Динамика прямоугольного тела в заполненной жидкостью полости при вибрациях. Теория Текст научной статьи по специальности «Физика»

Конвективные течения..., 2013

ДИНАМИКА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕЛА В ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ ПОЛОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ. ТЕОРИЯ

О. А. Власова, В.Г. Козлов

Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Теоретически рассматривается вибрационная подъемная сила, действующая на твердое тело в форме параллелепипеда.

Тело помещено в горизонтальную прямоугольную полость, заполненную вязкой несжимаемой жидкостью и совершающую горизонтальные поступательные колебания. Решение находится в высокочастотном приближении, когда вязкость жидкости при колебаниях не проявляется. Рассматриваются условия вибрационного подвеса тела в поле силы тяжести.

При этом вес тела уравновешивается силой отталкивания от границы полости. Показано, что порог отталкивания тела зависит не только от его плотности, но и от относительной толщины. Результаты теоретического анализа удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.

Ключевые слова: вибрации, вязкая жидкость, легкое плоское тело, подъемная сила.

Экспериментальное исследование динамики твердого тела в форме вытянутого параллелепипеда в полости прямоугольного сечения с вязкой жидкостью, совершающей горизонтальные вибрации, проведено в [1]. Обнаружен пороговый отрыв легкого тела от верхней границы полости (тяжелого - от нижней) при повышении интенсивности вибраций. Тело свободно и совершает колебания вблизи границы полости под действием силы инерции. Отталкивание тела от границы полости происходит в результате гидродинамического взаимодействия с осциллирующим потоком жидкости, как это происходит в случае тела цилиндрической формы [2-4].

© Власова О. А., Козлов В.Г., 2013

Власова О.А., Козлов В.Г. Динамика прямоугольного тела в заполненной

Целью предлагаемой работы является построение теоретической модели генерации вибрационной подъемной силы в высокочастотном приближении и сравнение с результатами эксперимента [1].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассчитаем подъемную силу, действующую на длинное тело толщиной hS и плотностью pS, помещенное в совершающую поступательные вибрации полость прямоугольной формы с жидкостью (плотность pL ; pL Ф pS). Будем считать толщину полости h много меньше ее длины и длины тела. В этом приближении задача рассматривается в двумерной постановке, влиянием торцов тела пренебрегается. Полость совершает поступательные колебания вдоль горизонтальной оси х по закону r = b cos Q/n (рис.1).

X

Рис.1. Прямоугольное тело в прямоугольной полости с жидкостью при поступательных колебаниях последней

Уравнения движения несжимаемой жидкости в поле силы тяжести в неинерциальной системе отсчета, связанной с полостью, имеют вид:

Vp + pLg + tjAvl + pLbQ2 cos Q/n

divuL = 0

(1)

Движение тела в неинерциальной системе отсчета, связанной с полостью, описывается уравнением:

66

Конвективные течения..., 2013

Ps ^ = Psg _ V^P^S + PsbW2 C0S

(2)

Здесь V- объем тела, g - ускорение свободного падения, uS -скорость движения тела, п - коэффициент кинематической вязкости жидкости.

В приближении высоких частот (d<< hS , где d = ^l2n/W - толщина слоя Стокса) и малых амплитуд колебаний тела можно пренебречь вязким и нелинейным членами в (1). Тогда уравнение движения жидкости примет вид:

Эи

pL—— = -Vp + pL g + pLbW2cos Wtn (3)

dt

Разделим все переменные в (2) и (3) на осциллирующие и медленноменяющиеся и запишем уравнения осциллирующего движения для жидкости и тела:

Эи

pL —— = -Vp + pLbW2 cos Wtn Э/

Эи

pS —— = -Vp + pSbW2 cos Wtn Э/

(4)

В двумерной постановке в ходе колебаний движение тела и жидкости происходит вдоль оси х. Запишем систему уравнений (4) в проекции на ось х:

pL = -— + pLbW2 cos Wt

HL Э/ Эх HL

(5)

p = - Эр + p bW1 cos Wt

HS Э/ Эх HS

Тело и жидкость в вибрирующей полости совершают поршневые колебания в противофазе. В силу обращения в ноль расхода жидкости (канал закрыт), скорости движения тела и жидкости связаны соотношением:

UShS = ULhL

67

Власова О.А., Козлов В.Г. Динамика прямоугольного тела в заполненной

Здесь hL ° h - hs - толщина слоя жидкости. Обозначим отношение толщины тела к толщине жидкости как:

х

h

S

h

L

Тогда для скорости движения тела выполняется условие

US =-XUL

Решая систему (5) с учетом (6), получим:

Эи

(Ps +Pl = (Ps - Pl )bW COS Wt

(6)

(7)

Из (7) следует выражение для скорости осциллирующего движения тела:

us = (Ps—bw cos Wt (Ps +xPl )

(8)

В условиях сделанных предположений амплитуда колебаний тела А (в системе отсчета полости) связана с амплитудой колебаний полости b соотношением:

А = 1р~1 (9)

ь (р+Х)

Здесь р° ps / pL - относительная плотность тела.

На границе тело-жидкость имеется тангенциальный скачек скорости:

us -uL = (1 + Х)-Р—pTbWcosWt = (1+ Х)——-bWcosWt (Ps +xPl ) (Р + Х)

Скачек скорости приводит к появлению среднего по времени перепада давления:

Л DU 1 (р-1)2 ,

Dp = Pl-= — (1 + Х) ——ГГ PLb

HL 2 4 (р + Х) L

2 W2

(10)

Рассмотрим случай, когда тело совершает колебания, находясь у одной стенки полости, и обтекается осциллирующим потенциаль-

68

Конвективные течения..., 2013

ным потоком жидкости только с одной стороны. Тогда перепад давления на одной стенке приведет к появлению подъемной силы, отталкивающей тело от границы. Отметим, что именно эта сила приводит к подвесу цилиндрического тела вблизи границы вибрирующей полости [5, 6].

Квазиравновесие тела в поле силы тяжести определяется условием, когда сумма всех сил в проекции на ось у равна нулю, т.е. ос-редненная по периоду вибрационная подъемная сила уравновешивает вес тела в жидкости. При этом тело совершает колебания вблизи границы, не прикасаясь к ней. Условие квазиравновесия с учетом (10) определяется равенством:

1 Pl(1 + Х)2(Г+£Р b2°2 = p ~P^hs8

(11)

Из (11) получим условие квазиравновесия прямоугольного тела вблизи горизонтальной границы полости, заполненной жидкостью и совершающей высокочастотные продольные колебания:

W = 4

(p+x)2 (1+Х)2 \p-1|

(12)

Здесь W ° b2Q2/ghS - вибрационный параметр. Данное выражение характеризует критическое значение W , по достижении которого тело отталкивается от границы и занимает квазистационарное равновесное состояние на некотором расстоянии от нее. Выражение (12) получено в приближении невязких колебаний тела. В то же время предполагается, что тело находится в непосредственной близости от границы и потенциальный осциллирующий поток между телом и границей отсутствует - тело обтекается только с внешней (по отношению к границе) стороны. Как следует из [3, 6] такое поведение характерно для случая, когда расстояние между колеблющимся телом и стенкой сравнимо с толщиной слоя Стокса. На большем расстоянии сила отталкивания, действующая на колеблющееся тело, сменяется силой притяжения [7, 8].

Зависимость критического значения вибрационного параметра W от относительной плотности p имеет немонотонный вид (рис.2) и подобна аналогичной зависимости для цилиндрического тела, полученной экспериментально и теоретически в [6]. Максимальная подъемная сила (этому соответствует минимальное пороговое значение W ) действует на легкие включения. С повышением

69

Власова О.А., Козлов В.Г. Динамика прямоугольного тела в заполненной

относительной плотности по мере приближения к значению р = 1 подъемная сила снижается до нуля. Это объясняется уменьшением амплитуды инерционных колебаний тела. Если тело плотнее жидкости (р > 1), то пороговое значение W с возрастанием р сначала понижается, а по достижении минимума начинает возрастать. Как видно на рис.2, зависимость порогового значения W от относительной толщины тела X различна при р < 1 и р > 1.

Рис.2. Зависимость вибрационного параметра W от относительной плотности тела р

Зависимость критического значения W от относительной толщины X представлена на рис.3. Для тел плотнее жидкости порог понижается с увеличением X. Для легких тел, наоборот, порог снижается с уменьшением X. Это означает, что чем тоньше легкое тело, тем легче перевести его в подвешенное состояние. Отметим, однако, что анализ выполнен в приближении высоких частот, 0)°Wh2s Iv >> 1, когда толщина тела значительно превосходит

толщину слоя Стокса. Известно, что уменьшение размера тела приводит к резкому снижению подъемной силы (возрастанию порогового значения W) в области умеренных и низких частот [3, 6]. В этом случае обтекание тела перестает быть потенциальным.

70

Конвективные течения..., 2013

Рис.3. Порог вибрационного подвеса тела в зависимости от его относительной толщины £

2. СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ И ЭКСПЕРИМЕНТА

Эксперименты [1] обнаружили пороговый переход легкого тела в подвешенное состояние при повышении интенсивности вибраций. Пороги вибрационного подвеса тела на плоскости безразмерных параметров w,W приведены на рис.4. Экспериментальное пороговое значение W зависит от безразмерной частоты. Порог резко возрастает с понижением w при w< 103. В области w> 3000 пороговая кривая выходит на горизонтальную асимптотику W »1.5 ± 0.5 .

Условиям описанных экспериментов соответствует £ = 0.35 и р = 0.09. Из (12) следует, что порогу вибрационного подвеса тела

соответствует значение параметра W * = 0.47 (показано штриховой линией на рис.4). Таким образом, в эксперименте порог удержания тела в подвешенном состоянии оказывается в несколько раз выше расчетного. Несовпадение порогов экспериментального (сплошная линия) и теоретического (штриховая) объясняется вязким взаимодействием колеблющегося тела с границей. Это взаимодействие не учитывается в теории.

71

Власова О.А., Козлов В.Г. Динамика прямоугольного тела в заполненной

5

W

2.5

0

0 7000 w 14000

Рис. 4. Границы отрыва (темные точки) и падения (светлые) для тела h = 1.04 см с закругленными краями в жидкостях разной вязкости

Результаты обработки скоростной видеосъемки колебаний тела с закругленными краями (hS = 1.6 см, h = 4.0 см, р = 0.09) в жидкости вязкостью v = 8.1 сСт показали, что в подвешенном состоянии (после ухода от потолка полости, см. рис.11а в [1]) тело совершает колебания относительно кюветы с амплитудой А = 7.3 мм при колебаниях полости с амплитудой b = 8.9 мм. Безразмерная амплитуда колебаний тела в эксперименте (A /bexp = 0.82) оказывается в

полтора раза меньше теоретического значения A / btheor = 1.2 (9), полученного в приближении невязкого характера обтекания тела. С учетом того, что подъемная сила пропорциональна квадрату скорости осциллирующего движения тела, для его удержания в подвешенном состоянии в этом случае требуется значение W в 2.5 раза больше расчетного. Это позволяет согласовать экспериментальные и теоретические результаты и сделать заключение о правильном понимании механизма генерации подъемной силы.

Заключение. Построена теоретическая модель подъемной силы, действующей на тело прямоугольной формы, совершающее колебания малой амплитуды и высокой частоты в невязкой жидкости вблизи стенки полости.

72

Конвективные течения..., 2013

Удовлетворительное согласие теоретического и экспериментального пороговых значений вибрационного параметра подтверждает правильность описания осредненного взаимодействия прямоугольного тела с окружающей его жидкостью при вибрационном воздействии на полость.

Показано, что теоретическое значение вибрационного параметра W , соответствующее порогу удержания тела вблизи стенки полости, ниже экспериментального значения W [1]. Это объясняется тем, что амплитуда колебаний тела в эксперименте оказывается меньше расчетной вследствие вязкого взаимодействия с границей.

Работа выполнена в рамках Программы стратегического развития ПГГПУ (проект 030-Ф), при поддержке Минобрнауки РФ (задание № 1.2783.2011) и Министерства образования Пермского края (проект С-26/625).

СПИСОК ССЫЛОК

1. Власова О.А., Козлов В.Г., Щипицын В.Д. Динамика прямоугольного тела в заполненной жидкостью полости при вибрациях // В настоящем сборнике.

2. Kozlov V.G. Solid-body dynamics in cavity with liquid under high-frequency rotational vibration // Europhys. Letters. 1996. Vol. 36. No 9. P. 651-656.

3. Иванова А.А., Козлов В.Г., Щипицын В.Д. Легкий цилиндр в полости с жидкостью при горизонтальных вибрациях // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 6. С. 63-73.

4. Lift force acting on the cylinder in viscous liquid under vibration /

V. Kozlov, A. Ivanova, V. Schipitsyn, M. Stambouli // Acta Astro-nautica. 2012. Vol. 79. Р. 44-51.

5. Lift force acting on solid in liquid near the boundary performing tangential oscillations / V. Kozlov, A. Ivanova, V. Schipitsyn, M. Stambouli // Proc. 64rd International Astronautical Congress (IAC) 23-27, September 2013. Beijing (China), DVD.

6. Иванова А.А., Козлов В.Г., Щипицын В.Д. Подъемная сила, действующая на цилиндрическое тело в жидкости вблизи границы полости, совершающей поступательные колебания // ПМТФ. 2014. В печати.

7. Луговцов Б.А., Сенницкий В.Л. О движении тела в вибрирующей жидкости // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, № 2. С. 314317.

73

Власова О.А., Козлов В.Г. Динамика прямоугольного тела в заполненной

8. Иванова A.A., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф. Вибрационная подъемная сила, действующая на тело в жидкости вблизи твердой поверхности // Докл. РАН. 2005. Т. 402, № 4. С. 488-491.

DYNAMICS OF RECTANGULAR SOLID IN LIQUID FILLED CAVITY UNDER VIBRATION. THEORY

O.A. Vlasova, V.G. Kozlov

Abstract. The vibrational lift force acting on rigid rectangular body is theoretically considered. The body is placed in a horizontal rectangular cavity filled with a viscous incompressible fluid and subjected to horizontal translational oscillations. The solution is obtained in high-frequency approximation when the viscosity of the liquid does not occur during vibration. The conditions of the vibrational suspension of body in the gravity field are found. The weight of the body is balanced by the repulsive force acting on body near the cavity boundary. It is shown that the repulsion threshold of the body depends not only on body density but also on the relative body thicknesses. The results of theoretical analysis are in satisfactory agreement with the experimental data.

Keywords: oscillations, viscous liquid, light flat body, lift force.

74