CC BY
8УДК 539.374
DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-1-18-23
Н. Т. Курбанов, С. С. Гадиева, У. С. Алиева
Динамическое кручение вязкоупругого цилиндра
Сумгаитский государственный университет; АХ 5008 Азербайджанская республика, г. Сумгаит, квартал 43; smsffJ25'amclil. ги
В статье рассматривается распространение нестационарных волн сдвига в тонком полубесконечном цилиндре, находящемся под воздействием нагрузок, распределенных по некоторым участкам боковых поверхностей.
Задача решена интегральным преобразованием Лапласа и косинус-преобразованием Фурье, и оригинал решений построен в виде ряда для произвольных ядер.
При стремлении отрезка, на котором задано возмущение, к нулю при условии, что суммарная нагрузка остается конечной и отличной от нуля, получим решение поставленной задачи для тонкой оболочки, находящейся под воздействием сосредоточенной кольцевой нагрузки, и решение исследовано для функции ползучести, представленной так, чтобы охватить материал Максвелла как частный случай.
Ключевые слова: волны сдвига, вязкоупругость, интегральные преобразования, косинус-преобразование Фурье, ядро, изображение, оригинал, ползучесть, сосредоточенная нагрузка, материал Максвелла, воздействия, вязкость.
Цилиндрические вязкоупругие оболочки широко используются во многих областях техники и промышленности. При этом, как правило, в процессе эксплуатации они подвергаются динамическим воздействиям различного характера. Следовательно, проблема изучения физико-механических свойств цилиндрических оболочек из реологических материалов (полимеры, коленозиты и др.) при действии динамической нагрузки с учетом реологии материалов является актуальной.
В работах [1; 2; 3; 5] исследовано динамическое кручение вязкоупругого полого бесконечного цилиндра для некоторых конкретных ядер. Распределение нестационарных волн при больших значениях параметров рассмотрено в работах [4; 7; 8; 10]. В работе [6] исследовано кручение полого вязкоупругого толстостенного цилиндра нагрузкой, заданной на торце.
В данной работе рассматриваются эти волны в вязкоупругом цилиндре для произвольных наследственных ядер при малой вязкости.
Рассмотрим задачу о динамическом кручении бесконечного вязкоупругого цилиндра внутреннего радиуса а и внешнего в. Пусть цилиндр в начальный момент находится в покое, а с момента времени £ = 0 скручивается нагрузкой, которая распределена на участке (-г0, 20) его боковой поверхности г = Ь симметрично относительно 2 = 0.
Введение
Постановка задачи и решения в изображениях
При этом задачи о бесконечном и полубесконечном цилиндрах эквивалентны. Определяющие соотношения и уравнения движения принимаем в виде:
г I
агв {г, г, = | - т)аегв; а1в {г, = $ - т)Ыегв , (2)
о о
доуДг^г) + дст2в(г,гд) + 2стгв(г,г,в) = д2\у(г,г,г) , (3)
дг дг г 8
где ао - постоянная; g(z, ^ - функция, характеризующая внешнюю нагрузку; агв и о2в-компоненты деформации; - функция релаксации. Начальные условия нулевые
м>(г, г, г) =-^-= 0 при t = 0 (4)
Подставляя (2) в уравнение (3) и выражения деформации через перемещения, после преобразования Лапласа по времени t и косинус-преобразования Фурье по координате z, получаем
<<г2 г
г 1 \
р2 + -2 У^г.е.р) = 0, (5) г )
__—-2 __р]?(г)\
где р2 = £2+—2( ч;С2(р) =-р и параметры преобразований Лапласа и
С \р) 2р0
Фурье соответственно; волной сверху обозначены совместные преобразования, чертой сверху обозначаются изображения функций по Лапласу.
Решение уравнения (5), удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид:
Ыг £ ч= 2ст0/{^р) ф,г)К2{/3,а)+Кх{/3,г)12(р,а)
к ряр 12{р,ь)к2{р,а)-12{р,а)к2{/з,ь\ (6)
где 1у(z) и Ку(г) - цилиндрические функции Бесселя.
Задача формально решена, поскольку обращение преобразований осуществляется с помощью квадратур. Однако ее фактическое вычисление невозможно, поэтому исследуем случай тонкой оболочки.
Вычисление оригиналов решений
Исследуем случай тонкого цилиндра, когда выполняются условия
Ъ—а , т г—а ,
-= Н<< 1; -« 1.
а а
При этом решения (6) приводятся к виду
рЯ(р) ( 2 . V
с'Ы
Это показывает, что в таком приближении поперечные сечения цилиндра поворачиваются как целое относительно оси.
Предположим, что боковая нагрузка постоянна по координате, т. е. g(t, z) = g(t). Тогда из последнего уравнения, вычисляя обратное преобразование Фурье, находим
\ 2cr0rg{p)
w[r, z,p) =- 2
phap
exp
z_op
V C у
exp
(z - zi)p C(p)
+
f
+ exp
exp
(z + z<)p
C(p)
_ (z - z<)p
- C{p)
; при z > z0
exp
(z + z<)p C{p)
,z < z0 . (7)
Как видно, окончательное решение задачи зависит от вычисления обратного преобразования Лапласа для функции
Р
с \
ziP
с(р\
(8)
где i = 0,1, 2; z0 = z0; z1 = z - z0; z2 = z + z0.
Уравнение (8) представим в виде интеграла Фурье.
лр о V
■ 021 Л
а sm — da
(р2 + а2 )рЯ+(Я0-рЯ)р2
Предположим, что для больших р имеет место неравенство
-рЯ)
[p2 + а 2)pR
< 1.
Тогда, разлагая подынтегральную функцию в ряд, находим
V.{*,p) = - J 1УР2П
1
R0pR
p2 +а2 (p2 +а2J pR
^ +... +
+ ■
Ro-pR
pR
аэт
■ (^t
С
da.
Вычисляя интегралы, получаем
vXzi, p) = e
ziF C,
1 zi R0 - pR (-1)" f R0 - pR Yg (2n - k - 2) 2z
p 2C, pR
--+... + -
22n • n!
pR
/ \ m
m!(n - m -l)
C
V^ 1 У
p'" +.
учитывая, что = — л KP), получаем
Vl{zl,p) = e
с,
pR
J___^
P 2Q
z, —
r2 Л-1
n\
С
v l У
pm +.
2
m=0
Вычисляя обратное преобразование Лапласа, находим
Vt(zitt) = H
t-3-
i „ л
2C
Г
К
t-^ Q
л
(-/)" ^ (.2n-m-2)/
22n • n! ml (n — k — 1)!
с - \m+1 2z,
v Q
у
к[т)
+ ...+ f
v
Q
(9)
Здесь Kn{t\ =* {к(р$ - итерированные ядра,
K2{t) = JK{t-г)K{r)dT; ,...,Kjf) = JK(t - г)K
0 0
" dtm •
Учитывая уравнения (9) и (6), оригинал решений поставленной задачи определяем в виде
wl r
(r • z, '>=J
* <
K( z0, t) - 2 r, z, t) + V2( z2, i); |z| > z0. 2 Щ Z, 0 - V2( Z2, 0 ] ;z < Zo. (I0)
Анализ решений. Для исследования решений рассмотрим конкретное ядро. Предположим, что свойство материала описывается функцией ползучести вида
П(*) = П(о)Н^\1 + ГЦ + П* (г)], где П(о) = 7 - конечная постоянная, а функция удовлетворяет условиям:
2/л
= Q,n*{t) = 0 при t = 0.
dt
Тогда, используя методику работы [5; 10], находим
TJZ
V(t, z) = e
х-
z
t — V Cy Л
+f J С -о
exp
z/с
2
i (fV^^vc
A + Z ^¡irr. J *m(z, 'd*,
-iC
2 2 2 r — z
=1 2mm! zJC
(11)
i
где (pm (z,t) = jlTm(t- r)Fm (z,r)dT
= If I
/-m
It
t2--—у I / ,
I m—-/
m-I 2 \ 2
H\ t- —
Здесь ni(0=" » n2(f) = Jn1(i-r)dni(r)rfr,...,
дЛО-AtWM
I v (z) - модифицированная функция Бесселя.
x
m
0
Ясно, что в случае материала Максвелла следует положить фт(1) = 0. С учетом значения функции У(г, $ для соответствующего вязкоупругого материала из (7) определяем смещение в виде:
W(r, z, t) =
r
ahp
J g(t-г)TdT + r - a)2 Jn(t -r)dg-
о h 0
-g(0 * W z17 0+FA z2,0]; nPu И ^ z 2 g(0 * [V (z 0 - V2 (Z2, 0]; z > zo
(12)
Представляет интерес рассмотрение решения сосредоточенной кольцевой нагрузки, тогда z0—>0, но z0oo стремится к конечному пределу oi; переходя к пределу в последнем уравнении при z0^0, находим:
W(r, z, t) = \g(t-T) v;(z, r)dr.
aPhL
Из анализа решений видно, что картина волнового поля для упругого цилиндра сохраняется и добавляется затухание по экспоненциальному закону при наличии вязкости материала цилиндра.
Выводы
1. Исследовано распространение нестационарных волн сдвига в тонком полубесконечном цилиндре с нагрузкой, распределенной по некоторым участкам боковой поверхности, для произвольных функций наследственности.
2. Получены решения в случае сосредоточенных кольцевых нагрузок, при этом для описания вязкоупругих свойств материала применялась функция ползучести, представленная так, чтобы охватить модель Максвелла как частный случай.
Литература
1. Новожилов В.В., Умащева В.И. Динамическое кручение полубесконечного цилиндра // МТТ. 1967. № 1. - С. 71-78.
2. Амрахов А.Н. Динамическое кручение цилиндра, на боковой поверхности которого заданы касательные напряжения // Распространение возмущений в упругих и неупругих стержнях и оболочках. - М.: Изд-во Московского университета, 1975. -С. 19-22.
3. Ильясов М.Х. Динамическое кручение вязкоупругих цилиндров // Изв. АН АзССР. Сер. физ.-тех. и мат. наук. 1978. № 5. - С. 81-86.
4. Бакулин В.Н., Волков Е.Н., Недбай А.Я. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки при действии переменного по оси внешнего давления // Изв. вузов Авиационная техника. 2017. № 4. - С. 11-17.
5. Кийко И.А., Ильясов М.Х. Динамическое кручение вязкоупругих цилиндрических стержней // Механика полимеров. 1975. № 3. - С. 482-492.
6. Курбанов Н. Т. Динамическое кручение вязкоупругого полого толстосменного цилиндра нагрузкой, заданной на торце // СДУ. Научные известия. № 1. - Сумгаит, 2004. - С. 25-28.
7. Вервейко Н.Д., Егоров М.В. Метод последовательных нагружений расчета динамического деформирования осесимметричной оболочки распространяющимся
внутренним давлением // Вестник ВГУ. Сер.: Физика. Математика. 2015. № 4. - С. 111120.
8. Бакулин В.Н., Недвай А.Я. Динамическая устойчивость композитной цилиндрической оболочки линейно-переменной толщины при воздействии пульсирующего внешнего давления // ИФЖ. 2021. Т. 94, № 2. - С. 542-550.
9. Kurbanov N.T., Babajanova V.G. An Investigation of the longit unidal fluctuation of visco elastic cores // USA. Life Sciens Journal. 2014. Vol. 11, № 9. - P 557-561.
10. Ilyasov M.H. Dynamic stability of viscollastic plates // International Journal of Engineering Science. 2007. № 45. - P 111-122.
Поступила в редакцию 22 сентября 2021 г.
UDC 539.374
DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-1-18-23
The Dynamic Torque of a Viscoelastic Cylinder N. T. Kurbanov, S.S. Hadiyeva, U.S. Alieva
Sumgait State University; AZ 5008 Republic of Azerbaijan, Sumgayit city, block 43; smsffJ25'a.mail. ru
The article investigates the propagation of unsteady shear waves in a thin semi-infinite cylinder under the influence of the loads distributed over some parts of the lateral surfaces. The problem is solved by the integral Laplace transformation and the cosine Fourier transformation^ and the original solutions are constructed as a series for arbitrary kernels. Letting the length of the section where the perturbation is given tend to zero, provided that the total load remains finite and nonzero, a solution to the posed problem for a thin shell under the influence of a concentrated ring load is obtained, and the solution is investigated for the creep function, presented so as to cover Maxwell's material as a special case.
Keywords: shear waves, viscoelasticity, integral transformations, cosine Fourier transform, kernel, image, original, creep, concentrated load, Maxwell's material, actions, viscosity.
Received 22 September 2021
