CC BY
78
УДК 521.181.8
Сафиуллин Р.К. - доктор физико-математических наук, профессор
E-mail: [email protected]
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1
Движение и силы в неинерциальных системах отсчета.
Влияние силы Кориолиса на климат Земли
Аннотация
Физики предпочитают иметь дело с инерциальными системами отсчета (СО), в которых строго выполняются законы механики Ньютона. Однако в реальной жизни часто приходится пользоваться неинерциальными СО. Например, система отсчета, связанная с Землей, не является строго инерциальной. Отличие ее от инерциальной СО связано, в основном, с вращением Земли вокруг своей оси и с ее орбитальным движением вокруг Солнца. Отклонения от инерциальности относительно невелики, но проявляются в целом ряде явлений, таких как больший размыв (большая крутизна) правых берегов рек в Северном полушарии и левых берегов рек в Южном полушарии; боковые отклонения летящих снарядов, поворот плоскости качания маятников относительно окружающих тел в течение суток, отклонения от вертикали падающих тел и т.д.
В работе произведены оценки инерционных сил при различных скоростях движущихся тел, при возможных природных катаклизмах. Сделаны оценки для бокового смещения снарядов и ракет, для пассатов - ветров, дующих в юго-западном и северозападном направлениях в области тропиков, и других явлений.
Ключевые слова: инерциальные, неинерциальные системы отсчета (СО), центробежная сила, сила Кориолиса.
Общий вид уравнений движения в неинерциальных системах отсчета
Полный вывод уравнения движения тела (частицы) массы т в неинерциальной СО дан, например, в фундаментальном труде [1]. Он получен там из принципа наименьшего действия. Более доступный вывод приведен в известном курсе общей физики [2]. Уравнение имеет вид:
т — = --- та + я?[ггэ1+ 2m\vco] + я?[й5[ггэТ|- (1)
dt дг
В правой части уравнения (1) представлены: «обычная сила», выраженная в виде градиента потенциальной энергии частицы, и четыре инерционные силы, которые не встречаются в инерциальных СО. Первая из них, /<\ = -та, возникает благодаря ускорению а поступательного движения рассматриваемой системы отсчета относительно инерциальных СО. Вторая инерционная сила, F = in [г СО | обусловлена непостоянством во времени угловой скорости вращения 3. Третья инерционная сила, 1<\ = 2m[va>\ называется силой Кориолиса - в честь французского ученого, открывшего ее в 1835 году. Ее отличием от других инерционных сил является зависимость от скорости частицы. Четвертая сила, F^ = [rd?]], называется центробежной. Она лежит в плоскости, проходящей через радиус-вектор частицы f и вектор угловой скорости со, и направлена перпендикулярно к оси вращения (т.е. к направлению со) в сторону от оси. По величине центробежная сила равна трсо 2, где р - расстояние частицы от оси вращения.
Произведем оценку этих сил для вращающейся системы отсчета, например, для системы отсчета, связанной с Землей, и посмотрим, насколько существенны эти силы в конкретных случаях.
Сила инерции F^ = —та
Рассмотрим тележку с укрепленным на ней кронштейном, к которому подвешен на нити шарик (рис. 1). Пока тележка покоится или движется без ускорения, нить
расположена вертикально и сила тяжести Р уравновешивается реакцией нити ]<г . Теперь приведем тележку в поступательное движение с ускорением а. Нить отклонится от вертикали на такой угол, чтобы результирующая сил Р и р сообщала шарику ускорение, равное а. Относительно системы отсчета, связанной с тележкой, шарик покоится, несмотря на то, что результирующая сил Р и р отлична от нуля. Отсутствие ускорения шарика по отношению к этой системе отсчета можно формально объяснить тем, что, кроме сил Р и р равных в сумме та, на шарик действует еще сила инерции
1<'1п = -та , которую мы раньше обозначили как .
///мм;;;;;;;;;;//.
Рис. 1.
Рис. 2.
Характерным свойством сил инерции является их пропорциональность массе. Благодаря этому свойству силы инерции оказываются в известной степени аналогичными силам тяготения. Представим себе, что мы находимся в удаленной от всех внешних тел закрытой кабине, которая движется с ускорением £ в указанном на рис. 2 направлении. Тогда все тела, находящиеся внутри кабины, будут вести себя так, как если бы на них действовала сила инерции /<| = —пщ. Однако, такие же явления наблюдались бы и в том
случае, если бы кабина была неподвижной и находилась вблизи поверхности Земли. Не имея возможности выглянуть за пределы кабины, никакими опытами, проводимыми внутри кабины, мы не смогли бы установить, чем обусловлена сила — пщ: ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля Земли. На этом основании говорят об эквивалентности сил инерции и тяготения (в однородном гравитационном поле). Эта эквивалентность лежит в основе ОТО - общей теории относительности Эйнштейна [2].
Центробежная сила инерции /<4 = т \сд [г со ]]
Чтобы получить наглядное представление об этой силе, которую обычно обозначают как рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему
вертикальной оси г с угловой скоростью со (рис. 3) [2].
Рис. 3.
Вместе с диском вращается надетый на спицу шарик, соединенный с центром диска пружиной. Шарик занимает на спице такое положение, при котором сила натяжения пружины Fnp оказывается равной произведению массы шарика на его ускорение
án=-co2R (здесь R - радиус-вектор, проведенный к шарику из центра диска, R-
расстояние шарика от центра диска):
Fnp = -meo2R • (2)
Относительно системы отсчета, связанной с диском, шарик покоится. Это можно формально объяснить тем, что, кроме силы (2), на шарик действует центробежная сила инерции:
Ft,6 =ma)-R,
(3)
направленная вдоль радиуса от центра диска. Эта сила действует на тело во вращающейся СО независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее.
При точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции (рис. 4, 5). В случаях, когда высота тела над поверхностью Земли относительно невелика, можно положить R = R^ cos <р (R jt — радиус Земли, ср- широта местности). Тогда выражение для центробежной силы инерции примет вид:
о
FJf6 = mco~R3 cos (р • (4)
Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения g обусловлено действием силы F , с которой тело притягивается к Земле, и силы F ^ • Результирующая этих сил р = Fg + Ь'ф есть сила тяжести, равная mg.
N
ФУ\ /ЕЛ Хч> \
УF
S
Рис. 4.
Рис. 5.
Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Земле Fg невелико. Например, для
тела массой 1 кг наибольшее значение силы ¥ф, наблюдаемое на экваторе, равно
тсо1К3=\\2ж186400)2 • 6,38• 106 = 0,035Н, т.е. в 280 раз меньше, чем ^ =9,8 Н.
Угол ОС между направлениями р„ и Р (рис. 5) можно определить, используя
о
теорему синусов:
81па Рцб тсо2Я3со8(р 0,035 ППП1С
-= —— =-2-— ~-соэ^ « 0,0035соз^ >
эт <р Р mg 9,8
эта « 0,003бэтсрсоъср « 0,0018зт2^»,
а «0,0018 sin 2ср .
(5)
Отсюда видно, что угол ОС изменяется в пределах от нуля (на экваторе и на полюсах) до 0,0018 рад = 6' (на широте 45°).
Направление силы тяжести Р совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса или вертикальным направлением. Сила р
направлена к центру Земли. Таким образом, вертикаль направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол, определяемый выражением (5).
Разность Р^—Р равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3 % от
силы Р на экваторе. Из-за сплюснутости Земли у полюсов сила р также слегка
меняется с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2 % меньше, чем у полюсов. В результате ускорение свободного падения изменяется с широтой в пределах от 9,780 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. В качестве нормального (стандартного) принято
значение ^ = 9,80665л//с . Сила Кориолиса Р^
Проявление силы Кориолиса можно обнаружить на следующем примере [2]. Возьмем горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси. Прочертим на диске радиальную прямую ОА (рис. 6). Запустим в направлении от центра диска О к А шарик со скоростью V . Если диск не вращается, то шарик будет скатываться вдоль прочерченной прямой. Если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться по штриховой линии ОВ, причем его скорость V относительно диска будет изменять свое направление. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета шарик ведет себя так, как если бы на него действовала сила (/<\ — согласно нашим обозначениям), перпендикулярная к скорости V . Сила Рк и есть кориолисова сила инерции.
Рис. 6.
Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой, можно сделать направляющую, например, вдоль ребра ОА (рис. 66). При качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой /V Относительно вращающейся системы (диска) шарик движется с постоянной по направлению скоростью. Это можно формально объяснить тем, что сила /V уравновешивается приложенной к шарику кориолисовой силой инерции перпендикулярной к скорости шарика в системе диска.
Рассмотрим частный случай, когда частица массы т движется относительно вращающейся системы отсчета равномерно по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, с центром, находящимся на этой оси (рис. 7). Направления сил Кориолиса видны из представленных рисунков.
Рис. 7.
Сила, обусловленная изменением частоты вращения неинерциальной системы отсчета =ш[гбу]
Для Земли эта сила очень незначительна, поскольку частота вращения Земли почти не меняется. Произведем оценку для случая гипотетического катаклизма, когда, например, в течение суток тает значительная часть льдов Арктики и Антарктики, что приводит к повышению уровня мирового Океана, скажем, на 50 м. Вследствие увеличения момента инерции Земного шара и в силу закона сохранения момента импульса Земли как планеты, это привело бы к увеличению земных суток примерно на 1 с. В этом случае расчеты показывают, что тело массы т = 1 кг будет испытывать дополнительную силу инерции, равную по величине 5 мН. Если же подобное таяние льдов произойдет за год, то сила будет в 365 раз меньше, т.е. ничтожно мала.
Анализ явлений, обусловленных силой Кориолиса. Влияние силы Кориолиса на климат Земли
Рассмотрим примеры движений, в которых проявляется кориолисова сила инерции. Например, при свободном падении тел на них действует кориолисова сила, обусловливающая отклонение к востоку от линии отвеса (рис. 8). Эта сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на полюсах.
Летящий снаряд также испытывает отклонения, обусловленные кориолисовой силой инерции (рис. 9). При выстреле из орудия, направленного на север, снаряд будет отклоняться к востоку в северном полушарии и к западу - в южном. При стрельбе вдоль меридиана на юг направления отклонения будут противоположными. При стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Земле, если выстрел произведен в направлении на Запад, и поднимать его кверху, если выстрел произведен в восточном направлении. Легко убедиться, что сила Кориолиса, действующая на тело, движущееся
вдоль меридиана в любом направлении (на север или на юг), направлена по отношению к направлению движения вправо в северном полушарии и влево в южном полушарии. Это приводит к тому, что у рек больше подмывается правый берег в северном полушарии и левый берег в южном полушарии. Эти же причины объясняют неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении.
Силы Кориолиса проявляются и при движениях маятника. На северном полюсе сила Кориолиса все время будет направлена вправо по ходу маятника, на южном полюсе - влево. В итоге траектория груза маятника имеет вид розетки.
Плоскость колебаний маятника поворачивается относительно Земли в направлении часовой стрелки, причем за сутки она совершает один оборот. Относительно гелиоцентрической СО (которая очень близка к инерциальной) дело обстоит так, что плоскость колебаний остается неизменной, а Земля поворачивается относительно нее, делая за сутки один оборот. Можно показать, что на широте ср плоскость колебаний маятника за сутки поворачивается на угол 2л sin q> [2].
Таким образом, наблюдения за вращением плоскости колебаний маятника Фуко дают непосредственное доказательство вращения Земли вокруг своей оси.
Произведем оценку силы Кориолиса для снаряда, движущегося вдоль параллели. Пусть масса снаряда равна 1 кг, а скорость его равна 1 км/с. Тогда снаряд будет испытывать силу Ь'к = 2 • 1 • 1 ООО • (2/г / 86400) ~ 0.15Я . Пусть время полета снаряда составляет 30 с. Тогда приращение импульса снаряда в боковом направлении составит Apv = FK ■ At = 0,15 • 30 = 4,5Н ■ с или приращение скорости в боковом направлении
Avv «4,5м/с', боковое отклонение снаряда составит около 65 м. При стрельбе вдоль меридиана получим оценку Avv = 4,5 • sin ср (м/с); максимальное боковое отклонение снаряда составит у — 65 • sin ср (м). Если же ракета летит со скоростью 500 м/с в течение 3 минут, то ее боковое отклонение, обусловленное силой Кориолиса, может достичь 1 км. При учете силы сопротивления воздуха боковое отклонение может существенно уменьшиться, но все равно будет порядка сотен метров. Ясно поэтому, что без совершенных современных средств наведения ракет высокую точность в стрельбе из-за эффекта Кориолиса получить невозможно.
Другие интересные примеры, касающиеся движения тел в неинерциальных СО, приведены в книгах [3-5]. Разберем особенности движения пассатов - ветров, дующих в тропиках в юго-западном (в Северном полушарии) и северо-западном (в Южном полушарии) направлениях.
Атмосфера Земли находится в состоянии постоянной циркуляции [5] . Глобальная циркуляция атмосферы необходима для жизни, она более равномерно распределяет солнечное тепло, перенося жару из тропиков, которые принимают на себя большую часть солнечной энергии, к полюсам. Если бы этого не было, то, по имеющимся оценкам, на экваторе было бы на 14 градусов жарче, а на полюсах - на 20 градусов холоднее [5]. Это сделало бы невозможным существование сложных форм жизни на большей части поверхности Земли.
Постоянное движение атмосферы (ветер) в значительной степени обеспечивается разницей между температурами на экваторе и на полюсах. Но ветер дует не по прямой линии от экватора к полюсу. Рассмотрим, что происходит в Северном полушарии.
На экваторе воздух, нагретый Солнцем, поднимается вверх, охлаждаясь по мере подъема, пока не достигнет границы стратосферы. Он не может подняться еще выше, так как упирается в «область инверсии» - область, где температура воздуха перестает снижаться и начинает повышаться. Таким образом, массы восходящего вверх воздуха начинают двигаться горизонтально, уходя на север. Треть своего пути они движутся к полюсу, но затем снова опускаются вниз, сжимаясь в результате «сужения» земного шара и становясь таким образом плотнее и тяжелее. Затем они идут вдоль поверхности Земли, причем часть этих масс направляется на юг к экватору, замыкая «ячейку», а оставшаяся часть идет на север. Эта циркулирующая система состоит из ячеек конвекции, и существует
три уровня таких ячеек на пути к полюсу. Чтобы добраться от экватора к полюсу, перемещающийся воздух должен обойти их все, попеременно поднимаясь и опускаясь.
Нижняя часть ячеек, расположенная там, где ветер дует вдоль поверхности, образует пассаты и весты - западные ветры. Если бы Земля не вращалась, то ветры дули бы на север и на юг. Теперь понятно, что западное направление пассатов обусловлено силой Кориолиса. В Южном полушарии картина аналогична, ветер также будет направлен к западу.
Таким образом, экватор Земли расположен межу двумя глобальными конвекционными ячейками, через которые циркулирует атмосфера Земли. Сильные ветры, протекающие через нижние части этих двух ячеек, сходятся посередине, создавая область слабого ветра («экваториальная штилевая полоса»), или, иначе говоря, «внутритропическую зону конвергенции» [5]. Остается сильная западная составляющая ветра.
Произведем численную оценку воздействия силы Кориолиса на пассаты. Рассмотрим участок нижней ячейки длиной L = 1000 км, воздух в Северном полушарии вдоль нижней ячейки движется к экватору. Пусть средняя скорость ветра v = 10 м/с. Тогда за время движения на этом участке t = Llv ветер приобретает западную составляющую порядка vk =ак1 = 2veo sin ср ■ L / v = 2a>L sin tp ~ 10 м/с, что является разумной оценкой.
Сила Кориолиса оказывает влияние также на океанические течения, например, на Гольфстрим [5]. Чтобы оценить количественно это влияние, нужно знать поле скоростей воды в этих течениях.
Много информации о воздушных потоках, бурях и ураганах получено в последние два десятилетия с помощью искусственных спутников Земли. Во всех этих явлениях в той или иной степени проявляется сила Кориолиса.
В технике сила Кориолиса учитывается в теории гироскопов, турбин и многих других вращающихся систем.
Заключение
В работе рассмотрено уравнение движения тел в неинерциальных СО. Анализируются четыре вида инерционных сил, которые обусловлены ускоренным поступательным движением неинерциальной СО, а также ее вращательным движением.
Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) СО с помощью уравнений Ньютона.
Следует иметь в виду, что силы инерции нельзя ставить в один ряд с фундаменальными силами (гравитационными, электроманитными, ядерными), т.е. с силами, обусловленными воздействием на тело со стороны других тел. Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно считать фиктивными силами.
Введение в рассмотрение сил инерции не является принципиально необходимым. В принципе любое движение можно рассматривать по отношению к инерциальной системе отсчета и никаких инерционных сил в этом случае не возникнет. Однако часто представляет интерес как раз движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета, например, по отношению к земной поверхности. Использование сил инерции дает возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к такой системе отсчета, что часто оказывается значительно проще, чем рассмотрение движения в инерциальной системе.
В работе произведена оценка различных инерционных сил для ряда случаев. Показано, что кориолисовы силы инерции необходимо учитывать особенно при движении тел с большими скоростями (самолетов, снарядов, ракет, космических аппаратов). Даже при движении с малыми скоростями, но в течение больших промежутков времени кориолисовы силы способны вызывать значительные эффекты (например, движение пассатов, вестов, подмыв берегов рек и т.д.) [3, 4]. Оценка инерционного члена, связанного с достаточно быстрым таянием льдов Арктики и Антарктики вследствие возможного природного катаклизма, показывает, что замедление вращения Земли при этом окажется небольшим и само по себе практически не отразится
на поведении тел, находящихся на Земле. Конечно же, последствия такого катаклизма для жизни людей и животных из-за потопов были бы катастрофическими.
Следует иметь в виду, что инерционные силы могут оказаться весьма значительными и на других планетах и звездах, частота вращения которых вокруг своей оси достаточно велика.
Список библиографических ссылок
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Механика. Т. 1,- М.: Наука,
1988.-216 с.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 1. Механика. - М.: Астрель, 2002. - 336 с.
3. Аганов А.В., Сафиуллин Р.К., Скворцов А.И., Таюрский Д.А. Физика вокруг нас.
Качественные задачи по физике. - М.: Дом педагогики, 1998. - 336 с.
4. Уокер Дж. Физический фейерверк. - М.: Мир, 1989. - 304 с.
5. Стюарт И., Линч Дж. Земля: Настоящая жизнь планеты. - М.: Эксмо, 2010. - 240 с.
Safiullin R.K. - doctor of physical-mathematical sciences, professor
E-mail: [email protected]
Kazan State University of Architecture and Engineering
The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya St., 1
Movements and forces in non-inertial frames of reference.
The influence of Koriolis inertial force on the climate of the Earth
Resume
Physicists prefer to deal with the inertial frames of reference (FR). However often it is more convenient to deal with the non-inertial FR. For example, the FR connected with the Earth is not strictly inertial one. That is caused mainly by the rotation of the Earth and its movement around the Sun. The deviations from strict inertiality appear in a number of phenomena such as larger steepness of the river's right-hand banks on the North hemisphere and larger steepness of the river's left hand-side banks - on the Southern hemisphere. Also deviations of falling masses from the vertical, origin of tropic winds as well as side deviations of rockets should be mentioned.
Movement of masses in non-inertial FR may be described such as in inertial FR provided that so called «inertial forces» are introduced. These are: centrifugal and Koriolis ones and the forces caused by irregular rotation and translational acceleration of non-inertial FR.
In the paper various phenomena associated with inertial forces are considered. Estimations for side deviations of rockets, for tropic winds as well as for other phenomena are made. The influence of Koriolis effect on the climate of the Earth is also discussed.
Keywords: inertial, non-inertial frame of reference (FR), centrifugal force, Koriolis
effect.
Reference list
1. Landau L.D., Lifshits E.M. Theoretical Physics. V.l. Mechanics. - M.: Publishers Nauka,
1988.-216p.
2. Savelyev I.V. The Course of General Physics. V.l. Mechanics. - M.: Publishers Astrel,
2002.-336 p.
3. Aganov A.V., Safiullin R.K., Skvortsov A.I., Tayurskii D.A. Physics Here, There and
Everywhere. - M.: Publishers Dom Pedagogiki, 1998. - 336 p.
4. Jearl Walker. The Flying Circus of Physics. - M.: Publishers Mir, 1989. - 298 p.
5. Iain Stewart, John Lynch. Earth. The Power of the Planet. - M.: Publishers Eksmo, 2010.
- 240 p.
