bridge. In droplets of a viscous liquid in the form of a spherical segment in the center of the surface of the vibrating plate, slow flows are detected on the free surface of the drop, hydrodynamic cavitation with the formation of a bubble in the center of the drop, and capillary oscillations on the surface of the bubble inside the drop. The analysis of the observed phenomena associated with distributed bending vibrations of the plate and capillary vibrations parametrically excited on the surface of a viscous liquid droplet is carried out.
KEYWORDS: viscous fluid, plate vibrations, capillary oscillations, vortex flows, trickles. REFERENCES
1. Aleksandrov V. A. Gidrodinamicheskiye yavleniya pri vzaimodeystvii koleblyushcheysya konsol'noy plastiny s zhidkost'yu [The hydrodynamic phenomena at interaction of the vibrating console plate with liquid]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics & Mesoscopy], 2014, vol. 16, no. 2, pp. 308-313.
2. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. Vortex flows in the liquid layer and droplets on a vibrating flexible plate. Microgravity Science and Technology, 2018, vol. 30, iss. 1-2, pp. 85-93. https://doi.org/10.1007/s12217-017-9579-0
3. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. Vozbuzhdenie vikhrevykh techeniy v myl'noy plenke na otverstiyakh v plastine pod deystviem izgibnykh kolebaniy [Excitation of vortex flows in the soap film on the holes in the plates under the action of bending vibrations]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2017, vol. 19, no. 4, pp. 581-587.
4. Gaulon C., Derec C., Combriat T., Marmottant P. Sound and vision: Visualization of music with a soap film. European Journal of Physics, 2017, vol. 38, no. 4, pp. 045804(18 p). https://doi.org/10.1088/1361-6404/aa7147
5. Drenckhan W., Dollet B., Hutzler S., Elias F. Soap films under large-amplitude oscillations. Philosophical Magazine Letters, 2008, vol. 88, no. 9-10, pp. 669-677. https://doi.org/10.1080/09500830802220125
6. Boudaoud A., Couder Y., Amar M. B. Self-adaptation in vibrating soap films. Physical Review Letters, 1999, vol. 82, no. 19, pp. 3847-3850. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.82.3847
7. Aleksandrov V. A., Kopysov S. P., Tonkov L. E. O mekhanizme generatsii strui s poverkhnosti zhidkosti vibriruyushchey plastinoy [About the mechanism of a jet generation from the liquid surface by vibrating plate]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2017, vol. 19, no. 1, pp. 119-128.
8. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Cherepanov A. A. Dinamika poverkhnostey razdela v vibratsionnykh polyakh [Dynamics of interface surfaces in vibration fields]. Moscow: FIZMATLIT Publ., 2003. 216 p.
9. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoreticheskaya fizika: Tom VII. Teoriya uprugosti [Theoretical Physics: Volume VII. Theory of elasticity]. Moscow: Nauka Publ., 1987. 248 p.
10. Summ B. D. Gisterezis smachivaniya [Wet hysteresis]. Sorosovskiy obrazovatel'nyy zhurnal [Soros Educational Journal], 1999, no. 7, pp. 98-102.
11. Chang C.-T., Bostwick J. B., Daniel S. and Steen P. H. Dynamics of sessile drops. Part 2. Experiment. Journal of Fluid Mechanics, 2015, vol. 768, pp. 442-467. https://doi.org/10.1017/ifm.2015.99
12. Aleksandrov V. A., Karpov A. I. Raspredelennyye techeniya na poverkhnosti zhidkosti vblizi vibriruyushchey plastiny [Distributed flows on a liquid surface near a vibrating plate]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2019, vol. 21, no. 3, pp. 345-361. https://doi.org/10.15350/17270529.2019.3.37
13. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoreticheskaya fizika: Tom VI. Gidrodinamika [Theoretical Physics: Volume VI. Hydrodynamics]. Moscow: Nauka Publ., 1988. 736 p.
Александров Владимир Алексеевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: [email protected]
