CC BY
22
УДК 621.822.172
Анализ возможностей определения корректирующих параметров гидростатических подшипников металлорежущих станков
М. С. Бундур, В. А. Прокопенко, Н. А. Пелевин
Предложены доступные способы, позволяющие устранить сложности определения параметров корректирующей ^-цепи радиальных гидростатических подшипников, при проектировании и модернизации станочного оборудования в части повышения динамического качества и виброустойчивости шпиндельных узлов.
На основе разработанной библиотеки программ и моделей приведены способы, требующие овладения на достаточно высоком уровне программных продуктов, таких как MatLab и MathСad, с помощью которых процесс определения параметров коррекции может быть практически автоматизирован и формализован. Pассмотрен способ, который не требует значительных компьютерных знаний и базируется на общеизвестных методах построения асимптотических амплитудно-частотных характеристик. Даны выводы и рекомендации по применению приведенных способов, которые позволят компенсировать часть накопившихся инженерных проблем и задач в станкостроительной и других отраслях машиностроения.
Ключевые слова: станок, гидростатический подшипник, система управления, динамическое качество, коррекция, запас по фазе.
Введение
В связи с расширением номенклатуры обрабатываемых на современном металлорежущем оборудовании материалов и использования более современных инструментальных материалов и конструкций инструментов требуется расширение диапазона частот вращения, т. е. рост их верхних значений и снижение нижних. При этом для повышения производительности на черновых операциях необходимо повышать мощность главного привода, как следствие, в этом случае должна значительно возрасти и нагрузочная способность подшипниковых узлов шпинделей. При исследованиях и конструировании наиболее перспективных гидростатических подшипников (ГСП) для шпиндельных узлов (ШУ) современных металлорежущих станков (МРС) с высокими нагрузочной способностью и верхним пределом частот вращения из-за необходимости ис-
пользования узких дросселирующих перемычек [1] опор требуется также повысить виброустойчивость и динамическое качество (ДК) ГСП [2]. Актуальность этой проблемы связана в настоящее время не столько с проектированием нового оборудования в условиях кризисного спада, сколько с острой потребностью модернизации действующего парка МРС. При этом важным является как восстановление исходной работоспособности узлов и систем, так и повышение уровня их технических характеристик (нагрузочной способности, быстроходности, демпфирующих свойств, долговечности, точности и т. п.). Самым эффективным средством для этого является введение в систему управления (СУ) [3] ГСП корректирующих RC-цепей [4]. Выбор их параметров (СА — гидравлическая емкость; ЯА — гидросопротивление дросселя) представляет определенные сложности и может быть осуществлен несколькими способами.
ШШШМБОТКА
Цель исследования
Совершенствование и сравнительный анализ различных способов определения параметров коррекции ГСП, в наибольшей степени пригодных для инженерного использования при проектировании и модернизации ШУ МРС, а также для проведения научных исследований.
Постановка и задачи исследования
Из-за отсутствия доступного инженерного подхода к техническому применению в станочной практике тех или иных способов определения параметров коррекции ГСП для повышения ДК важным является его формирование. Необходимо выделить способы, базирующиеся как на общеизвестных методиках, так и на применении современных вычислительных программных продуктов для создания расчетных моделей по структурным схемам систем автоматического регулирования (САР) и программ, позволяющих в наибольшей степени автоматизировать процесс определения 0А и ЯА.
В определенной степени решение этой задачи позволит компенсировать дефицит инженерных средств в машиностроении.
Определение параметров коррекции по корневому годографу
Как известно, физико-математическая модель ГСП с дроссельной СУ описывается системой дифференциальных уравнений [3, 5]:
мк = Пи + рг (к В + &1 ¿1) - рт (к В2 + ь>21*2) -
т/^
т/г
(В - Ьг )31г +(¿1 - 1г )3 Ьг
(Вт - Ь2 )3 12 +(¿2 - 12 )3 Ь2
4/23 Рп - Р1 _ Р1и13
Я
'др1
, + 1 + 3т ^В1 - Ь1 ¿1 - ¿1
(1)
V
пр1
Ем
Р1 + / (В^1 + Ь1 ¿1 - 2Ы) - Я А;
Рп - Р1 Р2Ч
Д
'др2
Ущл
Зц
уВ2 -Ь2 Ь2 - ¿2
Р2 + Л2 (в212 + ь2ь2 - 2Ь2*2 ) + Я А ;
САр2 - САрх - САЯАЯА,
где /1 — зазор между подвижным узлом (ПУ) и базовой опорой; /2 — зазор между ПУ и замыкающей опорой; /1 + /2 = /е — суммарный (диаметральный) зазор в ГСП; М — приведенная масса шпинделя; рп — давление питания; Р1, Р2 — давления жидкости соответственно в карманах базовой и замыкающей опор; Я/ — внешняя радиальная нагрузка; У"пр1 и ^лр2 — приведенные объемы рабочей жидкости базовой и замыкающей опор соответственно; Ем — модуль объемной сжимаемости рабочей жидкости; т — динамическая вязкость рабочей жидкости; Ядр1 и Ядр2 — соответственно гидросопротивления дросселей; Ь, ¿, В, ¿ — геометрические размеры опоры (с индексом 1 — базовая опора; 2 — замыкающая); Яа — расход жидкости в динамике через ИС-цепь.
Система (1) включает уравнения равновесия, баланса расходов и суммарного зазора.
В безразмерных переменных система (1) может быть преобразована к виду [6]:
а1х = Яп + ¿1У1 - Л2У2 - С1
х
(1 + х)3
- с
х
(1 - х)3
812У1 =-Ь1У1 - 8ц[(1 + х)3 X
X (1 + У1) - 1] - 813х - 8ц9а;
822У2 = -Ь2У2 - 821[(1 - х)3 х
х (1 + У2) - 1] + 823 х + 8119а;
ТА<1а + Яа = 813еа (У1 - У2),
(2)
где TA = CaRa — постоянная времени с параметрами коррекции; ca = CA /CA* — относительная гидроемкость.
С использованием пакета Wolfram Mathe-matica [7] могут быть определены корни характеристического уравнения системы (2) и построен корневой годограф для некоторого принимаемого значения ca. При реализации гидроемкости с помощью стандартного металлического сильфона [8] последний выбирают из условий прочности на рабочем давлении по расчетной гидроемкости, определяемой его конструктивными параметрами.
На рис. 1 приведен пример такого корневого годографа, построенного для условий ГСП серийного расточного модуля ЛР400ПМФ-4, со следующими основными параметрами: приведенная масса ШУ M = 50 кг; максимальная частота вращения шпинделя nmax = 3150 об/мин; диаметр выдвижного шпинделя D = 125 мм; наибольшая радиальная нагрузка Rh = 10 кН; рабочая жидкость — ИГП-18; радиальный зазор h0 = 45 • 10-6 м; модуль объемной сжимаемости масла Em = 1,15 • 10-6 Н/м2; давление питания рп = 8,6 • 106 МПа; рабочая точка на статической характеристике m0 = 0,5 [9].
При предварительно задаваемом по гидроемкости сильфона значении ca = 0,05 определяется обоснованное значение Ra для безразмерной постоянной времени та = Ta<b0 (где Ю0 = 4000 1/c частота свободных колебаний линеаризованной системы). Из анализа годо-
Без RC-цепи
Рис. 1. Расположение корней характеристического уравнения ГСП с RC-цепью при са = 0,05
графа следует, что при отсутствии коррекции (исходный вариант СУ ГСП станка) мнимая часть соответствующего корня 1тХ имеет наибольшее значение (т. е. колебательность максимальная), а действительная часть ReХ наиболее приближена к мнимой оси (т. е. запас устойчивости минимальный). Эти результаты подтверждают выводы, ранее сделанные по низкому ДК СУ и необходимости введения коррекции [4].
По критерию максимальной степени устойчивости Цыпкина-Блумберга [10] наибольший модуль ИеХ обеспечивается при та = 2,2. С другой стороны, два вещественных корня, двигаясь встречно по вещественной оси (один из них при та = 0 лежит за пределами оси Re), сливаются при возрастании та до 2,53 и при этом положение высокочастотного корня незначительно смещается в сторону мнимой оси, что в целом означает более высокий уровень общего демпфирования в ГСП. Дальнейшее возрастание та от 2,55 до 6,0 ведет к появлению низкочастотной колебательной области, что недопустимо для ГСП ШУ. После слияния корней при та = 6 низкочастотная составляющая исчезает. Однако значительно снижается величина ИеХ (на 37 %), ухудшается ДК при увеличении колебательности (1тХ).
Определенные таким образом значения параметров коррекции 0А и RA проверяют -ся расчетом и построением соответствующих переходных процессов (ПП), причем как при малых нагрузках, так и при наибольших (по нелинейной модели [3]). К недостаткам способа следует отнести сложность и громоздкость преобразования модели, необходимость освоения специального пакета МаШетаИса, позволяющего формировать и решать характеристическое уравнение системы с последующим построением корневого годографа, а также обусловленную начальным предварительным выбором емкости са потребность нескольких итераций построения и анализа годографа.
Построение и анализ матрицы
Дф = КС А; Еа)
Относительно простым является способ определения параметров коррекции с использованием логарифмических частотных харак-
МЕТАЛЛОМ
,РАБОТКА
ЛАХ, ФЧХ
!т(ш), дБ, сдвиг фазы,
Рис. 2. ЛЧХ разомкнутой САР последовательного расчета Дф
теристик (ЛЧХ). Для этого необходимо, например в пакете МВТУ [11], ввести модель из типовых динамических звеньев в соответствии со структурной схемой САР.
Каждому варианту коррекции в задаваемых диапазонах Яа и Са соответствует свое значение гидросопротивления и гидроемкости. В модель вводятся предварительно рассчитанные постоянные времени и динамические коэффициенты согласно назначенному варианту коррекции, причем расчет динамических параметров можно начинать как при фиксированном значении Са, так и при фиксированном значении Яа. После указания входа и выхода модели рассчитываются ЛЧХ (рис. 2), встроенными графическими средствами курсор в МВТУ определяется из логарифмической амплитудно-частотной характери-
стики (ЛАЧХ) частота среза юср и по логарифмической фазочастотной характеристике (ЛФЧХ) значение запаса устойчивости по фазе Дф, которое вносится в матрицу (табл. 1).
Шаг для Яа выбирают ориентировочно равным 2 • 109 Па • с/м3, для СА - (2 ■ 4) х х 10-14 м3/Па. Из анализа матрицы (табл. 1) можно определить характер изменения величины Дф и с учетом фактической емкости стандартного металлического сильфона, установить наибольшее достижимое значение (Дфтах = 53,3° при ЯА = 9 • 109 Па • с/м3 и Са = = 15 • 10-14 м3/Па).
При отмеченной простоте способ требует значительного объема предварительных вычислений и ввода параметров модели по каждому шагу расчета и имеет низкую наглядность при установлении значений Са и Яа-
Таблица 1
Зависимость Дф = ДСА; ЯА)
Са-10"14, м3/Па ЯА • 109, Па • с/м3
1 3 5 7 9 11 13 15
5 6,8 15,4 22,8 28,3 31,6 32,7 32,3 31,1
7 7,5 19,0 28,7 35,6 39,1 39,7 38,5 36,3
9 8,3 22,1 33,5 41,1 44,3 44,2 42,2 39,5
11 9,0 24,8 37,5 45,4 48,2 47,4 44,8 41,6
13 9,7 27,3 41,0 48,8 51,0 49,6 46,6 43,0
15 10,4 29,5 43,9 51,6 53,3 51,4 47,9 44,1
Выбор параметров коррекции по трехмерной поверхности запаса устойчивости по фазе
Трехмерную поверхность запаса устойчивости по фазе Дф = /(Са; Ra) можно построить на основе массива данных, полученных путем автоматизации определения значений Дф по ЛЧХ. Эту процедуру позволяют реализовать современные программные продукты, такие как Ма^аЬ и МаШСа^ Проще с точки зрения математических инженерных вычислений реализуется способ в пакете МаШСа^ Для анализа САР ГСП в MathCad необходимо задавать передаточную функцию Ж(я), например, для СУ «дроссельная» такая функция корректированной САР ГСП имеет вид [12]
W (8) = ко
(Тз1в + 1)(ТаВ + 1)
(Т18 + 1)(Т1К8 + 1)(Т2к8 + 1)8 ,
(3)
где Т1к
2С,
, Т
RAk3T2
к3 ' "2к 2 стоянные времени, в которые входят параметры коррекции.
Выражения логарифмических функций для расчета ЛАЧХ и ЛФЧХ в MathCad выглядят следующим образом [12]: для ЛАЧХ
ЬЛЬ(з) = 20log(|W(s)|) [дБ]; для ЛАФХ
РЫ(з) = ат^(8)|) [рад]. (4)
В MathCad на основе многоциклического [13] алгоритма (рис. 3) реализована программа Phase3, позволяющая вычислять массив данных Дф (по исследуемым диапазонам и шагам Са и RA) и выводить данные в виде графика поверхности.
Вычисления по программе включают ввод исходных данных для СУ ГСП, максимального и минимального значений Са, RA, а также задаваемых шагов. Затем в программе формируются соответствующие матрицы, содержащие все возможные (от минимального до максимального) значения для Са и RA. Далее поэтапно рассчитываются постоянные времени (изменяющиеся в зависимости от параметров Са и RA), каждая в своем цикле (рис. 3).
, Та = CARA - по-
По окончании формируются соответствующие массивы (Т1к, Т2к, Та). С учетом выражений (4) по передаточной функции W(s) (3) для исследуемых диапазонов Са и RA рассчитываются значения Дф и на их основе формируется матрица данных. Встроенными средствами визуализации результатов в MathCad с использованием опции «график поверхности» по окончании расчетов выводится трехмерная поверхность Дф = /(Са; Ra) (рис. 4, а). Результаты получены на условия ГСП серийного модуля модели ЛР400ПМФ-4.
По полученной поверхности можно оценить только тенденции увеличения или уменьшения запаса по фазе в рассматриваемых диапазонах параметров коррекции. При этом определить координаты точки на поверхности (Са; RA) из-за отсутствия встроенных средств не представляется возможным.
Для окончательного определения Са и RA в программе Phase3 после всех выполненных расчетов предусмотрено построение графика Дф = /ДА) (рис. 4, б) при задаваемом значении фактической емкости Са (в качестве примера на поверхности рис. 4, а отмечена штрихами кривая для емкости Са = 21 • 10-14 м3/Па [14]). Максимум на кривой соответствует значению Ra, определяющему максимальное значение Дф.
График Дф = /(Са; RA) имеет визуальную наглядность и позволяет оценить в трехмерном виде направления изменения запаса по фазе при различных параметрах коррекции посредством поворота поверхности с помощью курсора. Однако при этом непросто, например в скрытых областях поверхности, определять параметры коррекции.
Использование пакета MathCad накладывает некоторые ограничения при выполнении исследований динамики корректированных ГСП из-за отсутствия W(s) для несимметричных СУ, невозможности учета в W(s) установившегося радиального смещения оси шпинделя относительно втулки подшипника, а также приближенности выражений для расчета коэффициентов Т1к и Т2к.
Применение пакета MatLab необходимо в случаях, когда для исследования САР передаточную функцию разомкнутой системы W(s), аналогичную (3), невозможно получить из-за наличия в структурной схеме перекрещивающихся связей (например, для СУ «дрос-
ЕТАПЛООБРАБОТК]
а)
Ra • 109, Па • c/м3
СА = 21 • 10-14 м3/Па
б) Дф,
60 58
50 40 30
СА • 10-14, 10 м3/Па
20
10
8 10
15
Ra • 109,
Па • c/м3
Рис. 4. Расчетные зависимости для определения значений RA и CA: а — трехмерная поверхность Дф = ДСд' Кд)' б — зависимость Дф = ДКа) по значению выбранной фактической емкости CA
5
0
сель-регулятор» [3]). В таком случае можно использовать модели, выполненные в ВзшиИпк по структуре САР. При этом полученные результаты будут несколько отличаться от результатов, полученных по при выборе параметров коррекции ГСП ввиду приближенности некоторых постоянных времени, входящих в Ж(я).
Достоинствами способов являются автоматизированное вычисление всех параметров модели и построение зависимости Дф = ДСд -Кд).
Выбор параметров коррекции по зависимости Дф = grad(Cд; Яд)
Для пакета Ма^аЬ в поле графической среды ВзшиИпк можно реализовать модель любой САР в соответствии с ее физико-математическим описанием.
Для уменьшения объема преобразований модели и предварительных расчетов, а также оперативного автоматизированного получения массива данных запаса устойчивости по фазе Дф при определенных задаваемых диапазонах СА и ЯА известный алгоритм [15] был доработан в целях его оптимизации и использования для программы построения фазового градиента р_ЕО в среде Ма^аЬ. Программа расчета предполагает выбор варианта одной из СУ ГСП [3] (находящейся в условной библиотеке и доступной для рассмотрения) и ввода
исходных параметров ГСП. Также при необходимости указывается радиальное смещение [5, 16] оси шпинделя. Затем в программе рассчитываются значения динамических коэффициентов kj и постоянных времени Ti САР, которые записываются в рабочее пространство MatLab — Workspace [17].
При исследовании ГСП с использованием модели САР из условной библиотеки MatLab l_LH_ddnn расчета ЛЧХ для дроссельного варианта СУ ГСП с RC-коррекцией в результате взаимодействия с моделью функций linmod и margin [18] в рабочем пространстве Workspace MatLab формируются матрицы частоты среза Wsr и запаса по фазе dFi.
Результаты моделирования автоматически выводятся в графическом окне MatLab (рис. 5) при исполнении программы с помощью функции contour. График Дф = grad(C^; Ra) фазового градиента содержит линии постоянных значений запаса по фазе на плоскости в координатах RA и CA заданных диапазонов (при принятых шагах RA = 0,5 • 109 Па • c/м3 и CA = 0,5 • 10-14 м3/Па).
Для вывода результатов в обработанном виде в программе p_FG стандартными функциями MatLab задаются следующие параметры: размеры графического окна, цена деления, подписи осей, цвет кривых градиента и их шаг распределения.
График фазового градиента можно условно разделить согласно [19] на три области САР:
ШШШМБОТКА
низкого ДК (где 0° < Аф < 40°), невысокого ДК (40 ° < Аф < 55°) и высокого Дк (Аф > 55°).
Выбирать и оценивать параметры коррекции в определенной точке на графике можно двумя вариантами. Первый предполагает использование функции Data Cursor панели инструментов графического окна MatLab, с помощью которой установкой курсора (черная метка) может быть выбран вариант коррекции с соответствующим определенным значением частоты среза юср (Wsr на рис. 5) и при этом наибольшего достигаемого запаса по фазе Аф (dFi на рис. 5) в области высокого ДК. Второй способ предполагает определение параметров Яд и CA аналогично номограмме. Задаваясь гидроемкостью стандартного металлического сильфона CA, необходимо обеспечить запас по фазе dFi, входящий в область высокого ДК САР [19], следуя тенденциям изменения образующих градиент кривых с помощью выбора Яд.
График Аф = grad(C^; Яд) обладает большей информативностью и наглядностью, чем трехмерная поверхность (рассмотренная в предыдущем способе), причем даже без применения компьютерных средств можно определить значение запаса по фазе при выбранных параметрах коррекции.
Существенно ограничивают возможности использования способа необходимость освоения пакета Ма^аЬ на высоком уровне в части моделирования и программирования, а также объемная подготовка программ и моделей.
Определение параметров коррекции по асимптотическим ЛАЧХ
Как известно, устойчивость и динамические характеристики замкнутой системы ГСП могут быть оценены по виду асимптотических ЛАЧХ разомкнутой системы [19].
При пересечении ЛАЧХ на частоте среза
ю,
ср
с наклоном -20 дБ/дек. в ряде случаев могут быть обеспечены устойчивость и неколебательность САР. Если ЛАЧХ пересекает ось частот с наклоном -40 дБ/дек., то система находится на границе устойчивости, а ее колебательность по ПП [17] тем больше, чем протяженнее этот участок в области частот ниже юСр. При различных значениях коэффициентов и постоянных времени в передаточной функции САР ГСП может быть устойчивой или неустойчивой и иметь различное ДК. Таким образом, изменение показателей коле-
23 ЛР400ПМФ-4: Фазовый градиент. Схема: Др-Др
File Edit View Insert Tools Desktop Window Help
pad k [43» f? ® « л - Q| □ ■ о
□
Й и
-л О
25
20
15
10
5 10
ЯА • 109, Па • с/м3
15
Рис. 5. Фазовый градиент Аф = grad(C^; Яд)
5
0
бательности САР в ряде случаев достигается путем вариации этих величин.
Принцип определения значений параметров коррекции ДК по асимптотическим ЛАЧХ основан на выборе возможных средств, которые позволяют изменять параметры САР, например, путем увеличения либо уменьшения исходных постоянных времени, либо введения добавочных звеньев в структуру САР с соответствующими постоянными времени. В результате этого изменяются условия пересечения ЛАЧХ оси частот на частоте юср. Улучшение ДК у корректированной САР происходит при наклоне ЛАЧХ -20 дБ/дек. на частоте юСр, а также сопряжении участков наклона (-40 дБ/дек. и -20 дБ/дек.) на юСр в случае сокращения протяженности участка с наклоном -40 дБ/дек. до юСр и т. д.
Для получения асимптотической ЛАЧХ можно воспользоваться современными программными пакетами, такими как MathCad и Ма^аЬ. В MathCad ее построение производится по передаточной функции Ж(я). Для концентричного положения исходного некор-ректированного ГСП
W (в) = - к
Т3в +1 в(Т1 + в)(Т2 + 1)
При этом задаваемые параметры участков асимптотической ЛАЧХ следующие:
Ь0(ю) = 201о§(к)/ю); (ю) =
= И ^ю< Т-,0, 201о§(Тзю;
Ьтз (ю) = а ^ю < Т-, 0, 201о§(ТзЮ)^; !т1 (ю) = ^^ю < Т^, 0, - 201о§(Т1Ю)^;
Ьт2 (ю) = ^ю < Тт, 0, - 201о§(Т2ю)^.
Тогда обобщенная асимптотическая ЛАЧХ принимает вид [20]
Ьа (ю) = Ь0 (ю) + (ю) + ЬТг (ю) + ЬТ2 (ю).
По программе ОБРЗБШ [20] могут быть рассчитаны и построены асимптотические
ЛАЧХ. Для условий ГСП упомянутого МРС они приведены на рис. 6, а. Ломаная 1 (сплошная) представляет собой ЛАЧХ исходного варианта ГСП (без коррекции).
Из анализа ЛАЧХ следует, что она при юСр1 имеет наклон -40 дБ/дек. и соответствующий Дф, определяемый по ЛФЧХ в той же программе, составляет 15°, т. е. такая САР обладает низким ДК [19]. Для исключения наклона -40 дБ/дек. и соответственно улучшения ДК разработан целый ряд методов динамической коррекции. Во многих случаях они позволяют обеспечивать целенаправленный синтез САР и достигать значительного повышения динамических показателей.
При изменении приведенного объема Упр кармана опоры ГСП за счет включения дополнительной гидроемкости 0А (стандартного сильфона [8]) частота, соответствующая постоянной времени Т2, уменьшается, смещаясь влево (рис. 6, а, ломаная Г). Ее положение на ЛАЧХ можно выбрать таким образом, чтобы участок с наклоном -20 дБ/дек. своей серединой пересекал ось частот. При этом Дф может быть увеличен до 19°, т. е. ДК растет, но незначительно. Это объясняется большой протяженностью участка с наклоном -40 дБ/дек. (до частоты среза), малой протяженностью следующего за ним участка с наклоном -20 дБ/дек. и соответствующим показателем колебательности М [21, 22]. Кроме того, как следует из анализа ПП, увеличение 0А ухудшает быстродействие САР. Сам ПП может быть также рассчитан и построен в MathCad с учетом нелинейности САР при использовании соответствующей программы КЬШ_Н8В [23].
Параметры подключаемой гидроемкости и значения постоянной времени Т2 представлены в табл. 2.
Одним из наиболее эффективных методов коррекции ДК ГСП является введение в САР корректирующей ИС-цепи. Передаточная функция корректированной САР имеет вид (з).
Результаты расчета параметров коррекции
Таблица 2
Ломаная СА ■ 105, м3/Па Т2 ■ 10-3, с Дф, Наклон, дБ/дек.
1 - 2,4 15 -40
1' 15 17,0 19 -20
ЕТАПЛООБРАБОТК]
Рис. 6. Асимптотические ЛАЧХ: а — 1 — исходной САР; 1' — САР корректированной подключением СА; б — 1 — исходной САР; 2, 3, 4 — корректированной ИС-цепью САР
Обобщенная функция асимптотической ЛАЧХ:
£а (ю) = А) (ш) + В3(ю) + ¿гА(ш) + + ^(ю) + ^(ю) + ЬТ2к^'
Параметры коррекции определяются в следующем порядке. Сначала назначается значение гидравлической емкости (в виде стандартного металлического сильфона) СА [14] таким образом, чтобы определяемая ею частота Ю1к = 1/^1к привела к пересечению оси частот участком ломаной с наклоном -40 дБ/ дек. После этого определяется значение ЯА, при котором положение соответствующей ему частоты Ю2к = 1/^2к (с учетом постоянной Та) обеспечит смещение участка ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек. (определяемым диапазоном частот 1/Т31 < ю < 1/Т1) в область частоты среза.
На рис. 6, б представлены полученные по выражению (3) ломаные 2, 3, 4 (штриховые) для корректированного варианта ГСП при
Параметры участков асимптотической ЛАЧХ корректированного варианта САР для расчета асимптотических ЛАЧХ также в пакете MathCad примут вид:
¿0(ю) = 20^
к
ЬТз1 (ю) = И | ю < 0, 201с§(731ю) |;
ЬТа (ю) = И[ ю < Т-, 0, 201с§(ТАю) |;
ЬТх (ю) = ИI ю < Т, 0, - 201с§(Т1ю) I;
Ьгы((а) = со < 0, - 201(^(7!кш)
V Т1к
Ьг (со) = ^ со < 0, - 201ог(Г2ксо)
2К I 2к .
Результаты расчета параметров коррекции
Таблица 3
Ломаная ЛАЧХ СА • 10-14, м3/Па ЯА • 109, Па • с/м3 Тц • 10-3, с Т2к ■ 10-5, с ТА • 10-4, с Дф, Наклон, дБ/дек.
2 21 3,8 3,2 6,0 7,8 55 -40
3 21 8,5 3,2 13,5 17,8 76 -20
4 21 18 3,2 28,6 37,8 55 -40
различных значениях гидросопротивления Яа (табл. 3) и задаваемом фиксированном значении постоянной гидроемкости (которое назначается по прочности и конструктивным параметрам сильфона [8]).
Из анализа ломаных 2, 3, 4 следует, что в случае вариантов 2 и 4 ЛАЧХ пересекает ось частот с наклоном -40 дБ/дек. и только для варианта 3 наклон участка на частоте среза составляет -20 дБ/дек., при этом обеспечиваются устойчивость и неколебательность системы, это подтверждают соответствующие ПП [17], построенные с помощью программы КЬШ_Н8В.
Таким образом, в рассматриваемом случае назначается Яа = 12 • 109 Па • с/м3 (табл. 3), при котором запас устойчивости по фазе Дф = 76 ° и обеспечивается высокое ДК САР.
Гидроемкость С^ в табл. 3 соответствует стандартному однослойному металлическому сильфону (сильфон 18 X 10 X 25 — 36НХТЮ ГОСТ 21482-76).
Достоинствами способа являются простота получения ЛАЧХ (вплоть до варианта без использования вычислительных средств) и наглядность при формировании необходимой ее формы.
Большими возможностями как по синтезу желаемой ЛАЧХ, так и по исследованию получаемых САР в условиях вариаций параметров, условий функционирования [24], видов СУ ГСП и т. п. обладает пакет высокого уровня Ма^аЬ. При использовании встроенных средств автоматической линеаризации взтиИпк-моделей [18], а также скрипта 1ашв.ш
Таблица 4
Результаты расчета параметров коррекции для САР ГСП «дроссель-регулятор»
Ломаная ЛАЧХ СА • 10-14, м3/Па ЯА ■ 109, Па • с/м3 Дф, Наклон, дБ/дек.
1 - - 19 -40
2 21 7,2 55 -40
3 21 14 78 -20
4 21 28,6 55 -40
[25], выполненного в Ма^аЬ, можно получить непосредственно по структуре асимптотические ЛАЧХ.
В этом случае выбор параметров основан на том, что при назначаемом фиксированном значении СА (например, соответствующем стандартному сильфону) последовательным перебором определяются условия, задаваемые гидросопротивлением ЯА (табл. 4), при которых обеспечивается пересечение оси частот ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек. В табл. 4 приведены возможные варианты для различных ЯА. При этом только для варианта 3 обеспечиваются такие условия, при которых наклон ЛАЧХ на частоте юСр составляет -20 дБ/дек., обеспечивая САР устойчивость и неколебательность. Для вариантов с ЯА, большей или меньшей, чем у варианта 3 (ломаные 2 и 4), асимптотическая ЛАЧХ пересекает ось частот с наклоном -40 дБ/дек.
Таким образом, для принятого значения гидроемкости СА по асимптотическим ЛАЧХ однозначно можно сделать выбор необходимых параметров коррекции, варьируя значения Яа, и получить высокое ДК при пересечении асимптотической ЛАЧХ на частоте ю, с наклоном -20 дБ/дек.
К недостаткам такого варианта относятся усложнение процедуры определения комбинаций параметров, обеспечивающих наилучший вариант коррекции, необходимость дополнительного программирования с использованием скрипта, а достоинствами являются минимальный объем необходимых вычислений и преобразований, а также простота перебора вариантов.
Заключение
С точки зрения использования в инженерной практике для определения параметров коррекции Са и Яа наиболее пригодны последние четыре способа, так как первый способ предполагает сложные математические
ср
Е ТАЛ Л О ОБ РАБО Т Kj
вычисления и анализ. В большей степени он оправдан в научно-исследовательских целях.
Наиболее понятным в освоении способом является последний из рассмотренных, использовать который, применяя известные методы построения асимптотических ЛАЧХ для определения параметров Са и Яа, очень просто.
При создании программного комплекса, выполненного в MathCad или Ма^аЬ, выбор параметров Са и Яа может быть автоматизирован и формализован.
Окончательно проверять правильность определения параметров коррекции необходимо по ПП САР как при большой, так и при малой нагрузке.
Литература
1. Дудески Л., Петков П. П., Прокопенко В. А., Яцкевич А. А. Методические указания по выполнению расчетов и проектированию подшипников современных высокопроизводительных металлорежущих станков. Л.: ЛГТУ, 1990. 37 с.
2. Бундур М. С., Прокопенко В. А., Пелевин Н. А. Прогнозирование динамического качества шпиндельных гидростатических подшипников при учете энергетических процессов // Металлообработка. 2016. Т. 92, № 2. С. 56-63.
3. Бундур М. С., Пелевин Н. А., Прокопенко В. А. Возможности и особенности пакета Ма^аЬ БтиНпк при моделировании систем управления гидростатическими несущими узлами // Материалы 4-й Международной научно-практической конференции «Современное машиностроение. Наука и образование». СПб.: Изд-во Политех. ун-та. 2014. С. 815-825.
4. Прокопенко В. А., Яцкевич А. А. Динамические характеристики гидростатических подшипников тяжелых металлорежущих станков. В кн.: Прогрессивные технологические процессы в машиностроении. Л.: ЛГТУ, 1990. С. 7-14.
5. Петков П. П., Прокопенко В. А., Чернов И. А. Аналитические исследования возможностей повышения виброустойчивости шпиндельных узлов станков на гидростатических опорах // Тр. СПбГПУ. 2007. № 504. С. 137-148.
6. Привалов В. В., Прокопенко В. А., Скубов Д. Ю.
Динамические свойства разомкнутых гидростатических опорных систем. В кн.: Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем (ЫОМ899). СПб.: ИПМаш, 2000. С. 442-454.
7. Дьяконов В. П. Ма^еша^са 4.1/4.2 /5.0 в математических и научно-технических расчетах. СПб.: Солон-Пресс, 2004. 688 с.
8. ГОСТ 21482—76. Сильфоны однослойные измерительные металлические. Технические условия. М.: Государственный комитет СССР по стандартам, 1976.
9. Металлорежущие станки. Проектирование гидростатических направляющих металлорежущих стан-
ков и станочных комплексов: метод. ук. / Сост.: М. С. Бундур, В. А. Прокопенко, И. А. Чернов. СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2009. 28 с.
10. Цыпкин Я. З. Основы теории автоматических машин. М.: Наука, 1977. 599 с.
11. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Программный комплекс «МВТУ» в научных исследованиях и прикладных разработках // Математическое моделирование. 2015. Т. 27, № 11. С. 32-46.
12. Проектирование и исследование гидростатических несущих систем с помощью пакета Matead: метод. ук. / В. С. Бурлучкий, В. А. Прокопенко, И. А. Чернов,
A. А. Яцкевич. СПб.: СПбГТУ, 1997. 22 с.
13. Колдаев В. Д. Основы алгоритмизации и программирования: учеб. пособие / Под ред. Л. Г. Гагариной. M.: Форум; ИНФРА-М, 2006. 416 с.
14. Бундур М. С., Пелевин Н. А., Прокопенко В. А. Динамика высокоскоростных шпиндельных узлов тяжелого станочного оборудования // Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. 2016. Т. 238, № 1. С. 145-154.
15. Пелевин Н. А., Прокопенко В. А. Автоматизированный расчет параметров RC-цепи для гидростатического подшипника // XLII Неделя науки СПбГПУ: материалы науч.-практ. конф. c международ. участием. Ин-т металлургии, машиностроения и транспорта СПбГПУ. СПб.: Изд-во Политех. ун-та. 2014. Т. 1. С. 49-51.
16. Дашич П. В., Петков П. П., Прокопенко В. А.
Исследование динамического поведения системы шпиндельного узла на гидростатических подшипниках. В сб. : АМТЕСН-07. Габрово (Болгария). 2007. С. 256-260.
17. Pelevin N. A. Computer Modeling and Analysis of the Dynamic Properties of Hydrostatic Bearing Systems / / Computer Modeling and Analysis of the Dynamic Properties of Hydrostatic Bearing Systems. СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2014. С. 167.
18. Борисевич А. В. Теория автоматического управления: элементарное введение с применением MatLab [Электронный ресурс]. ISBN 978-5-16-101828-6. М.: Инфра-М, 2014. 200 с.
19. Иващенко H. H. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. М: Машиностроение, 1983. 608 с.
20. Бундур М. С., Пелевин Н. А., Петков П. П., Прокопенко В. А. Расчет, моделирование и конструирование оборудования с компьютерным управлением: практикум. СПб.: Изд-во Политех. ун-та. 2016. 56 с.
21. Бесекерский В. А., Попов Е. Н. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е, перераб. и доп. СПб.: Профессия, 2003. 752 с.
22. Лещенко В. А. Гидравлические следящие приводы станков с программным управлением. М.: Машиностроение, 1975. 288 с.
23. Теория автоматического управления: учеб. пособие / М. С. Бундур, Н. А. Пелевин, Ю. В. Пересадько,
B. А. Прокопенко, И. А. Чернов. СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2016. 73 с.
24. Пелевин Н. А. Компьютерное моделирование энергетических процессов в шпиндельных гидростатических подшипниках // КОМОД 2015: тр. международ. науч.-техн. конф. 1-3 июля 2015 г., 2015. С. 74-82.
25. Бороденко В. А. Построение асимптотической ЛАЧХ в MatLab // Вестн. ПГУ. Энергет. сер. № 1, 2014. С. 8.
