CC BY
42
Панкин А.М.
ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ, ПРЕДСТАВЛЯЕМЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ЦЕПЯМИ
Введение
Что понимается под моделью объекта, диагноз которого ставится по серии или одиночному измерению, известно. В соответствии с общепринятыми определениями, под формализованной моделью объекта, в том числе и вовлекаемого в процедуру диагностирования, понимается его описание в аналитической, графической или другой форме. В результате можно прийти и к понятию математической модели объекта - совокупности алгебраических и дифференциальных уравнений, а также эмпирических соотношений, таблиц или графиков [1].
В этих уравнениях и соотношениях связываются между собой, в том числе и на основе известных законов природы, параметры и переменные состояния диагностируемого объекта, участвующего в некотором процессе. Под процессом будем понимать совокупность состояний объекта, имеющих место при его рабочем функционировании или при его диагностировании. В последнем случае число таких состояний может быть увеличено, что, соответственно, должно быть отражено в его модели.
При диагностировании объекта ставится более или менее ограниченная задача: по результатам выполненных измерений, а также дополнительно привлекаемой априорной информации, требуется определить те параметры или характеристики объекта, которые выступают в роли диагностических признаков. Кроме этого, следует знать и погрешности определения интересующих нас признаков.
Таким образом, под диагностической моделью объекта понимается описание связи, желательно в аналитическом виде, между измеренными известными величинами и диагностическими признаками. На основе такого рода соотношений и получается диагностическая модель объекта, основным назначением которой является обеспечение возможности нахождения по измеренным в диагностическом режиме величинам, оценок величин интересующих нас диагностических признаков и погрешностей их определения (погрешностей связанных с реализацией измерительных и вычислительных процедур).
В результате может быть упрощен вид и количество соотношений по сравнению с исходной моделью объекта, которую будем называть основной моделью.
При получении диагностических моделей возможно инвертирование численных процедур, реализуемых в основной модели диагностируемого объекта.
Построение диагностических моделей для резистивных электрических цепей
Рассмотрим в качестве поясняющего примера диагностическую модель в виде простого соотношения между
одним измеряемым параметром х и одним диагностическим признаком у, записанным в виде (1): у = ах , (1)
где а - некоторая размерная или безразмерная константа.
Случай 1: а - безразмерная величина, равная 1.
В основном, такой случай соответствует непосредственному измерению величины, являющейся диагностическим признаком. Однако не исключаются ситуации, когда соотношение (1) при а =1 предполагает равенство двух разных величин, вытекающее из заложенных в модель объекта законов. Для такого случая погрешность определения диагностического признака (и абсолютная и относительная) будет равна погрешности непосредственно измеряемой величины х .
Для диагностических моделей вида (1) график зависимости между измеряемой величиной х и диагностическим признаком у представляется в виде прямой линии, тангенс угла наклона X которой равен 1.
Для иллюстрации этого и последующего случаев на рис. 1 приведена эквивалентная схема замещения простой резистивной цепи с источником постоянного напряжения и.
Рис. 1
Предположим, что для объекта диагностирования в виде электрической цепи, представленной такой схемой замещения, диагностическим признаком является величина тока Х1, текущего через резистор Я1. Эта величина
тшах
не должна во всех случаях превышать величину / , определяемую максимальной допустимой мощностью, вы-
деляемой в этом резисторе. Нижняя граница тока Х1 с точки зрения его физической природы допускается равной нулю. Однако если этот резистор несет некоторую функциональную нагрузку, то в нем должна выде-
гшт т
ляться определенная мощность, нижняя граница которой и определяет допустимую величину тока 1 . То,
насколько условие обеспечения нормальной работы (функционирования) элемента Я1, определяемое соотноше-
гш1п ^ т ^ гшах _ „
нием 1! <1 1 , выполняется в данной цепи и находится в процессе диагностирования. При этом выполня-
ется прямое или косвенное измерение диагностического признака у = 1{ . В каком-то случае можно считать, что при определении признака у и равенстве в соотношении (1) константы а единице, мы выполняем косвенное измерение. Исходя из представленной схемы, видно, что это имеет место при непосредственном измерении тока через резистор Т4, т.е. при х=14. На основе закона токов Кирхгофа следует, что 11=14 поэтому, измеряя ток 14 (например, при недоступности для измерения тока резистора Я1), можно с помощью диагностической модели в виде выражения (1) диагностировать резистор Я1. При этом погрешность непосредственно измеряемой величины будет определять и погрешность диагностического признака. И, если
(/ -Щ < /1ш1п или (/ + А/г) > /1шах , (2)
то возможен диагноз о технической неисправности элемента Я1 и, соответственно, всей цепи как объекта диагностирования.
Случай 2: а - безразмерная величина ^1.
В таком случае вопрос о непосредственном измерении диагностического признака у отпадают. Речь идет только о косвенном измерении и о нахождении погрешности Ау , как результата косвенного измерения. Однако и в этом случае, в качестве непосредственно измеряемых величин служат однотипные величины (элек-
трический ток, как в нашем примере), определяемые в тех же единицах (введение масштабирующих множителей не принимается во внимание).
Допустим что, а > 1.
В качестве измеряемой величины можно взять, например, ток через резистор Я2 или Кз.
Если х = /2 , то на основе законов Кирхгофа (законов токов и напряжений), можно определить
*2 + *3 1
а = —----3 > 1 , (3)
*3
т.к. К2, Р-з > 0.
Величина диагностического признака у =/^ по-прежнему находится с помощью диагностической модели (1).
В этом случае измеряемый ток /2 = х <у . Что, при этом происходит с величиной погрешности Ау ? Исходя из правила определения абсолютной погрешности, мы получим Ау > Ах . И чем больше величина Я2 по сравнению с Кз, тем больше увеличивается Ау при одном и том же значении Ах .
Что же касается величины погрешности непосредственного измерения Ах , то предположим, что в интересующем нас диапазоне, она не зависит от величины измеряемого тока (аналоговый измеритель тока с равномерной шкалой).
В то же время, поскольку в выражении для а присутствуют 2 параметра (К2 и Кз) каждый из которых может изменить ток в цепи (ток 11 через диагностируемый элемент К1), то введем условие постоянства этого тока.
При этом сопротивление между резисторами К± и К4 принимается равным постоянной величине, т.е.
*2 * *3
*9, = —2—— = еотТ (4)
23 *2 + *3
Из (4) находим выражение для К3:
V
* = *2 * *23
*2 *23
Тогда выражение (3) может быть переписано в виде:
*2
а = *2 (5)
*23
при условии, что *2 > *23 .
Из (4) видно, что *2 ^ *23 (а ^ 1) при *3 (разрыв одной из параллельных ветвей цепи).
Формула (5) может быть переписана в виде:
/ 1
а = — > 1 (6)
12
В качестве вывода из сказанного можно заключить: при непосредственном измерении величин с коэффициентом передачи на диагностический признак большим 1 (а>1), происходит увеличение абсолютной погрешности определения этого признака, если абсолютная погрешность непосредственно измеряемой величины не зависит от ее значения.
Далее, рассмотрим ситуацию, когда коэффициент а<1.
Для этого поменяем местами измеряемую величину и диагностический признак.
Теперь измеряется ток /г , т.е. х = ^ , а диагностический признак у = /2 представляет ток через резистор К2.
Используя все ту же диагностическую модель цепи в виде выражения (1) получим для коэффициента а формулу, аналогичную (3)
а = —*^ = < 1 (7)
*2 + *3 *2
при условии, что *2 > *23 .
Итак, /2 = а * / и а < 1
Что же происходит с погрешностью определения диагностического признака Ау , если погрешность измеряемого тока Ах=А/г не зависит от его величины? Согласно тому же правилу определения абсолютной погрешности косвенного измерения, Ау = А12 <А1г если а <1. И величина а будет уменьшаться при уменьшении общего сопротивления *23 , т.е. уменьшении сопротивления *3 (если предположить, что *2 =сопэ^) . В то же время, при уменьшении полного сопротивления цепи (*! + *23 + *4) будет увеличиваться ток / .
Формула (7) может быть переписана в виде:
/2
а = -^ (8)
/1
Продолжая сделанный ранее вывод о передаче погрешности непосредственного измерения, можно добавить, что при непосредственном измерении величин с коэффициентом передачи на диагностический признак меньшим
1 (а <1) происходит уменьшение абсолютной погрешности определения этого признака.
И тут может сложиться иллюзия что, подобрав соответствующим образом параметры цепи (*1; *2, *3, *4) и получив, таким образом, малое значение а в соответствии с формулой (8) можно при любой погрешности измерения Ах = А/г получить сколь угодно малую погрешность определения диагностического признак Ау = А/2 .
Теоретически да, но практически нельзя забывать о том факте, что при определении Ау не учитывалась возможная погрешность нахождения самого коэффициента передачи а .
Дело в том что, в соответствии с формулами (5) и (7), при этом не учитывались погрешности определения параметров *, * . И если эти погрешности сопоставимы с погрешностью измерения Ах , то уменьшение
величины а не будет приводить к уменьшению Ау .
Можно провести аналогию с ситуацией, когда не происходит уменьшения полной погрешности измерения при
уменьшении случайной компоненты (путем увеличения статистики), если систематическая компонента погрешности остается прежней.
Итак, мы рассмотрели два случая косвенных измерений токов в ветвях цепи, когда коэффициент а в диагностической модели был либо > 1, либо < 1 при любых значениях параметров ветвей (случаи с 0-м или Ф -м сопротивлениями не принимаются во внимание).
Чему будет равен этот коэффициент для случая косвенного измерения, когда х = /3 , а у = /2 ?
Так как, в соответствии с 2-м законом Кирхгофа существует равенство /2 * *2 = /3 * *3 , (9)
то в соотношении
*
/2 = а * /3
еличина а будет равна:
а =
'-э
Я
(10)
Поскольку сопротивления параллельных
*
* могут быть произвольными, то в этом случае ко-Iетви с сопротивлением *3 < *2 . Другими словами
эффициент а может быть больше, меньше или равен 1.
Для получения а<1 нужно измерять ток в параллельной через ветвь с измеряемой величиной должен идти больший ток.
Рассмотрим все возможные измерения токов в ветвях приведенной схемы (4 ветви с элементами * , * , * , * ) и предположим, что каждое из этих измерений может быть использовано для определения токов и в других ветвях схемы. Тогда для коэффициента перехода а во всех случаях прямых и косвенных измерений тока может быть записана матрица вида:
Ап =
1 А 1
*23 *23
*23 1 *3 *23
*2 *2 *2
*23 *2 1 *23
*3 *3 *3
1 А 1
*23 *23
(11)
зеличине X.
Первый индекс матрицы соответствует диагностическому признаку у, второй - измеряемой
В 1-ой строке этой матрицы записаны коэффициенты для случая у = /, (х = /, /2,/3,/4) .
Во 2-ой строке - у = /2
В 3-ей строке - у = /3
В 4-ой строке - у = /4 .
Во всех столбцах измеряемая величина х последовательно проходит значения /, /2, /3, /4 .
На основе анализа этой матрицы можно сделать заключение: для нахождения величины тока как диагностического признака с возможно меньшей погрешностью необходимо проводить измерения аналогичной величины либо в ветвях цепи последовательно соединенных с диагностируемой (а=1), либо в параллельных с величиной тока, большей чем диагностируемая величина (а<1). При этом считается, что абсолютная погрешность непосредственного измерения токовой величины во всех случаях одна и та же.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда измеряемыми и диагностируемыми величинами являются напряжения. При этом нужно отметить:
1. Во всех ситуациях, как и для случаев 1, 2 измерения токов, коэффициент перехода а в диагностическом уравнении (1) остается безразмерной величиной.
2. В силу дуальности последовательных и параллельных соединений в электрических цепях случаи, когда
а=1 и а Ф 1 поменяются местами.
Для подтверждения последнего рассмотрим случай, аналогичный случаю 1 измерения токов, когда у = и, х = и2 .
и,_ и 2
На основе закона токов Кирхгофа имеем равенство Откуда
(12)
*, *■
и = * * и 2
*,
и а =
-23
*„
При этом а может быть больше, меньше или равно 1.
Для случая, когда х и у меняются местами, т.е. у = и2, х = и , получим обратное соотношение, и а =
*
23
*1
снова может быть большим, меньшим или равным 1.
Используя тот же закон токов Кирхгофа, получаем для случая у = и, х = и4 аналогичное (12) соотношение:
и
А
Я/1
М “4
И, наконец, для случая измерений в параллельных ветвях, на основе закона напряжений Кирхгофа имеем а=1, т.е. случай аналогичный случаю 1 при измерении токов в последовательных ветвях цепи.
С учетом сказанного для коэффициента перехода а в диагностической модели цепи (.1) при измерениях напряжения (прямых и косвенных) можно получить матрицу, аналогичную матрице (11):
=
1 А А Я
Я2з Я2з Я4
Я2з Я 1 1 Я2з Я4
Я2з Я 1 1 Я2з Я4
Я4 .Я А Я2з А Я2з 1
(13)
Анализируя коэффициенты этой матрицы, как и в случае матрицы (11), можно заключить: для нахождения величины напряжения как диагностического признака с возможно меньшей погрешностью необходимо проводить измерения аналогичной величины либо в ветвях цепи параллельно соединенных с данной (а=1), либо в последовательно соединенных ветвях с величиной напряжения, большей чем диагностируемая величина (а<1). При этом предполагается, что абсолютная погрешность непосредственного измерения величины напряжения во всех случаях имеет одно и то же значение.
Рассмотрим случай, когда измеряемыми и диагностируемыми величинами являются мощности, выделяемые на элементах (в ветвях) цепи.
Вначале предположим, что у = Щ,х = Щ .
Используя закон токов Кирхгофа, можно записать соотношение:
щ= т±
иі и4
(14)
а = ■
м
м
Откуда
Затем возьмем в качестве измеряемой величины Поскольку
г 2
х = т2.
Г Я23
'і1 • п '
Я
т = і, и = і( • я ,
• и2 = і22 • Я2 ,
т _я• я
т2 = і2 и2
Щ2 (Я23)
И, наконец, рассмотрим обратную ситуацию, когда в качестве диагностического признака рассматривается мощность параллельного участка цепи, а в качестве измеренной величины - мощность, выделяемая в последо-
ательно соединенной х = Щ; у = Щ .
В этом случае а ■
етви цепи, или
Я1 • Я2
Пусть теперь у = Щ; х = Щ .
= к -
Тогда
измеряемая
Я
диагностируемая
еличины определяются
параллельных
Я
'3 13 “2
Основное диагностическое уравнение (1) перепишется в виде:
После этого можно построить матрицу, аналогичную матрицам Лп
^ии •
Лтш =
Я1 • Я2 Я1 • Я3 Я1
(Я23)2
Яз
Я
(Яз)
1
Я 1
Яз
Я4 • Я2 Я4 • 1
(Я23)2 Я2 • Я1 (Я2з)2 Яз • Я Я
Я (Я2з)2 (Я2з)2
Я4
(Я2з)2
Я2 • Я4
(Я2з)2
Яз • Я4
(15)
и
В
з
2
и
Анализируя коэффициенты этой матрицы можно сказать, что по сравнению с ранее рассмотренными случаями измерений токов и напряжений, в данном случае измерения должны выполняться на элементах с большими зна-
чениями параметров для последовательных участков цепи и малыми значениями параметров на параллельных участках.
Очевидно, что между коэффициентами матриц Ап, Ацц и Аж существует соотношение:
(Цш )у = (аии)у ' (аП )у (16)
где I, у = 1, 2, 3, 4 .
Во всех этих матрицах коэффициенты представляют безразмерные величины т.к. и измеряемые величины и диагностические признаки являются однотипными величинами.
Рассмотрим далее ситуацию, когда эти величины имеют разную физическую природу и, следовательно, разную размерность.
Допустим, что измеряемой величиной является ток, а диагностическим признаком величина напряжения. Иначе говоря х = I , у = Ц .
Тогда а =1, и размерность коэффициента диагностической модели (1) выражается в соответствии с законом Ома в омах.
[а]= Ом.
Для случая х = /4 , у = и картина такая же а = Я .
с размерностью [а]= Ом.
Я Я' я2
Если х = Д , то I =-------------и а =--------------
2 1 Як Я
23 ^23
При обратной ситуации х = I , у = и2 а = Я23 и снова та же размерность. В результате для всех случаев перехода от измеряемых токов к величинам напряжений получается матрица А/ .
Ал
0? яА 1 Я23 яЯ 1 Я23 Я1
СП 0? Я2 3Я Я23
СП 0? Я2 Я3 Я23
■"Г Я Я2 Я4 Л Я23 Я Я3 Я4 Л Я23 Я4
(17)
Аналогичным путем получается матрица размерных коэффициентов перехода от измеряемых величин напряжений на элементах цепи к диагностическим признакам в виде величин токов. Как уже можно понять, эти коэффициенты имеют размерность:
[а 1 =---= См .
1 1 Ом
Аи =
1 1 1 1
Я Я23 Я23 Я
Я23 1 1 Я23
Я2 'Я1 Я2 Я2 Яг' я.
Я23 1 1 Я23
Я3' Я1 Я3 Я3 Я3' я,
1 1 1 1
Я1 Я23 Я23 Я4
(18)
Введем диагональные матрицы параметров участков цепи размерности (4х4): 1 и (С .
Я =
Я1 0 0 0
0 Яг 0 0
0 0 3Я 0
0 0 0 ■"Г
О = Я4 =
(19)
— 000
0 — 0
Я
1
О: 0 0 0
0 Ог 0 0
0 0 О3 0
0 0 0 О
(20)
0 0 — 0
1з
0 0 0 —
14
После этого можно написать соотношение между матрицами А^/
А
ии в виде:
АЦ = 1 Ап (21)
А1и =1 ' Аии (22)
Поясним смысл записанных соотношений. Он состоит в том, что уже после получения величины диагностического признака в виде тока у или напряжения у этот признак переводится в противоположный, а имен-
и
и
ется слева на соот-
Лци
на сопротив-
но, у в Уу или Уу в у . Поэтому полученная вначале матрица лд или умножа
ветствующий коэффициент перехода от тока к напряжению или наоборот.
Такая операция (умножение слева) обеспечивает умножение каждой строки матриц Лп ление или проводимость того элемента цепи, для которого и определяется диагностический признак (теперь уже в виде напряжения или тока). Сами измеряемые величины при этом остаются прежними.
Найдем соотношение между ранее введенными матрицами и Аи .
Для этого поясним смысл перехода от матрицы Лп к матрице Лш или от матрицы Л^у к матрице Лш . Он состоит в том, что необходимо в исходной ветви схемы с измеряемой величиной тока х7 или напряжения х^ перейти к противоположной (дуальной). Для этого следует умножить каждый столбец исходной матрицы
зетви с выполняемым
Ад или на одну и ту же величину проводимости или сопротивления элемента в
измерением. При этом выполняется операция умножения справа.
Сами диагностические признаки на этом этапе остаются прежними. Итак,
AIU = AII 'R (23)
AUI = AUU 'R (24)
После этого можно выполнить и второй этап, связанный с заменой диагностических признаков: у ^уи
или уи ^уj . Для этого, как было отмечено выше, нужно выполнить операцию умножения слева на матрицу
сопротивлений или проводимостей.
AUU = k-AIU = r-Aii-rt1 (25)
AII = R_1-AUI = r-AUU-R (26)
Напомним, что коэффициенты An и являются безразмерными величинами.
Вернемся снова к получению коэффициентов матрицы Аи в обобщенном виде:
Для этого, помимо матрицы сопротивлений R введем матрицу сопротивлений последовательно соединенных
участков цепи R , которая для анализируемой схемы имеет вид:
R О
О R23
00
00
R
-23
О Ял
(27)
Матрице Я соответствует обратная матрица проводимостей:
G -= (Я - Г1
О
О
Я
О О
23
О
О
1
Я 23
— О
О — Я.
G1 О О О
О G23 О О
О О G23 О
О О О G4
(28)
Если величина тока /0 через источник ЭДС Е равна /0 = Е-(О + О23 + О4) , то величины токов в последовательно-параллельных участках цепи представляются матрицей I = 10-Я~-О (29)
I = IО’
Яг Gi О О О
Я23 ’ G2
О
О
О
О
Я23 ’ G3
1о 0 0 О
О ' О О г*3 _ »Я ^ 0 О
О G _ 0 0 I Я23 ’ Яз О
0 0 О Io
Дополнительно введем в рассмотрение единичную матрицу 1 размерности (4х4) "1111"
1 =
1111
1111
1111
После этого матрица коэффициентов перехода для прямых и косвенных измерений тока (11) может быть представлена в виде произведения:
An = I-1-1 -
(30)
или
Следует обратить особое внимание на выражение для токов во
зетвях схемы (29). Оно имеет общий
характер и при введении дополнительных матриц типа Я может быть применено для определения величины тока во всех ветвях любой последовательно-параллельной схемы с источниками ЭДС.
Выражения, аналогичные формулам (29), (30) можно получить и для нахождения матрицы .
При этом вводится матрица напряжений, определяемая по формуле:
и = /0-Я~ (31)
Далее записывается формула, похожая на (30):
Аи — и -і -и-1
Яі 0 0 0
0 3 Я2 0 0
0 0 Я23 0
0 0 0 Я 4
іііі
іііі
іііі
іііі
— 0
Я
0 0
00
00
00
— 0
Я23
0 ±
Я
(32)
После перемножения этих матриц получается матрица, определяемая по формуле (13).
Рассмотрим получение еще одной матрицы, коэффициенты которой являются размерными величинами, а диагностическими величинами являются значения мощности, выделяемой в элементах цепи, т.е. у = Ж . Непосредственно измеряемыми величинами могут быть напряжения или токи в ветвях диагностируемой цепи.
Предположим, что X = и .
Для построения матрицы коэффициентов перехода а от непосредственно измеряемых величин X к диагностическим признакам у ранее уже использовалось диагностическое уравнение (1), в котором величина у прямо пропорциональна величине X вне зависимости от размерности коэффициента а и типа величин X, у (/, и, Ж) .
Допустим теперь, что X = и, У = Ж .
Тогда между ними существует следующее соотношение:
1 9
Ж = /1 -и = --и (33)
Я1
Теперь, предположим, что X = Ц/4 . В этом случае:
4 (34)
щ — I, -ц — Я • I2 — Я • /42 = Ят-и2
Ял
у і - і
Если х — и
4
2 то, используя соотношение и — и — I Я , получим выражение:
(35)
Щ - Я- I2 - Я и 2
Я23
Поменяем местами х и у, т.е. у — Щ,
--І2 и 2 - Ь-:
2 2 Я2
I2 • Яз Я
Ц2- Я23
Я Я2
Таким образом, во всех рассмотренных случаях, мы выходим на уравнение вида у — ах , (36)
и измеряемой которое, в отличие от уравнения (1), выражает квадратичную зависимость между диагностическим признаком величиной. Для этого уравнения матрица коэффициентов перехода имеет вид:
' Я Яі Яі Яі '
Я Я22 я2з Я42
і Яз і і і Я22з
Я2 Яі Я Я Я2 Я4
і Яз і і і Я2з
Яз Яі2 Яз Яз Яз Я4
Я4 Я4 Я4 Я4
_ я2 Я2 Я222 Я42 .
(37)
Аналогичным образом получается матрица коэффициентов перехода для измеряемой величины тока, переход к которой может быть выполнен на основе закона Ома.
4л
*1 *1- *2 *1- *32 *1
*23 *23
*2 *3 *23
*2 *2 *2 *2
*23 *2 *3 *23
*3 *3 *3 *3
*4 *4- *2 *4- *2 *4
*2 *2
(38)
Вывод из анализа матрицы (37) мощности в какой-то ветви схемы,
состоит в том,
что для уменьшения погрешности определения величины нужно измерять напряжение на ветвях, последовательно соединенных с данной, имеющих большую величину сопротивления (т. е. на ветвях с большими величинами напряжения).
Матрица (38) показывает, что для уменьшения погрешности определения мощности нужно выбирать для измерений ветви с малыми сопротивлениями в параллельных ветвях, т.е. с относительно большими величинами токов.
Связь диагностической и математической моделей объекта
Выше было представлено два вида диагностических моделей, связывающих один измеряемый параметр и один диагностический признак (1) и (36). В качестве коэффициентов перехода фигурировали параметры элементов диагностируемой электрической цепи.
Эти и другие диагностические модели могут быть получены из математической модели электрической цепи, представляемой системой алгебраических и дифференциальных уравнений, связывающих напряжения и токи в ветвях схемы цепи. Эта система составляется на основе законов Кирхгофа для токов и напряжений и уравнений резистивных элементов в виде закона Ома. Если в качестве основных переменных для рассматриваемой цепи
зыбрать напряжения на 1-м и 2-м элементах (щ, щ) и токи через 3-й и 4-й элементы (¿з,/4) , матическая модель в нашем случае будет иметь вид:
то мате-
Ох • Щ — І А С2 •М2 + І3 —
—М2 + Я3 • І3 — 0 Щ + Щ + *4 • І4 —
(39)
Е
Если параметры элементов цепи = —,С2 = —,Я3,Я4 и входное воздействие в виде величины ЭДС Е из-
*,
*
вестны, то можно, решив систему (1), найти переменные Щ, Щи затем, используя уравнение Кирхгофа, остальные переменные состояния цепи: ¿1,/2,Щ, Щ . При этом переменные состояния будут выражены через па-
раметры элементов. В частности, для системы (39) эти переменные будут равны.
Б-Я
*1 + *23 + *4
Е • * 23
*1 + *23 +*4
Е- *23
*3 •( *1 + *23 +
Е
*1 + *23 + *4
Из системы (39) сразу можно определить и остальные переменные, поскольку:
Б-Я,,
*1 + *23 + *4
М4 — Е — М1 — М2 —
ЕЯ
*1 + *23 + *4
Е
*1 + *23 + *4
ЕЯ-
1 2 — 1 4 13'
*2 • (*1 + *23 + *4)
Таким образом, на основе общей математической модели объекта в виде системы (3.39), можно перейти к частным диагностическим моделям, в том числе, представленным в виде уравнений (3.1), (3.36). Например,
найдем коэффициент перехода от напряжения х — щ к току у — І2 :
І і *оі
щ Я2 - Я
Сравним с элементом я21 матрицы Аш (формула (18)). Видно, что они одинаковы.
Выводы
На основе проведенного в работе анализа диагностических моделей простой резистивной цепи можно заключить:
1. Не всегда следует стремиться к уменьшению погрешности непосредственно измеряемых величин. Это может привести к удорожанию диагностической процедуры без получения требуемого эффекта. Если в качестве
М
2
3
а
диагностических признаков выступают косвенно измеряемые величины, то на основе проведенного анализа электрической цепи известной топологии, могут быть определены место и вид непосредственно измеряемых величин. При этом формируются требования к точности используемой измерительной аппаратуры.
2. Проведенный анализ может быть использован на этапе проектирования и конструирования новой аппаратуры, которую предполагается диагностировать после отработки части ресурса. Тогда следует определить наиболее информативные для диагностических целей контрольные точки, в которых следует сделать необходимые выводы для подключения в дальнейшем диагностической аппаратуры.
3. Рассмотренный пример резистивной цепи не исключает применения такого же подхода в случае RLC цепей, в том числе нелинейных. В последнем случае в качестве диагностических режимов следует применять переходные процессы, а математическая модель объекта трансформируется из системы алгебраическо дифференциальных уравнений в систему конечно разностных уравнений [2]. В итоге для решения задачи диагностирования на каждом временном шаге мы приходим снова к алгебраическим уравнениям, некоторые из которых будут иметь вид вышеприведенных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Клюев В.В., Пархоменко П.П., Абрамчук В.Е. и др. Технические средства диагностирования: Справочник - М.: Машиностроение, 1989.-672с.
2. Панкин А.М., Дашук С.П. Идентификация параметров электрических цепей в диагностических целях на основе данных об узловых напряжениях // "Научно-технические ведомости СПбГТУ" - СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2006. №5-1(47), С. 84-89.
