Дифференциальные уравнения в явлениях самоорганизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 5 (220).

Экология. Природопользование. Вып. 5. С. 5—11.

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ЭКОЛОГИИ И ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ

С. Г. Агеев

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЯВЛЕНИЯХ САМООРГАНИЗАЦИИ

Рассматриваются вопросы обоснования и вывода дифференциальных уравнений динамических систем, связанных с явлениями самоорганизации. Структура уравнений не противоречит классической форме их записи. Доказываются принципиальные отличия, которые приводят к новому пониманию сущности явлений самоорганизации открытых систем и их математического моделирования. Данная работа является логическим продолжением теоретических построений, которые были изложены автором в предыдущих статьях.

Ключевые слова: динамическая система, самоорганизация, открытая система, математическое моделирование, дифференциальные уравнения.

Классическая форма дифференциальных уравнений синергетики, приведенная, например, в [4], сводится к следующему обобщенному виду:

Я) = ¥ ((, а,...)), (1)

где Я ) — вектор состояния, определяемый решением системы п = 1, 2, 3... дифференциальных уравнений; t — время, фиксируемое ручными часами; а — в общем случае параметр управления.

Если же обратиться к классическим задачам биологии, экологии, экономики, химической кинетики, рассмотренным в многочисленных учебных и научных изданиях, например в [5-8], то можно удостовериться, что дифференциальное уравнение вида (1) переписывается в форме

^ = аЩ) + ..., (2)

т

где управляющий параметр а играет роль вещественного числа, линейной или нелинейной функции. Структура других членов уравнения

(2), кроме первого, в правой части зависит от типа решаемой задачи. Важно отметить, что размерность управляющего параметра а всегда равна 1/с. В другой форме размерность а запишется как 1/^а, где tа придается физический, биологический, экономический, химический, экологический временной смысл.

В работе [1] автор доказывает, что динамические свойства открытой системы с положительными и отрицательными связями определяются единственным критерием гомохронности Т = ^ {*. Здесь t* — временная длительность жизни наблюдаемого объекта или системы. Безразмерное время т является параметром, наделенным случайными свойствами, поскольку t — величина случайная. Также утверждается, что т явля-

ется инвариантом для всех открытых систем, обладающих свойствами рождения и смерти. Данный вывод непротиворечив и естественен. Действительно, что может объединить, например, все живые существа в биосфере нашей планеты, кроме линейного интервала времени между моментом рождения (t = О) и моментом смерти (t = t*). Этот небезразмерный интервал фиксируется на могильных плитах и других надгробиях единичных особей биологического вида Homo иаріет.

Обратим внимание на физическую сущность управляющего параметра а при введении его в уравнение (2). В динамический процесс перехода объекта (системы) из состояния рождения к состоянию смерти (двух аттракторных состояний), наблюдаемого в инерциальной системе отсчета t, вводится еще одна, новая временная, инерциальная или же неинерциальная система отсчета. Для случая, когда а = const (особый случай), ход часов останавливается. Другими словами, локальное состояние вектора R(t) в левой части уравнения (2) связано с общепринятой инерциальной системой отсчета, в правой части тот же вектор связывается с другой инерциаль-ной или же неинерциальной системой отсчета. Изложенное выше позволяет сделать вывод, что без нарушения строгости уравнение (2) возможно записывать в единственной форме:

dR (t) = R(0 + (3)

dt t

Появление в правой части уравнения (3) других членов, кроме первого, с набором констант, линейных или нелинейных функций, введенных на уровне умозаключений и играющих в системе уравнений роль управляющих параметров, еще

в большей степени повлияет на качество решаемой задачи.

Другое важное обстоятельство появляется при записи дифференциального уравнения в форме

(3). В случае линейных свойств вектора состояния R(t) решение (3) становится тривиальным, так как выполняется условие

_ £ ).

&

(4)

Из выражения (4) следует, что к правой его части мы не можем плюсовать дополнительные члены. Это позволяет утверждать, что система уравнений, описывающая процесс самоорганизации открытой системы, должна быть только нелинейной. Проявление свойств нелинейности в природных процессах и приводит к самоорганизации, построению макрокванта материального мира с его внутренней структурой.

Для случая нелинейных свойств вектора состояния R(t) выражение (3) позволяет определить и вид нелинейности. Действительно, правую часть этого выражения возможно дополнить единственным членом, с учетом которого оно примет вид

л

Введем обозначение

с.

(5)

(6)

(7)

С учетом принятого обозначения (6) уравнение (5) перепишем в форме

(1Я^) СЯ ^, С 2Я Ц) ш ш + ж2 . (8)

Приведем доказательство того, что форма записи уравнения (5) или (8) является единственной. При этом ограничимся общепринятой для дифференциальных уравнений формой записи. Обозначим собственный вектор состояния как х(^. Тогда уравнение (5) запишем в виде Сх^)

а также в форме Сх^)

Сх (t) + t С 2 х ^)

(9)

(10)

dt ^ dt2 Уточним смысл членов в правой части уравнения (9). Первый читается как среднее значе-

ние скорости изменения функции х(^ на интервале времени t. Второй член — среднее значение ускорения, проинтегрированное весьма специфичным образом: путем умножения производной от среднего значения скорости на интервал t. Вычисляется как

Сх(0 х^) t "

dt

dt

(11)

Другими словами, в уравнении (9) локальная скорость изменения вектора х(^ определяется путем сложения среднего значения скорости на интервале времени t и другого осредненного значения осредненной скорости (дважды среднего).

В уравнении (10) смысл членов его правой части иной по отношению к уравнению (9). Первый член читается как локальная скорость изменения другой функции состояния 5с^). Второй член — как осредненное значение скорости изменения данной функции состояния. Следует отметить, что разная форма записи дифференциальных уравнений (9) и (10) не исключает их эквивалентности.

Условие единственности, сформулированное выше, доказывается, если выполнить подстановку (11) в выражение (10).

Данному доказательству уделено особое внимание по следующей причине: строгое обоснование записи дифференциальных уравнений является ключевым элементом теоретических построений в явлениях самоорганизации.

В работе [3] автором выведено соотношение, устанавливающее связь между полной энергией — массой вектора состояния Я(т) и его компонентами Я0 (т) и Я (т), где, с геометрической точки зрения, Я0 (т) — радиус-вектор трехмерного вещественного пространства; Я*(т) — радиус-вектор трехмерного псевдопространства с индексом k = 1 [9]. Численные значения радиус-векторов Я(т), Я0 (т) и Я (т) определяются из выражений

Я(т) _ СоНт, (12)

Я0 (т) _ С0Н

тл/Г

+ т + т

Я (т) _ СсН-

(1 + т) т%/т

(13)

(14)

(1 + т) ’

где С0 = 1; Н = 2 — функция Гамильтона.

На рис. 1, а, б представлен характер изменения радиус-векторов Я 0(т) и Я *(т) в безразмерном времени Т.

7з

Я°( т)

0,2

0,8

1

Рис. 1, а. Изменение радиус-вектора Я°(т) в инерциальной системе отсчета т

Значение линейного радиус-вектора Я (т) вычисляется с использованием геометрического соотношения вида

Я 2(т) = Я02 (т) + Я02 (т). (15)

Значения скоростей изменения радиус-векторов Я(т), Я (т) и Я (т) вычисляются из выражений

йЯ (т)

сс т

= Н,

йЯ0 (т) _ 2 + 3т + 5т2 + 2т3

1 т (1 + т)2\А + т + т2

йЯ*(т) _ Тт (3 + т)

(16)

(17)

(18)

(1 + т)2

На рис. 2 отражено изменение производных от функций Я0(т) и Я*(т) . На рис. 1, а, б можно проследить, что при т ^ 1 изображающие точки, движущиеся по интегральным кривым значений радиус-векторов Я0 (т) и Я * (т), асимптотически примыкают к значениям л/3 и 1. Важно установить, происходит ли касание интегральных кривых Я0(т), Я*(т) линий лУз и т? С целью установления данного факта вычислим вторые производные радиус-векторов Я0(т) и Я*(т) :

12 Я0(т)

-4 + 3т + 6т2 + 7т3

1 т2 2(1 + т)3 (1 + т + т2 )л/1 + т + т2

й2Я*(т) _ 3 - 6т - т2 й т2 2\/т (1 + т)2

(19)

(20)

Устремляя в выражениях (19), (20) т к 1, убеждаемся, что значения вторых производных в данных точках не равны нулю. Этот факт исключи-

0,2

0,8

1

Рис. 1, б. Изменение радиус-вектора К*(т) в инерциальной системе отсчета т

тельно важен при осмыслении вопроса, что же происходит с системой в конце ее жизни.

Необходимо отметить, что линейный радиус-вектор Я (т), измеренный с использованием выражения (15), в ходе своего роста испытывает вращение и кручение. Факт вращения радиус-вектора Я (т) можно проследить на рис. 3. Угол поворота этого радиус-вектора на протяжении всей жизни макрокванта изменяется от 0 до 30°.

Упрощенный вариант вывода о кручении радиус-вектора Я (т) следует из непосредственных вычислений (измерений) радиус-векторов Я0(т) и Я*(т) и сравнения результатов с результатами вычислений интервалов л/3 т и т в сходные моменты времени. На протяжении всей жизни макрокванта Я0(т) > \/3т , а Я (т) < т. Можно говорить, что радиус-вектор Я 0(т) испытывает растяжение, а радиус-вектор Я*(т) — сжатие. Только в момент аттракторных состояний, т. е. при т ^ 0 и при т ^ 1, растяжение и сжатие пространств отсутствует. Строгое доказательство свойства вращения и кручения пространств, радиус-векторы которых равны соответственно Я 0(т) и Я (т), очень объемно и требует отдельной публикации.

С целью вывода дифференциальных уравнений для описания состояния макрокванта (системы) продифференцируем выражение (15) и запишем

Я(т) _ Я0(т)йЯ0(т) + Я*(т)йЯ (т). (21)

й т й т й т

Несложно убедиться в том, что в уравнении (21) отражено действие закона сохранения количества движения. Дифференцируя еще раз уравнение (21), получаем

Рис. 2. Изменение производных dR0(z)/dz, dR*(z)/ dz в неинерциальной системе отсчета т

Ж т) ▼ /

/ // 7

/ / J

/ // У

дУ) л/з

Рис. 3. Вращение радиус-вектора Я (т) на фазовой плоскости в системе координат Л*(т), Л0(т)

dR0 (т) d т

2

dR * (т) d т

2

+ R 0(т)

d R0 (т) d т2

+R *(т) d2R> = H2.

(22)

d т

В уравнении (22) отражено свойство сохранения энергии. В рамках доказательства данного утверждения определим функцию Гамильтона как

(23)

где ^(т) — действие; Е — полная энергия. Перепишем уравнение (22) в другом виде:

E =1 2

dR 0(т) d т

i2t>0

2

dR (т) d т

2

+1R 0(т) ^ +1R* (т) .

2 w d т 2 w d т

(24)

Выделим в уравнении (24) кинетическую часть энергии и запишем

E* = 4-

1 Г dR0(т) 1 2 1 + — dR * (т)

2 d т V V 2 т d

а также потенциальную часть энергии:

Ї7 _ 1

еп = +—

R 0(т) "(Г) + R (т)d R (т)

(25)

(26)

dт2 dт2

Приведенная выше запись выражений в виде (24), (25), (26) позволяет записать закон сохранения энергии самоорганизующихся открытых систем в классической форме:

Е = 1 ш(1)У2 + т.

2 У

Здесь т(1) — единичная масса;

V2 =

(27)

Ф =1R 0(т)

(29)

d т2 2У' d т2 V '

Из уравнения (27) непосредственно выводится уравнение движения, классическая форма записи которого имеет вид

V = - grad ф. (30)

Действительно, продифференцируем уравнение (27) и запишем

d ф(т)

(31)

V =

d т V (т)

Представим значение скорости V в виде производной по времени от обобщенной координаты р(т):

d р(т)

V =

d т

(32)

Тогда с учетом соотношения (32) выражение (31) примет вид

V = - ^ф(т) - gradф. dp

(33)

Изложенный выше обоснованный переход от геометрических представлений к законам классической физики имеет важное значение для дальнейших теоретических построений, поскольку снимается вопрос о том, что теоретические конструкции противоречат современному естествознанию.

Запишем уравнение (22) в другой форме:

0 \2 dR 0(т)

d т

dR (т) d т

2

- H2 =

D о(т) D т

2

Г dR0(т) 1 2 + Г dR * (т) 1 2 , ^ч где Г Do(т) 12

d т V у d т V / (28) 1 D т )

/

72 п0/

= -R0(т) - r*(т) d2R(т)

(34)

(35)

dr

Сравнивая выражения (15) и (34), убеждаемся, что измеренное количество энергии-массы в координатном и в импульсном представлении пространств не идентично. Отличие в измерении обусловлено появлением в уравнении (34) дополнительного члена в форме волновой функции ^о(т)/От, которая читается как ошибка измерения. Следует отметить, что аналогичная ситуация имеет место в квантовой механике [10]. Однако вывод, который можно сделать об ошибке измерений энергии-массы в координатной и в импульсной форме представления пространств самоорганизующихся систем, является неверным. Выше было показано, что пространства энергии-массы испытывают как вращение, так и кручение. Чтобы обеспечить эти физические эффекты, необходимо расходование потенциальной энергии-массы. Физический механизм ее проявления читается в выражении (26). Каждый член правой части уравнения (26) читается на языке механики как произведение массы на ускорение и интерпретируется как действие сил инерции. На языке химической кинетики члены правой части (26) читаются как энергия-масса, продуцированная автокаталическими реакциями. Скорость продуцирования энергии-массы имеет волновую природу и принимает нулевое значение в момент рождения макрокванта и в момент его гибели (смерти).

Запишем дифференциальные уравнения пространств с радиус-векторами Я0 (т) и Я*(т) в форме (9)

dЯ 0(т) = Я 0(т) d т т

dЯ *(т)

Я *(т)

d т

d с— d т

■А

d т

Я 0(т)

Я *(т)

(36)

(37)

Не теряя строгости, уравнения (36) и (37) можно переписать в форме (10)

АЯ0 (т) А т АЯ *(т)

АН0 (т) + А 2 Я0 (т)

А т АН *(т)

А т

А т А 2Я *(т)

А т А т2

т п0.

где

Я 0 (т) =( А т

1 Т

(38)

(39)

(40)

(41)

0

Дифференциальные уравнения (36), (37), а также (38), (39) являются несвязанными, что противоречит целостности динамических свойств макрокванта. Приведем доказательство, что

0 т

Я *(т) = (Я-(т) Ат.

3 Т

А2Яи(т) А т2

А 2Я *(т)

1 Б о(т)

2 Бт

1 Б о(т)

Я (т)

Я0 (т)

(42)

(43)

Ат2 2 Б т

В качестве доказательства используем прямые вычисления в правых и в левых частях выражений (42) и (43). Можно записать

А2 Я0 (т) = т(1 -т)

(1 + т)2л/ГТ А2Я *(т) = 7т (1 - т)

А т

2

1 Бо(т)

2 Б т

А т2 Я* (т)

(1 + т)2 ’

_________т(1 - т)

(1-

1 Бо(т)

2 Б т

Я 0 (т)

- т)2\Д + т Ух (1 -т) (1 + т)2 .

(44)

(45)

(46)

(47)

Осуществляя замену вторых членов в правых частях уравнений (38), (39) на соответствующие члены левых частей выражений (46), (47), мы вправе записать

АЯ0 (т) _ Я0 (т)

А т АЯ * (т)

т

Я (т)

Или же

А т

АЯ0 (т) А т АЯ* (т)

1 Бо(т)

2 Бт

+1Б о(т) 2 Бт

Я* (т)

Я0 (т)

АН0 (т) А т АТ?* (т)

1 Бо(т) АЯ (т)

2

Б т

А т

0

А т А т

Введем обозначение

АТ> (т) = 1 Б о(т) 2

+ 1 Бо(т) АН (т) 2 Б т А т

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

А т 2 Б т

Принимая во внимание физический смысл

функции о(т) и производной аТХт)/^!, выполним ковариантное преобразование в системе отсчета функций действия Я0(т), Я* (т), присутствующих во вторых членах правых частей уравнений (50), (51), и запишем

АЯ0 (т) = АЯ0 (т) АЯ * (70 (т))

А т

А т

А т

АЯ* (т) = АЯ * (т) + АЯ0 ((т))

(53)

(54)

А т А т А т

В качестве замыкающего дифференциального уравнения системы (53), (54) необходимо использовать преобразованное уравнение (34), записанное в форме

-Я0(т)

А2 Я 0(т) Ат2

- Я (т)

А 2Я (т) Ат2

= И2

АТ0 (т) А т

2

. (55)

Докажем, что система дифференциальных уравнений (53), (54) является следствием уравнения (22). С этой целью возведем в квадрат левые и правые части уравнений (50), (51) и запишем

СЯ 0(т) С т

/ СЯ * (т)Л

С т

СЯ0 (т) С т

Г СЯ * (т)4

С т

Бо(т) Б т

Л2

сСЯ0 (т) С т

/ сСЯ * (т)Л С т

(56)

Нетрудно убедиться путем прямых вычислений, что в выражении (55)

ССік0 (т) С т

\2

ССік (т) С т

\2

= н2

(57)

После замены в уравнении (56) суммы членов в квадратных скобках на квадрат функции Гамильтона получаем выражение (22).

Записанная выше система дифференциальных уравнений в форме (48), (49) или же в форме (51), (52), а также в виде (53), (54) совместно с уравнением (55) позволяет прояснить понимание процесса самоорганизации в открытых системах. Построение макрокванта самоорганизованной материи осуществляется только посредством внутреннего синтеза энергии-массы.

Дифференциальное уравнение (53) позволяет констатировать, что поверхностная часть энергии-массы Я? *(т) синтезируется объемной частью макрокванта в собственном времени Т^х) и вычисляется из выражения

Я?*(Т0(т)) = Я?0(т) - Я0(т). (58)

Дифференциальное уравнение (54) позволяет утверждать, что объемная часть энергии-массы синтезируется на поверхности макрокванта в собственном времени Т0(т) и вычисляется из выражения

Ё°(Т)(т)) = Я*(т) - Як*(т). (59)

Процесс синтеза строительного материала макрокванта управляется энергией-импульсом аТ^тУАт. Функция 70(1) имеет физический смысл собственного времени и представляет неинерци-альную (нелинейную) систему отсчета. Автор вынужден утверждать, что в неинерциальных системах отсчета законы сохранения выполняются при строго определенных условиях. Одно из этих условий: в каждую единицу энергии-массы в нашей, человеческой, системе измерений с момента зарождения до момента смерти макрокванта из внешнего мира поступал поток

энергии-массы, равный 2 (двум) интервалам времени Ат. Имеются и другие условия существования макрокванта, которые необходимо рассматривать в контексте исследования на устойчивость динамической системы. Этот частный вопрос объективно связан с понятием «динамическая устойчивость». Для открытых самоорганизующихся систем с положительными и отрицательными связями соблюдение законов сохранения должно быть дополнено законом роста. Открытая самоорганизующаяся система существует только тогда, когда она обладает свойством внутреннего синтеза энергии-массы и свойством роста. На планете Земля такими системами являются собственно биосфера, каждый ее элемент, называемый живым веществом, каждый элемент живого вещества, называемый клеткой.

Собственное время 70(т), показываемое часами, связанными с растущим макроквантом, определяется зависимостью

ГГ / ч 1 Г т(1 - т)

Т)(т) = - ]----------------\ 7 2

2 0 (1 + т)л/1 + т + т2

Ст.

(60)

На рис. 4 показан характер хода этих часов.

Выводы. Изложенная в данной статье логика доказательств при записи дифференциальных уравнений, моделирующих динамические свойства открытой системы с положительными и отрицательными связями, позволяет утверждать, что причинно-следственные связи между левыми и правыми частями уравнений не могут конструироваться на уровне умозаключений с при-

То(т)

0,2

0,8 1

Рис. 4. Инерциальная система отсчета собственного времени Т0(т)

влечением аргументов биологического, экологического, экономического, химического характера. Все члены правых частей уравнений выполняют функции энергии-импульса.

Энергия-импульс, генерируемый внутренними свойствами нелинейной природы внутренних процессов, выполняет функцию программы перехода самоорганизующейся частицы (макрокванта материи) из состояния рождения в состояние катастрофы (смерти). Поэтому линейная форма записи дифференциальных уравнений является грубой.

Самоорганизующаяся частица обладает свойствами роста в собственном времени. Собственное время в процессах самоорганизации частицы реализует функцию неинерциаль-ной системы отсчета. Законы сохранения в инер-циальных системах отсчета, обусловленные природными механизмами самоорганизации, выполняются.

Список литературы

1. Агеев, С. Г. Динамический анализ открытых систем с прямыми положительными и обратными отрицательными связями / С. Г. Агеев // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2005. № 1. Сер. 12. Экология. Природопользование. С. 92-101.

2. Агеев, С. Г. Геометрические и физические свойства пространств в явлении самоорганизации / С. Г. Агеев // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2007. № 6. Экология. Природопользование. С. 32-41.

3. Агеев, С. Г. Пространство действия в явлениях самоорганизации / С. Г. Агеев // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2008. № 17. Экология. Природопользование. С. 5-18.

4. Хакен, Г. Синергетика: иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Г. Хакен. М. : Мир, 1985.

5. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтерра. М. : Наука, 1976.

6. Романовский, Ю. М. Математические модели в биофизике / Ю. М. Романовский, Н. В. Степанова, Д. С. Чернавский. М. : Наука, 1976.

7. Базыкин, А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций / А. Д. Базыкин. М. : Наука, 1985.

8. Свирижев, Ю. М. Устойчивость биологических сообществ / Ю. М. Свирижев, Д. О. Логофет. М. : Наука, 1978.

9. Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М. : Наука, 1964.

10. Давыдов, А. С. Квантовая механика / А. С. Давыдов. М. : Наука, 1973.