Особенности распространения продольных упруговязкопластических волн напряжений в геометрически неоднородных трубчатых стержнях Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА ПРОЧНОСТИ, ТЕРМОПРОЧНОСТИ И УДАРА

УДК 532.59: 539.374

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫХ ТРУБЧАТЫХ СТЕРЖНЯХ

В. Л. Баранов, Н.П. Смирнов

Анализируется влияние амплитуд граничных импульсов напряжений и углов раствора конусов наружных поверхностей трубчатых стержней из упруго-вязкопластических материалов Малверна-Соколовского-Кристеску на характер распространения в них продольных волн растягивающих напряжений. Показано, что увеличение угла раствора конуса смещает координату трансформации упругой волны в упруговязкопластическую в сторону большего основания конуса, причем после достижения материалом упруговязкопластического состояния в волне интенсивность дальнейшего возрастания амплитудных характеристик замедляется.

Ключевые слова: волны напряжений; упруговязкопластический материал; конический трубчатый стержень.

Рассматривается прямолинейный трубчатый стержень конечной длины Ь, имеющий внутреннюю цилиндрическую и наружную коническую поверхности. Свойства материала стержня описываются хорошо известными и широко апробированными для случаев ударного и динамического внешнего нагружения большинства металлов и их сплавов конституционными уравнениями Малверна-Соколовского-Кристеску вида [1]

1а(е)

• Н (а- / (г)),

Эе Эг"

1 Э а

Е0 Э?

а

■/ (г)'

Ь(г)

(1)

где /(г) - диаграмма квазистатического нагружения материала; а(г), Ь(г) - аппроксимирующие функции, характеризующие его вязкопласти-ческие свойства; Ед - модуль упругости материала; Н(£) - единичная функция Хевисайда, отражающая упругий характер разгрузки материала.

В момент времени t = 0 к торцу стержня z = 0, где 2 - лагранже-ва координата, совпадающая с продольной осью симметрии стержня, в начале которой находится большее основание конуса наружной поверхности, прикладывается импульс продольных напряжений 02 (0, г). В случае артиллерийского выстрела этот импульс соответствует изменению давления пороховых газов в канале ствола, аппроксимирующая функция для которого имеет вид [2]

ог( 0, г) = а (г + г* )Ь• ехр(с(г + г*)), (2)

где а, Ь, с, г* - константы, определяемые обработкой экспериментальных кривых изменения давления методом наименьших квадратов.

Начальные условия задачи соответствуют первоначально ненапряженному, недеформированному и неподвижному материалу стержня:

о2 (2,0 ) = е2 (2,0 )= У2 (2,0 ) = 0. (3)

Полная система уравнений, описывающая распространение продольных волн растягивающих или сжимающих напряжений в стержне в самом общем случае, соответствующем упруговязкопластической модели материала и геометрической неоднородности стержня, включает в себя уравнения движения материала, уравнение совместности деформаций (или уравнение неразрывности) и конституционное уравнение (1) и является квазилинейной системой трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [3]:

дУг (2, г)_

Р

Л2 (2)-У2 (2)

= ±2

У? (2 )

ф? (I)

dz

- У22 (2 )•

Эг

dy2 (2)

dz

•о 2 (2 )±

±

Эо! (2, г)

dz

у2 (2 )-У2 (2 )

(4)

^М = Э^М, ^М-^ЭоМ = ф()• но -)),

Ж Э2 Эг Е0 Эг у 2 ^ у 2 ^ 2,!

где ф(о2,е2 ) - условное обозначение правой части конституционного уравнения (1), знак (+) в правой части уравнения движения соответствует волне растягивающих напряжений, знак (-) - случаю напряжений сжатия (в дальнейшем будет анализироваться первый случай); у = у^) - уравнение

образующей наружной поверхности стержня, У = У2(2) - уравнение обра-

зующей внутренней поверхности стержня. В рассматриваемом случае

у^ )=- Ъ- *

Ь

— • 2; у 2 (2) = г = сотг .

(5)

С учетом (5) рабочая система уравнений (4) записывается так:

р

У2 (-)-У2 (z).

+

¿Vz (z, t) dt

Эа - (z, t)

= +2

У? (z )•

(z)

■а z (z

(z) +

dz

У2 (z )■

■У

2 (z)

¿ez (z, t ^¿Vz (z, t)

(6)

f (ez)).

dt ¿z

Эе (z,t)-± Эа (z,t) = F(sz ,ez )• H (a

¿t Eo ¿t

Если положить в системах (4), (6) материал стержня линейно упругим, то есть обнулить правую часть уравнения (1) и, соответственно, -последних уравнений систем (4), (6), и рассматривать стержень геометрически однородным, то есть считать yi(z) = const, У2 (z) = const, то система уравнений (4) вырождается в классическую линейную систему волновых уравнений, имеющую аналитическое решение в форме Даламбера [4]. При этом изменение каждого параметра напряженно-деформированного и кинематического состояний материала стержня во времени в различных поперечных сечениях будут описываться функциями, не зависящими от ла-гранжевой координаты z .

Рассмотрим менее частный по отношению к предыдущему вариант формулировки волновой задачи, имеющий важное практическое приложение: пусть параметры начальных условий и геометрия нагружаемого торца стержня таковы, что на торце формируется волна упругих напряжений, которая распространяется в геометрически неоднородный стержень. При этом упругое состояние материала ограничено сверху, то есть существуют некоторое предельное напряжение или, в общем случае, некоторое формализованное условие, при превышении или невыполнении которых материал переходит в упруговязкопластическое состояние, соответствующее конституционному уравнению (1). В этом случае система уравнений (6) вновь принимает квазилинейный вид:

¿Vz (z, t)

Р

У2 (z)-y2 (z)

t

= +2

У12 (z)

dy2 (z)

dz

а z (z) +

¿Sz (z, t)

dz

y2 (z )-У2 (z)

z(z,t) = aV_M ¿ez(z,t) 1 ¿az(z,t) = 0,

dt

¿z

¿t

E0

¿t

(7)

но в процессе ее решения необходимо непрерывно, на каждом шаге численного интегрирования, отслеживать изменение значений напряжений и деформаций в материале стержня и производить сравнение их с критерием предельного состояния, соответствующим выходу материала из зоны упругости. И физической причиной этого перехода в такой постановке за-

дачи будет являться геометрическая неоднородность стержня, что отражает первое слагаемое в правой части уравнения движения. Такая постановка волновой задачи, как показал проведенный анализ, является новой. Для ее численного решения разработан программный комплекс Р1агй [5].

В случае выхода параметров волны в процессе распространения по стержню за пределы упругого состояния материала, то есть в случаях, когда справедливы системы уравнений (4) и (6), и в правой части конституционного уравнения вновь появляется функция Ф(о'z ,е2), описывающая вязкопластические свойства материала, комплекс [5] также позволяет решать и эту задачу.

Численное моделирование проводилось при следующих исходных данных:

- геометрические характеристики стержня ь = 1,0м; —2 = 0,08м;

г = 0,05м; величина —1 варьировалась дискретно —1 = 0,15м...0,20м:

— - —

у (2) = - - -1—-2 • 2; У2 Н = г = 0,05 м;

Ь

- материал стержня - сталь 3, определяющее уравнение (1) для которого имеет вид [1, 3]:

Эе2 1 = Эг Е0 Эг

/

о

е2

V

Эе ^ П К2 е - /(е )

Эг , /[ezJ

К

(8)

где

/(е2) = Е0 • е2 • Н(е' - е2) + [Е0 • е' + Е1 (е' - е2 )]• Н(е2 - е'), Е1 = 631МЩ

е' = 0,84 • 10-3; о' = 173,8 МПа; К1 = 0,0474МПа; К2 = 0,96; н(е2 - е') - единичная функция Хевисайда; е' - деформация, соответствующая условному пределу текучести о' материала на диаграмме Прандт-

/ т-т /

ля, причем справедливо равенство о = £0 • е .

На рис. 1 приведены результаты аппроксимации экспериментальных диаграмм динамического нагружения стали 3 (сплошные линии), приведенных в работе [1], определяющим уравнением (8) (штриховые линии). Наблюдается их удовлетворительное согласование.

Задача решалась в тестовой постановке, поэтому реальное граничное условие (2) на нагружаемом торце стержня записывалось в гипотетической форме прямоугольного импульса растягивающих напряжений вида:

о(0, г) = о* • н (г*- г),

где о* - амплитуда импульса; г* - длительность импульса напряжений.

а МРа

800

600

400

200

¿=1170

_________

rsr^crzr. -- ——______

—'- V=290

1 ¿=100/

°<02 \jt-0 0,04 8

Рис. 1. Аппроксимация диаграмм динамического нагружения для стали 3 конституционным уравнением (8)

Численные значения амплитуд импульсов напряжений на нагружаемом торце стержня принимались незначительно меньше условного предела текучести материала стержня и также варьировались дискретно:

O* = 130; 150 МПа, что позволяет на начальном этапе распространения волны рассматривать ее упругой. Причем, если в случае геометрически однородного стержня параметры напряженно-деформированного и кинематического состояния материала в волне в различных сечениях стержня изменяются во времени одинаково, то в случае геометрической неоднородности параметры упругой волны изменяются. В частности, для описания изменения параметров состояния материала на переднем фронте упругой волны получена система трех обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

do z (t)

dt

Eo 2

s z (t)-f (e z (t))"

K1

K 2

• H [o z (t)- f (e z (t ))]-

Eo p

yi(z) ^ - У2 (z )• dy2 (Z)

dz

dz

•Oz (t)

de z (t)

dt

1 2

У12 (z)-У2 (z)

O z(t)- f (e z(t))

K

K 2

• H [o z (t)- f (e z (t ))]-

/ \dy1 (z) / ч dy 2 (z) У1 (z- У2(z

dz dz

VE0p

Oz (t)

(9)

У12(z)-У2 (z) 101

1

(г) = +1

йг 2 "У

Ее

Р

1 Р

У\(?)

о 2 (г)-/ (е 2 (г))' . К1 dyl(z)

К

У2 И

• Н [о 2 (г)-/ (е 2 (г))]+ йУ2 й"

-•о2 (г),

У12 (--)-У2 (--).

при этом в последней системе переменная 2 , входящая в функции У1 (2) и У2(2) и их первые производные, не является независимой, а связана с единственной независимой переменной г скоростью распространения уп-

ругой волны в материале стержня С

2 = С • г

Ее р

Е0

линейным соотношением

• г,

где Р - плотность материала стержня.

Кроме этого, в системе уравнений (9) по отношению к системам (1), (4), (6) изменился аргумент входящих в них функций Хевисайда, что имеет физический смысл: на переднем фронте волны в силу его мгновенности не успевают развиться неупругие деформации, состояние материала является упругим, и, как следствие, эквивалентом диаграммы статического нагру-жения является условный предел текучести на билинейной схеме Прандт-ля.

Длительность импульсов растягивающих напряжений на нагружающем торце стержня принималась равной времени прохождения передним фронтом волны трети длины стержня:

г*

:1 • Ь •

2

II

Р

Е0

5,5 •Ю-5 с,

что качественно соответствует реальной длительности продольных волны напряжений в стволе танковой пушки при выстреле с учетом геометрического подобия последней и рассматриваемого трубчатого стержня в направлении их осей симметрии.

Некоторые результаты численного решения задачи иллюстрируют рис. 2, 3.

На рис. 2 представлены графики изменения осевых нормальных напряжений на передних фронтах продольных волн, построенные как решения задач Коши для системы (9) без учета входящих в правые части ее уравнений функций Хевисайда, что физически означает неучет перехода материала трубчатого стержня в упруго-вязкопластическое состояние в точках пересечения графиков с линией 3, соответствующей условному пределу текучести материала. Фактически это означает, что материал

102

стержня рассматривался неограниченно упругим. Семейство кривых 1 соответствует амплитуде граничного импульса о* =130 МПа, кривых 2 - амплитуде о* =130 МПа. Сплошные линии на рисунке построены для радиуса большего основания конуса ^ = 0,20м, штриховые - для = 0,15м. Анализ графиков показывает, что наличие обратной конусности у трубчатого стержня приводит к увеличению амплитуд напряжений на фронте волны, а для прямоугольного граничного импульса - к увеличению напряжений в волне. Причем, увеличение угла конусности наружной поверхности стержня приводит к увеличению интенсивности возрастания амплитуд напряжений, делая последние неограниченно большими при устремлении площади правого торца стержня к нулю. Это означает, что в рамках такой постановки задачи деструкция материала стержня в его поперечных сечениях в окрестности правого торца - событие детерминированное как в случае использования фиксированного значения предела прочности материала, так и в случае использования феноменологического подхода к моделированию деструкции материала [6].

аФ,

МПа 1200

1000

800

600

400

200

1 ✓

/ X \ ✓ /

✓ ✓ А

*

г л ** 3

-

—

0,2

0,4

0,6

0,8

Т., лл

Рис. 2. Изменение осевых нормальных напряжений на переднем фронте волны для случая неограниченно упругого

материала стержня

Рис. 3 иллюстрирует результаты решения аналогичной задачи для случаев учета перехода материала стержня из упругого в упруго-вязкопластическое состояние в волне при превышении напряжением на фронте величин о'. Нумерация и обозначения кривых на рис. 3 соответствуют нумерации и обозначениям предыдущего рисунка. Видно, что во всех рассмотренных случаях наблюдается общая качественная закономерность: после перехода материала трубчатого стержня в упруговязкопластическое

103

состояние интенсивность возрастания напряжений на фронте волны замедляется, и этот эффект накапливается при дальнейшем распространении волны по стержню. Это явление также имеет физическое объяснение, подробно проанализированное в [7]. На неупругих участках противоборствуют два процесса: концентрация энергии волны в продолжающих уменьшаться поперечных сечениях (что увеличивает амплитуды напряжений) и диссипация части энергии волны в энергию неупругого деформирования материала (что уменьшает амплитуды напряжений). При этом вероятность деструкции материала стержня по отношению к предыдущему варианту решения задачи уменьшается.

оФ,

600 400 200

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 3. Изменение осевых нормальных напряжений на переднем фронте волны для случая упруго-вязкопластического

материала стержня

Таким образом, в данной работе численно протестировано решение задач продольного волнового нагружения геометрически неоднородных стержней из упруговязкопластических материалов в рамках гипотетического прямоугольного граничного импульса растягивающих напряжений и без учета потенциально возможной деструкции материала. Полученные результаты не противоречат физическим закономерностям процесса и могут быть использованы для решения ряда задач, имеющих прикладное значение.

Список литературы

1. Некоторые вопросы проектирования боеприпасов проникающего типа / В. Л. Баранов, В.Н. Иванов, И.В. Лопа, Ю.А. Турыгин, И.В. Хромов, В.Н. Щитов. Тула: Изд-во ТулГУ. М.: ЦНИИТМ. 2002. 225 с.

104

2. Баранов В. Л., Руденко В. Л. Проблема численной неустойчивости при аппроксимации кривых изменения давления в канале ствола при выстреле методом наименьших квадратов // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. 2004. Вып. 7. Ч. 1. С. 27 - 32.

3. Поведение стержневых и оболочечных конструкций из упруго-вязкопластических материалов в условиях высокоскоростного импульсного нагружения / В. Л. Баранов, И.В. Дунаева, И.Б. Литус, В. Л. Руденко, Д. А. Очнев, А.В. Сорокатый, А.Е. Чванов. Н. Тагил: НТИИМ; Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. 323 с.

4. Новацкий В. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. 312 с.

5. Плахов П.В., Баранов В. Л. Plarit. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (РФ) № 201161 3373 от 29.04.2011г.

6. Баранов В. Л, Смирнов Н.П. Волновая деструкция геометрически неоднородных упруго-вязкопластических стержней // Вопросы оборонной техники. 2015. Сер. 14. Вып. 1. С. 23 - 28.

7. Баранов В. Л., Запольских А.В. Энергобаланс при ударном нагру-жении упруговязкопластических стержней // Материалы IV Международного научного симпозиума «Ударно-вибрационные системы, машины и технологии». Орел: ОрелГТУ. 2010. С. 27 - 30.

Баранов Виктор Леопольдович, д-р техн. наук, проф., SPVIVTS@rambler.ru, Россия. Тула. Тульский государственный университет,

Смирнов Николай Павлович, генеральный директор, web@ntiim.ru, Россия. Нижний Тагил, ФКП ««Нижнетагильский институт испытания металлов» (Уральский боеприпасный полигон)

FEATURES OFPROPFGATIONOFLONGITULINAL ELASTIC-VISKOPLASTIC STRESS WAVES IN NON-UNIFORM GEOMETRIC TUBULAR RODS

V.L. Baranov, N.P. Smirnov

An influence of tension border amplitudes is analyses and cones' angles' mortar of the external surfaces of tubular pivots made from elastic- ductiloplastic materials on the spreading peculiarities of the waves of stretching tensions in them is analyzed. Its shown that an increase of angle's mortar of a cone removes the coordinate of an elastic wave's transformation into the elastic-ductiloplastic one aside the cone s biggest base, while after attainment of the elastic-ductiloplastic condition the intensity of the growth of amplitude characteristics in a wave becomes slower.

Key words: waves of tensions, elastic-ductiloplastic material, conic tubular pivots.

Baranov Victor Leopoldovich, doctor of technical sciences, professor, SP VIVTS@rambler. ru, Russia. Tula. Tula State University,

Smirnov Nikolay Pavlovich, General Director, web@ntiim.ru, Russia, Nizhniy Tagil, FSE «Nizhny Tagil Institute of metal testing» (Ural boepripasy polygon)