CC BY
10
УДК 539.374
ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ РАСТЯГИВАЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЙ В МОНОБЛОЧНЫХ СТВОЛАХ АРТИЛЛЕРИЙСКИХ СИСТЕМ
ПРИ ВЫСТРЕЛЕ
В.Л. Баранов, Н.П. Смирнов, Р.А. Тер-Данилов
Получена полная система квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, описывающая распространение продольных волн растягивающих напряжений в стволах артиллерийских систем, свойства материалов которых моделируются конституционными уравнениями Малверна-Соколовского-Кристеску, для случаев непрерывной негладкой неоднородности геометрических характеристик поперечных сечений по длине. Сформулирована краевая задача Гурса, соответствующая условиям нагружения стволов давлением пороховых газов при выстреле. Анализируется влияние геометрической неоднородности на неоднородность и на нестационарность параметров напряженно-деформированного состояния.
Ключевые слова: свойства материалов, геометрическая неоднородность, напряженно-деформированное состояние.
Опыт эксплуатации стволов артиллерийских и стрелковых систем на стадии их отработки и при проведении полигонных испытаний показывает, что при попытках уменьшить время достижения максимального давления пороховых газов в зарядной каморе и увеличить амплитудные значения давления наблюдаются ситуации, когда возникают продольные неупругие деформации и поперечная деструкция материала ствола в зоне дульного отверстия. Ниже проведено физическое и математическое моделирование этого недопустимого явления с позиций механики деформируемого твердого тела.
Ствол моделируется прямолинейным стержнем конечной длины Ь, свойства материала которого описываются хорошо известными и широко апробированными для случаев ударного и динамического внешнего нагружения конституционными уравнениями Малверна-Соколовского-Кристеску вида [1]:
-а(е)
Эе 1 Эо
э7 _ Е э7
о-/(е)"
(1)
Р(е)
где /(е) - диаграмма квазистатического нагружения материала; а(е), Ь(е) -аппроксимирующие функции, характеризующие его вязкопластические свойства; Е -модуль упругости материала.
В момент времени I = 0 к торцу стержня прикладывается импульс растягивающих напряжений, аппроксимирующий изменение давления пороховых газов в канале ствола при выстреле [2]:
о2 (0,1) = а($ + и)Ь exp(c(í + и)), (2)
где а, Ь, с, и - константы, определяемые обработкой экспериментальных кривых изменения давления методом наименьших квадратов.
Начальные условия задачи соответствуют первоначально ненапряженному, недеформированному и неподвижному материалу:
о 2 М) = е, (2,0) = ^(г,0) = 0, (3)
где г - лагранжева координата, совпадающая с продольной осью стержня с началом в точке приложения внешнего импульса давления.
Стержень является полым, имеет круговое поперечное сечение, образующие наружной поверхности описываются заданными непрерывными негладкими функциями у = ) и у = у1у2) соответственно.
Полная система уравнений, описывающая распространение продольных волн растягивающих или сжимающих напряжений в стержне в самом общем случае, соответствующем упруго-вязкопластической модели материала и геометрической неоднородности стержня, включает в себя уравнения движения материала, уравнение совместности деформаций (или уравнение неразрывности) и конституционное уравнение (1) и является квазилинейной системой трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:
Р
: ±2
yi(z) #2 - У2 (z)
у2 (z)- у2 (z)
dy2(z)
dV(z, t) _
at
s(z, t )±
as(z, t)
dz dz J dz
ae(z, t)_av(z, t) ae(z, t) 1 as(z, t)
[yi2 (z)-У22 (z). :ф(о, e),
(4)
at az at e at
где ф(ф, e) - условное обозначение правой части конституционного уравнения (1), знак (+) в правой части уравнения движения соответствует волне растягивающих напряжений, знак (-) - случаю напряжений сжатия. В дальнейшем будет анализироваться первый случай.
Если положить в системе (4) материал стержня линейно упругим, то есть обнулить правую часть уравнения (1) и, соответственно, - последнего уравнения системы (4), и рассматривать стержень геометрически однородным, то есть считать y (z)_ const, то система уравнений (4) вырождается в классическую линейную систему волновых уравнений, имеющую аналитическое решение в форме Даламбера [3]. При этом изменение каждого параметра напряженно-деформированного и кинематического состояний материала стержня во времени в различных поперечных сечениях будут описываться функциями, не зависящими от лагранжевой координаты z
Рассмотрим менее частный по отношению к предыдущему вариант формулировки волновой задачи, имеющий важное практическое приложение: пусть параметры начальных условий и геометрия нагружаемого торца стержня таковы, что на торце формируется волна упругих напряжений, которая распространяется в геометрически неоднородный стержень. При этом упругое состояние материала ограничено сверху, то есть существуют некоторое предельное напряжение или, в общем случае, некоторое формализованное условие, при превышении или невыполнении которых материал переходит в упруго-вязкопластическое состояние, соответствующее конституционному уравнению (1), а при выполнении некоторых дополнительных условий - разрушается. Наиболее приемлемые и апробированные для широкой группы металлов варианты записи уравнений предельного состояния приведены в работе [4].
В этом случае общая система уравнений (4) принимает вновь квазилинейный
вид:
|У12 (z)-у2 (z)
av (z, t)
at
_ 2
dyi(z) „ M dy2(z)
yi(z - y2 (z)
dz
dz
o(z, t)+
ao(z, t)
az
[yi2 (z)-y22 (z)
ae(z, t)_av(z, t) ae(z, t) 1 ao(z, t)
(5)
_ 0
дt дг дt Е дt
но в процессе ее решения необходимо непрерывно, на каждом шаге численного интегрирования, отслеживать изменение значений напряжений и деформаций в материале и производить сравнение их с критерием предельного состояния, соответствующим выходу материала из зоны упругости. И физической причиной этого перехода в такой постановке задачи будет являться геометрическая неоднородность стержня, что отражает первое слагаемое в правой части уравнения движения. Такая постановка волновой задачи, как показал проведенный анализ, является новой.
Р
Следуя [5], определим, к какому типу дифференциальных уравнений в частных производных относится система (4). Для этого дополним ее тремя соотношениями для полных дифференциалов искомых функций Эо(г,?), ), V(г,?), в результате
чего получим систему шести уравнений, которая по отношению к шести первым частным производным искомых функций будет являться линейной алгебраической. Потребуем ее неопределенности, которая впоследствии позволит найти искомые решения, удовлетворяющие начальным и граничному условиям. Неопределенность линейной алгебраической системы уравнений реализуется, когда ее главный и любой неглавный определители тождественно равны нулю.
Равенство нулю главного определителя системы позволяет получить в дифференциальной форме уравнения характеристических направлений системы (5) в плоскости независимых переменных г — ^ :
Л
= 0,
р
У2 (г) — у2 (г)Кdz2 — Е
откуда
dzl = 0, dz2 з = ±
Е
д dt, (6)
УР
где с = ^1Е / р - скорость распространения продольной волны упругих напряжений в материале стержня.
Таким образом, система уравнений (4) имеет три действительные характеристики, то есть по-прежнему, как и классическая система волновых уравнений, упоминавшаяся выше, является системой гиперболического типа.Следовательно, геометрическая неоднородность стержня не влияет на тип соответствующей ей системы уравнений, что является, как будет показано в дальнейшем, важным практическим обстоятельством.
Приравнивая любой из шести неглавных определителей системы нулю и подставляя последовательно в полученное уравнение дифференциальные уравнения характеристик (6), получаем рабочие уравнения, устанавливающие связь между полными дифференциалами искомых функций вдоль соответствующих характеристических направлений:
- вдоль характеристического направления dz = 0 :
ёф,^-—dо(z,t) = Ф(о, е), (7)
Е
вдоль характеристических направлений dz = ± cdt:
1 [у^-у^ММ [у2(^у2(^о(М) =
VЕ Е (8)
± [У2Й-У2И]Ф(О, е*"у1(г) У2 (*) ^
ч/Ер
Теперь интегрирование квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производного (4), (5) можно заменить с точностью до линейного преобразования интегрированием систем обыкновенных дифференциальных уравнений (7) - (8), записанных вдоль прямолинейных характеристических направлений (6). Причем, для последней системы с помощью начальных (2) и граничных (3) условий сформулирована краевая задача Гурса [5]. Для ее численного решения разработан программный комплекс [6].
В случае выхода параметров волны в процессе распространения по стержню за пределы упругого состояния материала системы уравнений (5) и (7) - (8) видоизменяются, так как в правой части конституционного уравнения появляется функция Ф(о, е) ,
описывающая вязкопластические свойства материала. Комплекс [б] позволяет решать и эту задачу. При этом возможны качественно различные исходы волнового нагружения стержня:
- в случае хрупкого характера разрушения материала, что с учетом его скоростного охрупчивания в волне наиболее вероятно, разрушение материала происходит вследствие уменьшения поперечных габаритов стержня и, как следствие - увеличения амплитудных значений параметров напряженно-деформированного состояния, в зоне упругого состояния материала;
- если параметры напряженно-деформированного состояния материала изменяются на участке упругого состояния таким образом, что не выводят его за пределы критерия разрушения, и упругая волна трансформируется в упруго-вязкопластическую, то разрушение материала возможно в зоне его неупругого волнового деформирования.
Таким образом, в данной работе сформулирована и доведена до уровня возможности ее практической реализации, с помощью вновь созданного авторского программного комплекса актуальная задача оценки, в том числе и деструктивных последствий волнового нагружения стержней из упругих и упруго-вязкопластических материалов с геометрической неоднородностью, моделирующих ударное нагружение стволов артиллерийских и стрелковых систем при выстреле.
Список литературы
1. Баранов В. Л., Кудряшов M.A., Руденко В. Л., Смирнов Н.П., Чванов A.E., Щекин A^., Щитов В.Н. Некоторые вопросы проектирования и отработки пуль патронов стрелкового оружия. Тула: ТулГУ, 2015. 192 с.
2. Баранов В.Л., Руденко В.Л. Проблема численной неустойчивости при аппроксимации кривых изменения давления в канале ствола при выстреле методом наименьших квадратов // Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. 2004. Вып. 7 (часть 1). С. 27-32.
3. Новацкий В. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. 312 с.
4. Баранов В.Л., Дунаева И.В., Литус И.Б., Руденко В.Л., Очнев ДА., Сорока-тый A^., Чванов A.E. Поведение стержневых и оболочечных конструкций из упруго-вязкопластических материалов в условиях высокоскоростного импульсного нагруже-ния. Н. Тагил: НТИИМ. Тула: ТулГУ, 2013. 323 с.
5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М: Физматгиз, 19б0. Т. 2.
б20 с.
6. Баранов В.Л., Смирнов Н.П., Левин A.C, Тер-Данилов РА. Программа расчета параметров напряженно-деформированного состояния ударно-нагруженных неоднородных стержней из упруго-вязкопластических материалов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (РФ) № 2019бб295 от 07.10.2019 г.
Баранов Виктор Леопольдович, д-р техн. наук, профессор, ivts-spv1411 @yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Смирнов Николай Павлович, инженер, генеральный директор, web@ntiim.ru, Россия, Н. Тагил, ФКП «Нижнетагильский институт испытания металлов»,
Тер-Данилов Роман Арустамович, канд. техн. наук, доцент, ivts-spv1411 @yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
LONGITUDINAL WA VES OF TENSILE STRESSES IN MONOBLOCK BARRELS OF ARTILLERY SYSTEMS WHEN FIRED
V.L. Baranov, N.P. Smirnov, R.A. Ter-Danilov 40
A complete system of quasilinear partial differential equations of hyperbolic type describing the propagation of longitudinal waves of tensile stresses in the barrels of artillery systems whose material properties are modeled by the Malvern-Sokolovsky-Christescu constitutional equations is obtained for cases of continuous non-smooth inhomogeneity of the geometric characteristics of cross-sections along the length. The Gurs boundary value problem is formed, which corresponds to the conditions of loading the barrels with the pressure of powder gases during firing. The influence of geometric inhomogeneities and on non-stationary parameters of the stress-strain state is analyzed.
Key words: material properties, geometric inhomogeneity, stress-strain state.
Baranov Viktor Leopoldovich, doctor of technical sciences, professor, ivts-spv1411 @yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Smirnov Nicolay Pavlovich, general director (CEO), web@ntiim.ru, Russia, Nizhny Tagil, Metal Test Institute,
Ter-Danilov Roman Arustamovich, candidate of technical sciences, docent, ivts-spv1411 @yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.3; 624.058.8
ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АМОРТИЗАТОРОВ СТРЕЛКОВОГО ОРУЖИЯ ДЛЯ СЛЕДЯЩЕЙ НЕСКОЛЬЗЯЩЕЙ СХЕМЫ ВНЕШНЕГО НАГРУЖЕНИЯ
В.Л. Баранов, А.С. Левин
Анализируется кинетика изменения кинематических и энергетических характеристик геометрически неоднородных стержневых упругих элементов амортизаторов для наиболее общей нескользящей следящей схемы приложения внешней нагрузки в случае их больших прогибов. Решение строится в динамической постановке с учетом затрат энергии тормозящейся массы на кинетическую энергии массы упругого элемента в процессе его нестационарного и неоднородного деформирования. Показано, что учет динамики оказывает существенное влияние на параметры функционирования амортизаторов. Разработан и реализован на практике программный комплекс, позволяющий получать решение путем целенаправленного перебора вспомогательных задач Коши с параллельной оценкой его точности.
Ключевые слова: стрелковое оружие, амортизатор, поперечный изгиб, силовая характеристика, краевая задача, оптимизация.
Проведенный анализ конструкций узлов амортизации стрелково-пушечного оружия показывает, что встречаются такие конструктивные решения, в которых деформации упругих элементов амортизаторов по величине соизмеримы с их габаритными размерами [1]. Важнейшей эксплуатационной характеристикой амортизаторов являются их силовые характеристики, то есть зависимости амплитуд перемещений упругих элементов от деформирующих элементы сосредоточенных усилий от в точках их приложения, так как они характеризуют потери кинетической энергии подвижной амортизируемой массы оружия, то есть эффект амортизации. В случае использования амортизаторов в виде геометрически неоднородных консольно защемленных упругих балок их силовые характеристики, определяющие частичную потерю кинетической энергии массы подвижного звена в цикле нагружения, в случае больших прогибов су-
