CC BY
49
УДК 539. 374
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОТЕРИ ПРОДОЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГО-ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
ПРИ УДАРНОМ СЖАТИИ
В. Л. Баранов, А.Е. Романюта, В.Н. Щитов
Представлено решение задачи о потере продольной устойчивости стержнем при его продольном ударном сжатии, обобщающее известные решения путем учета кинетической энергии массы стержня, вовлеченной в волновое движение, в уравнении энергобаланса.
Ключевые слова:удар, устойчивость, пробитие, волна напряжений.
В работах В.Л.Баранова и И.В. Лопы [1,2] получено решение в волновой постановке задачи о потере продольной устойчивости прямолинейным стержнем конечной длины из упруго-вязкопластического материала модели Кристеску-Малверна-Соколовского [3] при пробитии им тонкой деформируемой преграды, свойства которой также моделировались упруго-вязкопластическим конституционными уравнениями. Было установлено, что интервал времени, в течение которого возможна потеря устойчивости стержнем как в упругой, так и в неупругой форме, непосредственно связан с временем пробития преграды и с временем прохождения волной напряжений полной длины стержня. При этом решение проводилось в квазистатической постановке: в уравнении энергобаланса учитывались только работа А (t*) по перемещению элементов вдоль оси Z при переходе стержня из прямолинейного состояния равновесия в искривленное и энергия U(t*) изгиба части стержня, возмущенной волной напряжений. В результате были получены диапазоны скоростей удара стержня о преграду, внутри которых возможна потеря устойчивости. Однако проведенные на полигоне ФГУП «ЦНИИТМ» многочисленные эксперименты показывают, что реальные диапазоны скоростей отличаются от расчетных на 10...15 %, причем расчеты дают заниженные значения приемлемых скоростей, что приводит к недоиспользованию потенциальных возможностей конструкции на этапе ее эскизного проектирования. Был проведен анализ ситуации и установлено, что причиной вышесказанного явился неучет в энергобалансе кинетической энергии массы части стержня, вовлеченной в волновое движение. В работах авторов [3,4] показано, что величина этой энергии соизмерима с потенциальной энергией продольной деформации материала в волне. Ниже представлено решение этой задачи.
Предполагается, что неустойчивое поведение стержня при его ударном нагружении связано с волновым характером последнего. Рассмат-
ривается цилиндрический стержень длиной L, радиусом R из упруго-вязкопластического материала, ударяющийся в преграду конечной толщины. Решение проводится в системе координат ZOY, начало которой совпадает с нагружаемым торцем стержня. В момент времени t = 0 от торца Z = 0 начинает распространяться продольная волна сжатия, нагружающая материал в каждом его сечении нестационарным и неоднородным напряжением сжатия а ^Х).
Предположим, что под действием этого напряжения возмущенная часть стержня теряет устойчивость в некоторый момент времени t = t*. При этом продольные силы совершают некоторую работу А ) по перемещению элементов вдоль оси Z при переходе стержня из прямолинейного состояния равновесия в искривленное. С другой стороны, для изгиба оси, возмущенной в момент времени t = t*, части стержня необходимо «преодолеть» энергию изгиба, потенциальную энергию продольной деформации материала в волне U1(t *) и кинетическую энергии массы части стержня, вовлеченной в волновое движение и2(ы). Таким образом, из равенства энергий можно получить время t *, соответствующее моменту потери устойчивости стержнем при взаимодействии с преградой.
Виртуальную форму оси ударника, потерявшего устойчивость, представим в первом приближении в стандартной форме:
• Ш ГА V Т
у = Со81П-, zе [0, ¿*\, (1)
аЫ
где с0 - неопределенная константа, характеризующая амплитуду прогиба; Z* - путь фронта волны сжатия к моменту времени t* : Z* = at* .
При переходе оси ударника из прямолинейной в криволинейную форму равновесия элемент ударника с координатой ъ перемещается в продольном направлении и величина перемещения определяется так:
г -|2
dX(ZX * )=- (У)2 dZ = - c2
2 " ' 2
или
Р
а4
ооб2 — dZ (2)
а.4
dЛ(ZЛ * )=2 с02
Р
2
V а^ у
„ а4 .
— Z +--Б1И-
2 4Р аиу
(3)
Элементарная работа осевых сил, совершаемая при потере устойчивости нагруженной частью ударника, определяется уравнением
dA(Z,t* )=Бс ^Х* )dЛ ^Х*), (4)
где 5 - площадь поперечного сечения ударника; а ^Х *) - функция, описывающая распределение напряжения сжатия в волне в момент времени t = t * .
С учетом (2) уравнение (4) примет вид
dA(Z,t * )= 1 eg
Р
at*
Ss (Z,t * )cos2 — dZ,
at*
и после интегрирования по возмущенной части ударника
Р ~ 2 at* pz
S Js (Z,t*) cos2-dZ.
о at*
A(t * )= g cg
at
(5)
Предлагается аппроксимировать а=а *) и V = * ) функциями вида
(2,1) = а(1) - 2 ,
s
(6)
V(Z,t) = a2(t) - 1 b(t)Z , t e [0, t * ]
2 2 2
где а (1), а2 (1), Д (1), Ь2 (1) - функции, имеющие в случае упругой волны
аналитическое представление, а в случае упруго-вязкопластической волны определяемые обработкой результатов численного решения волновой задачи, например, методом наименьших квадратов.
Теперь полная работа осевых сил в момент времени г = г* определяется интегрированием (5) по возмущенной части ударника. С учетом (6) получаем
А Л \ \
, ...... ■ С7)
а*
A(t * )=! c0V S [V&l-1
4
2'
Рассматривая аппроксимацию С=С *) экспоненциальной зави симостью
■ДО* )z
s (Z,t * )=a(t*) e получаем следующее выражение для работы A(t *):
2
Sal( t*)
Aft * )=1 с^
2
p
at*
f 1 - e-bi(t*)at*
2p
2
b1(t*) bl2 (t*)a2t2 + 4Р2
(8)
(9)
Если величина А (г*) не меньше суммы, необходимой для изгиба ударника потенциальной энергии и1(г*) и кинетической энергии части массы стержня, возмущенной волной и2(г*) , может произойти потеря продольной устойчивости возмущенной частью ударника, и тогда из уравнения
А(г *) = и(г*) + и2(ы)
определится время г* .
Элементарная энергия деформации изгиба определяется так:
| и ■ с1Б ■ (12, (10)
где и - удельная энергия деформации в материальной точке ударника
и = |о(£,£)де,
где а(8, £) - напряжение в точке материала ударника, вызванное изгибом; £ - деформация, вызванная изгибом ударника.
Материал ударника моделировался упруго-вязкопластическим конституционным уравнением вида [ 5 ]
а(£,£ )=A + в£ + С£ + Dee,
(11)
где А, B, C, D - физические константы материала , получаемые обработкой динамических кривых нагружения методом наименьших квадратов.
Считая, что прогибы оси ударника малы, то есть полагая верным приближенное соотношение
d2 / £=у 2,
dz2
или с учетом (1)
1 2
£=--2 2
' Р2
у а1* J
Sin
а*
£=£
1 +--%-
а1*
а1*
2_
и
определяем удельную энергию деформации изгиба
и = А £ +
с в 2 1*
1+—%—
V
а1*
а1.
*
£2
(12)
Теперь полную энергию изгиба возмущенной части ударника можно определить интегрированием (10) с учетом (12):
и^ *) =-°-
2а1*
А +
Р2 Я2
4
V
с в
—+ —
2 I*
1
3*)2
(13)
Кинетическая энергия массы стержня в волне сжимающих напря-
жений
ай*
^20*) = Г 1 1 ^ ^ •
2 0
Или с учетом (6)
^0*) = ^2(1*3* - а2(ПМПа 21*2 + 3 Р^Ы^]. (14)
Суммируя правые части (13) и (14) и приравнивая их (9), получаем неявное уравнение для определения 1* :
146
о
с0Р2 5
2 а/*
А +
Р2 Я2
4
V
С В
—+ —
2 /*,
(а/*)2
+ ^[«22(/*)а/*
2. 2 ,1 3. 3
«2(/*)^2(/*)а 2/*2 + 3 (/* )а3/*
= 1 с 2 =_ Со 2 0
Р
а/*
5а,( t *)
1 - е
-Д(/*)а/*
Ж»
2р
2
(15)
Д2 (/*)а2/*2 + 4р2
Полагая в (15) А=В=В=0, С=Е, где Е - модуль упругости материала ударника, то есть рассматривая упругую форму деформации изгиба и проводя аппроксимацию результатов численного решения волновой задачи линейными функциями вида
а, (/*) = а 0-а,/*, Д, (/*) = Д1 , «2 (/*)= К)-а 2/*, Р 2 (/*) = Д2 ,
то есть полагая
а (1х *) = а 0
У(гх *) = К0 -а 2/*
а,/*
-р, • *, р *,
(16)
где а о - контактное напряжение на переднем торце ударника в момент времени / = 0, У0 - соответствующая ему скорость удара, получаем
(а/*)3
а, +а 2
2
+
Р, +Р 2
2
/ \2 пБЕ _ -(а/*)2 а о + — = 0,
(17)
Тогда с учетом Ькр = а Ь* записывается уравнение для определения критической длины ударника Ькр:
Ь3„ - 21
а
о
> 2Ьр' (а, +а2 +р, + р2) + 2(а, +а2 + Д, + р2)
Если длина ударника Ь > Ькр, то потеря устойчивости ударника при
Р5Е
0.
(18)
пробитии не произойдет только при выполнении условия
/пр £
-кр
а
(19)
Совокупность условий Ь> Ькр; /пр £
Ь
кр
физически означает, что
а
раньше реализации условий, приводящих к потере устойчивости ударником, от его переднего торца начнет распространяться волна упругой разгрузки, что приведет к резкому уменьшению интегральных показателей изгибной деформации и сделает потерю устойчивости невозможной.
Из сказанного следует: чтобы оценить возможность потери устойчивости ударником при пробитии, необходимо:
1) решить задачу о распространении продольных волн сжатия в
1
2
ударнике и определить константы О0 , V0 , a 1,2 , ß 1,2 ;
2) при помощи уравнения (18) определить критическую длину ударника Lkp. Если L < Lkp, потеря устойчивости не произойдет;
3) если L> Lkp, необходимо определить Ц (например, по одной из методик, изложенных в [2]) и проверить выполнение условия (19). При этом диапазон изменения возмущающих факторов, в котором возможна неупругая форма потери устойчивости, лежит внутри диапазона, в котором стержень теряет устойчивость в упругой форме.
Таким образом, изложенный подход позволяет приближенно определить диапазон изменения скоростей удара, приводящих к потере устойчивости ударником как в упругой, так и в неупругой формах при взаимодействии с преградой.
Список литературы
1. Баранов В.Л., Лопа И.В. Неустойчивость ударно нагруженных стержней // Известия вузов. Машиностроение. 1995. № 1 - 3. C. 45 - 47.
2. Баранов В. Л. Некоторые вопросы проектирования боеприпасов проникающего типа // В. Л. Баранов [и др.]. Тула: ТулГУ. М.: ЦНИИТМ, 2002. 225 с.
3. Баранов В. Л. Энергобаланс в упруго-вязкопластических волнах напряжений / В. Л. Баранов [и др.] // Вестник Тульского арт. инж. ин-та. 2010. Вып. 5. С. 290-292.
4. Баранов В. Л., Запольских А.В. Энергобаланс при ударном нагру-жении упруго-вязко-пластических стержней // Материалы 4-го Международного симпозиума «Ударно-вибрационные системы, машины и технологии». Орел: ОрелГТУ, 2010. С. 27 - 30.
5. Баранов В. Л., Лопа И.В. Продольные упруго - вязкопластические волны в стержнях конечной длины // Известия вузов. Машиностроение. 1993. №1. С. 54 -57.
Баранов Виктор Леопольдович, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Романюта Александр Евгеньевич, нач. отдела, iskander734@ yandex.ru. Россия, Москва, Министерство обороны РФ,
Щитов Виктор Николаевич, д-р техн. наук, первый зам. ген. директора, tschi-tov. [email protected], Россия, Климовск, ФГУП «ЦНИИТМ»
A DYNAMIC MODEL OF THE LOSS OF A LONGITUDINAL STABILITY AT ELASTIC-DUCTILE PLASTIC PIVOTS BY A PERCUSSIVE PRESSING
V.L. Baranov, A.E. Romanyuta, V.N. Shchitov
A solution of problem of the loss of pivot's stability by its longitudinal percussive pressing, which generalizes well-known solutions taking into account a kinetic energy of a pivot's mass, involved into a waving motion, in form of enqualization of an enegry balance is presented.
Key words: blow, stability, break, tention wave.
Baranov Victor Leopoldovich. doctor of technical sciences, professor, ivts. tula @rambler. ru,, Russia, Tula, Tula State University,
Romanyuta Alexandr Evgenyevich, department chef, iskander734@ yandex.ru. Russia, Moscow, Ministry of Defense,
Shchitov Victor Nikolaevich, doctor of technical sciences, First deputy General Director, tschitov. [email protected], Russia, Klimovsk, Central Scientific and Research Institute of Precisions Machinery
УДК 539.374
ТЕРМОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ РАДИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ ПРИ ИХ УДАРНОМ НАГРУЖЕНИИ
В. Л. Баранов, В. Л. Руденко, А.В. Сорокатый
Анализируются параметры напряженно-деформированного и теплового состояний материала трубчатого крешерного элемента в радиальных волнах давления, сопровождающих его нагружение при выстреле.
Ключевые слова: вязкопластичность, крешер, выстрел.
Рассматривается осесимметричная задача о распространении возмущений в трубчатом крешерном элементе из упруго-вязкопластического материала от внутренней поверхности цилиндрического отверстия радиуса Я0 [1]. Решение проводится в цилиндрической системе координат R0Z,
ось Z которой совпадает с осью отверстия. На поверхности отверстия Я = Я0 в момент времени t = 0 внезапно прикладывается радиальное давление Р(0, Р(0) ф 0. Считается, что напряженно-деформированное состояние материала крешерного элемента определяется компонентами тензоров напряжения ая и ап и деформации ея , еп и ez, не зависящими от координат 0 и Z и являющимися функциями только координаты Я и времени t.
Уравнение движения кольцевого элемента оболочки записывается
так:
