Динамика магнитной жидкости в скрещенных магнитных полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Физика Вып. 1 (6)

Динамика магнитной жидкости в скрещенных магнитных полях

А. Ф. Пшеничников11,ь, А. А. Федоренко3

а Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 ь Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Ак. Королева, 1

Выведены уравнения, описывающие динамику магнитной жидкости в скрещенных магнитных полях (постоянном подмагничивающем и слабом переменном) и позволяющие определить времена релаксации намагниченности по экспериментальным данным для сигнала с измерительной катушки. Исследования проведены при комнатной температуре в диапазоне частот от 10 Гц до 8 кГц для магнитных жидкостей на основе коллоидного магнетита и жидких углеводородов. Данные для зависимости броуновского времени релаксации сопоставляются с предсказаниями теоретических моделей.

1. Введение

Поведение магнитной жидкости в скрещенных магнитных полях (постоянном подмагничивающем Н0 и слабом переменном h = a cos cot) имеет ряд особенностей, позволяющих получить ценную информацию о внутренней структуре коллоидного раствора, включая информацию о характерных размерах кластеров и их форме. Источником информации служит зависимость ЭДС Е, наводимой в измерительной катушке, от напряженности под-магничивающего поля Я0. Подобного рода исследования проводились в целом ряде работ (например, [ 1 - 4]), однако все они относились к области низких частот, соответствующих квазистатическо-му пределу сот« г - время релаксации намагниченности. Измерения в области умеренных частот (¿у г я 1) проводились только в работе [5], где была отмечена деформация кривой Е(Н0) с ростом частоты и высказано предположение о возможности определения времени релаксации намагниченности по величине этой деформации. Теория метода, пригодная для квазистатического анализа концентрированных полидисперсных жидкостей, описана нами в [3, 4]. В данной работе развита теория метода, пригодная для любых значений сот, но при условии, что частота зондирующего поля со остается малой по сравнению с частотой ферромагнитного резонанса. Проведен анализ новых экспериментальных данных, относящихся к “высоким” частотам, и найденные времена релаксации сопоставлены с предсказаниями теоретических моделей.

2. Основные уравнения

Взаимная ориентация магнитных полей и цилиндрического образца магнитной жидкости приведена на рис. 1. Образец магнитной жидкости имеет форму длинного цилиндра, ось которого направлена вдоль постоянного внешнего поля #0. Слабое переменное поле h = a cos со t расположено перпендикулярно оси цилиндра. Измерительная катушка охватывает среднюю часть образца, а ее ось совпадает с осью образца.

Рис. 1. Ориентация магнитных полей

О А. Ф. Пшеничников, А. А. Федоренко, 2007

При одновременном включении постоянного и переменного магнитных полей вектор суммарного поля Н совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 1, а). Такие же колебания совершает и вектор намагниченности М, совпадающий по направлению с Н в пределе низких частот. Хотя проекция поля на ось г постоянна, соответствующая проекция намагниченности Мп колеблется со временем на удвоенной частоте вследствие нелинейной зависимости М = / (//). Эти колебания ъ -компоненты намагниченности и индуцируют ЭДС в измерительной катушке. Согласно закону Фарадея величина ЭДС равна

E = MoHS

дМг

dt

0)

где ц0 = 4л-10 7 Гн/м, S - площадь поперечного сечения образца, N - число витков в измерительной катушке. Как видно из рис. 1, квазиравновес-ная намагниченность образца равна

М = М(Н)~ , И = ^Hq +h2 . (2)

н

Переменная составляющая поля h внутри образца связана с внешним полем h0 = а0 cos со t через поперечный размагничивающий коэффициент /с2:

h=h0-rc2Mx. (3)

В пределе низких частот амплитуда ЭДС в измерительной катушке может быть найдена прямым дифференцированием (2) и (3) по времени. С учетом того, что для круглого цилиндра к2 = 0.5, амплитуда ЭДС равна [3, 4]

Еп =

2/j0NSq)

(2 Н0 + М0У

Мп дМг

Ял SH

о у

(4)

где а0 - амплитуда переменной составляющей внешнего поля. На повышенных частотах {со т> 1) намагниченность образца отличается от равновесного значения (2), коллинеарность векторов М и Н нарушается, и уравнение (4) становится неприменимым (рис. 1, б). Для определения компонент намагниченности и ЭДС необходимо решать релаксационное уравнение для намагниченности.

Найдем амплитуду ЭДС в измерительной катушке для произвольной частоты зондирующего поля. Так как по условиям эксперимента переменная составляющая поля мала, воспользуемся линеаризованным уравнением релаксации [6, 7]

СІМ,

1

dt

r±,l

■(М-М0)х,

(5)

г -МП Г

Ги - тв

_ 2Щ)

тв

(6)

" Щ) - е-Щ) ад-//£

Здесь £ = /иптН /кТ - параметр Ланжевена, гн = Зг]У/кТ - характерное время вращательного броуновского движения феррочастиц, т - магнитный момент частицы, V - объем частицы, включая защитную оболочку, к - постоянная Больцмана, Т - температура. Раскладывая равновесную намагниченность (2) в ряд по степеням слабого переменного поля И и, оставляя в уравнении (5) только слагаемые с низшими степенями, получим

_

dt

дМ.

dt

_1_

г±

МХ-Ш°±И

Нп

(7)

Мг-М(Н0)-

дМ М

2Я0 v дН Н )н=

(8)

Подставляя явное выражение для внутреннего поля h - a cos cot в уравнения (7), (8), получим

_ М(Н0)а

11 X I-----Г~ТГ >

tfoVl

(9)

+ со2т2

Мг = М(Я0) +

•2 ҐдМ МЛ

АН,

ия Н)н=н

1 +

cos(2iy/ - а)

^+4й,2гіі

(10)

tg а = 2соц , tg/? = й)т± .

Уравнения (3) и (9) позволяют связать амплитуды внешнего и внутреннего магнитных полей:

а2 =

а%(\ + со2т1)

1 +

ЩНо)

2 Я

(И)

2 2 + <У Г[

Подстановка уравнений (10) и (11) в (1) дает искомое выражение для амплитуды ЭДС в измерительной катушке

Ео =

2ju0NSco alH0(\+2co2Tj)

Jl+4fflV, [(2Я„ + М0)2 +4Н'-сгіі)

Времена релаксации Ги и гх для продольной и поперечной компонент намагниченности соответственно зависят от напряженности поля и намагниченности раствора и в приближении разбавленных растворов описываются уравнениями:

(12)

Уравнение (12) определяет полевую и частотную зависимости сигнала с измерительной катушки. Сравнение этих зависимостей с данными экспери-

54

А. Ф. Пшеничников, А. А. Федоренко

мента позволяет в принципе получить информацию о броуновском времени релаксации коллоидных частиц и ее зависимости от напряженности магнитного поля. Формулы (6) для времен релаксации могут быть использованы формально только для разбавленных растворов с пренебрежимо слабыми межчастичными взаимодействиями. Аналитические выражения, описывающие полевую зависимость времен релаксации для концентрированных жидкостей, в научной литературе отсутствуют. Другая большая проблема связана с присутствием в выражении (6) микроскопической величины - магнитного момента частицы. В реальных жидкостях магнитные моменты и объем частиц изменяются в широких пределах вследствие естественной полидисперсности. По этой причине магнитная жидкость характеризуется целым спектром времен релаксации, а не одним гв, как релаксационное уравнение (5). Таким образом, сопоставление уравнения (12) с данными эксперимента позволяет оценить степень влияния межчас-тичных взаимодействий и полидисперсности частиц на релаксационные процессы в магнитной жидкости.

Для удобства сравнения расчетных и экспериментальных результатов и, возможно, расширения области применимости формул (6) выразим времена релаксации гц, через намагниченность жидкости и напряженность поля - макроскопические величины, непосредственно входящие в уравнение (12) и поддающиеся надежному измерению. Используя известное выражение для намагниченности в одночастичном приближении М = /^тпЦф, получим

Параметры образцов

N <х>, нм <т>, А-м2 Мао, А/м

1 7.6 1.88 10“19 20 000 1.73

2 9.7 3.61 10 19 20 000 2.90

3 9.9 3.30 10-19 7 100 0.68

Образец № 3 предположительно содержал агрегаты - короткие цепочки (данный образец приготовлен так же, как и описанный в работе [3]).

Однородное магнитное поле создавалось катушками Гельмгольца. Для расширения частотного диапазона использовались катушки небольшого диаметра - 60 мм, тем не менее поле имело неоднородность не более 2 % в объёме измерительной катушки. Сами катушки Гельмгольца были соединены параллельно. Измерительная катушка имеет собственный резонанс на частотах 28-35 кГц (в зависимости от магнитной восприимчивости образца и подмагничивающего поля). Диаметр образца измерительной катушки - 8.8 мм, количество её витков - 4000. Добротность колебательного контура, состоящего из измерительной катушки, её паразитной ёмкости, ёмкости осциллографа, а также сопротивления потерь, оказывается в пределах 6-10 (в зависимости от образца). Это позволяет производить измерения на частоте до 8 кГц без существенных искажений измеряемых ЭДС. Амплитуда напряжённости переменного магнитного поля для образцов № 1 и № 2 была равна 110 А/м, для образца №3 - 276 А/м. ЭДС сигнала в измерительной катушки измерялась селективным вольтметром В6-9 с нижней частотой селекции 20 Гц (соответствующей нижней частоте переменного магнитного поля 10 Гц).

Гм =

Н дМ М дИ

в »

г, =

2М

1>ХИ-М

г в ’

(13) 4. Результаты исследований

где х ~ начальная восприимчивость магнитной жидкости. В пределе разбавленных растворов формулы (13) переходят в уравнение (6), но в отличие от (6) они могут быть экстраполированы на концентрированные растворы. Вопрос о корректности такой экстраполяции может быть решен только сопоставлением этих формул с экспериментальными результатами.

3. Детали эксперимента

Исследовались три образца магнитной жидкости с различным дисперсным составом и концентрацией магнитной фазы. Некоторые параметры образцов: средние размеры магнитных ядер <х>, средние магнитные моменты <т>, намагниченности насыщения Мл, начальные восприимчивости^, полученные на основании анализа кривой дифференциальной восприимчивости, приведены в таблице.

Результаты исследований приведены на рис. 2-4. Кривые образца № 2 деформируются с увеличением частоты незначительно. Во всех случаях с увеличением частоты сдвигается положение максимума.

Для образца № 3 показаны кривые, полученные для более низких частот, т.к. предполагаемое время релаксации агрегатов выше. Максимумы графиков, полученных для образца № 3, расположены в области малых напряженностей подмагничи-вающих полей, это соответствует содержанию в данном образце крупных частиц или агрегатов. При дальнейшем увеличении частоты кривые деформируются незначительно.

Как можно заметить, на графиках максимумы кривых смещаются при увеличении частоты в различных направлениях. В случае, изображенном на рис. 2, максимум смещается в сторону маленьких полей, на рис. 4 видно, как максимум смещается в сторону увеличения полей. При вычислении по формуле (12) были получены результаты, существенно расходящиеся с представленными экспери-

ментальными кривыми. Отличаются численные значения ЭДС и поведение максимума. Причём

1200

1000

800

600

400

200

О

Е, мкВ

Л

320 AjO 1250 , А 5000

І

І

□□□□□□□О □ □ □ q Q

♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

8 10 Н, кА/м

Рис. 2. Результаты исследований образца N2 1 на частотах переменного поля 320, 1250 и 5000 Гц

разница увеличивается с увеличением частоты.

Возможно, недостатком вычислений было то, что вязкость жидкости принималась приблизительно равной вязкости жидкости-носителя и варьировалась в незначительных пределах. В расчётах не учитывалась зависимость вязкости от величин магнитных полей и частоты колебаний переменного магнитного поля. Данные предположения хороши только для разбавленных магнитных жидкостей. Наиболее вероятной причиной расхождений результатов измерений и расчётов является пренебрежение межчастичными взаимодействиями магнитной жидкости и полидисперсностью магнитной жидкости.

Рис.5. Результаты расчёта для образца № 1. Кривые большей амплитуды соответствуют большей частоте: 320, 1250 и 5000 Гц

Рис. 3. Результаты исследований образца № 2 на частотах переменного поля 320, 1250 и 5000 Гц

0 »-

0 1 2 Н, кА/м 3

Рис. 4. Результаты исследований образца №3 на частотах переменного поля 10, 20, 30, 40 Гц

Список литературы

1. Пирожков Б. И. Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1987. Т. 51. С. 1088.

2. Пшеничников А. Ф., Федоренко А. А., Пирожков Б. И. II Вестн. Перм. ун-та. 2002. Вып. 4. Физика. С. 85.

3. Пшеничников А.Ф., Федоренко А.А. II Там же. 2003. Вып. 1. Физика. С. 86.

4. Pshenichnikov A.F., Fedorenko А. А. II J. Magn. Magn. Mater. 2005. Vol. 292. P. 332.

5. Пирожков Б. И., Юркин И. В. II 13-е Рижское совещание по магнитной гидродинамике: Тез. докл. Рига, 1990. Т. 3. С. 47.

6. Марцеюок М. И., Paiixep 10. J1., Шлиомис М И. II Журн. эксперим. теор. физ. 1973. Т. 65, вып. 1.С. 834.

7. Блум Э. Я., Майоров М. М., Цеберс А. О. Магнитные жидкости. Рига: Зинатне, 1989.