CC BY
15
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ И ПРОИЗВОДСТВАМИ
УДК 621.01
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-9-296-302
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ АВТОМАТИКИ ПРОМЫШЛЕННЫХ РОБОТОВ
Т.А. Акименко, Е.В. Ахрамеева, Т.Р. Кузнецова
Показано, что для элементов автоматики основным режимом является режим, при котором входное воздействие и параметры состояния не остаются постоянными. Дана переходная характеристика элементов автоматизации.
Ключевые слова: элемент автоматизации, единичный скачок, переходная характеристика элемента, дифференцирующее звено.
Системы автоматизации, какими бы они не были сложными, состоят из различных элементов, каждый из которых выполняет в системе строго определенные функции. В результате функционирования взаимосвязанной совокупности элементов обеспечивается процесс получения первичной информации, ее преобразования в соответствии с заданными целями и воздействия на объект автоматизации.
Любой элемент системы автоматизации можно представить в виде (рис. 1).
От источника От источника
энергии | | помех
Входное Элемент
воздействие Х
Выходные параметры У
Рис. 1. Элемент автоматизации
Элементом автоматики называется устройство, выполняющее в системе автоматизации строго определенные функции по преобразованию одного вида энергии в другой под управлением входного воздействия. Элемент автоматики не может быть разделен на части без потерь свойственного ему способа преобразования.
Для элементов автоматики основным режимом является режим, при котором входное воздействие и параметры состояния не остаются постоянными. Такой режим называется динамическим. Динамический режим функционирования системы описывается, как правило, неоднородным дифференциальным уравнением вида:
у = /(х, йх/Ж, dy/&, й2х/Л2,й2у/Ж2, ...), (1)
где х - входное воздействие на элемент; у - состояние элемента.
В соответствии с теорией дифференциальных уравнений, решение системы (1) имеет
вид:
у = с1 у1 + с2 у2, (2)
где с1 и с2 - коэффициенты пропорциональности; у1 - общее решение однородного дифференциального уравнения (свободная составляющая); и у2 - частное решение, вызванное входным воздействием х (вынужденная составляющая).
В ряде случаев (в т.н. устойчивых звеньях) изменения параметра состояния элемента, обусловленные общим решением системы дифференциальных уравнений, в течение некоторого времени затухают, и элемент переходит в установившийся режим работы, обусловленный частным решением дифференциального уравнения (входным воздействием). Оба этих режима прослеживаются на переходной характеристике, которая представляет собой зависимость выходной величины от времени при входном воздействии, представляющем собой произведение единичной функции Хевисайда (единичный скачок, ступенчатое воздействие и т.п.) на некоторую функцию от времени:
4 )=v(t ж? ),
где
fi при t > 0,
1(?) = 1
[0 при t < 0.
Эта реакция рассматривается при условии, что до момента приложения указанного воздействия элемент находился в состоянии покоя, т.е. при t = 0 все начальные условия были нулевые: у(0) = const, dy/dt(0) = 0... Наиболее часто в качестве функции v(?) принимают v(?) = const.
Типичная переходная характеристика приведена на рис. 2. На этой характеристике можно выделить следующие участки:
чистое запаздывание, обусловленное тем, что элемент переходит из ждущего режима в рабочий, в элементе выбираются люфты, зазоры и т.п.;
собственно переходный процесс, обусловленный инерционными свойствами самого элемента;
установившийся режим работы, обусловленный величиной и характером входного воздействия.
В том случае, если функция f (x, dx/dt, dy/dt, d2x/dt2,d2y/dt2, ...) представляет собой линейную форму, т.е.
f=IL ax(i) bj.y( j), (3)
где bj - коэффициенты, дифференциальные уравнения являются линейными. Для таких уравнений общее решение может быть получено в аналитической форме.
Запаздывание Переходный Установившийся процесс режим
Рис. 2. Переходная характеристика элемента
x
у
В теории управления принято считать, что элементы, описываемые системой линейных дифференциальных уравнений, могут быть представлены как композиция типовых звеньев автоматического регулирования.
К типовым звеньям относятся: пропорциональное звено, апериодическое, колебательное, интегрирующее, дифференцирующее звенья. К типовым звеньям относится также звено с чистым запаздыванием. Каждое из указанных звеньев может быть охарактеризовано т.н. передаточной функцией, которая представляет собой отношение входного сигнала ко входному, выраженное в операторной форме
Щ (р) = у( р)/ х( р), (4)
где у(р) - изображение параметра состояния элемента автоматизации по Лапласу; х(р) - изображение входного воздействия на элемент автоматизации по Лапласу; Щр) - передаточная функция элемента автоматизации; р - комплексная переменная.
Приведем для справок ряд переходных характеристик типовых звеньев автоматиза-
ции.
Пропорциональное звено описывается функцией
у = кх,
где к - коэффициент пропорциональности.
Передаточная функция элемента имеет вид
Ж (р ) = кЖ(р) = к.
(5)
(6)
Принятое описание связи между выходом и входом соответствует идеальным элементам (рис.3). Для реальных звеньев описание справедливо только при частотах, меньших определенной максимальной величины. При более высоких частотах начинает доминировать влияние неучтенных параметров (емкости монтажа, упругость валиков механических передач, длинные линии трубопроводов и т.п.).
X
у
г
Рис. 3. Переходная характеристика пропорционального звена
На переходной характеристике это приводит к возникновению переходных процессов на начальной стадии, на амплитудно-частотной характеристике к уменьшению коэффициента передачи на высоких частотах, а на фазово-частотной характеристике - к отставанию по фазе до 900 - 1800.
Интегрирующее звено.
У звена указанного типа выходная величина пропорциональна или равна интегралу по времени от входной величины:
г
у = к| х(т)йт, (7)
0
где к - некоторый коэффициент пропорциональности.
Комплексный коэффициент передачи звена имеет вид:
Ж(р) = к / р. (8)
Амплитудная характеристика такого звена Л(ю) = к /а убывает по гиперболическому
закону с ростом частоты, а фазово-частотная характеристика имеет постоянное отставание по фазе, равное -900. Если обозначить скорость изменения выходного параметра за наблюдаемую характеристику интегрирующего звена, то переходная характеристика будет иметь вид, показанный на рис. 4.
йу/йг
Рис. 4. Переходная характеристика интегрирующего звена
х
г
Очевидно, что идеальных интегрирующих звеньев не бывает. В основном любой реальный интегратор представляют собой апериодическое звено со значительной постоянной времени. Кроме того, на больших частотах начинает сказываться влияние неучтенных малых постоянных времени, что повышает порядок интегрирующего звена.
Дифференцирующее звено.
У звена указанного типа выходная величина пропорциональна или равна производной по времени от входной величины:
у = кЛх / Л, (9)
где к - некоторый коэффициент пропорциональности.
Комплексный коэффициент передачи такого звена имеет вид:
Щ (р) = кр. (10)
Амплитудная характеристика такого звена Л(ю) = кю возрастает по линейному закону с ростом частоты, а фазово-частотная характеристика имеет постоянное опережение по фазе, равное 900. Переходная характеристика будет иметь вид 5-функции Дирака (рис. 5):
Г да при г = 0,
у(0=3(0=]о ^
10 во всех остальныхслучаях
да
| у(г )Л = 1.
Рис. 5. Переходная характеристика идеального дифференцирующего звена
х
У
г
В соответствии с зависимостью (10) амплитудная характеристика идеального дифференцирующего звена линейно растет с ростом частоты. Это означает, что для бесконечной больших частот указанное звено должно иметь бесконечно большой коэффициент передачи. Из этого становится очевидным, что идеальных дифференцирующих звеньев не бывает. В основном, любое реальное дифференцирующее звено представляет собой идеальное дифференцирующее звено и ряд апериодических звеньев с очень малыми постоянными времени. Описывается реальное дифференцирующее звено дифференциальным уравнением
у + ТЛу / Л = кЛх / Л, (11)
где к - коэффициент передачи; Т - постоянная времени.
Передаточная функция реального дифференцирующего звена имеет вид:
щ (р) = (12)
(Тр +1)
Амплитудно-частотная характеристика звена возрастает от нуля до значения к/Т. Фа-зово-частотная характеристика реального дифференцирующего звена меняется от +900 до 00, или даже до -900 .
Такие звенья иначе называются инерционно-дифференцирующими. Переходная характеристика реального звена приведена на рис. 6. Выходной сигнал возрастает до величины к/Т, а затем спадает по экспоненте до нуля:
у (Г) = (к / Т )ехр(- / Т )1(?).
к.
г
Рис. 6. Переходная характеристика реального дифференцирующего звена
х
У
Апериодическое звено.
Одним из самых распространенных звеньев систем автоматизации является инерционное, или апериодическое звено. Оно описывается следующим дифференциальным уравнением:
у + ТЛу / Л = кх, (13)
где Т - постоянная времени; к - коэффициент передачи звена.
Передаточная функция звена имеет вид:
Ж (р) = -Рк-. (14)
Тр +1
Очевидно, что амплитудная частотная характеристика звена изменяется от к до нуля, а фазово-частотная характеристика - от 00 до -900. Переходная характеристика звена имеет вид, приведенный на рис. 7. Выходной сигнал апериодического звена по экспоненте нарастает до величины к
у = к[1 - ехр(- / Т )]1(г). (15)
г
—►
Рис. 7. Переходная характеристика апериодического звена
Колебательное звено.
Звено описывается следующим дифференциальным уравнением:
у + 2£Тйу / йг + Т2 й2 у / йг2 = кх, (16)
где Т - постоянная времени; к - коэффициент передачи звена; £ - параметр, характеризующий затухание переходного процесса, и называемый декрементом затухания (логарифм отношения двух соседних амплитуд переходного процесса.
Передаточная функция звена имеет вид:
Ж (р) = ~Г~Г±----(17)
Т2 р2 + 2£Тр +1
Очевидно, что амплитудная частотная характеристика звена изменяется от к до нуля, но имеет подъем на частоте Ш0 = 1/Т, зависящий от величины декремента затухания Фазово-частотная характеристика меняется от 00 до -1800. Переходная характеристика звена имеет вид, приведенный на рис. 8. На единичное входное воздействие выходной сигнал изменяется следующим образом:
у(г) = к1(г )[1 - ехр(-£г / T)(cosа1г + £/а1Т вта^), (18)
где ах 1 -£2/Т .
х
у
Звено с запаздыванием.
Указанные свойства присущи в той или иной мере любым элементам систем автоматизации. Наиболее ярко выражен эффект запаздывания на конвейере, в длинны линиях, трубопроводах и т.п. элементах. Переходная характеристика звена с запаздыванием представлена на рис.9. Выходной сигнал звена с запаздыванием описывается следующим уравнением:
у(г) = кх(г - Т), (19)
где Т - время запаздывания; к - коэффициент передачи.
Передаточная функция звена с запаздыванием имеет вид:
Ж (р) = к ехр(-рТ). (20)
Передача амплитуды производится без искажений, отставание по фазе линейно меняется с ростом частоты.
Т
н—и
г
—►
Рис. 9. Переходная характеристика звена с запаздыванием
Отличительной чертой звена с чистым запаздыванием является то, что при к > 1 при охватывании звена обратной связью, возникает опасность автоколебаний, которые напрямую зависят от времени чистого запаздывания.
Рассмотрим динамические характеристики композиций типовых звеньев.
При последовательном соединении звеньев характеристика состояния (выходная величина) предыдущего звена является входным воздействием следующего звена. Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:
Щ (р) = ип,-Щ (р). (21)
Сигнал на выходе последовательно соединенных звеньев равен свертке входного сигнала и импульсных откликов звеньев:
у(г) = 1(0* ^(г)*...* ^ (г), (22)
где Wi(f) - импульсная переходная (весовая) функция звена Щ(р)
да
(г) = \Щ1 (р)ехр ргЛр, (23)
0
* - символ для обозначения операции свертки:
да
ж (г)* ^ (г) = |ж (фк (г -т)ЛТ. (24)
-да
При параллельном соединении звеньев, при отсутствии взаимовлияния звеньев друг на друга, применим принцип суперпозиции, т.е.
Щ (р) = Т,Щ (р). (25)
При этом формируются звенья с новыми свойствами, которых не было в отдельности у каждого из составляющих звеньев, например, инерционно-форсирующее звено, которое описывается уравнением:
у + ТЛу / Лг = к (х + Т0 Лх / Лг), (26)
где к - коэффициент передачи; Т, Т0 - постоянные времени.
Передаточная функция инерционно-форсирующего звена имеет вид:
Щ (р) = к (1 + Т0 р)/(1 + Тр). (27)
Существенным параметром инерционно-форсирующего звена является отношение постоянных времени. Если Т0/Т < 1, то звено по своим свойствам приближается к интегрирующему звену. Если же Т0/Т > 1, то звено по своим свойствам приближается к интегрирующему звену.
Амплитудно-частотная характеристика инерционно-форсирующего звена изменяется от величины к до величины кТ0/Т. Фазово-частотная характеристика имеет подъем (спад) до
величины а1^т[(Т0 - Т)/(Т0 + Т)] в точке (Т0 + Т)/2Т0Т.
Наиболее часто инерционно-форсирующие звенья применяются при необходимости скорректировать частотные характеристики с целью добиться устойчивости объекта.
Встречно-параллельное соединение звеньев.
Передаточная функция соединения имеет вид:
Щ (р) = Щ (р)/[1 + Щ (р)Щ0( р)]. (28)
В знаменателе знак минус соответствует к положительной обратной связи, а знак плюс - к отрицательной обратной связи.
Таким образом, в системах регулирования для обеспечения устойчивости их работы обычно применяется отрицательная обратная связь.
х
у
Список литературы
1. Егоров О.Д. Конструирование механизмов роботов. Учебник. М.: Абрис, 2012.
444 с.
2. Подураев Ю.В. Мехатроника: основы, методы, применение: учеб.пособие для вузов. М.: Машиностроение, 2006. 256 с.
3. Юревич Е.И. Основы робототехники: учебное пособие для вузов. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 401 с.
4. Джонс Дж. К. Методы проектирования: пер. с англ. / Дж. К. Джонс; под ред. В.Ф.Венды, В.М. Мунипова. 2-е изд., доп. М.: Мир, 1986. 326 с.
5. Акименко Т.А., Кузнецова Т.Р. Особенности проектирования промышленных роботов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2019. Вып. 9. С. 33-38.
6. Кузнецова Т.Р., Акименко Т.А. Промышленные комплексы средств регулирования // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2021. Вып. 2. С. 4144.
7. Кузнецова Т.Р., Акименко Т.А. Промышленные типы регуляторов роботов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2021. Вып. 2. С. 344348.
8. Colestock H. Industrial robotics: Selection, Design and Maintenance. N.Y.: McGraw-Hill/TAB Electronics. 2006. 205 p.
9. Chen I-M., Yang G., and Huat S. Automatic Modeling for Modular Reconfigurable Robotic System: Theory and Practice. / Yeolndustrial Robotics: Theory, Modelling and Control. Ed. by S. Cubero. IntechOpen 2006. P. 43 - 82.
Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доцент, tа[email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ахрамеева Екатерина Владимировна, магистр, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Кузнецова Татьяна Рудольфовна, канд. техн. наук, доцент, [email protected] Россия, Тула, Тульский государственный университет
DYNAMIC CHARACTERISTICS OF INDUSTRIAL ROBOT AUTOMATION ELEMENTS
T.A. Akimenko, E.V. Akhrameeva, T.R. Kuznetsova
It is shown that for automation elements the main mode is the mode in which the input action and state parameters do not remain constant. The transient response of automation elements is given.
Key words: automation element, unit jump, element transient response, differentiating
link.
Akimenko Tatiana Alekseevna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Akhrameeva Ekaterina Vladimirovna, magister, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Kuznetsova Tatjana Rudolfowna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
