CC BY
32
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 28-32
Механика
УДК 539.374
Продольные волны напряжений сжатия-растяжения в дискретно-неоднородных тонких пластинах
В. Л. Баранов, А. В. Щекин, В. Н. Щитов
Аннотация. Моделируются волновые процессы, сопровождающие пробитие тонкой дискретно-неоднородной пластины, в рамках энергетического подхода.
Ключевые слова: ударник, дискретно-неоднородная пластина, волна напряжений, метод характеристик.
В работе [1] показано, что процесс пробития деформируемой преграды жёстким ударником удобно моделировать энергетической моделью, правая часть уравнения энергобаланса которой представляет собой суперпозицию энергозатрат ударника на преодоление сил трения и лобового сопротивления преграды, а также на формирование в материале преграды различных типов волн напряжений, изменяющих качество материала преграды быстрее, чем происходит проникание в неё ударника. Проведённый численный и экспериментальный анализ показывает, что значительная доля энергии затрачивается в зоне распространения продольной волны напряжения. Сложность структуры современных слоистых преград делает задачу анализа распространения в них продольных волн «напряжения-сжатия» актуальной. Количество работ, посвящённых этому, незначительно и наиболее полный критический их анализ приведён в [2].
Ниже в первом приближении рассматривается задача продольного соударения двух стрежней, первый из которых является жёстким, а второй
— составным, с площадью поперечного сечения, равной площади жёсткого стержня и с длинами участков, равными соответствующим толщинам слоёв многослойной пластины. В этом случае решение задачи может быть получено на основе базовой волновой системы уравнений
да (х, Ь) ЗУ (х, Ь)
дЬ =Р дЬ ’
дх дЬ
дє (х, Ь) 1 да (х, Ь)
дУ (х,Ь) дє (х,Ь) (1)
дЬ Ег дЬ
= Ф (а, є, Ь, Мг) ■ Н (а - /г (є)),
где а — напряжение; е — деформация; У — скорость частиц в волне; Е — модуль упругости материала г-го слоя; Ьг, Мг — параметры, отражающие изменение статических и динамических характеристик г-го слоя в зависимости от величины деформации и скорости деформирования соответственно; х — лагранжева координата; Ь — время; рг — плотность материала г-го слоя; Ф — экспериментально определяемая функция, описывающая комплекс неупругих свойств материала слоя с учетом дополнения её кинематическими и динамическими условиями на границах между слоями и на свободной поверхности; Н(г) — единичная функция Хевисайда, отражающая факт упругой разгрузки материала.
Методом характеристик система (1) приводится к системе уравнений в полных дифференциалах:
-1 йУ ^ -1 йа = ±ФйЬ при йх = ±Бг(И, (2)
и Е
йе — -1 йа =+ФйЬ при йх = 0,
Е
7~\ / Е •
где = \ Е — скорость распространения продольного упругого
V гг
возмущения в г-м слое.
Соответствующая (2) конечно-разностная система уравнений имеет вид:
У4 =о
аг = 1 а4 = о
(3)
пг 1 . . '
(У? + Уі) - Ег (а! - а\) + 2 & х (Ф1 - Ф3) АЬ
Е4 ■ ■
(аз + аі) - (У^ - Уз^ - Ег (Ф1 + Ф4) АЬ
є4 = є2 + Е (а4 - а2) + (Ф2 - Ф4)
где нижние индексы соответствуют номерам узловых точек на характеристической сетке (рис. 1).
Значения искомых функций на фронтах прямой и обратной волн определяются из решения обыкновенного дифференциального уравнения
< [а]4 1 4
—= -_Ег [Ф]4 (4)
<<Ь 2 у 7
в совокупности с кинематическими и динамическими соотношениями между
скачками искомых функций вида
1
3
2
Рис. 1. Элемент фазовой плоскости, внутри которого ищется решение
[а]г = Ег [е]г = ТВгрг [У]г /д.
(5)
К перечисленному в случае многослойной пластины добавляются соотношения, описывающие эффекты на границах раздела слоёв, а также эффекты взаимодействия прямых и обратных волн для случаев, когда слои жёстко сцеплены друг с другом, то есть когда на границах слоёв выполняются условия непрерывности перемещений:
При г = п будем считать, что последний слой соприкасается со слоем, имеющим нулевую плотность и нулевой модуль упругости:
На рис. 2 представлен характеристический узел, лежащий на границе слоёв. Совокупность приведённых уравнений описывает процесс отражения прямой и обратной плоских волн от границ раздела слоёв.
аг = аг+1; Уг = Ут, г £ [1,п].
(6)
рп+1 = 0; ап+1 = 0.
(7)
К3
1+1
2 2
Рис. 2. Схема расчёта в узле г на границе раздела
На рис. 3, 4 и 5 представлены некоторые результаты численного решения задачи для случая трёхслойной пластины (сталь 3 — алюминий — сталь 3). Аппроксимация правых частей определяющих уравнений для материалов слоёв производилась с помощью соотношений, приведённых в [1]. Начальная скорость удара У0 = 100м/с.
а, МПа 4000
3000
Сталь 3 Алюминий Сталь 3
2
1 3 4
0,04
Рис. 3. Моментные снимки напряжений в пластине: 1 - х = 20мм; 2 - х = 50мм; 3 - х = 100мм; 4 - х = 130мм
Рис. 4. Моментные снимки скоростей материала в волне: 1 - х = 20мм;
2 - х = 150мм
р
0,20
' Сталь 1 Алюминий Сталь 3
г
IV
0.04
0,09
Рис. 5. Моментные снимки остаточных деформаций: 1 - х = 20мм;
2 - х = 150мм
Видно, что уровень сжимающих напряжений в лицевом слое в несколько раз больше уровня напряжений в подстилающих слоях. По мере развития процесса нагружения уровень напряжений на нагружаемой поверхности падает. На границах раздела материалов возникают всплески деформаций, которые могут потенциально служить источниками разрушения материалов в зоне соприкосновения слоёв, что наблюдается в экспериментах. Скорости частиц в волне в первом слое изначально равны скорости ударника и резко
затухают во втором и третьем слоях, причём интенсивность затухания во втором слое наибольшая, что объясняется его более низкими механическими и более высокими вязкостными свойствами.
Значимость влияния неоднородности механических характеристик материалов на параметры напряжённо-деформированного состояния существенна, и её нужно учитывать при моделировании процессов пробития.
Список литературы
1. Некоторые вопросы проектирования боеприпасов проникающего типа / В.Л.
Баранов [и др.]. Тула - Климовск: ТулГУ - ЦНИИТМ, 2002. 225 с.
2. Математическое моделирование взаимодействия ударников с многослойными
преградами / Н.Н. Белов [и др.]// В книге: Экстремальные состояния вещества.
М.: Машиностроение, 1991. С. 226-229.
Баранов Виктор Леопольдович (spira@tula.net), д.т.н., профессор, кафедра стрелково-пушечного вооружения, Тульский государственный университет.
Щекин Алексей Валерьевич, нач. отдела, ЦНИИТочМаш, Климовск.
Щитов Виктор Николаевич (tschitov1960@yandex.ru), д.т.н., зам. ген. директора, ЦНИИТочМаш, Климовск.
Longitudinal waves of tension of compression and stretching in discretely non-uniform thin plates
V. L. Baranov, A.V. Schekin, V. N. Schitov
Abstract. Wave processes accompanying beating in a thin discretely nonuniform plate within the power approach are modelled.
Keywords: drummer, discretely non-uniform plate, wave of tension, method of characteristics.
Baranov Viktor (spira@tula.net), doctor of technical sciences, professor, department of rifle and cannon armaments, Tula State University.
Schekin Allexei, manager of department, Tsniitochmash, Klimovsk.
Schitov Viktor (tschitov1960@yandex.ru), doctor of technical sciences, deputy general director, Tsniitochmash, Klimovsk.
Поступила 22.03.2013
