Научная статья на тему 'Особенности распространения продольных упруговязкопластических волн напряжений в геометрически неоднородных трубчатых стержнях'

Особенности распространения продольных упруговязкопластических волн напряжений в геометрически неоднородных трубчатых стержнях Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
17
3
Поделиться
Ключевые слова
ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ / УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ / КОНИЧЕСКИЙ ТРУБЧАТЫЙ СТЕРЖЕНЬ / WAVES OF TENSIONS / ELASTIC-DUCTILOPLASTIC MATERIAL / CONIC TUBULAR PIVOTS

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Баранов Виктор Леопольдович, Смирнов Николай Павлович

Анализируется влияние амплитуд граничных импульсов напряжений и углов раствора конусов наружных поверхностей трубчатых стержней из упруговязкопластических материалов Малверна-Соколовского-Кристеску на характер распространения в них продольных волн растягивающих напряжений. Показано, что увеличение угла раствора конуса смещает координату трансформации упругой волны в упруговязкопластическую в сторону большего основания конуса, причем после достижения материалом упруговязкопластического состояния в волне интенсивность дальнейшего возрастания амплитудных характеристик замедляется.

Похожие темы научных работ по механике , автор научной работы — Баранов Виктор Леопольдович, Смирнов Николай Павлович,

FEATURES OFPROPFGATION OFLONGITULINAL ELASTIC-VISKOPLASTIC STRESS WA VES IN NON-UNIFORM GEOMETRIC TUBULAR RODS

An influence of tension border amplitudes is analyses and cones ’ angles ’ mortar of the external surfaces of tubular pivots made from elasticductiloplastic materials on the spreading peculiarities of the waves of stretching tensions in them is analyzed. Its shown that an increase of angle’s mortar of a cone removes the coordinate of an elastic wave’s transformation into the elastic-ductiloplastic one aside the cone s biggest base, while after attainment of the elastic-ductiloplastic condition the intensity of the growth of amplitude characteristics in a wave becomes slower.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Особенности распространения продольных упруговязкопластических волн напряжений в геометрически неоднородных трубчатых стержнях»

МЕХАНИКА ПРОЧНОСТИ, ТЕРМОПРОЧНОСТИ И УДАРА

УДК 532.59: 539.374

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫХ ТРУБЧАТЫХ СТЕРЖНЯХ

В. Л. Баранов, Н.П. Смирнов

Анализируется влияние амплитуд граничных импульсов напряжений и углов раствора конусов наружных поверхностей трубчатых стержней из упруго-вязкопластических материалов Малверна-Соколовского-Кристеску на характер распространения в них продольных волн растягивающих напряжений. Показано, что увеличение угла раствора конуса смещает координату трансформации упругой волны в упруговязкопластическую в сторону большего основания конуса, причем после достижения материалом упруговязкопластического состояния в волне интенсивность дальнейшего возрастания амплитудных характеристик замедляется.

Ключевые слова: волны напряжений; упруговязкопластический материал; конический трубчатый стержень.

Рассматривается прямолинейный трубчатый стержень конечной длины Ь, имеющий внутреннюю цилиндрическую и наружную коническую поверхности. Свойства материала стержня описываются хорошо известными и широко апробированными для случаев ударного и динамического внешнего нагружения большинства металлов и их сплавов конституционными уравнениями Малверна-Соколовского-Кристеску вида [1]

1а(е)

• Н (а- / (г)),

Эе Эг"

1 Э а

Е0 Э?

а

■/ (г)'

Ь(г)

(1)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

где /(г) - диаграмма квазистатического нагружения материала; а(г), Ь(г) - аппроксимирующие функции, характеризующие его вязкопласти-ческие свойства; Ед - модуль упругости материала; Н(£) - единичная функция Хевисайда, отражающая упругий характер разгрузки материала.

В момент времени t = 0 к торцу стержня z = 0, где 2 - лагранже-ва координата, совпадающая с продольной осью симметрии стержня, в начале которой находится большее основание конуса наружной поверхности, прикладывается импульс продольных напряжений 02 (0, г). В случае артиллерийского выстрела этот импульс соответствует изменению давления пороховых газов в канале ствола, аппроксимирующая функция для которого имеет вид [2]

ог( 0, г) = а (г + г* )Ь• ехр(с(г + г*)), (2)

где а, Ь, с, г* - константы, определяемые обработкой экспериментальных кривых изменения давления методом наименьших квадратов.

Начальные условия задачи соответствуют первоначально ненапряженному, недеформированному и неподвижному материалу стержня:

о2 (2,0 ) = е2 (2,0 )= У2 (2,0 ) = 0. (3)

Полная система уравнений, описывающая распространение продольных волн растягивающих или сжимающих напряжений в стержне в самом общем случае, соответствующем упруговязкопластической модели материала и геометрической неоднородности стержня, включает в себя уравнения движения материала, уравнение совместности деформаций (или уравнение неразрывности) и конституционное уравнение (1) и является квазилинейной системой трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [3]:

дУг (2, г)_

Р

Л2 (2)-У2 (2)

= ±2

У? (2 )

ф? (I)

dz

- У22 (2 )•

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Эг

dy2 (2)

dz

•о 2 (2 )±

±

Эо! (2, г)

dz

у2 (2 )-У2 (2 )

(4)

^М = Э^М, ^М-^ЭоМ = ф()• но -)),

Ж Э2 Эг Е0 Эг у 2 ^ у 2 ^ 2,!

где ф(о2,е2 ) - условное обозначение правой части конституционного уравнения (1), знак (+) в правой части уравнения движения соответствует волне растягивающих напряжений, знак (-) - случаю напряжений сжатия (в дальнейшем будет анализироваться первый случай); у = у^) - уравнение

образующей наружной поверхности стержня, У = У2(2) - уравнение обра-

зующей внутренней поверхности стержня. В рассматриваемом случае

у^ )=- Ъ- *

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Ь

— • 2; у 2 (2) = г = сотг .

(5)

С учетом (5) рабочая система уравнений (4) записывается так:

р

У2 (-)-У2 (z).

+

¿Vz (z, t) dt

Эа - (z, t)

= +2

У? (z )•

(z)

■а z (z

(z) +

dz

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

У2 (z )■

■У

2 (z)

¿ez (z, t ^¿Vz (z, t)

(6)

f (ez)).

dt ¿z

Эе (z,t)-± Эа (z,t) = F(sz ,ez )• H (a

¿t Eo ¿t

Если положить в системах (4), (6) материал стержня линейно упругим, то есть обнулить правую часть уравнения (1) и, соответственно, -последних уравнений систем (4), (6), и рассматривать стержень геометрически однородным, то есть считать yi(z) = const, У2 (z) = const, то система уравнений (4) вырождается в классическую линейную систему волновых уравнений, имеющую аналитическое решение в форме Даламбера [4]. При этом изменение каждого параметра напряженно-деформированного и кинематического состояний материала стержня во времени в различных поперечных сечениях будут описываться функциями, не зависящими от ла-гранжевой координаты z .

Рассмотрим менее частный по отношению к предыдущему вариант формулировки волновой задачи, имеющий важное практическое приложение: пусть параметры начальных условий и геометрия нагружаемого торца стержня таковы, что на торце формируется волна упругих напряжений, которая распространяется в геометрически неоднородный стержень. При этом упругое состояние материала ограничено сверху, то есть существуют некоторое предельное напряжение или, в общем случае, некоторое формализованное условие, при превышении или невыполнении которых материал переходит в упруговязкопластическое состояние, соответствующее конституционному уравнению (1). В этом случае система уравнений (6) вновь принимает квазилинейный вид:

¿Vz (z, t)

Р

У2 (z)-y2 (z)

t

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

= +2

У12 (z)

dy2 (z)

dz

а z (z) +

¿Sz (z, t)

dz

y2 (z )-У2 (z)

z(z,t) = aV_M ¿ez(z,t) 1 ¿az(z,t) = 0,

dt

¿z

¿t

E0

¿t

(7)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

но в процессе ее решения необходимо непрерывно, на каждом шаге численного интегрирования, отслеживать изменение значений напряжений и деформаций в материале стержня и производить сравнение их с критерием предельного состояния, соответствующим выходу материала из зоны упругости. И физической причиной этого перехода в такой постановке за-

дачи будет являться геометрическая неоднородность стержня, что отражает первое слагаемое в правой части уравнения движения. Такая постановка волновой задачи, как показал проведенный анализ, является новой. Для ее численного решения разработан программный комплекс Р1агй [5].

В случае выхода параметров волны в процессе распространения по стержню за пределы упругого состояния материала, то есть в случаях, когда справедливы системы уравнений (4) и (6), и в правой части конституционного уравнения вновь появляется функция Ф(о'z ,е2), описывающая вязкопластические свойства материала, комплекс [5] также позволяет решать и эту задачу.

Численное моделирование проводилось при следующих исходных данных:

- геометрические характеристики стержня ь = 1,0м; —2 = 0,08м;

г = 0,05м; величина —1 варьировалась дискретно —1 = 0,15м...0,20м:

— - —

у (2) = - - -1—-2 • 2; У2 Н = г = 0,05 м;

Ь

- материал стержня - сталь 3, определяющее уравнение (1) для которого имеет вид [1, 3]:

Эе2 1 = Эг Е0 Эг

/

о

е2

V

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Эе ^ П К2 е - /(е )

Эг , /[ezJ

К

(8)

где

/(е2) = Е0 • е2 • Н(е' - е2) + [Е0 • е' + Е1 (е' - е2 )]• Н(е2 - е'), Е1 = 631МЩ

е' = 0,84 • 10-3; о' = 173,8 МПа; К1 = 0,0474МПа; К2 = 0,96; н(е2 - е') - единичная функция Хевисайда; е' - деформация, соответствующая условному пределу текучести о' материала на диаграмме Прандт-

/ т-т /

ля, причем справедливо равенство о = £0 • е .

На рис. 1 приведены результаты аппроксимации экспериментальных диаграмм динамического нагружения стали 3 (сплошные линии), приведенных в работе [1], определяющим уравнением (8) (штриховые линии). Наблюдается их удовлетворительное согласование.

Задача решалась в тестовой постановке, поэтому реальное граничное условие (2) на нагружаемом торце стержня записывалось в гипотетической форме прямоугольного импульса растягивающих напряжений вида:

о(0, г) = о* • н (г*- г),

где о* - амплитуда импульса; г* - длительность импульса напряжений.

а МРа

800

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

600

400

200

¿=1170

_________

rsr^crzr. -- ——______

—'- V=290

1 ¿=100/

°<02 \jt-0 0,04 8

Рис. 1. Аппроксимация диаграмм динамического нагружения для стали 3 конституционным уравнением (8)

Численные значения амплитуд импульсов напряжений на нагружаемом торце стержня принимались незначительно меньше условного предела текучести материала стержня и также варьировались дискретно:

O* = 130; 150 МПа, что позволяет на начальном этапе распространения волны рассматривать ее упругой. Причем, если в случае геометрически однородного стержня параметры напряженно-деформированного и кинематического состояния материала в волне в различных сечениях стержня изменяются во времени одинаково, то в случае геометрической неоднородности параметры упругой волны изменяются. В частности, для описания изменения параметров состояния материала на переднем фронте упругой волны получена система трех обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

do z (t)

dt

Eo 2

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

s z (t)-f (e z (t))"

K1

K 2

• H [o z (t)- f (e z (t ))]-

Eo p

yi(z) ^ - У2 (z )• dy2 (Z)

dz

dz

•Oz (t)

de z (t)

dt

1 2

У12 (z)-У2 (z)

O z(t)- f (e z(t))

K

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

K 2

• H [o z (t)- f (e z (t ))]-

/ \dy1 (z) / ч dy 2 (z) У1 (z- У2(z

dz dz

VE0p

Oz (t)

(9)

У12(z)-У2 (z) 101

1

(г) = +1

йг 2 "У

Ее

Р

1 Р

У\(?)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

о 2 (г)-/ (е 2 (г))' . К1 dyl(z)

К

У2 И

• Н [о 2 (г)-/ (е 2 (г))]+ йУ2 й"

-•о2 (г),

У12 (--)-У2 (--).

при этом в последней системе переменная 2 , входящая в функции У1 (2) и У2(2) и их первые производные, не является независимой, а связана с единственной независимой переменной г скоростью распространения уп-

ругой волны в материале стержня С

2 = С • г

Ее р

Е0

линейным соотношением

• г,

где Р - плотность материала стержня.

Кроме этого, в системе уравнений (9) по отношению к системам (1), (4), (6) изменился аргумент входящих в них функций Хевисайда, что имеет физический смысл: на переднем фронте волны в силу его мгновенности не успевают развиться неупругие деформации, состояние материала является упругим, и, как следствие, эквивалентом диаграммы статического нагру-жения является условный предел текучести на билинейной схеме Прандт-ля.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Длительность импульсов растягивающих напряжений на нагружающем торце стержня принималась равной времени прохождения передним фронтом волны трети длины стержня:

г*

:1 • Ь •

2

II

Р

Е0

5,5 •Ю-5 с,

что качественно соответствует реальной длительности продольных волны напряжений в стволе танковой пушки при выстреле с учетом геометрического подобия последней и рассматриваемого трубчатого стержня в направлении их осей симметрии.

Некоторые результаты численного решения задачи иллюстрируют рис. 2, 3.

На рис. 2 представлены графики изменения осевых нормальных напряжений на передних фронтах продольных волн, построенные как решения задач Коши для системы (9) без учета входящих в правые части ее уравнений функций Хевисайда, что физически означает неучет перехода материала трубчатого стержня в упруго-вязкопластическое состояние в точках пересечения графиков с линией 3, соответствующей условному пределу текучести материала. Фактически это означает, что материал

102

стержня рассматривался неограниченно упругим. Семейство кривых 1 соответствует амплитуде граничного импульса о* =130 МПа, кривых 2 - амплитуде о* =130 МПа. Сплошные линии на рисунке построены для радиуса большего основания конуса ^ = 0,20м, штриховые - для = 0,15м. Анализ графиков показывает, что наличие обратной конусности у трубчатого стержня приводит к увеличению амплитуд напряжений на фронте волны, а для прямоугольного граничного импульса - к увеличению напряжений в волне. Причем, увеличение угла конусности наружной поверхности стержня приводит к увеличению интенсивности возрастания амплитуд напряжений, делая последние неограниченно большими при устремлении площади правого торца стержня к нулю. Это означает, что в рамках такой постановки задачи деструкция материала стержня в его поперечных сечениях в окрестности правого торца - событие детерминированное как в случае использования фиксированного значения предела прочности материала, так и в случае использования феноменологического подхода к моделированию деструкции материала [6].

аФ,

МПа 1200

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

1000

800

600

400

200

1 ✓

/ X \ ✓ /

✓ ✓ А

*

г л ** 3

-

0,2

0,4

0,6

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

0,8

Т., лл

Рис. 2. Изменение осевых нормальных напряжений на переднем фронте волны для случая неограниченно упругого

материала стержня

Рис. 3 иллюстрирует результаты решения аналогичной задачи для случаев учета перехода материала стержня из упругого в упруго-вязкопластическое состояние в волне при превышении напряжением на фронте величин о'. Нумерация и обозначения кривых на рис. 3 соответствуют нумерации и обозначениям предыдущего рисунка. Видно, что во всех рассмотренных случаях наблюдается общая качественная закономерность: после перехода материала трубчатого стержня в упруговязкопластическое

103

состояние интенсивность возрастания напряжений на фронте волны замедляется, и этот эффект накапливается при дальнейшем распространении волны по стержню. Это явление также имеет физическое объяснение, подробно проанализированное в [7]. На неупругих участках противоборствуют два процесса: концентрация энергии волны в продолжающих уменьшаться поперечных сечениях (что увеличивает амплитуды напряжений) и диссипация части энергии волны в энергию неупругого деформирования материала (что уменьшает амплитуды напряжений). При этом вероятность деструкции материала стержня по отношению к предыдущему варианту решения задачи уменьшается.

оФ,

600 400 200

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 3. Изменение осевых нормальных напряжений на переднем фронте волны для случая упруго-вязкопластического

материала стержня

Таким образом, в данной работе численно протестировано решение задач продольного волнового нагружения геометрически неоднородных стержней из упруговязкопластических материалов в рамках гипотетического прямоугольного граничного импульса растягивающих напряжений и без учета потенциально возможной деструкции материала. Полученные результаты не противоречат физическим закономерностям процесса и могут быть использованы для решения ряда задач, имеющих прикладное значение.

Список литературы

1. Некоторые вопросы проектирования боеприпасов проникающего типа / В. Л. Баранов, В.Н. Иванов, И.В. Лопа, Ю.А. Турыгин, И.В. Хромов, В.Н. Щитов. Тула: Изд-во ТулГУ. М.: ЦНИИТМ. 2002. 225 с.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

104

2. Баранов В. Л., Руденко В. Л. Проблема численной неустойчивости при аппроксимации кривых изменения давления в канале ствола при выстреле методом наименьших квадратов // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. 2004. Вып. 7. Ч. 1. С. 27 - 32.

3. Поведение стержневых и оболочечных конструкций из упруго-вязкопластических материалов в условиях высокоскоростного импульсного нагружения / В. Л. Баранов, И.В. Дунаева, И.Б. Литус, В. Л. Руденко, Д. А. Очнев, А.В. Сорокатый, А.Е. Чванов. Н. Тагил: НТИИМ; Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. 323 с.

4. Новацкий В. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. 312 с.

5. Плахов П.В., Баранов В. Л. Plarit. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (РФ) № 201161 3373 от 29.04.2011г.

6. Баранов В. Л, Смирнов Н.П. Волновая деструкция геометрически неоднородных упруго-вязкопластических стержней // Вопросы оборонной техники. 2015. Сер. 14. Вып. 1. С. 23 - 28.

7. Баранов В. Л., Запольских А.В. Энергобаланс при ударном нагру-жении упруговязкопластических стержней // Материалы IV Международного научного симпозиума «Ударно-вибрационные системы, машины и технологии». Орел: ОрелГТУ. 2010. С. 27 - 30.

Баранов Виктор Леопольдович, д-р техн. наук, проф., SPVIVTS@rambler.ru, Россия. Тула. Тульский государственный университет,

Смирнов Николай Павлович, генеральный директор, web@ntiim.ru, Россия. Нижний Тагил, ФКП ««Нижнетагильский институт испытания металлов» (Уральский боеприпасный полигон)

FEATURES OFPROPFGATIONOFLONGITULINAL ELASTIC-VISKOPLASTIC STRESS WAVES IN NON-UNIFORM GEOMETRIC TUBULAR RODS

V.L. Baranov, N.P. Smirnov

An influence of tension border amplitudes is analyses and cones' angles' mortar of the external surfaces of tubular pivots made from elastic- ductiloplastic materials on the spreading peculiarities of the waves of stretching tensions in them is analyzed. Its shown that an increase of angle's mortar of a cone removes the coordinate of an elastic wave's transformation into the elastic-ductiloplastic one aside the cone s biggest base, while after attainment of the elastic-ductiloplastic condition the intensity of the growth of amplitude characteristics in a wave becomes slower.

Key words: waves of tensions, elastic-ductiloplastic material, conic tubular pivots.

Baranov Victor Leopoldovich, doctor of technical sciences, professor, SP VIVTS@rambler. ru, Russia. Tula. Tula State University,

Smirnov Nikolay Pavlovich, General Director, web@ntiim.ru, Russia, Nizhniy Tagil, FSE «Nizhny Tagil Institute of metal testing» (Ural boepripasy polygon)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.