CC BY
30
ФИЗИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 1. С. 99-112. УДК 530.1
О ДИНАМИКЕ РЕЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ: НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
А. Г. ^Килкин
Институт астрономии РАН, Москва, Россия [email protected]
Предложена общая методика вывода динамического уравнения, лежащего в основе теории, построенной на базе дуалистической парадигмы. В качестве примеров рассмотрено применение этой методики к случаям общей теории относительности и квантовой теории. Обсуждаются начальные (первый и частично второй) этапы реализации данной методики в применении к реляционной физике. Высказаны предположения относительно предельного для реляционной теории динамического уравнения. Показано, что в нерелятивистском случае оно описывает динамику метрики трёхмерного пространства в системе отсчёта, основанной на континууме произвольным образом движущихся материальных точек.
Ключевые слова: пространство-время, системы отсчёта, 'реляционная физика.
Введение
В основе всей теоретической физики лежат три базовые категории: категория частиц, категория пространства-времени и категория поля (см., например, [1]). В этом проявляется универсальный метафизический принцип троичности теоретической физики. Причина этого, по-видимому, состоит в следующем. Непосредственной задачей физики является описание эволюции (динамики) систем. При этом трёх категорий уже оказывается достаточно, чтобы на примитивном уровне в рамках классических представлений описать взаимодействие. А учёт взаимодействия как раз и необходим для описания динамики любой физической системы.
Метафизически можно выделить три типа парадигм теоретической физики: триалистические, дуалистические и монистические, опирающиеся соответственно на три, две или одну категории [1]. Каждая парадигма по-своему выделяет первичные категории и определяет их взаимосвязь. В триалистических парадигмах в качестве этих категорий используются непосредственно три базовые категории. При этом они рассматриваются как отдельные и самостоятельные элементы теории. Эту ситуацию можно наглядно изобразить в виде метафизического треугольника, показанного на рис. 1. Базовым категориям частиц, поля и пространства-времени соответствуют вершины этого треугольника. Сам треугольник при этом символизирует физическую реальность.
Триалистическим парадигмам теоретической физики на этой схеме соответствуют взгляды на физическую реальность со стороны вершин метафизического треугольника. Взгляд с точки зрения базовой категории частиц соответствует механике (классической или релятивистской). Взгляд с точки зрения базовой категории поля соответствует классической (неквантовой) теории поля. Наконец, взгляд с
точки зрения базовой категории пространства-времени соответствует специальной
Анализ на основе соображений метафизического характера показывает, что общая теория относительности (ОТО) и квантовая теория являются теориями, основанными уже на дуалистической парадигме [1]. Это означает, что в основе каждой из них лежат не три, а всего лишь две категории теоретической физики. Поэтому они представляют собой следующий, более глубокий уровень описания физической реальности, в котором предполагается, что базовые категории частиц, пространства-времени и поля, вообще говоря, уже не являются отдельными и независимыми. Поэтому в этих теориях одних только базовых категорий уже оказывается недостаточно и для описания взаимодействия необходимо привлечь более глубокие и сложные понятия, основанные на соответствующих сверхкатегориях.
ОТО опирается на базовую категорию частиц и сверхкатегорию искривлённого пространства-времени, которая обобщает базовые категории пространства-времени и поля. Такому подходу (геометрофизика) соответствует взгляд на физическую реальность с точки зрения правой стороны (противоположной вершине, символизирующей базовую категорию частиц) метафизического треугольника. Квантовая теория основана на базовой категории пространства-времени и сверхкатегории квантового поля, которая обобщает базовые категории поля и частиц. Этому подходу (квантовая физика) соответствует взгляд на физическую реальность с точки зрения нижней стороны (противоположной вершине, символизирующей базовую категорию пространства-времени) метафизического треугольника.
Такой метафизический анализ естественным образом приводит к выводу о том, что наравне с квантовой теорией и ОТО в теоретической физике должна существовать ещё и третья дуалистическая теория, которая соответствует реляционной физике. Она должна изучать свой круг явлений и представлять собой третий путь описания физической реальности [2; 3]. Основные принципы и задачи реляционной физики, а также некоторые идеи, связанные с ней, изложены в недавней работе автора [2]. Реляционная теория также основана на двух категориях: базовой категории поля и сверхкатегории перепутанных частиц, которая обобщает базовые категории частиц и пространства-времени. Реляционному подходу соответствует взгляд на физическую реальность с точки зрения левой стороны (противоположной вершине, символизирующей базовую категорию поля) метафизического треугольника. В реляционной физике основной задачей является исследование природы пространства-времени.
теории относительности (СТО).
Рис. 1. Схематическое изображение основных категорий теоретической физики и соответствующих способов описания физической реальности. Обозначения: Ч — частицы, ПВ — пространство-время, П — поле, ИПВ — искривлённое пространство-время, КП — квантовое поле, ПЧ — перепутанные
частицы, СТО — специальная теория относительности, ТП — теория поля, ГФ — геометрофизика, КФ — квантовая физика, РФ — реляционная физика
Напомним, что в ОТО и квантовой теории пространство-время трактуется на основе субстанционального подхода в духе Ньютона. Это означает, что пространство рассматривается как «пустое вместилище тел», а время как «пустое вместилище событий». В частности, отсюда следует, что пространство будет существовать и в отсутствие каких-либо тел, а время существует само по себе и в отсутствие каких-либо событий. В реляционной физике изначально макроскопическое и непрерывное пространство-время отсутствует. Поэтому оно трактуется на основе реляционного подхода в духе Лейбница. Это означает, что пространство рассматривается как «порядок расположения тел», а время как «порядок явлений или состояний тел», т. е. порядок следования событий. Очевидно, это предполагает, что в отсутствие тел нельзя говорить о каком-либо пространстве, а в отсутствие событий нельзя говорить о времени. В реляционной теории макроскопическое непрерывное пространство-время должно возникать как эффективный предел очень плотного дискретного множества событий, который соответствует большим пространственным и временным масштабам.
В ОТО динамика гравитационного поля описывается с помощью уравнения Эйнштейна. В квантовой физике динамика систем описывается с помощью уравнения Шрёдингера или уравнения Гейзенберга — в зависимости от выбранной картины. В основе реляционной физики также должно лежать уравнение, описывающее динамику реляционных систем. В данной работе обсуждаются некоторые идеи по поводу вида и смысла этого уравнения.
1. Методика вывода динамического уравнения 1.1. Описание методики
В дуалистических парадигмах сверхкатегория объединяет в себе две базовые категории триалистической парадигмы. Её схематическая структура показана на рис. 2. Сверхкатегория имеет базисную и надстроечную части [3]. Роль базиса играет одна из двух базовых категорий. Надстройка описывает качественно новые свойства сверхкатегории, которых нет в соответствующей базовой категории. В случае когда надстройка исчезает, сверхкатегория переходит непосредственно в базис. Вторая базовая категория, на основе которой построена сверхкатегория, является пределом. В некотором нетривиальном приближении происходит как бы распад или редукция сверхкатегории, когда из неё выделяется отдельная базовая категория, соответствующая базисной части, и отдельная базовая категория, играющая роль предела. Оставшаяся третья базовая категория играет роль источника, который является причиной динамики.
Внимательный анализ логики построения общей теории относительности и квантовой теории позволяет сформулировать методику вывода динамического
Рис. 2. Схематическая структура сверхкатегории в дуалистической парадигме
уравнения дуалистической теории в общих (метафизических) терминах. Её можно представить в виде нескольких последовательных этапов.
1. Предельное динамическое уравнение.
На первом этапе используется известная теория в триалистической парадигме, соответствующая взгляду на физическую реальность с точки зрения базовой категории предела. Естественно, что с учётом рассматриваемой задачи эту теорию необходимо будет использовать не в традиционной форме, а в каком-либо специально приспособленном для этого виде. Это динамическое уравнение должно содержать величины, относящиеся ко всем трём базовым категориям. Однако динамика должна относиться только к базовой категории предела. Согласно принципу соответствия, искомое динамическое уравнение дуалистической теории должно при некоторых вполне определённых условиях переходить в это уравнение.
2. Переход к сверхкатегории.
Для перехода к дуалистической теории мы должны найти способ описания свойств базовой категории предела через свойства базовой категории базиса. В результате в нашей теории останутся только две категории: сверхкатегория, объединяющая в себе базовые категории базиса и предела, и оставшаяся третья базовая категория. На этом этапе необходимо также провести анализ такой возможности, который позволит определить, что же представляет собой надстройка.
3. Согласованность с базисом.
Важный этап согласования сверхкатегории с базисом. Он заключается в формулировке некоторого физического принципа, определяющего условия перехода сверхкатегории в базис. Существенным моментом здесь является то, что этот принцип носит именно физический, а не математический характер. Это означает, что его справедливость необходимо проверять опытным путём.
4. Математический аппарат описания сверхкатегории.
На этом этапе уже можно развивать математический аппарат для описания сверхкатегории. Используя характеристики сверхкатегории, связанные с надстройкой, можно переписать динамическое уравнение в пределе (см. этап 1) в соответствующих терминах. Однако решение такой задачи не является вполне однозначным, поскольку это можно сделать множеством способов.
5. Дополнительный физический критерий.
Для выделения «правильного» динамического уравнения одних только математических соображений недостаточно. Для этого необходимо привлечь дополнительные соображения физического характера. Они могут быть связаны с некоторыми условиями, вытекающими, например, из законов сохранения. Эти условия определены тем, что в процессе движения могут сохраняться определённые физические величины, к которым относятся, например, импульс и энергия системы. В каждой дуалистической теории соответствующие соотношения, выражающие законы сохранения, могут иметь свой специфический характер.
1.2. Общая теория относительности
Приведём реализацию описанной выше методики в применении к ОТО. Как указано выше, в качестве сверхкатегории в ОТО рассматривается искривлённое пространство-время. Роль базиса играет при этом базовая категория пространства-времени, а роль предела — базовая категория поля. Описание физической реальности с точки зрения базиса осуществляется в рамках специальной теории относительности (СТО), а с точки зрения предела — в рамках классической теории поля. В данном случае речь идёт о гравитационном поле. Обе эти теории являются
триалистическими в том смысле, что в них все три базовые категории являются самостоятельными и независимыми. Оставшаяся третья базовая категория частиц играет в ОТО роль источника, который служит причиной динамики гравитационного поля.
1. В качестве предельного динамического уравнения можно использовать уравнение следующего вида:
□^и = -кТ^, (1)
где — потенциал гравитационного поля (симметричный тензор второго ранга),
— тензор энергии-импульса, к = 8пО/е4 — постоянная Эйнштейна, С — гравитационная постоянная, е — скорость света, □ — оператор д'Аламбера. Обоснование именно такого предельного уравнения для гравитационного поля (с симметричным тензором второго ранга) можно найти, например, в книге [4]. В нерелятивистском случае это уравнение переходит в уравнение Пуассона для гравитационного потенциала Ф = ^00е2/2. Уравнение (1) относится к триалистической парадигме и описывает динамику гравитационного поля с точки зрения базовой категории поля (нижняя правая вершина треугольника на рис. 1). Уравнения Эйнштейна как динамические уравнения в ОТО должны в некотором приближении переходить в уравнение (1). Как известно (см., например, [5]), уравнения линеаризованной теории гравитации действительно имеют такой вид. При этом потенциал выражается через малые возмущения метрического тензора на фоне плоского пространства-времени.
2. Для перехода к сверхкатегории мы должны избавиться в уравнении (1) от базовой категории поля. Иначе говоря, мы должны потенциал гравитационного поля выразить через величины, описывающие свойства пространства-времени. Имеется ли в СТО величина, способная в уравнении (1) заменить потенциал ? Да, такая величина имеется! Это метрический тензор , определяющий квадрат интервала между двумя бесконечно близкими событиями
¿в = дм
Простой анализ показывает, что такая замена вполне возможна. В самом деле, в СТО метрический тензор определяет геометрию системы координат. При этом всегда можно перейти к таким координатам, в которых метрический тензор во всех точках пространства-времени имеет диагональный (галилеев) вид: д^и = diag(1, -1, -1, -1). Если мы собираемся описывать с помощью метрического тензора и гравитационное поле, то мы должны считать его компоненты произвольными функциями координат и времени (х0, х1, х2, х3). С помощью преобразований координат хм ^ хм можно 4 из 10 независимых компонент привести к заданному виду. Остальные 6 компонент как раз и будут описывать дополнительные степени свободы, связанные с гравитационным полем. Отсюда следует, что при наличии гравитационного поля мы уже не можем в пространстве-времени ввести единые прямоугольные координаты, в которых метрика будет иметь галилеев вид. Поэтому любая система координат в нем будет криволинейной. Но это означает, что такое пространство-время является уже не плоским, а искривлённым. Таким образом, мы приходим к идее искривлённого пространства-времени.
3. Рассуждения, приведённые в предыдущем пункте, имели чисто математический характер. Для их обоснования мы должны сформулировать физический принцип, который можно было бы проверить на практике. В ОТО в качестве такого принципа выступает принцип эквивалентности. Его суть заключается в том, что локально в малой окрестности данной точки пространства-времени всегда можно
избавиться от гравитационного поля, выбрав соответствующую систему координат (система координат, связанная со свободно падающим наблюдателем). Поэтому локально гравитационные поля ведут себя подобно полям ускорений в неинер-циальных системах отсчёта в СТО. Проводя в малой окрестности данной точки пространства-времени физические эксперименты, наблюдатель не сможет обнаружить различие между полем ускорений в неинерциальной системе отсчёта и гравитационным полем в инерциальной системе отсчёта. В механике материальных точек это утверждение сводится к принципу равенства (пропорциональности) инертной и гравитационной масс, который к настоящему времени подтверждён экспериментально с высокой точностью. Принцип эквивалентности показывает, как связаны между собой СТО и ОТО. Он позволяет рассматривать локальное гравитационное поле как некоторое эквивалентное поле ускорений в неинерциальной системе отсчёта. Поскольку в СТО поле ускорений в неинерциальной системе отсчёта определяется метрикой пространства-времени в криволинейной системе координат, то это позволяет связать с метрикой и гравитационное поле. Таким образом, из принципа эквивалентности следует, что гравитация есть проявление кривизны пространства-времени.
4. Если мы просто подставим в уравнение (1) вместо потенциалов метрический тензор д1и, то оно перестанет быть ковариантным. В самом деле, его правая часть представляет собой тензорную величину, а левая часть Пд^ тензором уже не является. Однако может возникнуть мысль, что в новом уравнении нужно использовать не Пд^, а некоторый более общий симметричный тензор второго ранга , составленный из метрического тензора д1и, а также из его первых и вторых производных по координатам. Искомое динамическое уравнение, определяющее эволюцию гравитационного поля, будет иметь вид
= . (2)
В простейшем варианте можно ограничиться только линейными выражениями относительно вторых производных метрического тензора. Однако и в этом случае решение такой задачи будет неоднозначным.
5. Для выделения единственного решения для тензора мы должны привлечь дополнительные физические соображения. В СТО уравнение УаТа| = 0 описывает законы сохранения энергии и импульса. Предположим, что это уравнение остаётся справедливым и в ОТО. Тогда отсюда и из уравнения (2) следует, что тензор должен удовлетворять тождеству УаСа| = 0. Это условие позволяет выделить единственный возможный вариант для тензора — тензор Эйнштейна
где — тензор Риччи, Я — скалярная кривизна. В результате динамическое уравнение (2) принимает окончательный вид.
1.3. Квантовая теория
Рассмотрим теперь, как можно реализовать методику вывода динамического уравнения в случае квантовой теории. В качестве сверхкатегории в квантовой физике используется квантовое поле. Роль базиса играет базовая категория поля, а роль предела — базовая категория частиц. Описание физической реальности с точки зрения базиса осуществляется в рамках классической теории поля (например, теории Максвелла для электромагнитного поля), а с точки зрения предела — в
рамках классической (или релятивистской) механики. Обе эти теории, как и в случае ОТО, являются триалистическими, поскольку в них все три базовые категории считаются самостоятельными и независимыми. Оставшаяся третья базовая категория пространства-времени играет в квантовой физике роль источника, который служит причиной динамики квантового поля. Следует иметь в виду, что если мы возьмём в качестве исходной теории в базисе теорию электромагнитного поля, то в пределе мы получим некоторую «механику фотонов». По сути это будет геометрическая оптика. Если же мы хотим в пределе получить механику Ньютона, то в качестве исходного поля мы должны взять поле каких-нибудь материальных частиц, например электронов.
1. В квантовой теории большую роль играет гамильтонов формализм, основанный на использовании канонических переменных. Поэтому в качестве предельного
динамического уравнения можно использовать следующее уравнение (см., напри-[6]):
-А
-Ж = {А'Н ь (3>
где А(д,'р) — некоторая динамическая величина, зависящая от канонических координат д и импульсов р, Н(д,р) — функция Гамильтона, а фигурными скобками обозначены скобки Пуассона. В частности, если в качестве динамической величины А взять координаты д и импульсы р, то из (3) мы получим канонические уравнения Гамильтона. Уравнение (3) относится к триалистической парадигме и описывает динамику с точки зрения базовой категории частиц (нижняя левая вершина треугольника на рис. 1). Интересно отметить, что это уравнение сохраняет свой вид и в релятивистском случае.
2. Для перехода к квантовой сверхкатегории мы должны избавиться в уравнении (3) от базовой категории частиц. Другими словами, мы должны все величины, относящиеся к категории частиц, выразить через величины, относящиеся к категории поля. Это означает, что мы должны частицы представить в виде некоторого свойства поля. Для реализации этой идеи можно использовать возможность разложения свободного поля в суперпозицию плоских монохроматических волн. Каждая отдельная гармоника обладает амплитудой а, волновым вектором к и частотой ш,
А(т,1) = а(к,ш)ег^г-шг). (4)
Амплитуда описывает состояние поляризации волны, волновой вектор определяет направление её распространения, а частота характеризует скорость колебаний поля в данной точке. Произвольное состояние поля мы можем представить как некоторое возбуждённое состояние, в котором присутствует некоторое число волн с определёнными характеристиками. Возбуждение поля происходит в результате его взаимодействия с макроскопическим прибором, который в квантовой теории играет роль источника. На данном этапе это, конечно, ещё не квантовая теория, но общие контуры соответствующей сверхкатегории уже видны.
3. Для согласования сверхкатегории с базисом необходимо сформулировать физический принцип. В квантовой теории его роль выполняет принцип корпускулярно-волнового дуализма. Этот принцип означает, что в экспериментах квантовое поле может проявляться как в виде частиц-корпускул, так и виде волн. В частности, все квантовые частицы должны демонстрировать волновые явления интерференции и дифракции. Волновые характеристики частиц связаны с энергией и импульсом соотношениями де Бройля
Е = Ьш, р = Нк,
где К — постоянная Планка. Опыты с интерференцией света (см., например, [7]) подсказывают, что выражения вида (4) для частиц-волн необходимо интерпретировать в статистическом смысле. Явление интерференции возникает одинаковым образом в обоих случаях: когда пучок света состоит из многих фотонов и когда пропускают много раз пучок из одного фотона. Это означает, что интерференция возникает не путём наложения состояний многих фотонов, а наложением состояний одного фотона.
4. Для описания всех этих странных с точки зрения классической теории свойств частиц-волн в квантовой теории используется свой математический аппарат. Фактически он сводится к тому, что вместо исходных величин А и Н, входящих в уравнение (3), мы должны использовать соответствующие эрмитовы операторы А и Н. Скобки Пуассона при этом заменяются на коммутатор операторов (см., например, [7]). В результате вместо (3) мы получаем уравнение Гейзенберга
НА - -
гК — = [А,Н]. (5)
Однако на данном этапе здесь ещё не определены явные выражения для операторов.
5. В координатном представлении операторы канонических координат и импульса имеют вид д = д, р = —гКд/дд. Это следует из законов сохранения импульса (и энергии). Соответственно, получаем: А = А(д,р), Н = Н(д,р). Здесь, правда, необходимо ещё определить правило упорядочения операторов д и р, поскольку они не коммутируют друг с другом. Теперь уравнение (5) принимает уже окончательный вид. Описание динамики квантовой системы на основе этого уравнения соответствует картине Гейзенберга. Однако можно действовать и по другому. Определим векторы состояний |ф>, на которые действуют операторы. Для них из (5) можно получить уравнение Шрёдингера
д
гк — |ф> = Н |ф>.
Как известно (см., например, [8]), уравнение Шрёдингера описывает динамику квантовой системы с точки зрения противоположной картины (картина Шрёдин-гера), которая в большинстве приложений является более удобной.
2. Динамика пространства в нерелятивистском случае 2.1. Непрерывная система частиц
Перейдём теперь к рассмотрению случая реляционной физики. В данной работе остановимся только на анализе первого и частично второго этапов приведённой выше методики вывода динамического уравнения. В реляционной физике в качестве сверхкатегории выступают перепутанные частицы. Роль базиса при этом играет базовая категория частиц, а роль предела — базовая категория пространства-времени. Описание физической реальности с точки зрения базиса реализуется в рамках механики (классической или релятивистской), а с точки зрения предела — в рамках СТО. Оставшаяся третья базовая категория поля в реляционной физике должна играть роль источника, который служит причиной динамики перепутанных частиц.
Что в реляционной физике мы должны использовать в качестве предельного динамического уравнения? Сразу следует обратить внимание на то, что базовая категория пространства-времени сама по себе не может изменяться. В СТО
пространство-время является плоским и его структура жёстко задана. Оно представляет собой четырёхмерное псевдоевклидово многообразие с геометрией Мин-ковского (см., например, [5]). Поэтому, естественно, возникает мысль рассмотреть в качестве динамического объекта трёхмерное пространство.
В самом деле, геометрические свойства пространства зависят от выбранной системы отсчёта. Речь здесь идёт не просто о выборе системы координат для описания точек трёхмерного пространства. Конечно, в евклидовом трёхмерном пространстве мы можем выбирать декартовы, цилиндрические, сферические или какие-либо другие координаты. Однако геометрия пространства при этом не изменится. Оно как было евклидовым, так таковым и останется. В противоположность этому выбор системы отсчёта фактически предполагает реализацию определённого 1+3 расслоения (локального или даже глобального) четырёхмерного пространства-времени на одномерное время и трёхмерное пространство. Это соответствует монадному методу задания систем отсчёта в теории относительности [9]. В этом случае трёхмерное пространство может не только оказаться неевклидовым (искривлённым) в данный момент, но его геометрия может изменяться с течением времени. Иными словами, трёхмерное пространство становится настоящим динамическим объектом.
Для описания динамики такого пространства в данной работе ограничимся только нерелятивистским случаем. С одной стороны, это существенно упрощает анализ. С другой стороны, принципиальная сторона вопроса может быть исследована и в этом приближении. Кроме того, релятивистские уравнения должны в пределе медленных движений перейти в соответствующие нерелятивистские уравнения, которые будут записаны ниже.
Любая реальная система отсчёта должна быть в конечном итоге реализована на некоторой совокупности физических тел или частиц. Поэтому рассмотрим сплошную среду, состоящую из континуума идеализированных частиц, скорость которых в каждой точке г в каждый момент времени Ь задаётся вектором \(г,Ь). Будем описывать движение среды в сопутствующей системе координат £1, £2, £3, в которой положения частиц не изменяются. Расстояния между частицами при этом изменяются за счёт изменения во времени метрического тензора дгк = дгк(£ 1,£2,£3,Ь). Как известно из механики сплошной среды (см., например, [10]), в сопутствующей системе координат имеет место соотношение
дгк = 2-гк. (6)
Здесь точкой обозначена частная производная по времени при постоянных значениях сопутствующих координат £1, £2 и £3. Латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3. Величина
-гк = ^ (^кУг + ^гУк)
представляет собой тензор скоростей деформаций. Подчеркнём ещё раз, что соотношение (6) справедливо только в сопутствующей системе координат. Метрический тензор дгк и тензор скоростей деформаций -гк являются симметричными тензорами второго ранга. Поэтому каждый из них имеет 6 независимых компонент. Дифференцируя по времени соотношение дг1д1к = , с учётом (6) можно получить уравнение для контравариантных компонент метрического тензора
дгк = -2-гк.
(7)
Наряду с симметричным тензором скоростей деформаций введём антисимметричный тензор угловой скорости вращения
iik = 1 (VfcVi - Vivk).
Этот тензор имеет три независимые компоненты, которые формируют трёхмерный вектор угловой скорости вращения ш = | rot v. Определим более общий тензор градиентов скорости
Pik = VkVi = dik + i^ik. (8)
Тензор скоростей деформаций представляет собой симметричную часть этого тензора, тензор угловой скорости вращения — его антисимметричную часть.
Найдём уравнение, которому удовлетворяет тензор pik. Эта задача не такая простая, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что для этого необходимо вычислять временную производную от этого тензора. Однако в сопутствующей системе координат метрика является нестационарной. Следовательно, символы Кри-стоффеля rik, входящие в выражения для ковариантной производной в (8), также будут зависеть от времени.
Учитывая эти замечания, имеем
dV i
pik = djTi - Virik - virik. (9)
Вычислим компоненты вектора ускорения а = V. Для этого введём в рассмотрение в сопутствующей системе координат векторы локального базиса е4 и векторы взаимного локального базиса ег:
д r
ei = —, ei = gik ek.
Вектор ускорения имеет вид
a = ai ei = ijiei + viei. (10)
Поскольку то нетрудно убедиться, что
дГ dv k k
ei = d^i = ß^ = (ViVk)e = Pkie ,
е4 = д4к ек + д4к е к = —рк ек. (11)
Здесь было использовано соотношение (7). Подставляя (11) в (10), находим
а = Щ — ь1рн. (12)
Далее легко показать, что
щЦк = Щ (ЪНи + ЧгНгк — Чг&к). (13)
Для упрощения вида этого выражения воспользуемся тем фактом, что рассматриваемое трёхмерное пространство является евклидовым и, следовательно, его тензор кривизны равен нулю. Это означает, что мы во всех выражениях можем переставлять операторы ковариантных производных. В результате соотношение (13) можно преобразовать к виду
щГ\к = У1УкРц. (14)
Используя (12) и (14), уравнение (9) можно переписать в окончательном виде
Ргк = 'к аг + рцр1к. (15)
Вычисляя симметричную и антисимметричную части уравнения (15), получим:
1
-гк = - (Vкаг + Vгак) + (-Ц + Шц)(- к + и к),
2
1
Шгк = 2 (Vк аг — 'гак).
(16)
(17)
Уравнения (6), (16) и (17) составляют полную систему, если их дополнить выражениями для ускорений аг. Эти выражения определяются внешними силами и/или силами взаимодействия между частицами среды. С другой стороны, можно оставить уравнение (15) в исходном виде, но переписать уравнение (6) следующим образом:
д гк = Ргк + Ркг.
Такая запись системы уравнений является более компактной, но, возможно, менее наглядной.
2.2. Дискретная система частиц
Следующий шаг связан с переходом к сверхкатегории перепутанных частиц. Для этого нам необходимо постараться заменить в полученных уравнениях все величины, относящиеся к базовой категории пространства, на некоторые подходящие величины, относящиеся к базовой категории частиц. Во-первых, заметим, что наша модель сплошной среды является идеализированной, поскольку в реальности частицы представляют собой дискретные объекты. Во-вторых, метрику пространства следует выразить не через метрические отношения между абстрактными точками, а через метрические отношения между частицами.
Для реализации этой идеи рассмотрим вместо сплошной среды некоторое дискретное (конечное или бесконечное) множество частиц. Произвольным образом выберем одну из них в качестве базовой и обозначим её индексом 0. В окрестности базовой частицы рассмотрим три соседние частицы (не обязательно ближайшие) и обозначим их соответственно индексами 1, 2 и 3. Четыре выделенные частицы 0, 1, 2, и 3 формируют в пространстве тетраэдр. Проведём из базовой частицы 0 три вектора е1, е2 и е3 к соседним частицам 1, 2 и 3 соответственно (см. рис. 3). Очевидно, эти векторы являются линейно независимыми, и поэтому их можно использовать в качестве векторов базиса в некоторой окрестности частицы 0. Компоненты метрического тензора в точке, в которой находится базовая частица, определяются скалярными произведениями этих векторов, дгк = ег • ек. Обозначим длины базисных векторов |ег | = 10г. Величина 10г равна расстоянию между базовой частицей 0 и частицей с номером г.
Рис. 3. Базисные векторы, построенные на четырёх частицах
Можно сказать, что l0i — это метрическое парное отношение между частицей 0 и частицей i.
Легко видеть, что диагональные компоненты метрического тензора определяются этими метрическими парными отношениями. Например, дц = lQ1. Аналогичным образом можно выразить и недиагональные компоненты. Например,
gi2 = I01I02 cos а =2 (¡h + Iq2 - l?2) .
Здесь через а обозначен угол между векторами e1 и e2, а при вычислении cos а была использована теорема косинусов. Таким образом, компоненты метрического тензора можно записать в виде
gik = i (lQi + 10k - llk) . (18)
Очевидно при этом, что диагональные компоненты оказываются равными gii = ¡0i, поскольку расстояния lii = 0. Интересно отметить, что определитель метрического тензора (18) д = det(gik) удовлетворяет соотношению /д = 6V, где V — объём тетраэдра, построенного на частицах 0, 1, 2, 3. Тензор градиентов скорости pik приобретает простой физический смысл. Его симметричная часть dik описывает деформации сжатия-растяжения и сдвига тетраэдра, обусловленные движением его вершин. Антисимметричная же часть Wik описывает вращение тетраэдра.
Для замыкания системы уравнений (6) и (15) необходимо написать выражения для ускорений ai. Вектор ускорения представляет собой удельную силу, действующую на данную частицу (сила, делённая на массу частицы). Полная сила складывается из внешних сил и сил взаимодействия между частицами. Внешние силы задаются непосредственно. Силы взаимодействия в механике определяются расстояниями между частицами. Поэтому в конечном счёте все пространственные соотношения выражаются только через расстояния между частицами. Расстояния до каких-либо промежуточных точек между частицами в уравнения не входят. Поэтому можно считать, что между частицами никаких других промежуточных точек пространства нет. Это и означает, что свойства базовой категории пространства выражены через свойства базовой категории частиц. Фактически можно сказать, что в таком представлении динамики базовая категория пространства уже отсутствует.
Заметим, что ковариантная производная ускорения Vkai из-за присутствия в ней символов Кристоффеля связывает комплекс из четырёх частиц, для которого определена метрика, с тремя соседними такими же комплексами. В результате все комплексы оказываются взаимосвязанными между собой. Явный вид выражений для ускорений ai и их ковариантных производных Vkai в данной статье приводить не будем, поскольку в нерелятивистском случае они особого смысла не имеют. Более подробно этот вопрос будет обсуждаться в следующей работе, в которой предполагается рассмотреть релятивистский случай.
Заключение
В работе обсуждается общая методика вывода динамического уравнения, лежащего в основе теории, построенной на базе дуалистической парадигмы. Методика сформулирована в достаточно общих терминах, имеющих метафизический характер. Следует подчеркнуть, что данная методика вовсе не является каким-либо формальным алгоритмом, используя который, не вдаваясь в смысл действий, можно сконструировать соответствующее динамическое уравнение. Эту методику нужно
воспринимать, скорее, как путь, который необходимо пройти от изначальных предпосылок до конечного результата. Методика содержит как математические части, связанные, например, с развитием соответствующего математического аппарата, так и части физического характера, которые нуждаются в экспериментальной проверке.
В качестве примера рассмотрено применение этой методики к случаям общей теории относительности и квантовой теории. В первом случае методика приводит к уравнениям Эйнштейна, описывающим динамику гравитационного поля. Во втором случае использование данной методики позволяет прийти к квантовым динамическим уравнениям в форме Гейзенберга или Шрёдингера.
Применительно к случаю реляционной физики [2] в данной работе обсуждаются только первый и частично второй этапы методики вывода динамического уравнения. Высказано предположение, что в качестве предельного динамического уравнения, по-видимому, следует использовать уравнения, описывающие динамику трёхмерного пространства с точки зрения некоторой, вообще говоря, неинерци-альной системы отсчёта. При этом система отсчёта должна быть не абстрактной, а основанной на некотором множестве реальных физических объектов. В работе эти уравнения получены для нерелятивистского случая в системе отсчёта, основанной на континууме произвольным образом движущихся материальных точек (идеализированная сплошная среда). Показано, каким образом можно интерпретировать метрику динамически изменяющегося трёхмерного пространства в случае дискретного множества частиц. В дальнейшем предполагается рассмотреть релятивистский случай.
Автор выражает благодарность В. А. Клименко и Е. П. Курбатову за полезные обсуждения.
Список литературы
1. Владимиров, Ю. С. Метафизика / Ю. С. Владимиров. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Бином. Лаб. знаний, 2009. — 568 с.
2. Ж^илкин, А. Г. Базовые категории и принципы реляционной физики / А. Г. Жил-кин // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2013. — № 25 (316). Физика. Вып. 18. — С. 80-92.
3. Ж^илкин, А. Г. Реляционная физика с точки зрения метафизики / А. Г. Жилкин // Метафизика. — 2014. — № 2 (12). — С. 49-67.
4. Мизнер, Ч. Гравитация : в 3 т. / Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. — М. : Мир, 1977.
5. Ландау, Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2012. — 536 с.
6. Ландау, Л. Д. Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2004. — 224 с.
7. Дирак, П. А. М. Принципы квантовой механики / П. А. М. Дирак. — М. : Физ-матгиз, 1979. — 408 с.
8. Ландау, Л. Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2004. — 800 с.
9. Владимиров, Ю. С. Системы отсчёта в теории гравитации / Ю. С. Владимиров. — М. : Энергоиздат, 1982. — 256 с.
10. Седов, Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1 / Л. И. Седов. — М. : Наука, 1970. — 492 с.
Поступила в редакцию 03.03.2017 После переработки 25.03.2017
Сведения об авторе
Ж^илкин Андрей Георгиевич, доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник, Институт астрономии РАН, Москва, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 1. P. 99-112.
ON DYNAMICS OF RELATIONAL SYSTEMS: NON-RELATIVISTIC CASE
A.G. Zhilkin"
Institute of Astronomy, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
The paper presents a general method to obtain the dynamic equation for the theory constructed on the basis of a dualistic paradigm. For example, the applications of this technique to the cases of the general theory of relativity and the quantum theory are considered. The initial (the first and partially the second) stages of this method as applied to the relational physics are discussed. Assumptions regarding the limit for a relational theory dynamic equation are suggested. It is shown that in the non-relativistic case it describes the dynamics of the metrics of the three-dimensional space in the reference frame, based on a continuum of arbitrarily moving material points.
Keywords: space-time, reference system, relational physics.
References
1. Vladimirov Yu.S. Metafizika [Metaphysics]. Moscow, Binom. Laboratoriya znaniy Publ., 2009. 568 p. (In Russ.).
2. Zhilkin A.G. Bazovye kategorii i printsipy relyatsionnoy fiziki [Basic categories and principles of relational physics]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2013, no. 25 (316), pp. 80-92. (In Russ.).
3. Zhilkin A.G. Relyatsionnaya fizika s tochki zreniya metafiziki [Relational physics from the view-point of metaphysics]. Metafizika [Metaphysics], 2014, no. 2 (12), pp. 49-67. (In Russ.).
4. Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A. Gravitation. San Francisco, Freeman, 1973. 1304 c.
5. Landau L.D., Lifshitz E.M. The Classical Theory of Field. Oxford, Butterworth — Heinemann, 1975.
6. Landau L.D., Lifshitz E.M. Mechanics. Oxford, Butterworth — Heinemann, 1976.
7. Dirac P.A.M. The Principles of Quantum Mechanics. New York, Oxford University Press, 1958. 312 p.
8. Landau L.D., Lifshitz E.M. Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Oxford, Pergamon Press, 1977.
9. Vladimirov Yu.S. Sistemy otschyota v teorii gravitatsii [Reference frames in theory of gravity]. Moscow, Energoizdat Publ., 1982. 256 p. (In Russ.).
10. Sedov L.I. Mechanics of continuous media. World Scientific Publ., 1997. 1310 p.
Accepted article received 03.03.2017
Corrections received 25.03.2017
