CC BY
15
A complete system of quasilinear partial differential equations of hyperbolic type describing the propagation of longitudinal waves of tensile stresses in the barrels of artillery systems whose material properties are modeled by the Malvern-Sokolovsky-Christescu constitutional equations is obtained for cases of continuous non-smooth inhomogeneity of the geometric characteristics of cross-sections along the length. The Gurs boundary value problem is formed, which corresponds to the conditions of loading the barrels with the pressure of powder gases during firing. The influence of geometric inhomogeneities and on non-stationary parameters of the stress-strain state is analyzed.
Key words: material properties, geometric inhomogeneity, stress-strain state.
Baranov Viktor Leopoldovich, doctor of technical sciences, professor, ivts-spv1411 @yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Smirnov Nicolay Pavlovich, general director (CEO), web@ntiim.ru, Russia, Nizhny Tagil, Metal Test Institute,
Ter-Danilov Roman Arustamovich, candidate of technical sciences, docent, ivts-spv1411 @yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.3; 624.058.8
ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АМОРТИЗАТОРОВ СТРЕЛКОВОГО ОРУЖИЯ ДЛЯ СЛЕДЯЩЕЙ НЕСКОЛЬЗЯЩЕЙ СХЕМЫ ВНЕШНЕГО НАГРУЖЕНИЯ
В.Л. Баранов, А.С. Левин
Анализируется кинетика изменения кинематических и энергетических характеристик геометрически неоднородных стержневых упругих элементов амортизаторов для наиболее общей нескользящей следящей схемы приложения внешней нагрузки в случае их больших прогибов. Решение строится в динамической постановке с учетом затрат энергии тормозящейся массы на кинетическую энергии массы упругого элемента в процессе его нестационарного и неоднородного деформирования. Показано, что учет динамики оказывает существенное влияние на параметры функционирования амортизаторов. Разработан и реализован на практике программный комплекс, позволяющий получать решение путем целенаправленного перебора вспомогательных задач Коши с параллельной оценкой его точности.
Ключевые слова: стрелковое оружие, амортизатор, поперечный изгиб, силовая характеристика, краевая задача, оптимизация.
Проведенный анализ конструкций узлов амортизации стрелково-пушечного оружия показывает, что встречаются такие конструктивные решения, в которых деформации упругих элементов амортизаторов по величине соизмеримы с их габаритными размерами [1]. Важнейшей эксплуатационной характеристикой амортизаторов являются их силовые характеристики, то есть зависимости амплитуд перемещений упругих элементов от деформирующих элементы сосредоточенных усилий от в точках их приложения, так как они характеризуют потери кинетической энергии подвижной амортизируемой массы оружия, то есть эффект амортизации. В случае использования амортизаторов в виде геометрически неоднородных консольно защемленных упругих балок их силовые характеристики, определяющие частичную потерю кинетической энергии массы подвижного звена в цикле нагружения, в случае больших прогибов су-
щественно нелинейны [2, 3]. Причем, конкретный вид силовой характеристики зависит от совокупности геометрических особенностей упругого элемента, механических характеристик его материала и от характера приложения внешней сосредоточенной силы.
На практике встречаются различные варианты приложения сосредоточенной силы для случаев больших прогибов консольного упругого элемента амортизатора. Их совместный анализ показывает, что наиболее общим случаем является нескользящая следящая схема, изображенная на рис.1.
Рис. 1. Нескользящая следящая схема приложения сосредоточенной силы для случаев больших прогибов консольного упругого элемента амортизатора
Квазистатическая постановка данной задачи была реализована в работе [4]. Переход к динамической модели связан с учётом значительно большего числа физических факторов, усложняющих процесс решения, но при этом он позволяет определять не только амплитудные значения перемещений материальных точек упругого элемента, но и отслеживать их развитие и изменение в реальном времени, что является, безусловно, важным обстоятельством при проектировании скорострельного стрелково-пушечного вооружения. Основным дополнительным фактором, влияющим на кинематику перемещения упругого элемента амортизатора в динамической постановке, является учет в энергобалансе анализируемой механической системы кинетического компонента энергии, расходуемой на движение массы упругого элемента в процессе торможения подвижных частей оружия.
В квазистатической постановке закон сохранения энергии имел вид:
=^+Еа, (1)
где т - масса тормозящегося тела; уо - скорость тормозящегося тела в момент его соприкосновения с упругим элементом амортизатора; у1 - скорость тормозящегося тела в текущий момент времени в цикле нагружения; Еа - потенциальная энергия упругого деформирования, накопленная амортизирующим элементом к рассматриваемому моменту времени.
В динамической постановке закон сохранения энергии (1) видоизменяется:
2 2 ту о _ ту 1
2 2 + Еа + Е к .а , (2)
где Ека - текущая величина кинетической энергии движущейся массы амортизирующего устройства:
М (Ь)У2(7) О 1 9
Ек.а = I -2Т1 ¿М =2 |5(2.) • У2(2*^2* , (3)
о 2 2 о
где у(2*) - мгновенная скорость точки амортизирующего устройства с координатой 2*; 5(2*)- площадь поперечного сечения упругого элемента амортизатора с координатой (в рамках рассматриваемой прямой задачи прочностного проектирования по-
42
следняя функция задана априори); р - плотность материала упругого элемента; L - длина упругого элемента в точке приложения внешнего контактного усилия (рис. 1). Так как силовая характеристика амортизирующего элемента зависит только от перемещения крайней точки элемента, то полное перемещение подвижного тела при решении задачи как в квазистатической, так и в динамической постановках, должны быть одинаковыми, то есть они инвариантны.
Выразим скорость произвольной точки упругого элемента в определённый фиксированный момент времени T = const через скорость точки приложения внешней силы.
v(z*,T) = r(z„T) dr(z*,t) _ dt = dr(z„t) v(z*,T) = dr(z*,t) (4)
v(L,T) = r(L,T) , dt dr(L,t) dr(L,t), v(L,T) " dr(L,t)(t=T),
где r(z*,t) и r(L,t)- перемещения точек с координатами z* и L соответственно.
Следовательно, если известны перемещения точек упругого элемента с координатами z* и L , то возможно можно определить отношение их скоростей в рассматриваемый момент времени. Перемещения точек упругого элемента r(z*, t) и r(L,t) с определялись путем последовательного решения задач Коши для дифференциальных уравнений упругой линии. Вводя обозначение: K (z,) = dr(z,,t) , записываем
r * dr(L,t )(Г=t )'
уравнение (3) в конечной рабочей форме :
Ек.а = r • v2(L,T) •LS(z.)K?(z„T)dz,. (5)
2 0
Теперь разрешаем уравнения (1) и (2) относительно v(L,T):
mv0
2 Ea(T) = \mv02 - 2 • Ea(T) . (6)
m V m
2
УЦ,Г) =-72 - 2 • Е(Т)- , у(Ь,Т) = .
\ш + 15(z,)к2(2,,Т)а2.
Время Т находится из следую щ е го соотношения:
Т = 'Т^. (7)
0 Ч Ь, Г) '
Таким образом, сформулированная выше задача сводится к организованному перебору начальных численных значений параметров 2, У, С в области их допустимых значений и к многократному решению соответствующих им вспомогательных задач Коши. Как показал проведенный анализ, последовательный перебор всех значений параметров даже на современных компьютерах занимает большое время, поэтому далее воспользуемся алгоритмом нелинейного программирования с использованием в нем метода внутренней точки (или барьерного метода), которые в настоящее время достаточно хорошо развиты и являются наиболее машинно-ориентированными [5].
Осуществлялась минимизация следующей целевой функции:
Ь - 2,(2)| + У - у(2)| . . .
/(2, У, С) = ^-*(2)Ь-у(-) + \С - у (2)| , (8)
где 2 - абсцисса свободного конца упругого элемента; У - стрела прогиба нейтрального слоя изогнутого упругого элемента в точке приложения внешней сосредоточенной силы; С - первая производная функции у = у(2) в точке 2, = Ь; у(2) и 2,(2) и у'(2) -текущие значения величин прогиба упругого элемента амортизатора, абсциссы и первой производной функции у(2) в точке приложения внешней силы 2 = 2 после реше-
ния соответствующей задачи Коши с выбранными значениями величин Z, Y, C. Для решения данного класса задач был разработан, апробирован и зарегистрирован авторский программный комплекс [6], позволяющий строить решение численными методами с использованием средств языка программирования Ма1!аЬ. На вход программы подается варьируемая с определённым шагом внешняя нагрузка F , и получаем прогибы любой точки упругого элемента и соответствующие им перемещения г (г», t) и .
Таким образом, полученные соотношения позволяют проводить анализ процесса деформирования упругого элемента амортизатора в реальном времени и, в конечном итоге, получить ответ на важный для проектирования амортизаторов стрелко-во-пушечного вооружения вопрос определения времени полного замедления упругого элемента амортизатора и, как следствие, времени полного останова подвижных частей системы, а также произвести количественную оценку влияния учета на него динамики процесса.
Ниже приводятся некоторые результаты проведенных численных расчетов и их анализ (рис. 2 - 4). На всех рис. штриховые линии графиков соответствуют решению задачи в квазистатической, сплошные - в динамической постановках. Расчеты проводились для следующих исходных данных. Материал упругого элемента амортизатора -пружинная сталь 60С2А. Плотность материала р = 7,68 • 103 кг/м3; модуль упругости Е = 212 • 10 9 Па. Поперечное сечение упругого элемента - прямоугольник с постоянным основанием Ь = 0,02 м. Верхняя и нижняя образующие поперечного сечения изменяются по линейным законам у1,2 = Л1,2 г + В1,2, Л1 = - 0,002, В1 = 0,005 м, А2 = + 0,002, В2 = - 0,005 м. Суммарная масса упругого элемента М = 0,439 кг, масса ударяющего тела т = 0,1кг, начальная скорость его контакта с упругим элементом амортизатора Уо = 101 м/с.
На рис. 2, 3 представлены графики изменения скоростей подвижных частей и точки контакта упругого элемента амортизатора (рис. 2) и кинетической энергии тормозящегося тела (рис. 3) во времени.
Видно, что учет вовлечения массы упругого элемента в совместное движение системы на этапе ее торможения увеличивает время полного торможения подвижной массы на 35-40 %. При этом перемещения подвижной массы до ее полной остановки (площади под кривыми на рис. 2) в обоих случаях одинаковы, что подтверждает сделанные выше априорные прогнозы. Рис. 4 иллюстрирует изменение кинетической энергии подвижной массы во времени.
V, м/с 100 80
60 40 20
ч ч ч
ч \
\ \
V \ Л
\ \ \
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ТхЮ3, С
Рис. 2. Изменение скорости точки контакта подвижной массы и упругого элемента амортизатора во времени в квазистатической и динамической постановках задачи
Разрывы первого рода на начальных участках графиков, соответствующих динамическому варианту решения задачи, имеют физическое объяснение: динамическая постановка задачи предполагает мгновенное вовлечение в движение с переменными
скоростями всей массы упругого элемента. В реальных условиях это вовлечение массы в движение происходит не мгновенно, а с конечной скоростью распространения изгиб-ной поперечной волны в материале элемента, которая является его физической константой. Учет этого обстоятельства и введение его в модель процесса, на наш взгляд, -перспективное направление дальнейшего развития исследований.
V, м/с ----------
100 80 60 40 20
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 П М
Рис. 3. Изменение скорости точки контакта подвижной массы и упругого элемента в функции изгибного перемещения в квазистатической и динамической постановках задачи
Ет,Дж-------
500 400 300 200 100
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ТхЮ3, с
Рис.. 4. Изменение кинетической энергии подвижной массы во времени в квазистатической и динамической постановках задачи
Таким образом, показано, что учет динамичности процесса деформирования упругого элемента амортизатора в энергобалансе системы, предложенный и реализованный выше, оказывает существенное влияние на кинематику процесса.
Список литературы
1. Физические основы устройства и функционирования стрелково-пушечного, артиллерийского и ракетного оружия / Учебник МО РФ. Авт.: Баранов В.Л., Власов В.А. и др. - Волгоград: «Политехник», 2002. 559 с.
2. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986. 296
с.
3. Светлицкий В.А. Механика стержней / Учебник для ВТУЗов. В 2-х частях. Часть 1. М.: Высшая школа, 1987. 320 с.
4. Byrd R.H., Gilbert J. C., Nocedal J. A Trust Region Method Based on Interior Point Techniques for Nonlinear Programming // Mathematical Programming. 2000. Vol. 89. № 1. P.149-185.
5. Баранов В.Л., Левин А.С. Силовые характеристики упругих элементов амортизаторов стрелкового оружия для нескользящей следящей схемы внешнего нагруже-ния // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2018. Вып. 11. С. 124 - 130.
6. Баранов В.Л., Левин А.С., Тер-Данилов Р.А. Программа расчета характеристик упругих элементов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (РФ) № 2019616355 от 06 мая 2019.
Баранов Виктор Леопольдович, д-р техн. наук, профессор, ivts-spvl411 @yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Левин Артем Сергеевич, аспирант, ivts-spvl411 @yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
DYNAMIC DEFORMA TION OF SHOCK ABSORBER ROD ELEMENTS IN SMALL ARMS FOR TRACKING NON-SLIP EXTERNAL LOADING SCHEME
V.L. Baranov, A.S. Levin
The kinetics of changes in the kinematic and energy characteristics of geometrically inhomogeneous rod elastic elements of shock absorbers is analyzed for the most general nonslip tracking scheme for applying an external load in the case of their large deflections. The solution is constructed in a dynamic formulation taking into account the energy consumption of the decelerating mass for the kinetic energy of the mass of an elastic element in the process of its unsteady and inhomogeneous deformation. It is shown that taking into account the dynamics has a significant impact on the parameters of the functioning of shock absorbers. A software package has been developed and implemented in practice, which makes it possible to obtain a solution by purposeful enumeration of auxiliary Cauchy problems with a parallel estimation of its accuracy.
Key words: small arms, shock absorber, transverse bending, force characteristic, boundary value problem, optimization.
Baranov Viktor Leopoldovich, doctor of technical sciences, professor, ivts-spv1411 ayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Levin Artem Sergeevich, postgraduate, ivts-spv1411 a yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.4; 624.058.8
ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ЛОПАСТИ СВЕРТЫВАЮЩЕГОСЯ ОПЕРЕНИЯ РСЗО В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ ИНЕРЦИИ
В.Л. Баранов, М.С. Воротилин, А.А. Соловьев, Б.О. Чибирев
Получено обобщенное решение прямой задачи прочностного проектирования консольно-закрепленных криволинейных лопастей и узлов крепления и фиксации свертывающегося оперения РСЗО в поле центробежных сил инерции на этапе перехода от активного к пассивному участкам траектории.
Ключевые слова: лопасть оперения, узел закрепления, центробежные силы инерции, интегральные изгибающие моменты и поперечные силы, параметры напряженного состояния, прочность.
Анализируется напряженное состояние материала лопастей свертывающегося оперения вращающихся реактивных снарядов РСЗО на выходе из активного участка траектории в поле центробежных сил инерции [1]. Геометрия поперечного сечения снаряда и принятые обозначения приведены на рис. 1.
46
