CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 2.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-286-295
Дифракция звука от точечного источника на цилиндре с упругим покрытием, окруженном неоднородным жидким
слоем1
Д. Ю. Ефимов
Ефимов Дмитрий Юрьевич — аспирант, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: bogart.efimov@yandex.ru
Аннотация
В статье рассматривается задача дифракции сферической звуковой волны абсолютно жестким цилиндром с покрытием в виде однородного изотропного упругого слоя с прилегающим неоднородным слоем жидкости. Полагается, что цилиндр с однородным покрытием окружен непрерывно-неоднородным слоем жидкости с произвольным законом неоднородности. Точечный источник гармонических звуковых волн помещен в идеальную однородную жидкость, граничащую с неоднородным слоем.
Акустическое давление в сферической волне представляется в интегральной форме в виде разложения по цилиндрическим волновым функциям. Волновые процессы в упругом слое описываются системой уравнений линейной теории упругости изотропного тела. Для определения волнового поля в неоднородном слое жидкости построена краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Ключевые слова: сферические звуковые волны, упругий цилиндр, неоднородный слой жидкости.
Библиография: 20 названий. Для цитирования:
Д. Ю. Ефимов. Дифракция звука от точечного источника на цилиндре с упругим покрытием, окруженном неоднородным жидким слоем // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 2, с. 286295.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.
UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-286-295
Diffraction of sound from a point source on a cylinder with an elastic coating surrounded by an inhomogeneous liquid layer
D. Yu. Efimov
Efimov Dmitrii Yurevich — postgraduate student, Tula State University (Tula). e-mail: bogart.efimov@yandex.ru
1 Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ соглашение № 07300033-24-01 от 09.02.2024 тема научного исследования «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»
Abstract
The article considers the problem of diffraction of a spherical sound wave by an absolutely rigid cylinder with a coating in the form of a homogeneous isotropic elastic layer with an adjacent inhomogeneous liquid layer. It is assumed that a cylinder with a homogeneous coating is surrounded by a continuously inhomogeneous liquid layer with an arbitrary law of inhomogeneity. A point source of harmonic sound waves is placed in an ideal homogeneous liquid bordering an inhomogeneous layer.
The acoustic pressure in a spherical wave is represented in an integral form as a decomposition in cylindrical wave functions. Wave processes in an elastic layer are described by a system of equations of the linear theory of elasticity of an isotropic body. To determine the wave field in an inhomogeneous liquid layer, a boundary value problem for an ordinary-differential equation of the second order is constructed.
Keywords: spherical sound waves, elastic cylinder, inhomogeneous liquid layer.
Bibliography: 20 titles.
For citation:
D. Yu. Efimov, 2024. "Diffraction of sound from a point source on a cylinder with an elastic coating surrounded by an inhomogeneous liquid layer" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 286-295.
1. Введение
Влияние покрытий цилиндрических тел на их звукоотражающие свойства исследовалось в ряде работ. Прямая и обратная задачи дифракции плоской звуковой волны на цилиндре с перфорированным покрытием решены в [1]. Выбраны параметры среды резонаторов перфорированного покрытия, обеспечивающие заданный уровень гашения поля дифракции на цилиндре. В [2, 3] обсуждается задача о нерассеивающем покрытии для цилиндра, делающее его акустически прозрачным. Для снижения рассеяния падающей на цилиндр звуковой волны применено тонкое покрытие с протяженной реакцией. Дифракция плоской звуковой волны на упругой цилиндрической оболочке с однородным упругим покрытием исследована в [4]. Выявлены условия, при которых совместный выбор импедансов покрытия и оболочки позволяет минимизировать рассеянное поле. Дифракция плоской волны цилиндром с покрытием в виде дискретной системы коаксиальных однородных упругих слоев была изучена в [5]. Задачи о рассеянии плоских и цилиндрических звуковых волн жестким цилиндром с непрерывно-неоднородным упругим покрытием решены в [6, 7].
Задачи дифракции сферических звуковых волн на упругих цилиндрических телах с математической точки зрения являются более сложными по сравнению с задачами дифракции плоских и цилиндрических волн. Изучение дифракции сферической звуковой волны на цилиндрическом теле представляет значительный интерес для теории и практики. В этом случае геометрия рассеивающего объекта отлична от геометрии падающей волны, а учет криволиней-ности волнового фронта весьма важен, когда источник находится на небольшом расстоянии от рассеивателя. Такие задачи исследовались в [8-10]. В [8] рассмотрена задача дифракции сферической звуковой волны однородным упругим цилиндром с применением потенциалов Дебая. В [9] показано, что решение задачи рассеяния сферических звуковых волн на упругом рассеивателе цилиндрической может быть получено с использованием известного решения рассеяния наклонно падающей плоской звуковой волны, а в [10] данный подход был применен для случая упругого цилиндра с неоднородным упругим покрытием. Дифракция звука от точечного источника упругим цилиндром с трансверсально-изотропным неоднородным покрытием исследована в [11].
В настоящей работе рассматривается задача дифракции сферической звуковой волны абсолютно жестким цилиндром с покрытием в виде однородного изотропного упругого слоя с прилегающим неоднородным слоем жидкости.
2. Постановка задачи
Рассмотрим бесконечный абсолютно жесткий цилиндр радиуса Гз, покрытый однородным изотропным упругим слоем с внешним радиусом Г2- Материал упругого слоя характеризуется плотностью р и упругими постоянными Л и р. Цилиндр окружен радиально-неоднородным цилиндрическим слоем идеальной жидкости, внешний радиус которого равен г\. Цилиндрическая система координат г, р, х выбрана таким образом, что координатная ось г совпадает с осью вращения цилиндра. Плотность неоднородного жидкого слоя р1 и скорость звука в слое С1 являются прерывными функциями радиальной координаты: р1 = р1 (г), С1 = С1 (г). Цилиндр с прилегающим неоднородным по толщине жидким слоем помещен в однородную идеальную жидкость с плотностью ро и скоростью звука со.
Пусть из внешнего пространства на цилиндр падает гармоническая сферическая звуковая волна, излучаемая точечным источником, цилиндрические координаты которого (Г;,рг, Х;). Акустическое давление падающей волны
. ехр (гк — Я — гш¿)
Ро = А Р( ' Я-^,
|Я —
где А - амплитуда волны; к = ш/Со - волновое число жидкости; -радиус-векторы точки
наблюдения и точки, в которой располагается источник; ш - круговая частота; Ь - время. В дальнейшем временной множитель ехр (—гшЬ) будем опускать.
Определим звуковое давление во внешнем пространстве, звуковое давление в неоднородном жидком слое и поле смещений в однородном упругом покрытии.
3. Математическая модель задачи
Распространение малых возмущение в однородной идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [12]
Ар + к2р = 0, (1)
где р = ро + ря ~ давление полного акустического поля; ря - звуковое давление в рассеянной волне.
Распространение звука в неоднородной идеальной жидкости описывается уравнением [13]
ш2 1
Ар 1 +—к-р1--егаё р1 стаё р1 = 0, (2)
21 1
где р1 - звуковое давление в неоднородном слое.
Скорости частиц в однородной жидкости V и в неоднородном слое V! определяются по формулам
V =-егаё р, v1 =-егас1 р1. (3)
ро ш р1 ш
Уравнения, описывающие распространение малых возмущений в однородном упругом изотропном цилиндрическом слое в случае установившегося режима движения, имеют вид [12]
АФ + к2Ф = 0, (4)
АФ + к$Ф = 0, (5)
где Ф и Ф - скалярный и векторный потенциалы смещения; кг = ш/С1 и кт = ш/ст - волновые числа продольных и поперечных упругих волн; с\ = \/(Л + 2р) /р и ст = л/р/р - скорости
продольных и поперечных волн. Вектор смещения и частиц упругого однородного цилиндрического слоя определяется выражением
и = ^с! Ф + гсЛ Ф.
(6)
Ф
Ф = кЛ ( Ь • ег) + ктМ • ег,
где Ь и М - функции пространственных координат; ех - единичный вектор оси г. Тогда векторное уравнение (5) заменится двумя скалярными уравнениями Гельмгольца относительно Ь М
А Ь + к^Ь = 0, (7)
А М + к2М = 0.
(8)
В цилиндрической системе координат уравнение Гельмгольца (1) для давления в рассеянной волне и уравнение (2) будут иметь вид
92Р + 1 др + ^ д+ д^р +к2р = 0
дг2 г дг г2 дф2 дг2 '
д2Р1 /1 _ дрг \
дг2 \г р1 (г) дг )
1 ддр 1 1 1 д2р1 1 д2р1
д 2
+
+
+ к2 (г) рл = 0,
(9) (10)
„г р1 (О дг ) дг г2 дф2 где к1 (г) = ш/с1 (г).
Соотношения между компонентами тензора напряжений ац и вектора смещения и в одно^ родном изотропном цилиндрическом слое имеют вид [14]:
диг
агг = Аёгу и + 2и—-, = АШу и +
д
(1 диф иг \ IV и + 2р - + -М , \г дф г )
ахх = А&у и + , аГ1р = р +
дих д
1 диг чг дф дии
диу иу
(дих диЛ (
= 4^" + , а"" = 4
д
1 диг —- +---5
дг г дф
(11)
где сИу и = ^ + 1 + иг) +
Используя соотношения (11), выразим компоненты тензора напряжений агг, аГ1р, агх через функции Ф, Ь, М:
агг = _Акг2Ф + 2р
'д2Ф
д 2 д2 Ь
+
д3Ь д г2дф
№ _ "))
д
а
г<р
2р д [дФ 1
-Л—---Ф +
г дф \дг г дгдг
_ 1 — ) _ к г дг
кт д
г дф \ дг г ] /д 2М 1дМ
\ дг2 г дг г2 дф
аг
д 2Ф
д3Ь
(дгдг + дгдг2 + ^ ~ +
д
кт д2 М
г дфдг )
\
1 д 2М^
(12)
На поверхности абсолютно жесткого цилиндра (г = гз) при переходе через границу раздела абсолютно жесткой и упругой сред должен быть равен нулю вектор смещения частиц упругой среды:
иг = 0, иу = 0, их = 0. (13)
Граничные условия на внешней поверхности упругого цилиндрического слоя ( г = г2) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругого материала цилиндра и неоднородной жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений:
—г шиг = V\r, &rr = —pi, = 0, arz = 0. (14)
На внешней поверхности неоднородного жидкого слоя ( г = Г\) должны быть равны нормальные скорости частиц однородной и неоднородной жидкости, а также непрерывны акустического давления:
vr = vir, p = Pi. (15)
Здесь Vr = j^jp, v^ = -—r.
Таким образом, в математической постановке задача заключается в нахождении решений дифференциальных уравнений (4), (7)-(10), удовлетворяющих граничным условиям (13)-(15). Кроме того, давление ps должно удовлетворять условию излучения на бесконечности [12]
Ps = О (r-i) , ^^ — ikps = о , г ^ ж.
4. Аналитическое решение задачи
Используя теорему сложения для цилиндрических волновых функций [15], представим звуковое давление падающей волны в виде разложения по цилиндрическим волновым функциям
оо
P0 = А j Po (h) dh,
Po (h) = e ^-») У exp [ г n (<p — &)] ( ^(hn) Jn (khr), r<n
P ( ) 2 ^ p[ jn (khn) Hn (khr), r> n n —_r>r\ 4
(16)
где ,1п (ж) - цилиндрическая функция Бесселя порядка щ Нп (х) - цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка щ кь = Vк2 — Н2. Без ограничения общности положим = 0.
С учетом условий излучения на бесконечности функцию ря будем искать в виде
/оо
eihz у Ап (h)Hn (khr)exp[i n (р — рг)] dh. (17)
п=—оо
При |Н| > к величина к^ становится мнимой. Выбор знака корня Vк2 — Н2 из условия 1т к^ ^ 0 обеспечивает условие излучения на бесконечности для звукового давления ря при г ^ те. Таким образом, к^ = Vк2 — Н2 при —к ^ Н ^ к и к^ = гл/Н2 — к2 при |Н| > к. р1
оо _
оо
e%hz 'У Rn (г,h)exp[in (р — ipi)]dh (18)
п=—оо
а функции Ф, L и М в виде
оо _
/те
eihz ^ [ Вы (h)Jn (ki r) + B2n (h)Nn (ki r)]exp[in (y -<Pi)]dh,
__n=—oo
— те
те _
/те
eihz ^ [ С'ы (h)Jn (k2r)+C2n (h)Nn (k2r)] exp [гn (y -<pi)]dh,
__n=—oo
—те
те _
/те
eihz ^ [ Din (h)Jn (k2r )+D2n (h) Nn (k2 r)]exp[in (y -y)]dh, (19)
n=—oo
где Nn (x) - цилиндрическая функция Неймана порядка n; ki = ^Jkf - h2, k2 = л/к2 - h2.
Подставляя выражение (18) в уравнение (10), получим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами относительно неизвестной функции Rn (г, h) для каждого n и h
^RT +9(r) +Q(r)Rn = 0, (20)
где
/Л 1 1 dpi . . 2 n2 l2
g(r) =---^ — , q(r) = kx (r) - h.
r pi (r) or r2
Подставляя разложения (16)-(19) в граничные условия (13)-(15) и используя выражение для вронскиана [11]
Jn (khri) H'n (khri) - J'n (khri) Hn (khri) = 2i/ (irkhn), получим выражения для неизвестных коэффициентов
An (h) = (2Rn (n,h) - AiHn (khn) Jn (khn)) /2Hn (khn), (21)
Kn = [Mn]—iWn,
где Kn = (Bin, B2n, Cin, C2n, Din, D2n)T; W„ = (Rn (Г2, h), 0, 0, 0, 0, 0)T; Mn = (mmqn)6x6-
mi,jtn = (xkf^Y,^ (kiT2) - 2/j,k2r¡Y,;!(j) (kin)) /^, mi,j+2,n = -2ih^Y^ (ЫГ2),
™>i,j+4,n = 2i n¡k (ynj) (k2V2) - k2r2Yn{j) (k2^ /r%,
m2,3,n = 2in¡ (kinY^ (kiT2) - Y«» (kin)) /rl m2,j+2,n = 2nh¡¡ (y^ (k2V2) - k2V2Yn{]) (k2V2)) /r¡, = kr¡ (k2T2Yn^ (k2T2) - k^Y^ (k2T2) - ^Y^ ^2)) /r¡, m3tJ,n = 2ihki¡Yn(3) (kin), m3,J+2,n = ¡Y^ ^2) {k2T - 2k2h2) , m3,j+4,n = -nhkT¡Yn3) (k2T2) /n, m4,j,n = kiYnз) (hr3),
m4,j+2,n =
ihk2Yna) (k2r3), = inkrY^ (k2r3) /r3,
m5j,n = inY^ (kif3) /г3, m5,j+2,n = -nhk2Yn3) (k2r3) /Г3, m5J+4,n = -kTk2Y^(k2Г3),
me,j,n = ihY^>) (к^з), m6,j+2,n = k^Y^ (к2Г3), m6,j+4,n = 0, j = 1,2, Yí1] (x) = Jn (x), Y& (x) = Nn (x). И два краевых условия для дифференциального уравнения (20)
ainR'n (гi, h) + ßinRn (n,h) = dVn (h),
U2nR'n (V2,h)+ß2nRn (Г2 ,h)=0, (22)
ain = -1/Pi (ri) w, ßin = khH'n (khri) fp0wHn (khri), dVn = -AHn (khn) /шipowHn (khri),
a2n = -ri/w2pi (Г2) , ß2n = K2„Tra. При этом K2„ = [Mra] —i W2n, W2n = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T; Tra = (t in, t^n, t3n, Un, t ы, Unf
tjn = ki^Y^ (kif2), tj+2,n = ihk2T2Y^j) (k2^), tj+i,n = inkTГ2Y(к2Г2), j = 1,2.
Так как коэффициенты An (h), Bin (h), B2n (h), Cin (h), C2n (h), Din (h), D2n (h) выражены через значения функции Rn (г, h) при г = г i, г 2, то для их вычисления необходимо найти решение краевой задачи (20), (22). Эта краевая задача может быть решена разными численными и аналитическими методами. Например, разностным методом [16], методом стрельбы [16], методом сплайн-коллокации [17].
5. О решении обратной задачи
На основе прямой задачи можно определить такие параметры материала упругого покрытия, для которых будем иметь наименьшее усредненное рассеяние звука в заданном диапазоне частот w € [wi, w2] в фиксированной точке наблюдения (r,p, z) = (г*,р*, z*).
В качестве меры звукового рассеяния введем величину I (w) = |ps (w) /A|2 - интенсивность звукового рассеяния. Построим функцию вида
Ш2
Ф(р,Х,р) = w -wi)J I(w)dw, (23)
Ш!
выражающую усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном диапазоне частот.
Для функции (23) необходимо найти такие значения упругих параметров р, X, р при которых она достигает минимального значения.
Для параметров функции (23) введем ограничения
Cii ^р < Ci2, C2i < X < C22, C3i ^р < C32. (24)
где C^i, C^2 """"" некоторые положительные константы (( = 1, 2, 3).
Поиск значений упругих параметров р, X, р, удовлетворяющих условиям (24) и минимизирующих функцию
Ф(р,Х,р) ^ min, (25)
осуществить аналитически не представляется возможным. Однако построенная оптимизационная задача (24), (25) может быть решена численно с использованием какого-либо численного метода многомерной оптимизации [18], что приводит к необходимости вычисления большого числа интегралов вида
Ш2 те
Ф =
Ш — те
У У F (h, w) dhdw. (26)
Аналитическая запись подынтегральной функции Р (к, ш) не приводится для краткости записи и достаточно очевидна исходя из формул (17), (21), (23).
Подынтегральная функция Р (к, ш) рассчитывается в выбранных точках (к*,ш*) с использованием краевой задачи (20), (22). Далее интеграл (26) может быть рассчитан численно с использованием многомерных квадратурных формул. Для этого к несобственному интегралу по переменной к следует применить прием обрезания бесконечных пределов [16], а в качестве метода численного интегрирования может быть использована квадратурная формула на основе параллепипедальной сетки Коробова [19, 20].
Отметим, что для повышения эффективности звукоотражающих свойств рассеивателя, покрытие может быть реализовано не из одного однородного упругого слоя, а из N однородных упругих слоев аналогично тому как показано в работе [5].
6. Заключение
В настоящей работе получено точное решение задачи дифракции сферической звуковой волны абсолютно жестким цилиндром с покрытием в виде однородного изотропного упругого слоя с прилегающим неоднородным слоем жидкости. Так как геометрия фронта падающей сферической волны не совпадает с геометрией цилиндрического рассеивателя, то решение рассматриваемой акустической задачи на основе построенной математической модели оказывается весьма затруднительным. Для построения аналитического решения давление в падающей сферической волне представляется в интегральной форме в виде разложения по цилиндрическим волновым функциям. Построенное решение справедливо для произвольного закона неоднородности жидкого слоя.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов В. П. Анализ поля дифракции на цилиндре с перфорированным покрытием // Акустический журн. 2006. Т. 52. № 6. С. 791-798.
2. Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акустический журн. 2008. Т. 54. № 6. С. 879-889.
3. Бобровницкий Ю. П., Морозов К. Д., Томилина Т. М. Периодическая поверхностная структура с экстремальными акустическими свойствами // Акустический журн. 2010. Т. 56. № 2. С. 147-151.
4. Косарев О. И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. Т. 46. № 1. С. 34-37.
5. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.
6. Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.
7. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.
8. Клещев А. А. Дифракция звука от точечного источника на упругой цилиндрической оболочке // Акустический, журн. 2004. Т. 50, № 1. С. 86-89.
9. Li Т., Ueda М. Sound scattering of spherical wave incident on a cylinder //J. Acoust. Soc. Amer. 1990. Vol. 87, № 5. P. 1871-1879.
10. Толоконников Л. А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19. Вып. 4. С. 215-226.
11. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Дифракция сферической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным анизотропным покрытием // Чебышевский сборник. 2022. Т. 23. Вып. 4. С. 368-381.
12. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
13. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.
14. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
15. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
16. Калиткин И. Н. Численные методы. М.: Физматлит, 1978. 512 с.
17. Завьялов Ю.С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980, 352 с.
18. Захарова Е.М., Минашина И. К. Обзор методов многомерной оптимизации // Информационные процессы. 2014. Т. 14, Вып. 3. С. 256-274.
19. Коробов И. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.
20. Добровольский Н.Н., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А., Ларин И. В. О применении теоретико-числовых сеток в задачах акустики // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. Вып. 3. С. 368-382.
REFERENCES
1. Ivanov, V. P. 2006. "Analysis of the field diffracted by a cylinder with a perforated coating", Acoustical Physics vol. 52, no 6, pp. 683-690.
2. Bobrovnitskii, Yu.I. 2008. "A nonscattering coating for a cylinder", Acoustical Physics, vol. 54, no 6, pp. 758-768.
3. Bobrovnitskii, Yu. I., Morozov, K. D. k, Tomilina, Т. M. 2010. "A periodic surface structure with extreme acoustic properties", Acoustical Physics, vol. 56, no 2, pp. 127-131.
4. Kosarev, О. I. 2012. "Diffraction of sound by an elastic cylindrical shell with a coating", Probl. Mashinostr. Nadezh. Mashin, vol. 46, no 1, pp. 34-37, fin Russian].
5. Larin, N.V. k, Tolokonnikov, L.A. 2015. "The scattering of a plane sound wave by an elastic cylinder with a discrete-layered covering", J. Appl. Math. Mech., vol. 79. no 2, pp. 164-169.
6. Romanov, A.G. k, Tolokonnikov, L.A. 2011. "The scattering of acoustic waves by a cylinder with a non-uniform elastic coating", J. Appl. Math. Mech., vol. 75, no. 5, pp. 595-600.
7. Tolokonnikov, L.A. 2013. "Diffraction of cylindrical sound waves by an cylinder with a nonuniform elastic coating" Izv. Tul. Cos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 202-208, fin Russian].
8. Kleshchev A. A. 2004. "Diffraction of point-source-generated sound by an elastic cylindrical shell", Acoustical physics, vol. 50, no. 1, pp. 74-76.
9. Li T., Ueda M. 1980. "Sound scattering of spherical wave incident on a cylinder", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 87, no. 5, pp. 1871-1879.
10. Tolokonnikov, L. A. 2018. "Diffraction of a spherical sound wave by an elastic cylinder with an non-uniform coating", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 4, pp. 215-226, fin Russian].
11. Tolokonnikov, L. A. k, Efimov D.Yu. 2022. "Diffraction of a spherical sound wave by an elastic cylinder with an non-uniform anisotropic coating", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 368-381, fin Russian].
12. Shenderov, E.L. 1972. "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p. fin Russian].
13. Brekhovskikh, L.M. 1973. "Waves in Layered Media", Nauka, Moscow, 344 p., fin Russian].
14. Nowacki, \V. 1973, "Teoria sprezvstosci", I 'WX. Warszawa.
15. Ivanov, E.A. 1968, "Diffraction of electromagnetic waves by two bodies", Nauka i tekhnika, Minsk, 584 p., fin Russian].
16. Kalitkin, N.N. 1978. "Numerical methods", Fizmatgiz, Moscow, 512 p., fin Russian].
17. Zavvialov, Yu. S., Kvasov, B. I. k, Miroshnichenko, V. L. 1980. "Spline function methods", Nauka, Moscow, 352 p., fin Russian].
18. Zakharova, E.M., Minashina, I.K. 2014. "Review of Multidimensional Optimization Techniques", Inform,atsionnye Protsessy, vol. 14, no. 3, pp. 256-274, fin Russian].
19. Korobov, N.M. 2004. "Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize fNumber-theoretic methods in approximate analysis]", 2nd éd., MTSNMO, Moscow, Russia.
20. Dobrovol'skii, N.N., Skobel'tsvn, S.A., Tolokonnikov, L. A., Larin, N.V. 2021. "About application of number-theoretic grids in problems of acoustics", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 368-382, fin Russian].
Получено: 04.02.2024 Принято в печать: 28.06.2024
