Математическое моделирование измерительных преобразователей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Математическое моделирование измерительных преобразователей

К.т.н. Головин В.В., д.т.н. проф. Латышенко К.П.

Университет машиностроения 8 (499) 267-0746, [email protected]

Аннотация. Приведены математические модели, выбрана оптимальная структура и параметры импульсного измерительного преобразователя.

Ключевые слова: импульсный измерительный преобразователь, оптимальная структура, математическое моделирование

Известно, что импульсный сигнал при прохождении через электрическую цепь подвергается искажению и меняет свою форму, амплитуду, длительность и т.п. Характер этих искажений и их величина связаны с параметрами исходного импульсного сигнала и электрической цепи. Тогда при фиксированной форме и величине импульсного сигнала его искажения будут связаны только с параметрами электрической цепи. Следовательно, можно создать такую цепь в виде первичного измерительного преобразователя (ПИП), включённого в измерительную цепь, чтобы величина и характер искажений исходного импульсного сигнала была бы связана с каким-либо информативным параметром.

Целью настоящей работы является построение математических моделей измерительных преобразователей (ИП), реализующих описанный выше способ, построенных по различным схемам и использующих различные импульсные сигналы.

Пусть дана последовательность импульсных сигналов различной формы (см. рисунок 1), которая, конечно же, не описывает всего многообразия импульсных сигналов. Для этих сигналов изображение по Лапласу х(р) выглядит следующим образом [1]:

х(р) = A (1 -в-Р )(1 + в^ + в^29 +...), (1)

Р

x(p) = A Г-1 - -1 в~Рт - 1 в~Р 1(1 + в~Р9 + в^29 +...), (2)

т

т

Р Р Р

Р2 " Р2 2

х(р) = — Г-1в-РТ/2 + 1 в~Рт1 (1 + в^9 + в-Р29 +...) (3)

где А - амплитуда сигнала; т - длительность импульса; 9 - период сигнала.

В качестве базовых схем ИП предложено использовать типовые звенья, эффективно применяемые на практике.

Пусть импульсный сигнал прямоугольной формы (см. рисунок 1 а) проходит через апериодическое звено первого порядка, передаточная функция Ж ( р) которого равна:

к

Ж (Р) =-, (4)

1 + ТР ( )

где К - коэффициент усиления звена; Т - постоянная времени.

В этом случае при 0 < г < т :

хвых (г) = АК (1-в-'/т ), (5)

а при т<г<9:

хвьк (г)=АК (вт / т -1)в-г / т, (6)

где г - текущее время.

Вообще, для п9 < г < т9 + т имеем:

*вых (')=ак

1 -е"'7т (1+е0/т - ет7т 11+е07т + е2е7т +... + е

(п-1) е Л

Введём переменную

~ =' - пе,

(7)

(8)

тогда

*вых (' ) = АК

С пе в / т т / IV пеЛ

1-е

~ / т

е 1 +-

е9 7 т - ет 7 т е0 7 т -1

1-е

0ч

(9)

При п, т.е. при установившемся режиме, выражение (9) для случая0<~ <е имеет

вид:

а для случая т<~<е :

*вых (~ ) = АК

1-е~

„е/т т / тЛ

е0 / т -1

(10)

т / т _1

^вых) = АКе-?/е07т.

(11)

Рисунок 1. Виды импульсных сигналов: а - прямоугольной формы; б - пилообразной формы; в - треугольной формы

На рисунке 2 показан один период установившегося импульсного сигнала прямоугольной формы, прошедшего через апериодическое звено первого порядка. При этом нарастающая экспонента описывается уравнением (10), а убывающая - уравнением (11). 26 Известия МГТУ «МАМИ» № 3(21), 2014, т. 3

Серия «Химическое машиностроение и инженерная экология» Для того чтобы определить длительность искажённого импульса, проведём на уровне т прямую, параллельную оси абсцисс. Тогда текущая ордината будет иметь вид у = хвых, а интеграл от хвых по ~ относительно этой прямой будет равен:

е

I у ж = 0, (12)

0

Откуда:

т

т = ЛК-. (13)

е

Тогда из выражения (10) с учётом (13) найдём время нарастания импульса ~ (от уровня

т / Т 1

е -1

е

п/гг, ЛК до уровня т = ЛК— ):

/Т -1

~ ( 0 е9/Т -е-7Т ^

~ = Т -¿г-т ,

~ е т/ Т -1

а время спада импульса ~2 (от уровня —- е Т ЛК до уровня т ) равно:

(14)

~2 =Т 1П

^0 ее7Т (ех7Т -1)^ ,т е9/Т -1

Откуда легко найдём длительность выходного импульса:

А Т / Т л

0-т е -1

г„„ = ~ - ~ = 0 +Т 1П

вых

т е07Т - ет7Т 0

(15)

(16)

Из выражения (16) следует, что [2]:

- длительность прямоугольного импульса, прошедшего через апериодическое звено первого порядка твых, отличается от исходной длительности импульса твх;

- при 0 = 2т ^ твых = 0 - т = т и не зависит от Т;

- при фиксированных 0 и т, а также 0 ^ 2т длительность твых является функцией только постоянной времени звена и, следовательно, определяется только элементами, составляющими это звено;

- длительность выходного импульса твых не зависит от амплитуды входного импульса и коэффициента усиления апериодического звена, что свидетельствует о нечувствительности к этим параметрам и амплитудным помехам;

- возможно построить ИП, питаемый прямоугольным импульсным сигналом с 0 ^ 2т, входным параметром которого будет сопротивление К (кондуктометрический ИП) или ёмкость С (диэлькометрический ИП) ПИП, включённая в апериодическое звено первого порядка, а выходным - длительность импульса, прошедшего через это звено.

Изменение длительности исходного прямоугольного импульса при его прохождении через апериодическое звено первого порядка связано с его искажением, т.е. процессам заряда-разряда ёмкости этого звена. В случае представления прямоугольного импульса как суммы гармоник ряда Фурье, это искажение будет связано с амплитудно-частотной характеристикой звена первого порядка, пропускающего по разному гармоники с различными частотами, в результате чего результирующая этих гармоник будет отличаться от исходного сигнала.

По аналогии с вышеизложенным для импульсного сигнала пилообразной формы (см. рисунок 16) время нарастания и спада импульса запишем в виде:

/ Т

е0 7 т -1

~ = ТТ -Т - (Т - т)е ''т 1-е^ - Т (е^ т -1),

Г2 = Т 1п

29 Т Г1-Т-Т ех / т 1 е1

0/Т

Т

е9 7 Т -1

(17)

(18)

АК-

-1

ИТ

1 1 1 ¿г 1 ¿г 1 ж V ш \ ж \ ж \ ж V 1 Л т =

1 еиг - 1 1 1 [ *

1 1 1 1 1

АКх

т е

Рисунок 2. Выходной сигнал апериодического звена первого порядка при прямоугольном входном сигнале

Из уравнения (17) следует, что оно неразрешимо относительно параметра ~ , поэтому выразить в явном виде твых невозможно. Величина твых может быть найдена только численным методом.

Для сигнала с треугольной формой время нарастания и спада импульса:

~=Т К

~ = е -т + ТИ +1)-

1 - е-/2Т)2 е0 7 Т -1

е-V Т +(1 - 2ет/2Т Уг27 Т

29

+ Т + т| 1 --

29

~3 = Т 1п

29 Т

Г т л2

1-е 2Т

V_0

е0 7Т -1

6 / Т

(19)

(20)

(21)

Из уравнений (19 - 21) видно, что они также неразрешимы относительно параметра ~ , поэтому система этих уравнений может быть решена только численным методом.

Для дифференцирующего звена без статизма, передаточная функция которого описывается уравнением:

Г(р)=КТг> (22)

1+1р

при импульсном входном сигнале прямоугольной формы (рисунок 1а) выходной сигнал имеет вид:

- для 0 <1 < т :

) = АКТ^ е97Т - ет7Т

Хвых( 1 ) Т 9 / Т - 1 е :

(23)

Т

т

1

т

- для т <~ < 0:

^вых ) =

ЛКТп е

0 / Т

е- Т

Т

е0 / Т -1

(24)

После дифференцирующего звена без статизма импульсный сигнал прямоугольной формы не имеет постоянной составляющей, в точках ~ = 0, т, 0 и т.д. мы имеем разрывы первого рода, а длительность положительного и отрицательного импульсов, соответственно, равна т и 0 - т, что исключает возможность использования дифференцирующего звена без статизма в ИП, основанном на измерении длительности выходного импульса по отношению к входному.

Использование дифференцирующего звена с астатизмом с передаточной функцией:

Ж ( р ) = Кр (25)

1 + Тр ( )

является частным случаем выражения (22), при Т = Т0.

Выходной сигнал для этого звена будет иметь вид

твых = т-Т 1пГТ(еТ7Т -1) 1. (26)

т

Интегрирующее звено имеет следующую передаточную функцию:

К ( р ) = Тр ■ (27)

При использовании интегрирующего звена можно применять только двуполярный импульсный сигнал, для которого выполняется условие и1т =и2 (0 — т), а не однополярный,

как на рисунке 1.

Тогда длительность выходного сигнала равна:

т вых = 0А/2. (28)

Из выражения (40) следует, что твых не зависит от параметра Т, следовательно, интегрирующее звено не может быть использовано в ИП.

Дифференцирующее звено со статизмом имеет следующую передаточную функцию:

К (р) = . (29)

1 + Тр

При входном импульсном сигнале прямоугольной формы выходной сигнал будет иметь

вид:

т_„ = Т 1п

0 Т - Т0 е0/ - е

0 / Т т / Т \

к 0 - т Т е0/Т -1 0

(30)

Для импульса пилообразной формы (рисунок 16) выходной сигнал описывается следующими выражениями:

^ 20 Т0

Т0 + Т (1 - е -^ Т )

-и / Т

е07Т -1

(

Т +

Т 0

Т - Т

~2 = Т 1п

20

(Т - То)|1 -

Т - т

-I

Т

.т / Т

Т

0 / Т

-т 1е

I / Т

е

е0/Т -1

(31)

(32)

Из выражения (43) следует, что оно может быть решено только численным методом. Инерционное звено второго порядка имеет следующую передаточную функцию:

2

2

т

Ж (р) =

К

Т(2 р2 + Г2 р +1

(33)

В зависимости от вида корней характеристического уравнения инерционное звено второго порядка может иметь различные переходные характеристики, в результате чего различают апериодическое звено второго порядка и колебательное звено.

Рассмотрим апериодическое звено второго порядка, для которого о1 и о1 - действительные корни характеристического уравнения. Обозначив

К г К

с =-—-, (34)

В = -

г) 2 т 2 гт1

2а1 Т1 - а1Т2

22 202 Т1 - а2Т 2

определим изменение выходной величины при прямоугольном входном импульсном сигнале. Время нарастания и спада сигнала:

=- —1п

а,

~2 = —— 1П

а,

К(т - 9) - С - е В

В9 Кт С

- 1

,а29

-(1 - е а2т )е "°2'2

е -1 е а29 - е а'г

еа19 - 1

е а19 (1 - еа1т)

(35)

(36)

В9 В е а29 -1

Из выражений (47, 48) следует, что они могут быть разрешены относительно параметра ~ только численным методом.

Передаточная функция неминимально-фазового звена имеет следующий вид:

1 - Т р

Ж(р)= К-

(37)

1 + Т2 р

Длительность прямоугольного импульса, прошедшего неминимально-фазовое звено,

равна:

=Т>

9 - т е0 7 ^т 7

(ет 7 Т -1)

е0 7 Т2 - е т 7 Т2

(38)

Таблица 1

Математические модели выходных сигналов различных типовых звеньев при входном импульсном сигнале прямоугольной формы

-а^ ь

24

е

т

т

№ Типовое звено Математическая модель

1 Апериодическое звено 1-го порядка Гвых = 9 +т 1п Г9 - т ет'Т -1 Л [ т е01Т - ет1Т 0

2 Дифференцирующее звено с астатизмом Т вых = Т - Т 1п "Т(ех7Т -1)" т

3 Дифференцирующее со статизмом т вых = Т 1п Г 9 Т - Т0 е0 7 Т - ех 7 Т ^ [ 9 - т Т е9 7 Т -1 )

4 Неминимально-фазовое звено т вых =Т2 1п " 9 - т е0 7 Т2 (ет 7 Т2 -1)" т е0 7 Т2 - ет 7 Т2

В результате проведённых исследований были рассмотрены следующие звенья: апериодическое первого и второго порядка, дифференцирующее с астатизмом, дифференцирующее без статизма, интегрирующее, дифференцирующее со статизмом и неминимально-фазовое.

В таблице 1 приведены математические модели ИП для различных типовых звеньев при входном импульсном сигнале прямоугольной формы.

Серия «Химическое машиностроение и инженерная экология»

При анализе этих звеньев на предмет зависимости длительности сигнала прямоугольной, треугольной и пилообразной формы от постоянной времени звена было выявлено, что не все звенья могут быть использованы в качестве ИП.

Выводы

1. Найдены математические модели ИП на основе типовых звеньев.

2. Исследована возможность использования импульсных сигналов различной формы для питания ИП.

3. В ходе анализа выявлены возможные сочетания ИП и типовых сигналов для их дальнейшего практического использования.

Литература

1. Патент РФ № 2121149. Импульсный измерительный преобразователь // Бугров А.В. Ла-тышенко К.П., Левин А.В. Изобретения. Полезные модели № 30, 1998.

2. Головин В.В. Использование импульсной модуляции в кондуктометрии//Актуальные проблемы технических наук: сб. ст. Междунар. н.-практ. конф. - Уфа: Аэтерна, 2014. с. 6 - 8.

Индуцирование каротиногенеза у дрожжей Phaffia rhodozyma штамм У2228 при образовании синглетного кислорода в культуральной жидкости под действием пероксида водорода

Мельникова Е.В., к.т.н. Герман Л.С., д.т.н. проф. Крамм Э.А.

Университет машиностроения [email protected]

Аннотация. В статье рассмотрен способ индуцирования каротиногенеза у

дрожжей РЬаШа гЬоёо2ута штамм У2228 при помощи пероксида водорода.

Ключевые слова: биомасса дрожжей, каротиноиды, синглетный кислород

Дрожжи РЬаШа гЬоёо2ута штамм У2228 являются продуцентом астаксантина. Эти дрожжи способны утилизировать как шестиатомные, так и пятиатомные сахара.

Астаксантин является высшим каротиноидом с самой высокой антиоксидантной активностью. В организмах высших животных астаксантин выполняет регуляторные функции, повышает иммунитет, повышает выживаемость особей в условиях стресса и вредных воздействий окружающей среды.

Благодаря способности культуры утилизировать пяти- и шестиатомные сахара возможно получение кормового препарата, содержащего астаксантин из послеспиртовой барды.

Послеспиртовая барда для культивирования дрожжей РИаЖа гЬоёо2ута штамм У2228 требует предварительной переработки, включающей разделение барды на фракции, слабокислый гидролиз биомассы спиртовых дрожжей и двухступенчатый гидролиз дробины (для получения пяти- и шестиатомных моносахаров).

Однако в результате гидролиза цветность питательной среды не позволяет получить нужную концентрацию синглетного кислорода, образующегося при воздействии света, чтобы индуцировать каротиногенез у дрожжей.

Получить синглетный кислород в культуральной жидкости возможно при внесении в культуральную жидкость органических или неорганических окислителей. При выборе окислителя следует учитывать его токсичность и токсичность продуктов разложения, так как токсины могут угнетать рост биомассы дрожжей, а содержание токсинов в кормовых продуктах недопустимо.

В предварительных экспериментах из трех неорганических окислителей, показавших возможность их применения для получения такой концентрации синглетного кислорода, которая индуцирует образование астаксантина, по вышеназванным причинам выбран пероксид водорода [1].