Динамический анализ ввода нового жилья в РФ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.237

ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВОДА НОВОГО ЖИЛЬЯ В РФ

М. Г. Тиндова

DYNAMIC ANALYSIS OF NEW HOUSING IN THE RUSSIAN FEDERATION

M. G. Tindova

Аннотация. Актуальность и цели. В работе с помощью различных статистических методов проанализирована динамика ввода жилья в РФ. Данный показатель является одним из основных экономических маркеров, описывающих состояние экономики. Поэтому исследование, целью которого является построение математических моделей, характеризующих объемы ввода нового жилья, является актуальным. Материалы и методы. В работе с помощью критерия Фостера-Стюарта проверено наличие тенденции и сезонности в исследуемом ряду. Из сравнения трех уравнений, описывающих тренд ряда, на основе анализа качества выбрано лучшее. С помощью показателей асимметрии и эксцесса проверена гипотеза о нормальности остатков; с помощью автокорреляционной функции остатков проверена их независимость; случайность остатков проверена с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий. Для описания сезонности в ряду сравнены мультипликативная тренд-сезонная модель и модель прогноза с помощью индекса сезонности. Результаты. Результатом работы стало построение модели оценки объема ввода жилья, которая бала использована для прогноза на четыре квартала 2015 г. Погрешность вычислений составила 0,25 %. Выводы. Проведенный анализ показал, что модель ввода нового жилья имеет ярко выраженный сезонный характер с максимальным уровнем в четвертом квартале. Также анализ показал зависимость качества прогнозирования от длины временного ряда, что качественно влияет на выбор уравнения тренда и снижает погрешность модели.

Ключевые слова: динамический анализ, временные ряды, модели прогноза ввода жилья.

Abstract. Background. In the work by using various statistical methods, we analyzed the dynamics of housing construction in the Russian Federation. This indicator is a basic economic markers that describe the state of the economy. Therefore, the research, the purpose of which is the construction of mathematical models describing the volume of new housing, is relevant. Materials and methods. In the work using the criterion of foster-Stewart checked the presence of trend and seasonality in the investigated range. From comparison of the three equations describing the trend of the series, based on the analysis of selected best quality. Using indicators of skewness and kurtosis tested the hypothesis of normality of the residuals; using the autocorrelation functions of the residuals checked their independence; the randomness of residuals was checked using the criterion of "ascending" and "descending" series. To describe the seasonality in the series compared the multiplicative trend seasonal model and the forecast model using the index of seasonality. Results. The result was the construction of models for estimating the amount of housing that the ball used for the forecast for the four quarters of 2015. The computational error was 0.25 %. Conclusions. The analysis showed that the model of input of new habitation has a pronounced seasonal character with maximum level in the fourth quarter. Also the analysis showed the dependence of the quality of prediction of the length of the time series, which qualitatively influences the choice of the equation of the trend and reduces the accuracy of the model.

Key words: dynamic analysis, time series, forecast model of housing.

Введение

Одним из показателей социально-экономического развития страны и региона является показатель ввода нового жилья, который характеризует развитие строительной отрасли, ее инвестиционную привлекательность. Также объемы вводимого жилья являются косвенным показателем покупательской способности населения, развития ипотечного кредитования и доверия населения правительству. Поэтому целью работы является анализ динамики ввода жилья в целом по РФ.

Для анализа был рассмотрен временной ряд поквартального ввода жилья в РФ (млн м2) в период с I квартала 2000 г. по IV квартал 2014 г. (рис. 1).

Поскольку амплитуда колебаний растет с увеличением среднего значения ряда, то временной ряд следует представлять в виде мультипликативной связи периодических колебаний, наслаивающихся на тренд.

1. Моделирование тренда

Проверим с помощью критерия Фостера-Стюарта наличие тенденции в исследуемом ряду.

Каждый уровень ряда сравним с предыдущим и определяем значения

Г1, если у > у{_и yí_2,...,У1 Г1, если У < У{_иЛ-2,...,У1 и{ = \ т{ = \ .

[0, иначе [0, иначе

3 I I I ■ ■ ■ I I I I ■ ■ ■ I I I ■ ■ ■ ■ I I I ■ ■ ■ I I I I ■ I I ■ ■ ■ I I I ■ ■ ■ I ■ ■ ■ I I I ■ ■ I I ■ ■ ■ I I I ■ ■ ■

1 4 7 10 13 19 22 2Е- 2В 31 34 37 40 4 3 4е 49 Е2 БЕ- ЕВ 31 Рис. 1. Динамика ввода жилых домов в РФ

Далее вычисляем S = ^ (и; + т;) = 60 и В = ^ (и( _ т() = 28 . Для проверки гипотез о случайном характере величин и В-0 с помощью критерия

5 _Ц 60 _ 6,998

Стьюдента определяем расчетные значения критерия: =-=-=

2,121

В _ 0 28 _ 0

= 24,9892 и =-=-= 10,586, где значения ц - матожидание вели-

2,645

чины 5, о3 - среднеквадратическая ошибка величины 5 и оВ - среднеквадра-

тическая ошибка величины В, находятся из таблиц [1]. Из таблицы распределения Стьюдента находим критическое значение гкр = 2,0003. Поскольку гВ > гкр, то с вероятностью 95 % можно утверждать, что в исследуемом временном ряду существует основная тенденция. Аналогично, вследствие того, что гЛ > г , то в исследуемом ряду присутствуют периодические колебания.

Для определения наилучшего тренда сравним линейную, параболическую и показательную регрессии.

При использовании МНК-метода для линейной регрессии получили уравнение: у = 5,9723 + 0,2382г + е, где в скобках указаны стандартные

(1,65) (0,046)

ошибки коэффициентов. По 1>критерию Стьюдента гипотезы о значимости параметров принимаются.

Коэффициент множественной корреляции составил Я = 0,5567, коэффициент детерминации Я = 0,3099. По ^-критерию Фишера гипотеза о значимости Я2 принимается [2].

Определяя остатки модели, находим среднеквадратическую ошибку

- - с /2389,976 6 259 для линейной модели регрессии: Л = . -= 6,259 .

V 61

Проводя аналогичные вычисления и используя предварительную линеаризацию, для параболической регрессии получаем: у = 6,4602 + 0,1918г +

(2,55) (0,1896)

2387,34335

+ 0,00075г2 + е , Я2 = 0,3107, Л = ' = 6,256 .

(0,003) \ 61

По критерию Стьюдента значимым является только р0. По критерию Фишера модель значима.

/10 3752

Для показательной: у = 6,2556-е0,0194г, Я2 = 0,4064, Л = ,—-=

(0.1087) (0,003) V 61

= 0,4124. По критерию Стьюдента все параметры значимы, по критерию Фишера модель также значима [2].

Из сравнения полученных значений следует, что предпочтение в выборе функции следует отдать показательной функции. В данной модели значение Р0 = 6,2556 показывает начальные условия развития процесса ввода жилых домов, а Р1 = 0,0194 - постоянный темп роста. Другими словами, с каждым кварталом средний объем вводимого жилья увеличивается на 19,4 тыс. м .

В работе [1] рассматривался тот же ряд, но с 2000 по 2008 г., наилучшей функцией для описания тренда является парабола.

2. Анализ случайной компоненты

Проверка адекватности моделей реальному процессу проводится на основе анализа случайной компоненты. Принято считать, что модель адекватна, если значения остатков удовлетворяют свойствам случайности, независимости и нормальности распределения.

Предположение о нормальности остатков может быть проверено с помощью показателей асимметрии и эксцесса [3]:

А =

0,038085, Э =—2-- 3 = -0,706611.

V

3

Среднеквадратическая ошибка асимметрии равна

Среднеквадратическая ошибка эксцесса -

аЭ = . -= 0,6038 .

Э \(п - 3)(п - 2)(п + 3)(п + 5)

Так как А < 2а А = 0,0784 и Э + = 0,6098 < 2а,. = 1,2076, то гипо-

А п +1 Э

= 0,6038.

теза о нормальном характере распределения принимается.

Независимость остатков можно проверить с помощью автокорреляционной функции остатков. Поскольку независимость выражается в требовании Гаусса-Маркова о некоррелируемости остатков, то отсутствие автокорреляции первого порядка (г = -0,025) и говорит о независимости.

Также независимость остатков можно определить с помощью критерия Дарбина-Уотсена. При уровне значимости 5 % и п = 60 критические значения Дарбина-Уотсена составляют = 1,50 и йи = 1,59, промежуточные значения внутри интервала [0, 4] составят 4 - йи = 2,41 и 4 - = 2,50. Фактическое значение й = 1,96, построенное для нашей модели, попадает в интервал от йи до 4 - йи, следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках принимается.

Случайность уровней ряда остатков можно проверить с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий.

Число серий для ряда длиной п = 61: у(61) = 34, протяженность самой длинной серии £тах(61) = 4, табличное значение £0(61) = 6, тогда

Оба неравенства выполняются, следовательно, гипотеза об отсутствии тенденции среднего уровня принимается, а ряд остатков можно считать слу-

Для проверки периодичности можно использовать автокорреляционную функцию уровней временного ряда (табл. 1), и поскольку наибольшее значение соответствует лагу т = 4, то во временном ряду присутствует сезонная составляющая с периодом 4.

чайным.

3. Моделирование сезонной компоненты

Таблица 1

Значения автокорреляционной функции

Лаг 1 2 3 4 5

Корреляция 0,116144 0,044665 0,026957 0,96809 0,065648

Характеристикой сезонных колебаний является индекс сезонности, который показывает, насколько в среднем значения за каждый квартал отличаются от среднего уровня во внутригодовом цикле. В нашем случае скорректированные индексы сезонности по кварталам составили: IS\ = 62,13 %, IS2 = 75,38 %, IS3 = 83,97 % и IS4 = 178,52 %. Таким образом, наибольший ввод жилья приходится на четвертый квартал со значительным превышением среднегодового уровня на 78,52 %.

В работе [1] индексы сезонности составили 60,48 %, 75,85 %, 82,73 % и 180,94 % соответственно.

Модель прогноза с помощью индекса сезонности для мультипликативной модели временного ряда можно представить следующим образом: yt = Isyt + et, где yt - оценка, вычисленная по уравнению тренда. В нашем

случае имеем:

для I квартала yt = 0,6213 • (6,2556e°,°194t ) + et;

для II квартала yt = 0,7538 •(6,2556e°,°194t) + et;

для III квартала yt = 0,8397 • (6,2556e0,0194t) + et;

для IV квартала yt = 1,7852 • (6,2556e0,0194t) + et.

На рис. 2 представлены фактические данные по вводу жилья в РФ, прогнозные, вычисленные по модели показательного тренда с мультипликативными индексами сезонности, а также экстраполяция на четыре квартала 2015 г.

4 1

4 f t '

111

Л П ! 1 1 1

г « 1 1 Ä п ft 1 \ П г1 J УУ

А И А А А IWy J/ Ш %

V ? *

1 3 Б 7 Э 11 13 15 17 13 21 23 25 27 2Э 31 33 25 37 3& 41 43 45 47 4S 51 53 55 57 59 51 53

| # факт.знэ-Енге* —х— прсгнсь

Рис. 2. Фактические и расчетные по модели показательного тренда с мультипликативными индексами сезонности значения ввода жилых домов в РФ

Ошибка аппроксимации этой модели составляет

л=11

n

У - У

У

100% = 10,8%.

Построим мультипликативную тренд-сезонную модель ввода жилья. Проводя сглаживание исходного ряда с помощью простой скользящей сред-1 1

л 2 yt-2 + yt-1 + yt + yi+1 + 2 yt+2

ней yt = —-^-2-, а также рассчитывая показатели сезонности kt = —, были вычислены средние показатели сезонности по квар-

yt

талам. В результате скорректированные индексы сезонности составили: KS1 = 0,6202, KS2 = 0,7483, KS3 = 0,8365 и KS4 = 1,7949. В работе [1] индексы сезонности составили 0,608; 0,752; 0,819 и 1,821 соответственно. Далее путем деления уровней ряда на соответствующие индексы сезонности были получены скорректированные уровни ряда, содержащие только тренд и сезонную компоненту. По этим значениям было проведено аналитическое выравнивание, в результате которого с помощью МНК-метода была получена показательная функция: yt (скор) = 7,2738 • e0,0177t, R2 = 0,8949.

Таким образом, мультипликативная тренд-сезонная модель будет иметь вид:

для I квартала yt = 0,6202(7,2738e0,0177t) + et;

для II квартала yt = 0,7483(7,2738e0,0177t) + et;

для III квартала yt = 0,8365(7,2738e0,0177t) + et;

для IV квартала yt = 1,7949(6,2556e0,0194t) + et.

На рис. 3 представлены фактические и расчетные по мультипликативной тренд-сезонной модели значения, а также прогноз на четыре квартала 2015 г. ввода жилых домов в РФ.

Здесь ошибка аппроксимации составляет Л = 0,25 % . Следует отметить, что в работе [1] ошибка аппроксимации с квадратичным трендом в тренд-сезонной модели составила 4,927 %.

Заключение

Результаты расчетов показывают, что для описания процесса ввода жилья в РФ необходимо использовать тренд-сезонную модель с показательным трендом, поскольку она обладает наименьшей ошибкой.

В качестве заключения следует отметить, что длина временного ряда качественным образом влияет на прогнозную силу модели. В нашем случае увеличение способствовало выбору нового тренда, что в свою очередь уменьшило ошибку модели почти в 20 раз.

i ■

i 1 !

! №

1 4 J - в (Я И ! , , Д А М I] J\ j I

Г Г §5

JUyW^Hr^i т *

1 3 5 7 5 11 13 15 17 1Э 21 23 25 27 25 31 33 26 37 3& 41 43 45 47 IS 51 53 55 57 53 61 A3

| -Ф-НЭ-ЕН№* —*— прэгкк

Рис. 3. Фактические и расчетные по мультипликативной тренд-сезонной модели значения ввода жилых домов в РФ

Список литературы

1. Сажин, Ю. В. Анализ временных рядов и прогнозирование : учеб. / Ю. В. Сажин, А. В. Катынь, Ю. В. Сарайкин. - Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 2013. - 192 с.

2. Тиндова, М. Г. Многомерный статистический анализ / М. Г. Тиндова // Вестник Саратовского социально-экономического университета. - 2011. - № 1 (35). -С. 134-137.

3. Тиндова, М. Г. Предварительная кластеризация многомерных объектов в интеллектуальном анализе данных / М. Г. Тиндова // Вестник Саратовского государственного социально-экономического университета. - 2008. - № 4. - С. 137-138.

Тиндова Мария Геннадьевна

кандидат экономических наук, доцент, кафедра прикладной математики и информатики,

Саратовский социально-экономический институт (филиал) Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова E-mail: mtindova@mail.ru

Tindova Maria Gennadjevna candidate of economic science, associate professor,

sub-department of applied mathematics and informatics,

Saratov Social-economic Institute of Russian economic University named after G. V. Plekhanov

УДК 519.237 Тиндова, М. Г.

Динамический анализ ввода нового жилья в РФ / М. Г. Тиндова // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2016. - № 1 (17). -С. 135-141.