Проявление динамики пространства Евклида в явлении самоорганизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

5. Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

6. Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973.

7. Рубин А.Б. Биофизика. Ч. 1. М.: Высш. шк., 1987.

8. Белоусов Л.В. Биологический морфогенез. М.: Наука, 1987.

9. Меньшиков С.М., Клименко Л.А. Длинные волны в экономике. М.: Междунар. отношения, 1989.

10. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985.

С. Г. Агеев

Проявление динамики пространства Евклида в явлении самоорганизации

В работе [1] путем системного формализма было получено «странное» дифференциальное уравнение вида

[ )-^( ')-$( 'М* ')] = 0, (1)

т

где г), ^ ) - функции, представляющие, с физической точки зрения, соответствен-

но прямые положительные и обратные отрицательные связи. Обоснованно, что уравнение (1) представляет собой весьма специфическую форму уравнения состояния (динамического), в котором отражены свойства сохранения (свойства консерватизма). Функции и ' ) введены в системный формализм как части (доли) энергии-импульса,

определяемой производной ')/Ш'. Время ? ' определяется по ручным часам «ми-

рового наблюдателя», связанного с системой отсчета, которая находится в состоянии равномерного движения. Скорость хода часов считается идеальной, что имеет важное значение, понимание которого прослеживается ниже по тексту. Производная не может принимать нулевое значение, что доказывается в работе [1]. Уравнение (1) можно переписать в виде соотношения

' )-Ц^ ' )-&(^' )м( ' )= 0. (2)

«Странность» дифференциального уравнения (1) состоит в том, что с учетом соотношения (2) решение его определяется одной функцией $(?' ) или же ' ). Выпишем функциональные связи между ними:

й(,)=гЩг (3)

э(г')=гй^(^)( ( (4)

С учетом формального смысла функций $(^) и ц(/ ') областью их определения, в общем случае, является континиум [0 -1] . Из выражений (3)-(4) можно сделать более определенные выводы относительно областей определения. Если принять условие, что динамические свойства системы определяются функцией $(? ' )е [0 -1] , то область оп-

ределения функции ' ) сокращается до [0 -1 / 2]. Если же принять в качестве определяющей функции ')е[0 — 1], то область определения 0(/') становится неопреде-

ленной при ' )^ 1. Относительно функции, характеризующей взаимодействие потоков энергии-массы, представленной в (1) произведением 0(/' )|и(/' ), можно утверждать, что при выборе 0(/')е [0 — 1], областью определения ее будет [0 -1 / 2] . Если же остановиться на другом варианте, то 0/ М* ') е [0 -да]. Возможно проследить и другие свойства в динамике системы, если обратиться к рис. 1,а, б. На рис. 1,а представлен характер изменений функций ц(/' ) и 0(/ ' )|и(/ ') при изменении 0(/ ') от 0 до 1.

05 иИ / 10

0.4 у / 1

0.3 -)—* 6

0.2 / Ж к 5.. -ь^ се 4

0.1 2

о 0.2

0,8 10

Рис. 1 а. Изменение функций ц(1 ') и 0(1 ') ^(1 ') при изменении функции 0(1' ) от 0 до 1

Рис. 1 б. Изменение функций 0(1' ) и 0(1 ' ) ц(1 ' ) при изменении функции ц(1 ' ) от 0 до 1

При рассмотрении рис. 1 а можно убедиться в том, что функции ' ) и 0(' М*') замыкаются при 0(/' )=1. Из характера изменения функций, представленных на рис. 1,б следует, что их замыкания не происходит во всей области определения. Помимо этого замечания также следует, что значения функций 0(/' ) и ' )0(/ ') становятся неограниченно большими при ц(/')^ 1, т.е. потоки энергии-массы в системе неограниченно возрастают. Такого рода характер изменения потоков энергии-массы соответствует противоречию в физическом понимании задачи.

Данное противоречие позволяет говорить о том, что той единственной функцией, которая определяет динамику открытой системы с прямой положительной и обратной отрицательной связью, является функция 0(/') е [0 -1] . С учетом сделанного вывода уравнение (1) перепишется в виде

&'

а соотношение (2) - в форме

&¥(?)Г0(,-)- 0(/') - 0’- (/ ')

1 + 0(') 1 + 0(/').

0, (5)

а(.Л 0М 02 (/') 0 ю

0()-Г+э(?Г0 <6)

При формулировании последнего вывода осознанно опущено свойство необратимости такого рода систем. Этот вопрос, абсолютно понятный с точки зрения теоретических представлений неравновесной термодинамики [2], на самом деле таковым не является и будет детально обсуждаться в последующей публикации.

Совершенно справедлива постановка следующего вопроса: каким образом трансформируются представления о динамике системы, если обратиться к области определения функции $(ґ')є [0 — (— і)]? Ответ на данный вопрос связан с изменением соответствующим образом знаков в уравнении (5). С физической же точки зрения, такого рода процедура приводит к замене прямой положительной связи на прямую отрицательную, а обратной отрицательной связи - на обратную положительную. Выполнив эту процедуру в уравнении (5), запишем

= 0. (7)

') »('') — а(,-)— »2('')

сИ' ^ 1 - 0(/ ') 4 ' 1 - 0(/ ')

Вариант подобного типа динамического уравнения выше уже рассматривался применительно к рис. 1 б. Он приводит к непреодолимым трудностям в обосновании того факта, что значения потоков энергии-массы в системе неограниченно возрастают при стремлении 0(/')^ 1. Отсюда следует принципиальной важности вывод: по причине нелинейных свойств динамики открытых систем их эволюция протекает в единственном направлении - в направлении положительного роста динамической функции 0(/ ' ). Необходимо отметить, что сам по себе факт необратимости процессов эволюции открытых самоорганизующихся систем не является новым. Достаточно обратиться к работам [3; 4]. Однако доказательный вариант такого рода может быть отнесен к числу оригинальных. Другими словами, использование оператора инверсии в задачах открытых, самоорганизующихся систем относится к запрещенному действию. Автор позволяет сделать более сильное утверждение: любого рода линейное приближение в задачах эволюции открытых систем неизбежно приведет к серьезным ошибкам.

Выполним обоснование той «странности» в названии уравнения (1), которая присутствует в тексте. Соотношение (2) представимо в виде трех нелинейных дифференциальных уравнений:

Сх 1 + у + г Су

- (8)

(9)

С/ х + у С/

ССг х + у Шх

= ----------~Г. (10)

т 1 + у + г т

Здесь х = 0(/ ' ), у = ' ), г = 0(^ )ц(/ ' ), / ' = /. Функции х, у, г введены с це-

лью упрощения записи уравнений (8)—(10). Поставим в качестве задачи выяснить физическую сущность определяющей функции х = х(/). Из уравнения (8) следует

= 1 - х +у , (11)

С 1 + у + г

а из уравнения (10) имеем

х + у

= 1 + + • (12)

СХ 1 + у + г

Подставим в уравнение (11) вместо отношения (х + у) / (1 + у + г) его значение, определенное в уравнении (12). Тогда имеем

+ * = 1. (13)

Сх Сх

Уравнение (13) справедливо и в такой форме записи:

Су Сг Сх

— + — = —. (14)

Сх Сх Сх

Аналогичное уравнение может быть получено при дифференцировании по времени соотношения (2):

Сх Су Сг

— = — + —. (15)

Сх Сх Сх

Прямое сравнение уравнений (14) и (15) диктует записать х(х)= Х = Х ', или же 0(х') = Х'. Полученный результат невозможно воспринимать как «странность», казуистику. Функция 0(х '), физическое содержание которой связано с потоком энергии-

массы, не может отождествляться с параметром / , выполняющим роль системы отсчета. Однако появившаяся «странность» подсказывает, что существует внутренняя функция 0(Х') , линейно зависящая от / , которая в задачах самоорганизации играет двойственную роль — параметра и аргумента. Более того, являясь по условиям задачи прямой положительной связью, обеспечивая равномерный поток энергии-массы на входе в динамическую часть системы на протяжении всей ее жизни, она выполняет роль функции управления.

Изложенное выше позволяет констатировать и следующее: производная

С^(х ')/СХ' в уравнении (5), выполняющая роль энергии-импульса, должна быть только константой. Другой вариант (вариант переменной) приводит к условию, что поток энергии-массы на входе в динамическую часть системы не будет равномерным.

Выясним физическое содержание функции 0(х' ). Руководствуясь общими теоретическими представлениями, можно говорить о том, что эта функция относится к классу фундаментальных (суперфундаментальных), поскольку она в единственном числе определяет динамические свойства самоорганизующейся системы. Справедливо поставить вопрос: какую функцию из области естествознания мы можем отнести к классу супер-фундаментальных? Не прибегая к умозаключениям, используем в установлении физического смысла функции 0(/ ) уравнение (5).

Представим производную С^(х')/ СХ' как

=Н(), (16)

СХ

где н () — поток энергии-массы на входе в систему. Тогда первый член уравнения (5) примет вид

0(/ , )С№(0 = 0(/, )Н^(/ '). (17)

Сх '

Обратимся к известным фактам современного естествознания. Современной науке не известны факты относительно самоорганизующихся систем, которые, однажды возникнув, существовали бы вечно. Данному утверждению придадим более мягкую форму, исключив из него область космологии. Следовательно, для такого сорта систем возможно определить их реальное время жизни Х' * по часам «мирового наблюдателя».

Введем в рассмотрение другие часы, ход которых свяжем с наблюдаемой системой. Тогда длительность жизни Х* возможно определить по показанию этих часов. В таком варианте измерений времена Х' * и Х * будут различимы.

Отнесем длительность жизни Х * к понятию внутреннего времени. Понятие внутреннего времени введено И.Р. Пригожиным в работе [3]. В общем случае, эти две длительности Х'* и Х* могут иметь различное значение. Различие в измерении длительности жизни по разным часам определяется скоростью хода этих часов. В специальной теории относительности [5; 6] доказывается, что отличие в скорости хода часов в двух инерци-альных системах отсчета приводит к релятивистскому эффекту — лоренцеву сокращению времени. Исключение релятивистского эффекта в рассматриваемой задаче сводится к идеальной синхронизации скоростей хода обоих часов. В этой связи вопрос идеальной синхронизации скорости хода часов «мирового наблюдателя» и часов, связанных с наблюдаемой системой, имеет принципиальное значение. Это условие означает, что само*

организующаяся система как целая частица на протяжении всей длительности жизни Х движется равномерно. Принятие выше оговоренных условий позволяет считать относительную скорость движения двух инерциальных систем равной нулю. Тогда вправе записать Х * = Х' * и в дальнейшем не использовать формулу лоренцева преобразования.

Приведем в соотношении (17) время Х' к безразмерному виду и запишем

0(/ , )С^(Х0 = Нт(/, )0(/ ' )х *, (18)

Ст

где т = Х' / Х *.

Поскольку в правой части (18) произведение 0(/')х* в формальном смысле есть произведение доли на длительности жизни, то вправе записать

0(/ ' )х * = А/, (19)

где Ах — доля от внутренней длительности жизни. Если принять, что А/ = Х — Х 0, где Х — время, измеряемое по часам, связанным с системой, и положить, что Х 0 = 0, то имеем А/ = Х . Необходимо отметить, что, несмотря на условие синхронизации скоростей хода обоих часов, времена Х' и Х различимы по физическому смыслу. С учетом изложенного выше соотношение (18) перепишется как

= Я(Х-). (20)

Х С/'

Соотнося уравнение (20) к уравнению (16), имеем

—(—) = 1, или же 0(/')= 0(/)= — = т . (21)

Очевидно, что функция т е [0 — 1] . Очевидно и другое, что внутреннее безразмерное время т является инвариантом для класса открытых систем с прямыми положительными и обратными отрицательными связями. Этот вывод более чем неожиданный.

С ним связано многое в понимании проблемы самоорганизации и построении соответствующей теории. Скорость хода часов, связанных с наблюдаемой системой, определяется как

^ С/ Ст г

с-=С?=Ст = . (22)

Из (22) следует

Х = С0Х', т = С0т'. (23)

В соотношениях (23) время Х , т играет привычную для нас роль параметра, которая отведена ему в таких разделах науки, как, например, классическая физика, квантовая механика, волновая механика, химическая кинетика и других. Внутреннему времени Х отводится более глубокая физическая сущность. Выше по тексту уже отмечалось, что безразмерное время т может выполнять роль аргумента. В этом несложно убедиться, если определять безразмерную длительность жизненного пути как I = С0 т' = т, т.е. временная длительность жизни и геометрическая длительность жизненного пути становятся идентичными понятиями. Данное утверждение не обладает никакой новизной, если соотнести его с релятивистскими представлениями.

В другой трактовке следует говорить о том, что функции внутреннего времени т(т' ) можно поставить в соответствие скалярные и векторные свойства.

Принимая изложенное выше, уравнению (5) можем придать двойную форму записи:

С^(т)

2

тт

т —

у 1 + т 1 + т у

ё^(т)

Ст

С -----------------' ---------”\

= 0, (24)

ёт'

т------------т :-------

у 1 + т 1 + ту

= 0. (25)

В уравнении (25) в третьем члене поставлена разделительная черта, которая свидетельствует о незнании точной формы представления произведения двух векторных функций. Очевидным является одно обстоятельство, что уравнение (24) получено из системного формализма, в котором энергия-масса обладает только скалярными свойствами. К записи уравнения (25) привела дополнительная схема доводов. Чтобы не исключать из рассмотрения ни одного из выше приведенных уравнений, требуется придать им эквивалентное содержание, отраженное также в эквивалентной форме записи. Определенность в записи третьего члена возможно установить постановкой на месте разделительной черты знака скалярного или векторного произведения. Знак скалярного произведения не может быть поставлен по следующей причине. Функции 0(/' ) и ц(/ ') имеют различный физический смысл, тем самым они не могут быть линейно зависимыми. Условие линейной независимости позволяет говорить об ортогональности векторов, отражающих геометрические свойства этих функций. Скалярное же произведение функций, представленных ортогональными векторами, равно нулю. Следовательно, единственный вариант заключается в постановке знака векторного произведения. Постановка этого знака еще не решает всей существующей проблемы. Необходимо доказать, что в этом варианте записи динамические свойства уравнений (24) и (25) будут эквивалентными. Неэквивалентность динамических свойств может обнаружиться при вычислении производных первого порядка и выше от функций, представляющих третьи

Т

Т

члены уравнений, при построении теории. Путем непосредственных вычислений несложно доказать, что значения этих производных будут эквивалентными при знаке векторного произведения. Принимая во внимание вышеизложенное, уравнение (25) перепишем в виде

с№( т; ( ' Л

С т

т — -

1 + т

— тх

1 + т

0,

или в другой форме при декартовой системе координат:

Со

С^(т')

Ст'

Г 2 \

1 + т' 1 + т'

0

(26)

(26 а)

Запись уравнения (26) и (26 а) свидетельствует о том, что динамические свойства системы могут быть отражены в динамике трехмерного пространства. Этот вывод возможно было сделать и ранее по тексту, если обратиться к анализу системы уравнений (8)—(10). Действительно, уравнения (8)—(10) представим как

Су Г( \ г( \ 1 — X + 2

— = Л (х,У,г^ где /1 (х,у,2) = —

Сх

сЪ

1 + у + 2

х + у

= /2(^2), где /2((^ 2) = ау 1 — х + 2

% = /3 ( У, 2) , где / {х,у,2) = 1 ++ у

Сх 1 + у + 2

(27)

(28) (29)

В левых частях уравнений (27)-(29) записаны члены, являющиеся, с геометрической точки зрения, векторами на касательных, проведенных к интегральным кривым в фазовых плоскостях трехмерного пространства с координатами Декарта х(т), у(т),

2 (т).

Поставим задачу установления вида этого пространства. Предварительно условимся о следующем: ниже по тексту не будем различать времена т и т ' по причине чисто формальных преобразований, не затрагивающих сущность физических явлений. Пере-обозначим ранее введенные функции х(^), у('), 2^') относительно безразмерного времени т и запишем х = х(т), у = у(т), 2 = 2 (т). С учетом вновь принятых обозначений соотношение (15) примет вид

Сх Ст

Возведем в квадрат левую и правую части соотношения (30). Тогда вправе записать

Су й2

— +------

Ст Ст

(30)

Ст

умі/

Су

V Ст

С2 V Ст у

2

Сх С2 Ст Ст

Представим уравнение (30) в другом виде:

Сх Су Сг

Ст Ст Ст

Возведем в квадрат левую часть уравнения (32). Тогда имеем

= 0.

(31)

I

I

т

Сх 2 2 2

Ст

+

Су

V Ст у

+

С2 V Ст у

^Сх Су ^Сх С2 ^Су С2 2---— + 2---2——.

Ст Ст Ст Ст Ст Ст

Выполнив процедуру сложения левых и правых частей уравнений (31) и (33), получим

ґ Схл V Ст у

+

( Су Л

V Ст у

+

ґ С2Л V Ст у

+

ґ Схл V Ст у

( Су Л

V Ст у

ґ С2Л V Ст у

2 Сх Ст

Су С2 — + — Ст Сту3

2

V Ст у

(34)

Запишем член левой части уравнения (34), стоящий в первых квадратных скобках, в виде

СБ’0 Ст

V Ст у

+

Су

V Ст у

+

С2 V Ст у

(35)

где СБ '0 - элемент длины интегральной кривой трехмерного, вещественного евклидового пространства. Уравнение (35) - дифференциальное уравнение этой кривой. Квадратичная форма записи уравнения (35) имеет вид

СБ0 = д.С£С£1,

(36)

Г0

где метрический тензор д. . представим как

1 0 0 0 1 0 001

Член левой части уравнения (34), стоящий во вторых квадратных скобках, запишем в форме

СБ* Ст

V Ст у

Су

V Ст у

С2

V Ст у

(37)

где СБ' * - элемент длины интегральной кривой трехмерного псевдоевклидового пространства с индексом К=2. Уравнение (37) - дифференциальное уравнение этой кривой. Квадратичная форма записи для него:

.12

(38)

СБ * = д. С£ С£1,

где метрический тензор д'* имеет форму

д. =

100

0 — 1 0

0 0 — 1

Представим правую часть уравнения (34) как

dS1 dx

2

dx

dx

dy dz

---------1--------

dx dx

у

V2

dx

dx

(39)

S 2 dS Со 0 2 f dS ' ^ 2

= +

dT J v dx , v dx y

где dSf - элемент длины прямой одномерного пространства, имеющего одну степень свободы, поскольку dx/ dx = 1 .

Квадратичная форма записи уравнения (38) представима в форме

dS' = S' d£/ d£,1, (40)

где метрический тензор q' запишем в виде

2 0 0 S = 0 0 0 000

Принимая во внимание форму записи уравнений (35), (37), (39), вправе записать

(41)

(42)

[у -„ • (43)

Изложенное выше доказательство геометрических (евклидовых) свойств пространства можно рассматривать и как доказательство теоремы об эквивалентности уравнений (24), (26) и (41). Данное утверждение четко прослеживается из уравнения (34).

Резюмируя изложенное выше, появляются основания говорить о том, что динамика открытой, неравновесной системы с прямыми положительными и обратными отрицательными связями находит отражение в динамике геометрии трехмерного (обычного) евклидового пространства с декартовыми координатами x,y,z (Sign: + + +), трехмерного псевдоевклидового с индексом К=2 пространства с декартовыми координатами x, iy, iz (Sign: + —), а также одномерного конфигурационного (использована терминология квантовой механики [7] пространства (Sign: +)).

а также

S.o / 2 / 2

dS'2 = dS0 + dS * .

Или же

S' = + q''

Список литературы

1. Агеев С.Г. Динамический анализ открытых систем с прямыми положительными и обратными отрицательными связями // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. 12. Экология и природопользование. 2005. №1.

2. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1964.

3. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1985.

4. Николис Г., Пригожин И. Познание и сложность. М.: Мир, 1990.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1968.

6. Тейлор Э., Уиллер Дж. Физика пространства-времени. М.: Мир, 1971.

7. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1973.