Дифракция электромагнитных волн на идеально проводящем цилиндре, помещенном в радиально неоднородную поглощающую плазму Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК537.874.4

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕМ ЦИЛИНДРЕ, ПОМЕЩЕННОМ В РАДИАЛЬНО НЕОДНОРОДНУЮ ПОГЛОЩАЮЩУЮ ПЛАЗМУ

А.Н. Косенков, А.П. Ярыгин

Представлены результаты исследования влияния сферически симметричного поглощающего плазменного образования на дифракцию электромагнитных волн на идеально проводящем цилиндре

Ключевые слова: плазменное образование, эйконал, цилиндр

К настоящему времени известны работы, в которых получены строгие решения задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей сфере и бесконечном цилиндре, окруженных неоднородными плазменными образованиями соответственно со сферической и цилиндрической симметрией [1, 2].

Цель работы - получение асимптотического решения задачи дифракции электромагнитной волны на цилиндре конечных размеров, погруженном в радиально неоднородное поглощающее плазменное образование, и определение на основе этого решения степени влияния неоднородности и поглощающих свойств плазмы на диаграмму эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) цилиндра.

Асимптотические решения задач дифракции электромагнитных волн на объектах, расположенных в плавно неоднородной среде, у которой электродинамические параметры плавно изменяются на расстоянии порядка длины облучающей волны, а в масштабе объекта претерпевают существенные изменения, могут быть получены на основе обобщённого электродинамического принципа Гюйгенса [3] и обобщённого метода краевых волн [4, 5]. Опираясь на эти методы, рассмотрим следующую задачу.

Идеально проводящий цилиндр помещен в радиально неоднородное поглощающее плазменное образование с диэлектрической проницаемостью

Косенков Андрей Николаевич - ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», адъюнкт, тел.

8 (915) 541-30-60

Ярыгин Анатолий Петрович - ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 244-78-14

е = е +1£ (г)

е = 1 -

1 - КМ=ь

Ь

N

„2

кр

е" =

N (г)

г

Л, А

N

V

эфф

о

\ /

(1) (2)

(3)

критическая концентрация электронов определяется выражением

Ккр =

т +п2фф)

(4)

где о - циклическая частота,

Пэфф - эффективная частота столкновений

электронов,

т - масса электрона,

е - заряд электрона,

N - концентрация электронов.

Общее начало прямоугольной (0X12),

сферической (г,ф,0), цилиндрической (р,ф,г)

систем координат поместим в центр плазменного образования. Ось г проходит через ось вращения цилиндра. Смещение плоскости нижнего основания цилиндра относительно центра плазменного образования равно г0, высота цилиндра - I. Внешний радиус области плазменного образования обозначим а, радиус основания цилиндра - ё. Направление распространения падающей волны расположено в плоскости (yOz) и составляет угол у с осью г. Координаты точки наблюдения

(г = Я,ф = 3р2,0 = т) - рассматривается радиолокационный случай.

В общем случае для падающей электромагнитной волны плазменное образование имеет область г < гкр с концентрацией электронов

выше критической, при этом е(г )< 0. В рассматриваемом случае цилиндр помещен в об-

е

ласть плазменного образования с докритиче-ской концентрацией электронов г > гкр и

е( г) > 0 . В зависимости от угла облучения и

места расположения цилиндра относительно центра плазменного образования возможны следующие случаи освещения поверхности цилиндра:

1. Освещено верхнее основание цилиндра.

2. Освещены верхнее основание и боковая поверхность.

3. Освещены нижнее основание и боковая поверхность.

Рассмотрим каждый из перечисленных случаев.

I. Будем полагать, что нижнее основание цилиндра смещено относительно центра плазменного образования на 20. Электромагнитная волна с волновым вектором к0 и единичными

векторами напряженностей е0 и Ъ0 падает из

бесконечности в направлении оси ъ на плазменное образование, в котором расположен цилиндр. На рисунке 1 показана схема облучения для рассматриваемого случая.

Для выполнения условия плавной неоднородности среды в масштабе 1 положим, что к0 гкр □ 1, тогда падающая на поверхность цилиндра электромагнитная волна может быть описана в геометрооптическом приближении

[6] Е = в0 Лв"

Н = к0 Лв"

где А и Ь - амплиту-

да и эйконал падающей волны. В результате решения дифференциального уравнения эйконала прямого луча

2

дЬ_ Э0

2

= е

(5)

методом разделения переменных получим

(

Ь« = р

2 ■ СО§у— р- 81П ( ■ 81П у

^Р2 +( ^ +1)

I ЕЕ+1Х,,.—4т

\

р

— аггат—

(6)

— V а2 — р2.

^Р2 + (20 +1 )2

Параметр р определяется из уравнения траектории луча, приходящего в рассматриваемую точку внутри плазменного образования.

Выражение для траектории луча можно получить из решения уравнения эйконала, применив теорему Якоби [6]:

дЬ Эр

= 0.

(7)

В результате траектория прямого луча описывается следующим уравнением

гл ■ Р а &

0 = arcsm—+ р I —.

а -*-г „ /„2 (¡,2 , „2 1

Р^Г?г^г2 —(Ь+р2)

.(8)

Выражение для амплитуды можно получить, решая уравнение переноса [6], которое соответствует закону сохранения энергии в лучевой трубке. В результате решения получим

Л =

г о/ г 2 —(Ь2 + р2)

1

Б

(1)

где

Б(1)=-

1

22 г — Ь

^ — р2 рц^ г[г2 —(Ь2 + р2 )]72

(9)

С .(10)

Рис. 1. Схема облучения цилиндра при у = 0

Так как рассматривается поглощающее плазменное образование, то амплитуда в случае слабого поглощения может быть представлена в виде [6]

/ а

— к° {е'Чз 2 1

Л = Лов 2 г . (11)

Для определения элемента длины дуги траектории луча запишем

Л Ч г2+(?'со •

(12)

Используя выражение (8) для траектории луча, найдем производную С0/Сг . В результате после преобразований получим

1

+

+

2

а

+

ёя =

1

г 2е(г)-р2

=ёг .

(13)

Далее воспользуемся полученной в [7] общей формой представления асимптотического решения задачи дифракции электромагнитных волн на объектах, расположенных в плавно неоднородной среде, и запишем поле, рассеянное цилиндром в направлении на источник облучения

Е = Ебл + Ер , (14)

ехр Ш0Ь +1 — д , (15)

(

— е ,

Ебл = 1

4еА20

Екр 2к4Лк

I

( \ 1ё2 ь/

V /ё12

ехр

21кЬ +1Л 0 4

,(16)

в = е

/ (те)2 - е (Щ21 + 4 [(/ + Е )(Щ(тк)\ , (17)

где О - дискриминант первой квадратичной формы поверхности диска,

Д - гессиан, определяемый как

А =

Э^Ь

Эр2

э^ь

Эф2

э2 ь

д ■ (э2ь ,

д = я/яп I —- I, если

ЭрЭф ) \ Эр

А > 0 и д = 0, если А < 0 . Следует отметить, что «блестящая» точка, в которой А > 0 соответствует эллиптической стационарной точке (первого рода), а «блестящая» точка, в которой Д < 0 - гиперболической точке (второго рода)

[7].

Выражение (15) определяет поле, отраженное от «блестящих» точек на поверхности диска, где выполняется условие стационарности фазы VI = 0 .

Выражение (16) описывает поле, рассеянное от «светящихся» краевых точек на контуре диска, в которых выполняется условие стационарности ЭЦЭ1 = 0 , где I - длина контура. Это условие эквивалентно обобщенному закону отражения геометрической теории дифракции (тГ) = 0, где Т единичный вектор, касательный

к контуру диска. Входящие в (17) функции / и я характеризуют диаграмму полной краевой волны, излучаемой от ребра соответствующего клина [4]

2л (

2 • ят -

/ = -

1

1

2л 1

соя--1

3

2л 4а

соя--соя-

3 3 )

(18)

2 • ят -

2л

Е = "

1

1

2л 1

соя--1

3

2л 4а

соя--соя-

33

а = аг^я

()

[пх Г ] •

(19)

(20)

где п - единичный вектор нормали к освещенной поверхности диска.

При облучении цилиндра вдоль оси ъ (=0) существует одна блестящая точка первого рода, которая совпадает с центром основания цилиндра. В результате преобразований после подстановки всех сомножителей в (15) в знаменателе необходимо раскрыть неопределенность вида 0/0. Раскрывая неопределенность, имеем

Sln у

Иш

у®0 р(

1 -(г 0 +1)

Sln у р<

0 )

Эу

Эр / у=0

1 -(г 0+) ||

Л •

(21)

У=0 )

Для вычисления производной воспользуемся уравнением (8)

Эу Эр

у=0

( г 0 +■

^(1 + (г0 +1)пЦЩ.

(22)

Таким образом, выражение для определения вклада «блестящей» точки в общее поле рассеяния с учетом поглощения будет иметь вид

ехр

Ел (0) = —

(г +1)

2'к0 | - Ь2 Уг - а

2Я

Б(1) (0)

1-( г0 +1) Б». 1-

(23)

х ехр <

ПффЪ1 |

4гг - ь2

2с (¿,) г ^ г2 -(Ь2 + р2 )

Второй составляющей, вносящей вклад в общее поле рассеяния, при облучении по нормали к плоскости основания цилиндра является весь контур основания. Данное слагаемое определяется выражением:

Екр (0)=е

« (К+2Ь) р (ё) [ f (а)-я (а)]

2Я

х ехр

ПэффЬ

Б

а 1

(1)

( ё ^ +1 )2 л/г2 -Ь2

■р2

-ёг

(24)

2с гVг2-(Ь2 + р2)

II. При изменении угла у изменяется количество и тип «блестящих» точек. На рисунке 2 показан характер поведения образующих по-

3

+

3

ч

2

а

«К

х

2

Ь

г

е

х

3

3

верхностей равных фаз, т.е. Ь = сот^ 2 принцип формирования «блестящих» точек.

и

Рис. 2. Поверхности равных фаз облучающей волны в плазменном образовании:

1 - блестящая точка первого рода

2 - блестящая точка второго рода

При увеличении угла у «блестящая» точка смещается от центра основания цилиндра к его краю, а также в зависимости от значений 20, С , у на краю диска появляется «блестящая» точка 2 рода, которая смещается к центру диска при увеличении угла у .

Для вычисления координат блестящих точек на поверхности верхнего основания цилиндра необходимо решить систему уравнений

УрЬ (р,р) = 0,1 УрЬ (р,р) = 0.|

В результате получим

(25)

3p p i-

j = — > j = Р = pe .

Подставляя (26) в (8), получим

(26)

arccos

= arcsin

(zo +1 )• cos y-p- sin j ■ sing

Vp2 +(zo +1 )2 _

pfe.r a dr

. (27)

-pfe J

rVr 2-(b 2 +p2e)

Таким образом, условием наличия «блестящих» точек на поверхности диска является существование решения уравнения (27) при условии

20 tg у£ р £ Ь . (28)

При этом для Р =р уравнение (27) не

имеет решений. После выполнения необходимых подстановок и преобразования (15) и (16) получаем выражения для вычисления поля

2 R

П pq 4 e(pq ) [sin y(pcosy-( z0 + I) sin y) ]

D«(Pq) 1 - D?(P, )(zo +1 )2 lipfiP))

x exp

2йо ¿Цр,) + i § d

exp ^

nJ2 J

dp\ •Jr2 - b2

(29)

2c

dr ^

zj+1) r V r2 -( b2 + Pq2 ) f

Екр = e0

xeK

beik

n i

rZ-1

2RJpkbsiny j=2Zo +1)2 -p

Jr2 - b

f (a )x

'exp< -

_

2c rr^ rVr2-(b2 + pj)

(30)

J

Vd2 +(zo +1 )2

dr)

где Pw =

dcosy+ (z0 +1) siny В выражении для pHj знак «-» использует-

ся

для р = 3р2 , а знак «+» для Р = р2

На рисунке 3 показана схема возможного хода лучей, при которой формируются возможные «блестящие» и «светящиеся» точки.

При некотором угле укр обе точки сливаются в одну «блестящую» точку параболического типа. При этом выражение (29) утрачивает справедливость и необходимо иное асимптотическое разложение. Требуемое разложение получено в [7] с использованием приема последовательного применения метода стационарной фазы с разложением до 3-го порядка, так как в рассматриваемой точке параболического типа

(Э2 Ь/ Эр2 ) = 0.

eikoR J6 33 Г[ 3 J Po4e [sing(PocosУ-(Zo +l)sing)]2

_k 6_

ko r~ v P

D (Po)

DP)-( zo + l )^P(po J*)

(31)

2iko ¿(2)(po )+-

2 exp< -

K**b2

X

4r2 -b2

=dr

2c rbf r

Необходимо отметить, что в общем случае на плоскости верхнего основания цилиндра существует две «светящихся» краевых точки. Выражения для определения вклада краевых точек в общее поле рассеяния (3o) справедливы для углов облучения, удовлетворяющих условию

ko b siny □ 1. (32)

ik„R

ee

E

x

q=1

E

x

блП ~o

R

p

a

ZU Y z

X=X1

Рис. 3. Схема облучения цилиндра при 0 < g< gKp

В случае однородной среды это неравенство является условием асимптотического представления стоящей в выражении для рассеянного поля функции Бесселя J [4].

В диапазоне углов g <g< arctgd в формировании диаграммы рассеяния особенности отсутствуют, и поле создается в соответствии с выражением (30) за счет трех «светящихся» точек, возникающих на поверхности цилиндра.

III. При увеличении угла g> arctgd при определенных значениях угла на боковой

X=Xi

Рис. 4. Схема облучения цилиндра при g> arctgd

поверхности и плоскости нижнего основания цилиндра формируются «блестящие» точки, причем на боковой поверхности прямыми лучами, а на плоскости нижнего основания - лучами, коснувшимися каустики. На рисунке 4 показана схема возможного прохода лучей, при которой формируются все возможные «блестящие» и «светящиеся» точки, однако в большинстве случаев такая картина маловероятна и в формировании поля рассеяния будет участвовать меньшее количество точек стационарной фазы.

Для вычисления координат «блестящих» точек на боковой поверхности цилиндра необходимо решить систему уравнений VI (гф) = 0, VфL (г,ф)= 0.| В результате получим

(33)

3п I-

j = —. Р = We .

Подставляя (34) в (8), получим z • cos g-d • sin j • sin g

. sjd2 + z2 .

(34)

. zje r~ a dr

= arcsin--+ zv e I

rjr2-(b2 + z2-

(35)

a

^г2 -(Ь2 + г2е)'

Таким образом, условием наличия «блестящих» точек на боковой поверхности цилиндра является существование решения уравнения (35) при условии

г0 < г < г0 +1. (36)

Для лучей, коснувшихся каустики, решение уравнение эйконала принимает вид

l<2) = p

z • cos g- р • sin j • sin g

р

■ p - arcsin —

(37)

-<Ja2 -p2,

ГДе rn =у]р2и +4 = V¿

^ + p2

П \ГП "П

Уравнение траектории лучей, коснувшихся каустики, имеет вид

р а ёг

а

0 = arcsin p + p f

Л J

¿ rjr2-(b2 + p2)

+

(38)

+p Í

dr

^г2-(Ь2 + р2)'

В результате решения уравнения переноса с использованием закона сохранения энергии для элементарной лучевой трубки, и учитывая,

+

a

П

П

z

что после прохождения каустики появляется

к

сдвиг по фазе — — [7], получим выражение для

амплитуды Лс =

^ г ■ зш 0^г2 — (Ь2 + р2)

Б

(2)

(39)

где

Б(2) =

л/

22 а — р

г +

г2 — Ь2

г [ г2 — (Ь2 + р2) ] >2

Сг +

I

г2 — Ь2

г [ г2 —(Ь2 + р2) ] >2

Сг —

2 р

^2 — (Ь2 + р2)

(40)

ЭгП

Эр

Для вычисления координат «блестящих» точек на поверхности нижнего основания цилиндра необходимо решить систему уравнений, аналогичную (25) и подставить ее решение в уравнение траектории лучей (38) получаем

агссоБ

-собу— р-ътр-ъту

Гр

2 . 2 + 20

• ре г"(

^агсБт---+ рые | -

сСГ

2 — (Ь2 +р2е)

+ (41)

Сг

г^г2 — (Ь2 + р2е)'

при условии 20 tg у£ р£ С .

Решения уравнения (41) определяют координаты «блестящих» точек на поверхности нижнего основания цилиндра. Следует отметить, что в работе [8] указано, что «блестящие»

точки возникают только при угле р

3к ' 2 !

од-

нако формальное решение уравнения (41) показывает, что «блестящие» точки формируются и

при угле р2 = .

Таким образом, вклад в общее поле рассеяния вносят «блестящие» точки боковой поверхности и нижнего основания цилиндра, а также «светящиеся» точки изломов поверхности цилиндра при этом в формировании поля «светящихся» точек нижнего основания цилиндра участвуют как прямые лучи, так и лучи, коснувшиеся каустики. При этом поле от «блестящих» точек боковой поверхности определя-

ется выражением (15) с учетом соответствующих координат «блестящих» точек, а от «блестящих» точек, формирующихся на поверхности нижнего основания цилиндра лучами, коснувшимися каустики

Ебл =-

2 Я

' Ц рч^£р) [б1пу(рсоб у— 2,8ту)]"

) 1 — ) ^ 1р(рШ)

хехр 2гк„Ь2}(рч) +1К8

л/г2 — Ь2

х еХр ] — ^ Г +7 _

| 2с П П г^г2 —(Ь2 + р\)

Сг \.

(42)

Поле краевых точек на поверхности цилиндра, формируемое прямыми лучами, определяется выражением (16) с учетом соответствующих координат «светящихся» точек, а поле, создаваемое лучами, коснувшимися каустики, определяется следующей формулой:

Еёд = в0

Ьвк0 Я

I-

1

р ц

2 ЦккЬ б1п у Я 2) ^202 — р2

/ (а)ехрI Икс¿?±IК IX

(43)

х ехр

2с

I + I

у/г2 — Ь2

г V г2 —(Ь2 + р2)

Сг

Используя выше приведенные выражения, были проведены расчеты диаграммы эффективной площади рассеяния цилиндра, расположенного в поглощающем плазменном образовании при смещении 20 = 1,2 с учетом поглощения и без него. Расчеты проводились при условии к0С = 6, к01 = 5 УС = 1, уэфф = 2-109.

10%-?-, дБ

7ГЬ

10

о

-10

-20

1

\ ^ \ . . . ^

\ N 1 —-2

1 I ' 1

40

60

80

Рис. 5. Диаграммы ЭПР цилиндра в плазменном образовании (Е-поляризация):

1 - без учета поглощения

2 - с учетом поглощения

1

х

ч =1

а

а

1

х

г

П

+

г

П

г=г

П

х

г

П

10 ig-^j9dB 10

0 -10 -20 -30

1

vl ..... .<r. M

ï'sAL-A // f . 1

i \! V

I v • 111! 1_i

20 40 60 80

Рис. 6. Диаграммы ЭПР цилиндра в плазменном образовании (Н-поляризация):

1 - без учета поглощения

2 - с учетом поглощения

Анализ диаграмм ЭПР цилиндра (рис. 5, 6) показывает, что положение максимума диаграммы смещается от нулевого положения в связи с тем, что основной вклад в общее поле рассеяния вносят «блестящие» точки, появляющиеся на поверхности верхнего основания цилиндра при увеличении угла облучения у. Увеличение амплитуды отраженных электромагнитных волн в окрестности углов облучения у» 80° объясняется вкладом в общее поле рассеяния появляющейся в этом диапазоне углов «блестящей» точки на боковой поверхности цилиндра. Неоднородная среда приводит к изменению формы диаграммы обратного рассеяния в сравнении с однородной средой. Это можно объяснить тем, что неоднородная среда приводит к появлению или изменению количества блестящих точек на поверхности объекта, который находится под влиянием плазменного образования, форма объекта условно претерпевает изменение, например плоское основание

цилиндра выглядело бы в оптическом диапазоне как сферический сегмент. Поглощающее свойство плазменных образований позволяет снизить амплитуду отраженной электромагнитной волны и таким образом уменьшить эффективную поверхность рассеяния объекта.

Литература

1. Саясов, Ю. С. Рассеяние электромагнитных волн идеально проводящей сферой, находящейся в неоднородной среде [Текст] / Ю. С. Саясов // Журнал технической физики. - 1961. - Т. 31. - № 3.

2. Колычев, С. А. Строгое решение скалярной задачи дифракции плоской волны на протяженных двумерно-неоднородных плазменных образованиях, содержащих металлическую сферу или цилиндр [Текст] / С. А. Колычев, А. П. Ярыгин // Радиотехника и электроника. - 1984. -Т. 29. - № 1.- С. 5-11.

3. Гутман, А. Л. Учёт вращения плоскости поляризации вдоль луча при решении задач дифракции в неоднородной среде [Текст] / А. Л. Гутман, А. П. Ярыгин // Радиотехника и электроника. - 1971. - Т. 16. - № 1. - С. З-9.

4. Уфимцев, П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции [Текст] / П. Я. Уфимцев. - М.: Советское радио, 1962. - 244 с.

5. Ярыгин, А. П. Метод краевых волн в задачах дифракции для тел расположенных в плавно неоднородной среде [Текст] / А. П. Ярыгин // Радиотехника и электроника. - 1972. - Т. 17. - № 10. - С. 2009-2019.

6. Кравцов, Ю. А. Геометрическая оптика неоднородных сред [Текст] / Ю. А. Кравцов, Ю. И. Орлов. -М.: Наука, 1980. - 304 с.

7. Ярыгин, А. П. Диаграмма эффективной поверхности рассеяния металлического диска, расположенного в плазменном образовании с радиальной и угловой неоднородностью [Текст] / А. П. Ярыгин // Радиотехника. -2001. - № 6. - С. 87-90.

8. Кандидатская диссертация А. П. Ярыгина. Вопросы дифракции электромагнитных волн на телах, расположенных в плавно неоднородной среде, возникающие в некоторых задачах радиоэлектронной защиты объектов. - Воронеж. - 1970. - 141 с.

Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

DIFFRACTION OF THE ELECTROMAGNETIC WAVES ON IDEAL CONDUCTIVE CYLINDER, PLACED IN THE RADIAL INHOMOGENEOUS ABSORBING PLASMA

A.N. Kosenkov, A.P. Yarigin

The results of an experimental research of the spherically symmetric absorbing plasma formation influence on the diffraction of electromagnetic waves by a perfectly conducting cylinder, considering the absorption properties of the plasma

Key words: plasma formation, the eikonal, cylinder