Геометрические и физические свойства пространств в явлении самоорганизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. Г. Агеев

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ В ЯВЛЕНИИ САМООРГАНИЗАЦИИ

В работе автором приведена доказательная основа аналогового отражения системного формализма динамики открытых систем с прямыми положительными и обратными отрицательными связями в геометрический формализм трёхмерного, вещественного, евклидового пространства; трёхмерного, псевдоевклидового пространства с индексом к = 2, а также вещественного (конфигурационного) пространства с одной степенью свободы [1; 2].

Поскольку, ниже по тексту, появляется необходимость в выполнении вычислительных процедур, преобразовательных действий по отношению к координатам каждого в отдельности из вышеперечисленных пространств, целесообразно ввести их условное обозначение, исключив тем самым многократное повторение в текстовой записи. Условимся в дальнейшем называть вещественное, трёхмерное, евклидово пространство как Ь3+; трёхмерное, псевдоевклидово пространство с индексом к = 2 как Ь3- ; одномерное пространство как Ь1.

Динамические свойства этих пространств находят отражение в дифференциальном соотношении вида [2]

ёт

ёт

ёт

= 0.

(1)

Функция £' (г), геометрическое понимание которой сводится к длине радиус-вектора пространства Ь1, определяется выражением

£ ' (т) = СоН' т (2)

Функция £0(т) определяет длину интегральной кривой (мировой линии) пространства Ь3+ и вычисляется из выражения

£

0/

I

(т) = }

(3)

12 +( ё/ 12 +Г ^ 12 ёт. ёт ) ^ ёт ) ^ ёт )

Функция £ * (т) определяет длину интегральной кривой (мировой линии) пространства Ь3- и вычисляется с использованием формулы

т

£ "(г) = 1,1 0 1

Выше по тексту: Со =

( ёх ° уу 1 Г & у2

1ёт ^ ёт) ^ ёт)

ёх ёт ’ Н' = л/2; х(т) =

ёт.

(4)

у' (т) = Со

1 + т

2' (т) = Со

1 + т

т = —; t — текущее время, измеряемое по ручным часам; t — вре-

менная длительность жизни системы.

Время т в уравнении (1), (3) выполняет двойственную роль: параметра и аргумента, а также трактуется как внутреннее время (понятие внутреннее время впервые введено И. Р. Пригожиным [9]). Проявление свойств аргумента внутреннего времени т отражается в уравнениях и формулах присутствием скорости хода часов Со.

2

г

2

Т

Выполнив непосредственное вычисление функций S'(т), S0 (т), S* (г), запишем

S '(т) = Сол/2т, (5)

і

s0 (т) = Со421

о

т

S *\т) = Со42|

1 -«ЩС1г (1 + т)

т(2 + т)

(1 + т)4

Непосредственно из формулы (5), (6), (7) следует

~ '(т)

■сіт.

т =

*

т =

Со42’

Сол/2 , S *7 (т) Со42,

где

т0 =

*

т =

I

IСт

т

IСт.

1 -

т(2 + т) (1 + т)4

т(2 + т)

(1 + т)4

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

(11)

(12)

В выражениях (8), (11), (12) т, т0, т* — собственное время, показываемое часами, движущимися совместно с изображающими точками по мировым линиям пространств Ь3+, Ь3~, Ь1.

Введем обозначение:

д/г(2 + т)

V (т) = Со-

(13)

(1 + т)2 ’

где V (т) имеет смысл скорости изображающей точки, движущейся по мировой линии пространства Ь3-. Тогда формулы (11) и (12) можно прописать в виде

т0 =

*

т=

і

I

т

I

1 -

V

*2

Со2

V

*2

Со2

(14)

(15)

Формулой (14) представлен примечательный результат: она аналогична по своей записи формуле, которая выводится при формулировании принципа относительности А. Энштейна при определении собственного времени движущегося объекта относительно инерциальной системы отсчёта [8].

Выпишем эту формулу:

(16)

где V — скорость движущихся часов, связанных с объектом; С — скорость света.

Сравнивая формулы (14) и (16) убеждаемся, что с точки зрения формальной записи они идентичны. Однако в них отражено глубокое физическое различие. В тоже время, формальная идентичность в записи формулы (14) и (16) подсказывает, что общее решение задачи эволюции открытой, самоорганизующейся системы с положительными и отрицательными связями необходимо связывать с теорией поля, в том числе и с общей теорией относительности [4].

С учётом выражений (14), (15) функции £0 (т), £* (т) вычисляются по зависимостям аналогичным (5):

£о/ (т) = СоН 'т\ (17)

£*'{т) = СоН'т*. (18)

В выражениях (5), (17), (18) присутствует одна и та же константа Н' = л/2 . Заранее отметим, что эта константа имеет ключевое физическое содержание в понимании явления самоорганизации и она не может быть равной л/2 . Точное её

значение определено ниже по тексту.

Принимая во внимание уравнение (1), а также выражения (5), (17), (18), можем записать:

( ёту ( ёт ^ ёт)

Или же

Л2 ( ^0 у2 (ё* у2

= 0 . (19)

У ёт )

ёт

ё2г - ё V - ё V = 0 . (20)

Из (20) не следует, что

~2 =т°2 +т*2 . (21)

Напротив, выполнив соответствующие вычисления, несложно убедиться

т2 *т°2 +т*2. (22)

При вычислении времени ~ по формуле (21) появляется ошибка второго порядка малости. Этот, на первый взгляд, не столь важный факт приобретает принципиальное значение в проблеме измерений (вычислений). Появившаяся в теоретическом плане ситуация аналогична той, которая возникла около 100 лет назад при создании квантовомеханической теории и, которая была “успешно” разрешена путём введения в теорию принципа дополнительности Гейзенберга.

Возникшее противоречие в измерении времени, показываемого часами, является кажущимся. Оно свидетельствует только об одном, что координаты пространств Ь3+, Ь3. являются криволинейными и при сложении их квадратичным образом допускается ошибка. Выполним предварительный анализ, позволяющий установить качественные свойства динамики пространств Ь1, Ь3+, Ь3_. Для достижения этой цели вычислим радиус векторы каждого пространства в отдельности, используя соответствующие формулы геометрии пространств с декартовыми координатами:

Я\т) = Н'х'(т), (23)

Я,0(т) = у]х'2 (т) + у'2 (т) + 2'2 (т) , (24)

Я'*(т) = л/х'2(т) - У'2(т) - 2'2(т), (25)

где Я'(т) — длина радиус-вектора пространства Ь1; Я'0 (т) - Ь3+; Я'*(т) - Ь3-.

Радиус-вектор пространства Ь1 линейным образом зависит от т, а его длина вычисляется как

Я'(т) = СоНт . (26)

Сравнивая зависимости (5) и (26) убеждаемся, что

~'(т) = Я ' (т). (27)

Результат, представленный (27), очевиден. Другого варианта для одномерного пространства с геометрией Евклида не существует. Радиус-вектор пространства Ь3+ нелинейным образом зависит от т его длина вычисляется с использованием выражения

+ т + т2

Я' (т) = СоН 'т------ ——. (28)

(1 + т)

Путём непосредственных вычислений с использованием соотношений (6) и (28) нетрудно убедиться, что £,0(т) > Я'0(т) во всей области изменения значений т. Записанное соотношение между £ ,0(т) и Я ,0(т) (длины интегральной кривой и длины радиус-вектора вещественного, трёхмерного, евклидового пространства с криволинейными координатами) естественно [10].

При вычислении длины радиус-вектора пространства Ь3- необходимо использовать формулу

К ’(!■) = СоН т-Р- (29)

(1 + т)

Выполнив вычисление £'*(т) и Я'*(т) с использованием формул (7) и (29), можем констатировать, что £ ?*(т)< Я' *(т) во всей области изменения значений т. Полученное соотношение между £'*(т) и Я'*(т) (длины интегральной кривой и длины радиус-вектора трёхмерного, псевдо-евклидового пространства) также естественно [10].

Из выражений (28) и (29) следует

Я'2(т) = Я'°2 (т) + Я'*2 (т) . (30)

Результат, представленный формулой (30) можно отнести к разряду заслуживающего внимания. Он свидетельствует о том, что радиус-векторы двух пространств Ь3+ и Ь3-, будучи связанные с т нелинейным образом, остаются ортогональными на всём интервале времени эволюции самоорганизованной системы и, сложенные квадратичным образом, образуют линейный вектор. Рост радиус-векторов пространств Ь1, Ь3+, Ь3- определяется только их собственным временем, вычисляемым как

т = т, (31)

V1 + т + т

т0 =т ------------------------------------, (32)

1 + т

т* = т^—. (33)

1 + т

Для соотношений (31), (32), (33) выполняется условие

~2 = т0 +т*2 (34)

Определим, используя формулы (31), (32), (33), скорости хода часов, связанных с движением радиус-векторов пространств Ь1, Ь3+, Ь3-, и запишем:

:т=1 • (35>

ат

йт = (2+г)(1+т+2г2) йт 2(1+г)^1+т+т2 , йт* = 4т (3 + т) йт 2(1 + т)2

Из выражений (35), (36), (37) нетрудно убедиться в том, что

V ат „

Или же

ат і (ат0 і (ат*

01 +

ат

(36)

(37)

(38)

'О

Формулу (38) можно записать в явном виде:

ёт2 ф ат + ат . (39)

V ат

(1 -т)2

■“■“і = 1 + а' 2(т) , (40)

где а'2(т) = т— 2 2 .

4(1 + т) (1 + т + т )

При вычислении ~ необходимо использовать зависимость

т = | 1 +---------т(1——-----—йт. (41)

}\ 4(1 + т) (1 + т + т )

Сравнивая формулы (31) и (41), убеждаемся: соотношение (41) при вычислении ~ приводит к ошибочному результату. Однако, зависимость (41) позволяет утверждать и другое: часы, связанные с движением изображающих точек по радиусам-векторам Я0(т) и Я*(т) идут не точно. Вопрос появления случайных ошибок в показаниях часов, связанных с радиус-векторами Я 0(т) и Я *(т) обстоятельно рассматривается в отдельной публикации.

Изложенное выше позволяет констатировать: в вычислении (измерении) интегральных кривых (мировых линий) пространств Ь3+ и Ь3-, радиус-векторов пространств Ь3+ и Ь3-, а также скоростей их изменения, возникает проблемная ситуация.

Сущность проблемной ситуации заключается в том, какое представление — координатное или импульсное используется в вычислении (измерении). При вычислении (измерении) траекторий в пространствах Ь3+, Ь3- имеем право воспользоваться только импульсным представлением пространств с криволинейными координатами. При вычислении (измерении) длин радиус-векторов пространств Ь3+, Ь3- имеем право воспользоваться только координатным представлением пространств. Не лишнее отметить, что траектории (мировые линии) пространств Ь3+, Ь3- с геометрической точки зрения являются годографами радиус-векторов. Представим формулы (28), (29) в ином виде:

*“(т) = Тг т

3 + (1 г)2 , (42)

(1 + т)2 ' '

2

.•2 (1 - Т)2

где 7 = л1- 1 .

Вкладывая в выражения (42), (43) физическое содержание, приходим к удивительному выводу. При чтении (42) обнаруживается, что на радиус-вектор трёхмерного, вещественного пространства с центральной симметрией (однородного, изотропного) и вычисляемого как

о, ч Со>/3

Я ( т) = т . (44)

с координатами Декарта Сот/>/2 , Сот/-\/2 , Сот/л/2 накладывается поперечная волна (точнее полуволна) представленная функцией

3 0(т) = по т г1 <45>

V 2 1 + т

При чтении (43) следует аналогичный вывод с некоторым отличием: на радиус-вектор трёхмерного, псевдоевклидового пространства с индексом к = 2 (однородного, изотропного), определяемого в виде

Т-» * / \ Со

я (т) = -^2 т . (46)

с координатами Со т /->/2, г Со т /-\/2 ,гСо т /->/2 накладывается мнимая полуволна, представленная функцией

г* л ч • Со 1 — т ,

3 (т) = 1~тт 1

л/ 2 1 + т

Запись формул (42), (43) позволяет говорить о том, что динамику пространства Ь1, т. е. перехода системы от момента её зарождения к моменту её естественной гибели, возможно трактовать двойственным образом: как движение (рост) трёхмерной частицы (наблюдаемой индивидуальности) и как плоской волны.

Свойство дуальности в современном естествознании в достаточной степени изучено применительно к частицам микромира [7; 5].

Проявление волновых свойств самоорганизующихся объектов макромира предсказано в работах [9; 12; 11].

Выпишем из выражений (45), (47) функции:

1 — т

I 0( т ) = —^, (48)

1 + т

I » = г (49)

1+

Областью их определения является континиум [1-0]. Значения этих функций равно нулю при т=1, т. е. в момент гибели самоорганизованной частицы и равно единице при т=0, т. е. в момент зарождения частицы. Первые производные функций 10(т) и I (т) отрицательны на всей области их определения; при пересечении координатной оси т в точках 0 и 1, они изменяют знак на обратный. Следовательно, имеются все основания отнести их к функциям Ляпунова [3]. Необходимо отметить, что функция Ляпунова вида (48) введена в теоретические построения эво-

люции самоорганизующихся систем И. Р. Пригожиным [9].

Волновые функции:

J0(т) = т-—, J*(г) = тХ т

(50)

- + т - + т

следует читать как произведение собственного числа т на собственные функции соответствующих пространств. Это утверждение доказывается теоремой, например, в [6]. Характер изменения функций У°(т) и /'(т) во времени представлены на

рисунке (а, б).

о

*-ч

б)

Изменение функций а) ^(т) и б) 1°(т) во времени

Естественно сформулировать вопрос: возможно ли использование аппарата квантовой механики при построении теории самоорганизующихся систем, механизм существования которых обусловлен действием прямых положительных и обратных отрицательных связей? С формальной точки зрения никаких препятствий при достижении определённых целей не должно возникнуть. Автором получено доказательство, что уравнение (-) является специфичной (аналоговой) формой уравнения Гамильтона-Якоби (уравнения сохранения количества движения). Уравнение Э. Шредингера представляет собой ничто иное, как уравнение сохранения количества движения, записанного в операторной форме. И всё же, при рассмотрении выражений (42), (43) обратим внимание на принципиальной важности факт: квадрат модуля волновой функции невозможно трактовать как плотность вероятности, что принято в квантовомеханической теории. В подкоренном выражении (42) складываются квадраты двух функций, одна из которых у[3т имеет геометрический смысл радиус-вектора трёхмерного, вещественного пространства, следовательно, другая функция должна иметь тот же геометрический смысл, но уже другого пространства. Однако в геометрический смысл необходимо вложить физическое содержание в виде энергии — массы. По этой причине сложение физической величины с вероятностью не представляется возможным. Совершенно аналогичная ситуация прослеживается и при анализе выражения (43).

Формулы (42), (43) возможно трактовать следующим образом: радиус-

векторы Я'(т) и Я* (г)

двух пространств складываются квадратичным образом с функциями, отражающими случайные значения энергии — массы. Следовательно, случайность является внутренним свойством самоорганизующихся систем. Однако все возникающие внутрисистемные ошибки самокомпенсируются. Случайность является непременным условием жизненного существования самоорга-низованной системы.

Необходимо обратить внимание и на другой неоспоримый факт: радиус-векторы пространств Ь3+, Ь3- нелинейным образом зависят от параметра-

аргумента т. Использование же в теоретических построениях линейных операторов, в том числе и эрмитовых, может привести к теоретическим ошибкам, а если высказаться более определённо — невозможно применительно к такого рода моделям применить линейное приближение, поскольку оно приводит к тривиальному результату: пространства теряют свойства внутренней ассиметрии. Система в линейном представлении (с линейными координатами пространств) не имеет возможности зарождения и теряет свойства внутренней самоорганизации. Одна из возможных ошибок связана с явлением необратимости. Из выражений (42), (43) чётко прослеживается, что применение оператора инверсии к параметру — аргументу т приводит к физическому противоречию, которое обстоятельно обсуждалось в работе [2]. Однако проявление свойств дуальности во внутренней структуре эволюционизирующих пространств должно найти отражение и в физических представлениях, развитых в квантовомеханической теории. Другими словами: в предлагаемой теории должны присутствовать основополагающие элементы квантовой механики: как внутренний момент количества движения — СПИН, а так же должно быть представлено объяснение причины появления неопределённости в вычислении (измерении) траекторий в пространствах или их радиус-векторов, а так же скоростей их изменения.

Более того, из вышеизложенного естественным образом следует вывод, что предлагаемая теория должна объединить гамильтонову механику, квантовую механику, общую теорию относительности, теорию динамических систем.

Выше по тексту отмечено, что константа Н' не может быть равна л/2 . Доказательство этого утверждения можно обнаружить в выражениях (44), (46). В выражении (44) линейная функция Сол/Эг сокращена на л/2 . В соотношении (46) линейная функция Сот также сокращена на это же число. Такого рода сокращения невозможно в теоретическом представлении, поскольку нарушается условие идеальной синхронизации скорости хода внутренних часов и скорости хода часов, связанных с движением “мирового наблюдателя” на мировой линии одномерного пространства (от точки зарождения к точке естественной гибели). Данный вопрос (идеальной синхронизации хода часов) подробно обсуждается в работе [2]. Совершенно закономерен вопрос: возможно ли естественным образом выполнить процедуру координатных преобразований пространств Ьь Ь3+, Ь3-, позволяющих исключить сокращение длительности времени (пути)? В качестве ответа утверждается: при переходе к другой системе пространственных координат, вычисляемых по правилам геометрии [-0], сохраняются все выше записанные функциональные зависимости помноженные на л/2 .

Необходимо отметить, что в результате выполнения процедуры координатных преобразований метрический тензор пространства Ь3+ сохраняет свой прежний вид

- 0 0

4° = 0 - 0 при г = ] . (5-)

0 0 -

Псевдоевклидово трёхмерное пространство с индексом к = 2 трансформируется в псевдоевклидово трёхмерное пространство с индексом к = 1, а его метриче-

ский тензор определяется как

*

Чі =

1 0 0

0 -1 0 при і = і

0 0 1

Метрический тензор одномерного пространства может быть определён с использованием соотношения

~ = Я0 + Я* • (53)

Выпишем выражения, определяющие координаты этих пространств. Для трёхмерного, вещественного пространства криволинейные координаты определяются следующими выражениями:

Т

Б'.

(т) = {■

0

йх

йт

йу

йт

йт

(54)

б°(т) --^нйт)! -(йт)2 - т.

Для трёхмерного, псевдоевклидового пространства с индексом к = 1 криволинейные координаты вычисляются из выражений:

т Бх'(г) -А 0 1 ( йх I | йт ]

т Бут) -/і, 0 ( йу і йт

т Б*(т) 0 1 ( йх ) | йт ]

йу

Тт.

+ І — I йт. | йт ]

(55)

' (—)2йт-

| йт ]

Для одномерного (конфигурационного) пространства:

Б(т) - СоНт, где Н - 2. (56)

Выражение метрического тензора (51) и координат пространства Ь3+ (54) позволяют записать

( йБ 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( йБ 0 ) 2 (

йт

йБ

йт

+

Яу

йт

+

йБ

0 V

йт

] ^ ] і ^ а метрического тензора (52) и координат пространства Ь3- (55)

( йБ *)2 ( йБх * )2 ( йБ

х 1 +

йт

*Л2 ґ ,сі *Л2

у

йт

+

йБ±_

йт

(57)

(58)

С учетом формул (57), (58) исходное уравнение количества движения (1) переписывается в виде:

( йБ Л 2 йБ о 2 І йБ *)

{ йт] у йт ] у йт ]

- 0-

(59)

2

2

2

2

2

Путём непосредственных вычислений несложно доказать, что дифференциальное уравнение интегральной кривой трёхмерного, вещественного, евклидового пространства записывается как

dS0

= CoH

1 -тТЩ, (60)

(1+ Т)4

dт \

а дифференциальное уравнение интегральной кривой трехмерного, псевдоевкли-дового пространства с индексом к = 1

dS *

Т(2+Т) (61)

dт \ (1 + т)4

Из изложенного выше следует весьма примечательный для нелинейной геометрии факт: векторы скоростей, построенные на интегральных кривых пространств L3+, L3-, при сходственных значениях параметра, всегда ортогональны и сложенные по правилам евклидовой геометрии образуют линейный вектор, который по своей физической сущности представляет собой скорость движения материальной точки от момента зарождения к моменту своей естественной гибели. Изложенные геометрические выводы, с точки зрения автора, являются принципиально важными в подтверждении принципа наименьшего действия Монпертьюи в проблеме эволюционного направления.

Следует также отметить, что скорость хода внутренних часов Со играет в излагаемой теории такую же роль, как скорость света в релятивистской механики, а H = 2 является функцией Гамильтона-Лагранжа и выполняет такую же роль, как постоянная Планка Й в квантовой механике.

Список литературы

1. Агеев С. Г. Динамический анализ открытых систем с прямыми положительными и обратными отрицательными связями / С. Г. Агеев. // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Экология. Природопользование. 2005. № 1. С. 92-101.

2. Агеев С. Г. Проявление динамики пространства Евклида в явлении самоорганизации / С. Г. Агеев // Вестник Челяб. гос. ун-та. Экология. Природопользование. 2005. № 1. С. 101-109.

3. Белоусов Л. В. Биологический морфогенез / Л. В. Белоусов. М. : Высш. шк., 1987. 391 с.

4. Бергман П. Г. Введение в теорию относительности / П. Г. Бергман. М. : Изд-во иностр. лит-ры., 1947. 380 с.

5. Давыдов А. С. Квантовая механика. / А. С. Давыдов. М. : Наука, 1973. 538 с.

6. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М. : Наука, 1967. 472 с.

7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф-шиц. М. : Наука, 1968. 417 с.

8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1968. 509 с.

9. Пригожин И. Р. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках / И. Р. Пригожин. М. : Наука, 1985. 322 с.

10. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашев-ский. М. : Наука, 1964. 664 с.

11. Тарасов Л. В. Основы квантовой механики / Л. В. Тарасов. М. : Высш. шк., 1978. 286 с.

12. Хакен Г. Синергетика / Г. Хакен. М. : Мир, 1980. 288 с.