CC BY
43
4
МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА
УДК 621.822.172
ДИНАМИКА ШПИНДЕЛЬНЫХ ГИДРОСТАТИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДИАФРАГМЕННЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
В.А. Прокопенко, И.А. Чернов
Приведены результаты исследования динамического качества гидростатических подшипников шпиндельных узлов современных металлорежущих станков. Дана математическая модель гидростатического подшипника. Рассмотрены возможности использования регуляторов с целью улучшения виброустойчивости. Предложена методика выбора параметров корректирующих ЯС-цепей. Рассчитаны переходные процессы при различных режимах работы, построены соответствующие частотные характеристики.
Ключевые слова: гидростатический подшипник, шпиндельный узел, виброустойчивость, динамические характеристики, мембранный регулятор, ЯС-коррекция.
Актуальность проблемы. Постановка задачи
Повышение динамического качества технических систем и оборудования является основной задачей при их создании и эксплуатации. Применительно к металлорежущим станкам (МРС) одна из основных проблем - это обусловленная требованиями роста производительности и качества обработки потребность увеличения виброустойчивости, которая практически не может быть удовлетворена при использовании в шпиндельных узлах (ШУ) традиционных подшипников качения [1]. Эффективным решением может служить переход к внедрению опор жидкостного трения - гидростатических подшипников (ГСП). Такой положительный опыт получен при создании отечественного серийного гибкого производственного модуля ЛР400ПМФ-4. Выполненные исследования [1] показывают, что, при обеспечении роста динамического качества ГСП и МРС в целом, в случае использованной в станке дроссельной схемы управления, система автоматического регулирования (САР) является все-таки колебательной, и устранить этот недостаток практически невозможно ни параметрически, ни смещением оси шпинделя, ни введением корректирующих ЯС-цепей.
Существенный интерес представляют результаты исследования возможностей введения в схемы управления ГСП с традиционно применяемыми дросселями мембранных (диафрагменных) регуляторов, обладающих наилучшими эксплуатационно-техническими характеристиками по сравнению с другими типами регуляторов. При этом возможны следующие варианты схемы управления опор ГСП в ШУ:
1. в передней опоре (ПО) ШУ используются мембранный регулятор и дроссель типа «сопло-заслонка», в задней опоре (ЗО) - два дросселя (рис. 1, а);
2. в ПО и ЗО ШУ используется мембранный регулятор и дроссель типа «сопло-заслонка» (рис. 1, б).
При анализе статической жесткости вариантов сопоставлены радиальные смещения шпинделя на кромке переднего ГСП и на максимальном вылете, включающие деформации упругой линии самого шпинделя и статическую ошибку в ГСП. При этом рассмотрены раздельно нагрузочные и разгрузочные ветви соответствующих статических характеристик.
Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы. По исходному варианту дроссельного ГСП для обеих ветвей статической характеристики смещение на кромке ГСП при любых режимах обработки практически одинаково и составляет на максимальной нагрузке около 50% начального зазора. Введение регулятора по варианту 1 позволяет несколько увеличить нагрузочную способность ГСП во всем диапазоне нагрузок. Подобная дополнительная замена дросселя на регулятор в ЗО (вариант 2) существенно на общей жесткости ШУ не сказывается, значительно усложняя при этом как конструкцию ШУ, так и настройку его ГСП.
4Г
К
„ .
(а) (б)
Рис. 1. Управление опорами ГСП по схеме «регулятор-дроссель» (а) и «регулятор-регулятор» (б)
Таким образом, по статическим свойствам все варианты практически эквивалентны, что обусловлено доминирующим влиянием существенно более низкой жесткости консольного шпинделя. Далее сравниваются исходный вариант и более простой из регуляторных вариант 1.
Динамические характеристики ГСП влияют на общую виброустойчивость МРС в целом, т.е. производительность и качество обработки. Следовательно, анализ поведения САР рассматриваемых ГСП с различными системами управления в динамике является важным этапом процесса проектирования, а также оценки его результатов.
Краткое описание математической модели
Система дифференциальных уравнений, представляющая собой математическое описание нелинейной модели ГСП, имеет следующий вид:
Mh = Pz + p (( + b L )- y (( B0 + к l0 )- [(B - b )3 i, +(.l - i, )3 b, ]-
^T [(o - b )310 +(L0 -10 )3 b0 ] ;
4h
Рп - Pi _ PA3 f li
Рп - Po
3ц
bi
Bi - bi Li - li
^ V
+ ^ Pi + h (( + bi Li - 2libi );
(i)
/
E.
HP _
Po h
3
l0
V Bo - bo
Lo l0
+ Po + ho (Bolo + bo Lo - 2lo bo ) + ед
E..
крЦ Зц
где использованы следующие обозначения: M - приведенная масса ШУ; PZ - внешняя нагрузка; рп -давление питания; h1 и h0 - зазоры в основной и замыкающей опорах ГСП (hs = h0 + h1 - суммарный зазор в ГСП); p1 и р0 - давление жидкости в основной и замыкающей опорах; B и L - ширина и длина опоры ГСП; b и l - ширина и длина кармана опоры; ц - динамическая вязкость жидкости; R - гидравлическое сопротивление дросселей; V - приведенные объемы карманов; EM - модуль объемной сжимаемости жидкости; Q - величина расхода, обусловленного прогибом диафрагмы; Hр = H0 + AH = H0 + ep0 - величина зазора в регуляторе (H0 - начальный зазор в регуляторе; e - податливость мембраны регулятора). Первое уравнение системы является уравнением динамического равновесия шпинделя на ГСП. Остальные два - это уравнения баланса расходов жидкости (масла) через опоры ГСП с учетом вязкости и сжимаемости [2].
Расчет регулятора производится по методике [3]. В результате определены следующие его параметры: диаметр мембраны, толщина мембраны, ее податливость и начальный зазор.
Линеаризация системы (1) проводится разложением в ряд Тейлора в окрестности начальной точки пространства. После преобразования по Лапласу линеаризованной системы, переходя к операторной форме записи и вводя обозначения коэффициентов и постоянных времени, система в отклонениях представляется в виде
к1 (71S +1) S Ah1 = APZ + k21Ap1 - к20 Ap0,
■-¿4i (73,S + l)Ah = кз, (S + l)Ap„ к40 (7з0S +1) Ah, - (740S -1) Ap0 = кз0 (720S +1) Ap0, где k и Tj - коэффициенты и постоянные времени САР ГСП.
Анализ динамических свойств системы
Анализ динамического качества ГСП выполнен с использованием прикладных пакетов МВТУ и Matlab на базе известных методов теории автоматического управления по логарифмическим амплитудно-частотным (ЛАЧХ) и фазо-частотным (ЛФЧХ) характеристикам для САР с последующей проверкой расчетом переходных процессов при ступенчатом нагружении как малыми, так и большими нагрузками с учетом нелинейности исходной математической модели.
Последующие расчеты выполнены применительно к условиям модуля ЛР400ПМФ4, имеющего ШУ на ГСП со следующими параметрами: радиальная составляющая силы резания - 0-10 кН; давление питания - 8,5 МПа; максимальная частота вращения шпинделя - 4000 об/мин; мощность привода главного движения - з0 кВт; диаметр шпинделя - 125 мм.
Основным критерием при оценке динамического качества по ЛАЧХ и ЛФЧХ является запас по фазе Дф на частоте среза юср [4].
На рис. 2 кривая 1 - ЛАЧХ исходного для станка ЛР400ПМФ4 дроссельного варианта ГСП, а кривая 1' - соответствующая ей ЛФЧХ. Фактический запас по фазе при этом составляет Дф1 = 7,2° на частоте среза юср1 = 4058 с 1, что значительно ниже минимально допустимого значения Дф = 40° [4].
Кривая 2 - ЛАЧХ варианта ГСП с регулятором (вариант 1), а кривая 2' - соответствующая ей ЛФЧХ. Фактический запас по фазе при этом увеличивается до Дф2 = 10,1° на частоте среза юср2 = 3565 с 1 (т.е. на 40% больше исходного варианта), что также ниже упомянутого минимально до-
ср2
пустимого запаса.
L, дБ ф, град
100 40
-20
-80
-140
-180 -200
ю, 1/с 105
Рис. 2. ЛАЧХ и ЛФЧХ для ГСП с дроссельным (кривые 1-1') и регуляторным (кривые 2-2') управлением
Ы0-10, м 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4
t, с
0,03
Рис. 3. Переходные процессы для исходного варианта (кривая 1) и варианта с использованием регулятора (кривая 2)
Таким образом, установлено, что использование регуляторов несколько повышает виброустойчивость ШУ, снижая частоту колебаний и статическую ошибку (рис. 3), однако дальнейшее улучшение динамических свойств ГСП является необходимым. Одним из весьма эффективных способов коррекции динамического качества ГСП может служить включение в гидравлическую схему ГСП корректирующих ЯС-цепей аналогично тому, как это рассмотрено для дроссельной варианта схемы управления [1]. Система уравнений в отклонениях, описывающая скорректированный ЯС-цепью вариант регуляторного ГСП, имеет следующий вид:
к1 Т Б +1) Б Ак1 = ДРг + к21 Др1 - к20 Дро; -кп (5 + 1) =| кз1 (7-21^ +1) + -^ -т^Удр! - 1
ЯА ТА8 +1
(
Та5 л А Дро;
к4о (Тзо5 +1) ДА, - к5о (Т4о5 -1) Дро = кзо (Т-о5 +1) + — • -5—
\ ЯА ТАБ + 1J
ЯА ТАБ +1
1 т с А
ДРо -
(2)
1 Та5
----А— Др.,
Яа ТаБ +1 "
где ТА - постоянная времени, обусловленная подключением корректирующей ЯС-цепи.
Выбор параметров коррекции может производиться с использованием системы уравнения (2) по трехмерной поверхности зависимости запаса по фазе Дф либо логарифмического декремента колебаний X от СА и ЯА. Анализ такой трехмерной поверхности для варианта 1 показывает, что декремент растет как с увеличением емкости СА, так и с увеличением сопротивления ЯА (рис. 4), но в отличие от дроссельного ГСП для рассматриваемых диапазонов параметров коррекции СА и ЯА не имеет максимума в зависимости от величины сопротивления ЯА при каждом значении СА. А, 2
1 2 3 4 5 6
Яа-Юу
Па-с
м
Рис. 4. Зависимость Л = А(ОаДа) для ГСП с регуляторным управлением при подключенной РС-цепи
А-1о-8, м
4о зо
2о 1о
л
2
лг
\
1
11
1 \| ^
* ——___
1
о
о о,оо5 о,о1 о,о15 о,о2 /, с
Рис. 5. Переходные процессы в ГСП при подключенной РС-цепи: 1 - исходный вариант ГСП; 2 - вариант ГСП с использованием регулятора
При выборе значения емкости СА = 5 - Ю-14 м3/ Па (с учетом ограничения по давлению) оказывается, что коррекция с параметрами СА = 5 -Ю-14 м3/Па и ЯА = 12 -1о9 Па -с/м3 , являющаяся наилучшей для дроссельного варианта ГСП, не является таковой для регуляторного варианта ГСП, хотя при этом снижает колебательность ГСП относительно варианта без коррекции в 4,6 раза и увеличивает демпфирование по сравнению с корректированным исходным вариантом (рис. 5).
При увеличении сопротивления ЯА для варианта 1 установлен наилучший вариант коррекции КС-цепью для регуляторного ГСП - при значениях параметров СА = 5 -10~14 м3/Па и ЯА =20-109 Па-с/м3, что подтверждается переходными процессами при малых (рис. 6, а) и больших (рис. 6, б) нагрузках.
Рис. 6. Переходный процесс для регуляторной САР ГСП с RC-цепью для Са = 5-10-14 м3/Па и Ra = 20109 Па-с/м3, при малых нагрузках (а); при нагрузке 50 кН (1 - вариант без коррекции; 2 - вариант с параметрами коррекции Са = 5-10-14 м3/Па и Ra = 20-109 Па-с/м3) (б)
Анализ этих зависимостей показывает, что коррекция ГСП с регулятором позволяет свести к нулю колебательный характер движения системы, тогда как достичь этого для скорректированного ГСП по исходному дроссельному варианту не представляется возможным. Таким образом, коррекция регуляторного ГСП эффективнее дроссельного и обеспечивает увеличение демпфирования с получением САР высокого динамического качества.
Из анализа переходных процессов при больших нагрузках можно сделать вывод, что рассматриваемый вариант коррекции существенно не ухудшает динамическое качество системы. При использовании коррекции время переходного процесса относительно варианта 2 без корректора (/пп1 = 0,018 с) хотя и несколько увеличивается, но колебательность фактически отсутствует.
Заключение. Рекомендации
Данные исследования показали, что использование регуляторов в схеме управления ГСП, а также подключение корректирующей RC-цепи дает значительное повышение виброустойчивости ШУ на ГСП (вплоть до полного устранения колебаний в системе). Реализация определенной при исследованиях гидравлической емкости СА наилучшим образом может быть осуществлена с помощью стандартного металлического сильфона [5], характеризуемого следующими параметрами: длина - 16 мм; диаметр - 11 мм; количество гофров - 10; толщина стенки - 0,16 мм; наибольшее давление - 14,5 МПа. Гидравлическое сопротивление RA корректора выполняется аналогично конструкции дросселей в исходном варианте на базе сопротивления «сопло-заслонка», при котором режим течения жидкости - ламинарный, а величина расчетного зазора составляет около 0,2 мм. Расчет параметров ГСП и исследование их динамических свойств при различных способах коррекции, построение переходных процессов и частотных характеристик можно выполнять с использованием программных систем Mathcad или Matlab, а также ряда программных комплексов для динамического моделирования (SIAM, МВТУ).
Литература
1. Бундур М.С., Прокопенко В.А., Чернов И.А. Моделирование шпиндельных гидростатических подшипников и исследование возможностей повышения их динамического качества // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2009. - № 6 (64). - С. 32-38.
2. Проектирование гидростатических направляющих металлорежущих станков и станочных комплексов: Метод. указания / Под ред. М.А. Болотникова, В.Г. Лебедева, П.П. Петкова и др. - СПб: СПбГТУ, 1993. - 28 с.
3. Гидростатические направляющие с регуляторами. Расчет и проектирование. Рекомендации / Е.М. Якир, Г.А. Левит, Б.Г. Лурье. - М.: ЭНИМС, 1970. - 64 с.
4. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. - М.: Машиностроение, 1978. - 736 с.
5. ГОСТ 21482-76. Сильфоны однослойные измерительные металлические. Технические условия. -Введ. 01.01.77. - М.: Госстандарт, 1977. - 122 с.
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО .
Прокопенко Вячеслав Алексеевич - Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
кандидат технических наук, доцент, prokopenko@gak.spb.su Чернов Иван Александрович - Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
кандидат технических наук, доцент, chernov@gak.spb.su
УДК 531
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ПЕРЕМЕННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ МАССЫ
В.С. Королев, Р.Ю. Кравчук
Рассматривается задача управления вращательным движением относительно центра масс механической системы, состоящей из основного тела и других тел или частиц, которые могут двигаться относительно главного тела или менять массу, определяя переменное распределение массы и дополнительное изменение кинетического момента. Получены уравнения динамики, которые можно исследовать аналитическими или численными методами. Ключевые слова: управление, вращательное движение, космический аппарат, гироскопы, переменное распределение массы, гравитационное поле.
Введение
Теория оптимального управления движением космических аппаратов в гравитационном поле зародилась более 100 лет назад, после работ К.Э. Циолковского и В. Гомана, задолго до начала космической эры. Она продолжена в работах В.В. Белецкого, В.И. Зубова, Н.Н. Красовского, Д.Ф. Лоудена, В.С. Новоселова, В.Е. Охоцимского [1-8]. За это время теория бурно развивалась параллельно со стремительным развитием ракетной техники и практической космонавтики. Было опубликовано большое количество научных работ, в которых изучены различные аспекты и рассмотрены многочисленные частные случаи, а также работы обобщающего характера, в которых сформулированы общие принципы оптимального управления движением космических аппаратов в задачах перехода между заданными орбитами и вращательного движения относительно центра масс. Основными являются задачи построения движений, достигающих заранее поставленных целей при минимальных затратах топлива при работе двигателей (такие траектории называются энергетически оптимальными) или на минимальных промежутках времени (задачи быстродействия).
Постановка задачи
Рассматриваются задачи управления движением в центральном гравитационном поле для механической системы, которая состоит из основного тела (носитель, космический аппарат или космическая станция, которые можно считать абсолютно твердыми), а также других тел или частиц (в том числе антенны, солнечные батареи, гироскопы, потоки жидкого топлива при работе реактивных двигателей, подвижные или перемещаемые детали). Они могут двигаться относительно главного тела и определяют переменное распределение массы всей системы или изменения кинетического момента и влияют на движение носителя, а также создают управляющие моменты для разворота или демпфирования колебаний и стабилизации при заданной ориентации. Для гироскопических комплексов определяющим является способность создавать управляющие моменты за счет затрат электроэнергии без дополнительного расхода топлива. Другим достоинством является способность реализовать высокоточное управление. Для космической астрофизической лаборатории «Гамма» использовались шесть гироскопов, которые обеспечивали ориентацию при угловых скоростях поворота до 1°/с и точности стабилизации до 10 угловых секунд.
В общем случае уравнения движения космического аппарата в гравитационном поле естественным образом разделяются на уравнения движения центра масс и вращательного движения относительно центра масс системы. Управление может быть реализовано включением реактивных двигателей космического аппарата или специальных устройств, которые размещены на носителе и могут обеспечить действие большой тяги на коротких промежутках времени (отдельный импульс или последовательность) или малой тяги, но имеющей почти неограниченный ресурс по времени работы.
Изменения декартовых координат для каждого выделенного объекта в пространственном случае описывает система трех уравнений второго порядка:
d~XL+J3 X (U) + P = f, i = 1,2,3.
dt2 r3 dXj
Здесь x - декартовы координаты; r - модуль радиус-вектора центра масс; U - силовая функция учитываемых возмущений; ц - гравитационный параметр центрального тела; P - непотенциальные силы, включая реактивную тягу двигателей на активных участках полета.
При отсутствии возмущений, когда их считают не существенными, движение тела в центральном гравитационном поле определяется начальными значениями радиус-вектора, вектора скорости и грави-
