CC BY
24
Известия ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 11 УДК 539.3; 624.058.8
СИЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ АМОРТИЗАТОРОВ СТРЕЛКОВОГО ОРУЖИЯ ДЛЯ НЕСКОЛЬЗЯЩЕЙ СЛЕДЯЩЕЙ СХЕМЫ ВНЕШНЕГО НАГРУЖЕНИЯ
В. Л. Баранов, А.С. Левин
Рассмотрен метод определения силовых характеристик геометрически неоднородных упругих элементов для наиболее общей нескользящей следящей схемы приложения внешней нагрузки в случае их больших прогибов. Показано, что решение сводится к неопределенной априори краевой задаче для системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Разработан и реализован на практике программный комплекс, позволяющий получать решение путем оптимального перебора вспомогательных задач Коши с параллельной оценкой его точности.
Ключевые слова: стрелковое оружие, амортизатор, поперечный изгиб, силовая характеристика, краевая задача, оптимизация.
При проектировании устройств амортизации стрелково-пушечного оружия возможны такие конструктивные решения, когда упругие деформации амортизаторов по величине соизмеримы с их габаритами. Важнейшей эксплуатационной характеристикой амортизаторов являются их силовые характеристики, то есть зависимости деформирующих упругие элементы сосредоточенных усилий от перемещений элементов в точках их приложения, так как они характеризуют потери кинетической энергии движущейся массы оружия, то есть эффект амортизации. В случае использования амортизаторов в виде геометрически неоднородных консольно-защемленных упругих балок [1] их силовые характеристики, определяющие частичную потерю кинетической энергии массы подвижного звена в цикле нагружения, в случае больших прогибов существенно нелинейны [2, 3]. Причем, конкретный вид силовой характеристики зависит от совокупности геометрических особенностей упругого элемента, механических характеристик его материала и от характера приложения внешней сосредоточенной силы.
На практике встречаются несколько вариантов приложения сосредоточенной силы для случаев больших прогибов консольного упругого элемента амортизатора (рис.1).
На рис. 1, а показана схема деформирования консольно защемленного упругого элемента, нагруженного на его незакрепленном конце сосредоточенной силой F, направление вектора которой и точка приложения к элементу в процессе деформирования балки неизменны (нескользящая неследящая внешняя нагрузка), на рис. 1, б - нескользящая следящая схема приложения внешней нагрузки, когда вектор сосредоточенной силы в процессе деформирования упругого элемента отслеживает направление нор-
124
мали к касательной нейтральной линии упругого элемента в фиксипован-ной материальной точке приложения силы. Кроме этого возможны скользящая неследящая и скользящая следящая схемы приложения внешней сосредоточенной силы. Анализ показывает, что наиболее общим случаем из вышеуказанных возможных является нескользящая следящая схема, изображенная на рис. 1, б. Ниже рассмотрено решение задачи применительно к этой наиболее общей схеме.
а
б
Рис. 1. Варианты приложения сосредоточенной силы для случаев больших прогибов консольного упругого элемента амортизатора
Рассматривается случай, когда сочетание модуля сосредоточенной силы Б, геометрических характеристик упругого элемента и механических характеристик его материала таковы, что величина стрелы прогиба у = у^Ь) соизмерима с величиной ее пролета Ь.
В этом случае между уравнением изогнутой линии у = у(2) и длиной балки Ь существует инвариантная универсальная связь:
2(Ь) *--
Ь = / VI + (У(2))2¿2 , (1)
0
где г(Ь) - абсцисса свободного конца изогнутой линии упругого элемента.
В случае больших прогибов уравнение изогнутой оси балки записывается так [2]:
с12 у ¿2 2
1 +
¿у ¿2
= М изг ( 2 ) 2Л3 1 х(2*)• Е0
(2)
где Мизг (2) - изгибающий момент от действия силы Б в сечении с ординатой г; 1х (2*) - осевой момент инерции поперечного сечения изогнутого упругого элемента с координатой 2, соответствующей координате 2* в начальном недеформированном состоянии упругого элемента; Е0 - модуль упругости материала элемента.
Рис. 2. Расчетная схема и принятые обозначения
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении с координатой г ,2 е [0,Ь], как следует из рис. 2, вычисляется так:
МИзг (2) = ^ • (7 - у(2)) • вт(аг^(-С) -- ^ • (2 - 2) • соБ(агС^(-С)) где 7 = у(2(ь)) - стрела прогиба нейтрального слоя изогнутого упругого элемента в точке приложения внешней сосредоточенной силы, ее величина на начальном этапе решения является неизвестной; С = — (2(2* = Ь)) -
й2
первая производная функции у = у(2) в точке 2* = Ь , также априори является неизвестной величиной; 2 = 2(2*(Ь)) - абсцисса свободного конца упругого элемента - третья дополнительная неизвестная в правой части уравнения (2).
Таким образом, в структуру обыкновенного дифференциального уравнения (2) входят две неизвестные функции: у = у(2) и 2 = 2(2*), а также три неизвестные величины:
7 = у(2(ь)) , С = ^(2(2* = Ь)) и 2 = 2(2*(ь)) , (4)
а2
то есть, задача является неопределенной. Дополним уравнение (2) уравнением (1), записанным для произвольной точки упругого элемента:
2
2* =
0
= IV1 + (у '(2))2 а2 .
Приведем последнее выражение к рабочему виду:
= л/1 + (/( 2))2
а2 * ^ " . (5)
В результате получена система двух нелинейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков (2), (5), для которой имеются дополнительные начальные условия, соответствующие случаю консольного закрепления упругого элемента:
у(о) = 0, ^(0) = 0, 2*(0) = 0 . (6)
а2
Таким образом, сформулированная выше задача сводится к организованному трехмерному перебору начальных численных значений параметров (4) в области их допустимых значений
0 < 2 < Ь ,
0 <-У < Ь , (7)
0 < аг^(-С) < 0,5р и к многократному решению соответствующих им вспомогательных задач Коши (2), (3), (5), (6). Как показал проведенный анализ, последовательный трехмерный перебор всех значений (4), даже на современных компьютерах занимает большое время, поэтому далее воспользуемся алгоритмом нелинейного программирования с использованием в нем метода внутренней точки (или барьерного метода), которые в настоящее время достаточно хорошо развиты и являются наиболее машинно-ориентированными [4].
Осуществлялась минимизация следующей целевой функции:
я,ГС, = Ь-Ш! + С -»2) , («)
где у(2) и 2*(2) и у (2) - текущие значения величин прогиба упругого элемента амортизатора, абсциссы и первой производной функции у(2) в точке приложения внешней силы 2 = 2 после решения соответствующей задачи Коши с выбранными значениями величин 2, У, С.
Ниже представлены некоторые результаты численной реализации сформулированной задачи. Решение проводилось при следующих исходных данных: материал упругого элемента - пружинная сталь 60С2А; Ь = 0,1 м; поперечное сечение - прямоугольник постоянной ширины Ь = 0,01 м, высота прямоугольника меняется по линейному закону: в точке защемления к = 0, 01 м, у нагружаемого конца элемента Н2 = 0, 003 м.
Решение проводилось на базе разработанного программного комплекса «У1аг1;» с использованием программной среды МаЛаЬ.
На рис. 4 представлены графики нейтральных осей упругого элемента при Б = 9 х 104 Н (сплошная линия) и Б = 5 х 104 Н (штриховая линия). Рис. 5 иллюстрирует силовую характеристику упругого элемента -зависимость амплитуды прогиба нагружаемого конца упругого элемента от величины внешней сосредоточенной силы, имеющую наиболее важное значение при проектировании и отработке систем амортизации стрелкового и артиллерийского оружия, так как именно она определяет потери кинетической энергии подвижной массы оружия в цикле его эксплуатации. Подтверждается существенно нелинейный характер взаимосвязи указанных выше величин.
Следует отметить, что трудоемкость получения силовой характеристики на несколько порядков превышает трудоемкость получения рис. 4.
И, наконец, на рис. 6 приводятся результаты взаимодействия жесткой сосредоточенной массы М = 1 кг, ударяющейся об упругий элемент амортизатора, геометрические и механические характеристики которого
127
Известия ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 11
приведены выше, с начальной скоростью У0 = 10 м/с. Сплошная линия на рис. 6 - текущая кинетическая энергия подвижной массы, штриховая линия - работа упругой силы сопротивления амортизатора в процессе их совместного движения.
У.М -0.02 -0.04
-0.06---
0 0.02 0.04 0.06 0.0в 2,м
Рис. 4. Влияние сосредоточенной силы на положение нейтральной оси
упругого элемента
8 в 4 2 О
0.02 0.04 У, М
Рис. 5. Силовая характеристика упругого элемента амортизатора
Е.Ди 40
30 20
0 0.052 ШИН ОЛОв 0.(108 0.01 У. м
Рис. 6. Энергобаланс системы «упругий элемент - подвижная сосредоточенная жесткая масса» в цикле их ударного взаимодействия
Таким образом, в данной работе проведено физическое, математическое и программное моделирование задачи построения силовых характеристик амортизаторов оружия в достаточно общей постановке применительно к нескользящей следящей схеме внешнего нагружения для случая
128
больших прогибов упругого геометрически неоднородного элемента амортизатора. Решение построено в квазистатической постановке, и дальнейшим направлением его развития является учет в энергобалансе рассматриваемой системы кинетической энергии массы упругого элемента амортизатора в процессе его изгибного деформирования, а также аналогичное методологически рассмотрение различных приведенных выше схем приложения внешней нагрузки.
Список литературы
1. Физические основы устройства и функционирования стрелково-пушечного, артиллерийского и ракетного оружия: учебник МО РФ. Авт.: Баранов В.Л., Власов В.А. и др. Волгоград: «Политехник», 2002. 559 с.
2. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней / М.: Наука. 1986. 296 с.
3. Светлицкий В.А. Механика стержней: учебник для ВТУЗов. В 2-х частях. Часть 1. М.: Высшая школа, 1987. 320 с.
4. Byrd R.H., Gilbert J.C., Nocedal J.A Trust Region Method Based on Interior Point Techniques for Nonlinear Programming // Mathematical Programming. 2000. Vol. 89. № 1. P. 149 -1 85.
Баранов Виктор Леопольдович, д-р техн. наук, профессор, ivts. tulguaramhler. ru, Россия, Тульский государственный университет,
Левин Артем Сергеевич, студент, ivts. tulgua ramhler.ru, Россия, Тульский государственный университет
STRENGTH CHARACTERISTICS OF ELASTIC ELEMENTS OF SMALL ARMS SHOCK ABSORBERS FOR NON-SLIP EXTERNAL LOADING TRACKING CIRCUIT
V.L. Baranov, A.S. Levin
The method of determining the strength characteristics of geometrically inhomoge-neous elastic elements for the most general scheme of application of an external load (nonslip tracking) in the case of their large deflections is considered. It is shown that the solution reduces to an initially indefinite houndary value prohlem for a system of ordinary nonlinear differential equations. Developed and implemented in practice a software package that allows to obtain a solution hy optimal enumeration of auxiliary Cauchy problems with a parallel assessment of its accuracy.
Key word: small arms, shock ahsorher, transverse bending, strength characteristic, boundary value prohlem, optimization.
Baranov Viktor Leopoldovich, doctor of Technical Sciences, full professor, ivts. tulguaramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Levin Artem Sergeevich, Student, ivts. tulgua ramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University
