CC BY
62
ПЕДАГОГИКОЛСИХОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ И СПОРТА
Электронный жлфнял Камской государственной академии физической ку,чылт>ы, с портя и туризма
PerJVa Эл №ФС77-27659 от 26 марта 2007 г.
№2 (2009)
(Выпуск 11)
УДК 796.022
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ ТРЕНАЖЁРОВ БАЗОВОЙ ЛИНИИ «heyvus»
Ф.А. Шемуратов - кандидат технических наук, профессор Д.Ф. Шемуратов, М.Р. Салимгареев, Ш.Р. Зайнуллин, И.Ф. Гильмутдинов - аспиранты Камская государственная академия физической культуры, спорта и туризма,
Набережные Челны
DYNAMICAL DESCRIPTIONS OF INERTIA SIMULATOR BY OF A LINE «heyvus»
F.A. Shemuratov - PhD, professor D.F. Shemuratov, M.R. Salimgareev, Sh.R. Zainullin, I.F. Gilmutdinov - post-graduate students Kama State Academy of Physical Culture, Sport and Tourism
Naberezhnye Chelny
irek1982@mail. ru
Ключевые слова: безынерционый тренажёр, нагружающий механизм, упругий нагружатель, момент силы сопротивления нагружателя, градиент момента, локализация мышечного напряжения, режим миорелаксации.
Аннотация. Пользуясь методами математического и компьютерного моделирования, получена модель нагружающего механизма безынерционных тренажёров «heyvus». Динамический анализ данных моделирования показывает перспективы использования этих тренажеров в качестве средства реабилитации после перенесенных травм.
Key words: simulators without inertia, a load mechanism, an elastic burdener, a moment of a burdener power of resistance, a gradient of a moment, a miotonia localization, a miorelaxtion regime.
The summary. Using methods mathematical and computer modeling, is received model loading mechanism without inertia simulators «heyvus». The dynamic analysis of modeling dates shows the perspective of using these training simulators as rehabilitation method after traumas.
4707014459010
Введение. По определению И.П. Ратова [9], тренажер - это комплекс устройств, позволяющий воспроизводить упражнения или их основные элементы в специально созданных для этого искусственных условиях, обеспечивающих возможность регламентировать режимы выполнения движений и их целесообразное изменение.
Подробную классификацию тренажёров дает и В.Н. Платонов [8], который предлагает различить 6 основных групп, из которых две группы представляют особый интерес для системы подготовки спортсменов высокого класса:
1. Силовые тренажёры с изменяющимся сопротивлением, для одновременного проявления силовых качеств и подвижности в суставах, в основе конструкции которых лежит использование рычагов, эксцентрических дисков (кулачков), блоков и набора грузов (стеков).
2. Тренажеры, позволяющие совмещать процесс развития двигательных качеств с техническим совершенствованием, в частности, гребные тренажёры для подготовки гребцов-академистов и изокинетические тренажёры для специальной силовой подготовки пловцов.
К сожалению, в классификации В.Н. Платонова не упомянуты новые технические средства, в которых в качестве нагружателя используются упругие технические элементы -безынерционные тренажёры линии «Ьеууш» [1, 2, 3].
Основное отличие этих тренажеров от традиционных силовых состоит в том, что в них качестве нагружателя используется упругий элемент, а нагружающий механизм - это технический узел, состоящий из эллиптического барабана, маятникового стабилизатора и рычага.
В качестве примера на рис. 1 показана кинематическая схема тренажера «Бегун» этой линии, в котором вращение рычага является следствием изменения суставного угла в коленном суставе за счет сил тяг, «обслуживающих» сустав.
\\\\\\\\
ПрНБОО,Н'-'Н рвнань
Ни I. а^мщы и ш ]1Ы' шги и
ЬЧ1 1ПМ1>Н'М 1)1 '11111.1
Нагружающий механизм
31;1Ж.1.Ы1Жи*:ЬШ •VI 11*11,
Рис. 1. Кинематическая схема тренажера «Бегун»
В данной статье предлагается разработать модель нагружающего механизма этого тренажера, которая позволяла бы рассчитывать любые динамические характеристики и оценивать потенциальные возможности его использования в системе подготовки спортсменов и в качестве средства реабилитации.
Методы исследования - математическое и компьютерное моделирование.
Цель исследования - оценить потенциальные возможности применения безынерционных тренажеров в системе подготовки спортсменов и реабилитации после травм ОДА, пользуясь динамическими характеристиками, построенными по данным моделирования нагружающего механизма.
Результаты исследования и их обсуждение. Геометрическая модель нагружающего механизма, как основного конструктивного элемента тренажера «Бегун» из линии тренажеров «ЬеууиБ», показана рис. 2, где эллиптический барабан смоделирован эллипсом с центром в точке Сэ и полуосями СэД=а и СэЕ=Ь. Начало прямоугольной системы координат выбрано совпадающим с центром вращения рычага в точке О.
Рис. 2. Геометрическая модель нагружающего механизма тренажера «Бегун» линии «Ъеууп8»: а) при разгибании голени; б) при сгибании голени
Маятниковый стабилизатор тренажера смоделирован окружностью радиусом г с центром в точке Со, окружностью радиусом Я с центром в точке См и отрезком неизменной длины между центрами СоСм=^ Иначе говоря, на точки Со и См наложена жесткая механическая связь.
Точки Д и Е на рисунке отражают места сочленения ремня (жирные линии) с эллиптическим барабаном. Точка А является общей для барабана и ролика радиусом r при разгибании голени.
Точки В3 и В4 являются точками, между которыми натянут ремень и расстояние между которыми В3В4=й1 остается неизменным при любом угле поворота осей эллиптического барабана.
Учитывая конструкцию механизма (см. рис.1), заметим, что местоположение центра См ролика радиусом R неизменно, а координаты хСо и уСо центра ролика радиусом r непрерывно изменяются с изменением угла поворота осей барабана, что равносильно изменению угла поворота рычага.
В рассматриваемой модели нагружающего механизма ремень представлен бесконечно тонкой нерастяжимой нитью. Это означает, в частности, что при разгибании голени для любого угла поворота осей барабана длина ремня остается неизменной и равной сумме длин следующих геометрических элементов: дуги эллипса ДА, дуги окружности АВ3 радиуса r, дуги окружности В4В5 радиуса R и отрезков прямых В3В4 и В5В6.
Из рассматриваемой модели следует, что при изменении угла поворота барабана координаты конца ремня (точка В6(х6; у6)) изменяются, а упругий элемент изменяет свою длину. Следовательно, в соответствии с известным законом Гука [6] в нагружателе формируется сила упругого напряжения, пропорциональная изменению длины ремня на отрезке В5В6, или, с точки зрения описанной модели, пропорциональная изменению координаты х6 точки В6.
Геометрическая модель нагружающего механизма переведена нами на язык алгебраических уравнений, описывающих упомянутые дуги эллипса, окружностей и отрезков прямых. Учитывая громоздкость полученных уравнений, мы не сочли нужным размещать их в данной статье. По-видимому, для этого потребуется отдельная публикация. По той же причине мы не будем описывать процедуры вычисления упругой силы сопротивления нагружателя, ее плеча, а также их градиентов. Единственное, что остается заметить, - для решения полученных нами систем алгебраических уравнений, а также для вычисления длин дуг эллипса ДА при разгибании и ЕВ1 при сгибании голени мы использовали вычислительную компьютерную систему Mathcad последней на сегодня 14-й версии [6].
Для определенности зададимся следующими реальными параметрами нагружающего механизма тренажера «Бегун»: для маятникового стабилизатора d=670 мм, r=36,25 мм, R=50 мм, хСМ=385 мм, уСМ=-457,5мм; для эллиптического барабана а=121 мм, Ь=97мм. Положим диаметр упругого элемента (резинового стержня) равным 15 мм, а длину в ненагруженном
состоянии равной 60 см. Предположим, что модуль упругости (модуль Т.Юнга [6]) резины равен 5 МПа (мегапаскалям).
Конструкцией нагружающего механизма изменение местоположения центра эллипса определяется его сдвигом по планке, расположенной вдоль большой оси эллипса, относительно центра вращения рычага. Это одна из основных регулировок нагружающего механизма. Для простоты изложения рассмотрим только три положения центра эллиптического барабана, хотя их может быть бесконечное множество:
- слева от центра вращения рычага на расстоянии, равном половине длины большой полуоси, т.е. барабан сдвинут влево и при этом х=-а/2;
- совпадающее с центром вращения рычага, когда, х=0;
- справа от центра вращения рычага на ту же величину, что и в первом случае, т.е. при этом х=+а/2.
В целях достижения общности дальнейших рассуждений допустим, что суставные движения в коленном суставе идеальные, т.е. как при разгибании, так и при сгибании голени угол а изменяется в пределах 180°, или п радиан.
Результаты расчетов в системе Mathcad оформлены нами в виде таблиц и соответствующих графиков. В табл. 1 размещены результаты расчета плеч и моментов силы сопротивления упругого нагружателя и их градиентов для разных положениях центра эллиптического барабана при разгибании голени.
Таблица 1
К построению графиков зависимостей плеч и моментов силы сопротивления от угла
поворота рычага тренажера «heyvus»
Положение -У2 а 0 + Уга
центра эллипса
№ а, h, М, h, М, h, М,
п/п град мм Нм мм Нм мм Нм
1 0 73,2 0,0 99,3 0,0 99,7 0,0
2 15 78,4 4,2 97,2 9,4 82,9 13,2
3 30 84,9 10,0 97,2 18,9 72,8 19,7
4 45 93,2 18,4 99,0 27,7 66,8 23,0
5 60 103,9 30,0 102,4 37,1 63,2 25,3
6 75 117,7 46,1 107,3 46,8 61,3 27,3
7 90 135,6 67,5 113,3 57,4 60,6 29,4
8 105 156,9 94,8 118,8 68,9 60,7 31,6
9 120 176,2 125,6 121,0 79,1 61,6 34,3
10 135 180,1 149,1 117,9 86,4 63,3 37,5
11 150 159,0 152,6 110,9 91,2 65,8 41,2
12 165 126,1 141,5 103,9 94,9 69,0 46,0
13 180 99,7 130,7 99,3 100,3 73,2 52,0
Соответствующие графики приведены на рис. 3 и 4.
;оо
20 0
О 15 30 15 60 75 VU 105 120 135 150 165 1Б0
Рис. 3. Графики зависимостей плеча силы сопротивления упругого нагружателя от угла
поворота рычага
Рис. 4. Графики зависимостей момента силы сопротивления упругого нагружателя от угла
поворота рычага
Анализ кривых hc и Мс показывает, что при повороте рычага от 0°до 180° эти величины имеют принципиально разные тенденции в своём поведении. К сожалению, такое заключение качественное, а не количественное, поэтому ценность его невелика.
Мы же предлагаем оценивать изменение плеча и момента силы показателем, аналогичным тому, что был введен известными специалистами в области биомеханики [5], -градиентами указанных величин. Однако, в отличие от Д.Д. Донского и В.М. Зациорского, подразумевающих под градиентом первую производную от силы по времени dF/dt, то есть
своеобразную скорость изменения силы, мы будем понимать под градиентом первую частную производную от плеча или момента по углу поворота а рычага: ЭИс /Эа или ЭМс /Эа.
Иными словами, градиент момента (плеча) силы сопротивления - это величина, показывающая, на сколько единиц момента (плеча) изменяется момент (плечо) при повороте рычага на одну единицу угла поворота, то есть на один градус или один радиан.
Возвращаясь к нашему примеру, замечаем, что функции Ис и Мс заданы численно. Следовательно, для вычисления их производных необходимо привлекать численные методы, описанные, в частности, в учебнике для вузов физической культуры. Воспользуемся одним из самых простых численных методов вычисления первой производной, который в конечном итоге сводится к вычислениям по формулам:
да
К (к +1)-К (к -1) ЭМс
2Ла Эа
к
Мс (к +1)-Мс (к -1)
2Да
к
где к- номер текущей строки табл.1, (к+1) - номер последующей строки, (к-1) - номер предыдущей строки, а Да - изменение аргумента. В наших расчётах Ла = 15°
Произведя вычисления по приведенным формулам, заносим значения градиентов плеча и момента силы сопротивления в табл.2, по данным которой строим графики изменения градиентов в зависимости от угла поворота а рычага (рис. 5 и 6).
Таблица 2
К построению графиков зависимостей градиентов плеч и моментов силы сопротивления от
угла поворота рычага тренажера «Иеууш»
Положение -1/ а 0 + У2а
центра
эллипса
№ а, дк/да, дМ/да, дк/да, дМ/да, дк/да, дМ/да,
п/п град мм/град Нм/град мм/град Нм/град мм/град Нм/град
1 0 — --- — — — —
2 15 0,39 0,34 -0,07 0,63 -1,17 0,66
3 30 0,50 0,48 0,06 0,61 -0,71 0,33
4 45 0,63 0,67 0,17 0,61 -0,39 0,19
5 60 0,82 0,93 0,28 0,64 -0,13 0,14
6 75 1,06 1,26 0,37 0,68 -0,03 0,14
7 90 1,31 1,63 0,38 0,74 0,04 0,15
8 105 1,36 1,94 0,26 0,73 0,13 0,16
9 120 0,78 1,82 -0,03 0,59 0,18 0,20
10 135 -0,58 0,90 -0,34 0,40 0,18 0,23
11 150 -1,81 -0,26 -0,47 0,28 0,20 0,28
12 165 -1,99 -0,74 -0,39 0,31 0,22 0,36
13 180 — — — — — —
Рис. 5. Графики зависимости градиента плеча силы сопротивления упругого нагружателя от
угла поворота рычага
Рис. 6. Графики зависимости градиента момента силы сопротивления упругого нагружателя
от угла поворота рычага
Перед тем как приступить к анализу кривых, изображенных на рис. 5 и 6, заметим следующее. Тренажеры линии «Иеууш» с не меньшим успехом, чем традиционные силовые могут быть использованы для развития качества силы. С этой целью в конце концентрического сокращения мышц, участвующих в заданном упражнении, достаточно не расслаблять их, а начинать полноценное эксцентрическое сокращение.
Однако по сравнению с силовыми тренажерами, принципиально не допускающими работу в режиме миорелаксации, тренажеры линии «Иеууш» имеют ряд преимуществ. Главное из них состоит в том, что одним и тем же техническим средством можно достичь одновременно двух эффектов:
1) полноценно развить качество силы;
2) немедленно после силовой нагрузки добиться срочного восстановления работоспособности, включив в тренировочное занятие упражнение на тренажере «ЬеууиБ» в режиме миорелаксации.
Непосредственный анализ динамических характеристик (рис. 3-6) приводит к ряду заключений:
1. При выдвижении центра эллиптического барабана влево от центра вращения рычага (х=-а/2) достигается максимум момента силы сопротивления упругого нагружателя (рис.6, кривая 1). Этот факт подтверждает принадлежность тренажа линии «Ьеууш» к группам тренажёров по классификации В.Н. Платонова, отмеченным нами во введении.
Начало выполнения упражнения в этом случае комфортно для пользователя (спортсмена, клиента, пациента), так как градиент момента дМ/да наименьший (рис. 6). С увеличением угла поворота рычага растет и градиент момента силы сопротивления упругого нагружателя, достигая максимума при атах~105°. При том же значении угла поворота рычага достигает максимума и градиент плеча силы сопротивления (рис. 5).
2. Несколько другая картина будет наблюдаться в поведении кривой момента силы, если учитывать инерционность системы «рычаг-звено». В этом случае момент сопротивления вращательному движению рычага Мср будет определяться следующим выражением:
Мср=Мс^рз*8
где Мс - момент силы сопротивления упругого нагружателя;
1рз - момент инерции системы «рычаг-звено»;
а - угловое ускорение рычага.
Величина составляющей момента силы сопротивления Мср, обусловленная инерционными элементами системы «тренажер-пользователь», для тренажеров «ЬеууиБ» гораздо меньше по сравнению с моментом силы сопротивления упругого нагружателя Мс, особенно при максимальных значениях Мс.
Учитывая вышесказанное, делаем вывод: в небольшой по величине окрестности угла поворота рычага, соответствующего максимальному градиенту момента силы сопротивления упругого нагружателя, имеет место локализация максимального мышечного напряжения.
3. Приближая центр эллиптического барабана к центру вращения рычага (например, полагая х=0, что отображено на рис. 5, 6, кривые 2), мы имеем возможность добиться смещения локализации максимального мышечного напряжения в сторону уменьшения соответствующего угла поворота рычага (при х=0 этот угол атах~90°). В то же время начало упражнения более затруднено, чем при х=-а/2.
4. При изменении местоположения центра эллиптического барабана от х=-а/2 через х=0 до х=+а/2 имеется потенциальная возможность смещения локализации максимального мышечного напряжения в сторону уменьшения угла поворота рычага.
5. Кривые зависимостей плеча силы сопротивления (рис.5) качественно совпадают с кривыми зависимостей градиента силы сопротивления (рис. 6). Это означает, что характер изменения градиента момента силы определяется не столько моментом силы сопротивления и величиной самой силы, сколько характером изменения плеча силы. Данные заключение важно тем, что создает возможность упрощения расчетов нагружающих механизмов при проектировании тренажеров по технологии «Ьеууш».
6. Пользуясь разработанным нами алгоритмом моделирования нагружающего механизма, легко показать, что при изменении местоположения точки прикрепления приводного ремня (точка Д при разгибании или точка Е при сгибании) к образующей эллиптического барабана соответствующим образом изменяется дислокация максимума зависимости плеча силы сопротивления (что, как было показано в п. 4, равносильно максимуму градиента момента силы). Иными словами, локализации максимального мышечного напряжения можно добиться не только изменением местоположения центра эллипса, но и изменением местоположения точки прикрепления ремня. Заметим тут, что аналогичное смещение профиля сопротивления силовых тренажеров (например, фирмы «СуЬех») достигается вмонтированием в эксцентрический кулачок специального устройства [8].
7. Наконец, учитывая характерное начало кривых момента силы сопротивления (рис. 6, а) - отсутствие момента силы, как в начале, так и в конце цикла любого упражнения, подчеркнем, возможно, главную особенность работы на тренажерах линии «ЬеууиБ» - ее абсолютную безопасность для связок суставов и сухожилий, обусловленную всегда «мягким», щадящим натяжением связок суставов, сухожилий мышц и удлинением мышц, участвующих в данном упражнении.
Выводы:
1. Тренажеры линии «Ьеууш» дают возможность формировать правильный двигательный навык по фазам двигательного действия путем соответствующей локализации максимального мышечного напряжения.
2. Учитывая безопасность работы на тренажерах линии «Ьеууш» для связок суставов и сухожилий мышц, их можно использовать в системе подготовки юных спортсменов с целью формирования правильного двигательного навыка буквально с первых шагов в спорте. Таким образом, в этих тренажерах заложена потенциальная возможность решения известных проблем ранней специализации в спорте.
3. Работа на тренажерах линии «Иеууш» в режиме миорелаксации позволяет сразу после мышечного напряжения, преодолевающего сопротивления упругого нагружателя, немедленно переходить к полноценному мышечному расслаблению без уступающего напряжения,- мышца растягивается до своей физиологической длины. Более того, остаточное напряжение, возникшее в мышце ранее (до упражнения на тренажере «Иеууш»), во время работы на тренажере устраняется, нервно-мышечный аппарат спортсмена приобретает более высокий уровень функционального состояния.
4. Отмеченные выше преимущества тренажеров линии «Иеууш» перед силовыми тренажерами гарантируют их использование в качестве механотерапевтического средства при реабилитации спортсменов после перенесенных травм суставов, связок, мышц и их сухожилий.
Литература
1. Акмалелитдинов, Р.А. Особенности многофункциональных тренажеров линии «ИеууиБ» и их место в тренировочном процессе спортсменов высокой квалификации / Р.А. Акмалетдинов, Е.В. Островский, Ф.А. Шемуратов // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании: материалы научно-практической конференции. - Одесса : Черноморье, 2005. - Т. 10. - С. 44-48.
2. Безынерционные скоростно-силовые тренажеры как средство профилактики и реабилитации опорно-двигательного аппарата человека / Р.А. Акмалетдинов, А.С. Кузнецов, Д.Ф. Шемуратов, Ф.А. Шемуратов // Проблемы двигательного аппарата у спортсменов: сборник материалов Международной научно-практической конференции. - Волгоград : ФГОУ ВПО «ВГАФК», 2008. - С. 4-6.
3. Демидов, В.А. Свойства тренажеров с безынерционным нагружателем и области их применения / В.А. Демидов, Ф.А. Шемуратов, Р.А. Акмалетдинов [Электронный ресурс] // Педагогико-психологические и медико-биологические проблемы физической культуры и спорта. - 2007. - № 2. - Режим доступа: http://www.kamgifk.ru/magazin/iournal.htm.
4. Донской, Д.Д. Биомеханика: учебник для ин-тов. физ. культ. / Д.Д. Донской, В.М. Зациорский. - М. : Физкультура и спорт, 1979. - 264 с.
5. Кноибель, Ф.К. Пособие для повторения физики / Ф.К. Кнобель. - М. : Энергоиздат, 1981. - 256 с.
6. Макаров, Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad 14 / Е.Г. Макаров. - СПб. : Питер, 2007. - 592 с.
7. Многофункциональные тренажеры линии «Аеууш»: практические аспекты использования / Р.А. Акмалетдинов, В.А. Демидов, Е.В. Островский, Ф.А. Шемуратов // Потребность мотивации интереса населения к занятиям физической культуры и спортом, формированию здорового образа жизни: материалы Всероссийской научно-практической конференции. - Казань : РЦИМ. - 2004. - Т. 2. - С. 101-102.
8. Платонов, В.Н. Система подготовки спортсменов в олимпийском спорте / В.Н. Платонов. - М. : Советский спорт, 2005. - 820 с.
9. Ратов, И.П. Двигальные возможности человека: нетрадиционные методы их развития и восстановления / И.П. Ратов. - Минск : Минсктиппроект, 1994. - 116 с.
10. Шемуратов, Ф.А. Элементы высшей математики / Ф.А. Шемуратов, Л.И. Фукина. - Набережные Челны : Изд-во КамПИ, 1999. - 368 с.
Bibliography
1. Akmaletdinov, R.A. Feature of multipurpose simulators of a line «heyvus» And their place in training process of sportsmen of high qualification / R.A. Akmaletdinov, E.V. Ostrovsky, F.A. Shemuratov // Modern problems and ways of their decision in a science, transport, manufacture and formation: materials scientifically-practical conferencia. - Odessa: Chernomorie, 2005. - ^ 10. - P. 44-48.
2. Bezynertsionnye speed-power simulators as means of preventive maintenance and rehabilitation of the baze-impellent device of the person / R.A. Akmaletdinov, А.S. Kuznetsova, D.F. Shemuratov, F.A. Shemuratov // Рroblems of diagnostics, strengthening and rehabilitation of the baze-impellent device at sportsmen: the collection of materials International scientifically-practical conference. - Volgograd : FGOU VPO «VGAFK», 2008. - P. 4-6.
3. Demidov, V.A. The Characteristic simulator with loading mechanism and area of their using / V.A. Demidov, F.A. Shemuratov, R.A. Akmaletdinov [Electronic resource] // Pedagogical-psychology and medico-biological problems physical culture and sports. - 2007. - № 2. - Mode of access to magazine: http://www.kamgifk.ru/iournal.thm.
4. Donskoy, D.D. Biomechanics: the textbook for institutes of physical training / D.D. Donskoy, V.M. Zatsiorskij. - М. : Physical culture and sports. - 1979. - 264 p.
5. Knoibeli, F.K. The Allowance for repetition physicists / F.K. Knobeli. - M. : Energoizdat, 1981. - 256 p.
6. Makarov, E.G. Engineering calculations in Mathcad 14 / E.G. Makarov. - SPb.: Peter, 2007. - 592 p.
7. Multipurpose simulators of a line «heyvus»: practical aspects of use / R.A. Akmaletdinov, V.A. Demidov, E.V. Ostrovsky, F.A. Shemuratov // Need of motivation of interest of the population to employment of physical training and sports, to formation of a healthy way of life: materials of the All-Russia scientifically-practical conference. - Kazan : RCIM. - 2004. - ^ 2. - P. 101-102.
8. Platonov, V.N. System of preparation of sportsmen in Olympic sports / V.N. Platonov. - М. : Soviet sports, 2005. -820 p.
9. Ratov, I.P. The Motor possibilities of the person: no conventional methods of their development and reconstruction / I.P. Ratov. - Minsk : Minsktipproekt, 1994. - 116 p.
10. Shemuratov, F.A. The Elements high mathematicians / F.A. Shemuratov, L.I. Fukina. - Naberezhnye Chelny : Izd-in KAMPI, 1999. - 368 p.
