CC BY
15
УДК 621.3.011
Г.А. Пюкке
ТЕСТИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ СИНТЕЗА ДИАГНОСТИРУЕМОЙ СТРУКТУРЫ
Рассмотрена диагностическая модель, полученная на основе матричных преобразований уравнений электрических цепей для потенциалов. Предложен метод локализации дефектов в многокомпонентных рези-стивных электрических цепях на основе синтеза объекта диагностирования по эмпирическим данным, полученным при проведении диагностического эксперимента. Рассмотренная процедура легко формализуема при машинной обработке информации, что расширяет возможности разработчика при решении задач идентификации и диагностирования с последующим проектированием технических средств диагностирования с новыми возможностями, расширяющими круг инженерных задач по поддержанию работоспособного состояния технических систем и предотвращения аварийных ситуаций при эксплуатации.
Ключевые слова: матрица, диагностический признак, модель диагностирования, тест, потенциал, дефект, синтез, топология, структура, матрица потенциалов.
G.A. Pyukke
PARAMETER TESTING OF MULTICOMPONENT ELECTRICAL CIRCUITS ON THE BASIS OF SYNTHESIS OF DIAGNOSED STRUCTURE
The diagnostic model received on the basis of matrix transformations of the equations of electric circuits for potentials is considered. The method of localization of defects in multicomponent resistive electric circuits is offered on the basis of synthesis of the object for diagnosing according to the empirical data received during the diagnostic experiment. The considered procedure is easily formalized when machining the information. It expands opportunities of a developer while solving the problems of identification and diagnosing, with the subsequent designing technical means of diagnosing with new opportunities extending engineering challenges to maintain efficient condition of technical systems and emergency prevention when operating.
Key words: matrix, diagnostic attribute, model of diagnosing, test, potential, defect, synthesis, topology, structure, matrix of potentials
DOI: 10.17217/2079-0333-2017-39-12-24
Введение
Важной задачей, решаемой при диагностировании многокомпонентных разветвленных электрических цепей, является задача локализации области неработоспособных составляющих ее компонент с сохранением топологии объекта диагностирования при проведении диагностического эксперимента. Такой подход дает возможность обнаружить дрейф (изменения) номиналов составляющих элементов объекта исследования после длительной его эксплуатации, не нарушая его целостности.
Методика диагностирования базируется на представлении объекта диагностирования в виде пассивной резистивной линейной электрической цепи после проведения процедуры линеаризации, выполненной тем или иным общеизвестным методом. Такая операция необходима, чтобы при теоретических изысканиях использовать хорошо отработанный аппарат анализа линейных электрических цепей, когда выполняется закон Ома, принцип суперпозиции, а сама система описывается линейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями с постоянными коэффициентами, имеющими решения в общем виде. Первоначально строится модель диагностирования, и на ее основе разрабатывается методика диагностирования.
В качестве основных диагностических признаков, используемых в диагностической модели, выбирается совокупность электрических потенциалов всех узлов электрической цепи относи-
тельно узла, принятого за опорный узел, которые фиксируются вольтметром с большим внутренним сопротивлением. Условие большого внутреннего сопротивления вольтметра продиктовано исключением вмешательства в топологию объекта диагностирования при проведении диагностического эксперимента.
В качестве диагностируемых параметров выбирается массив проводимостей двухполюсных элементов эквивалентной схемы замещения. Методика диагностирования базируется на основе синтеза топологии и параметров составляющих компонент на момент диагностирования. Синтезировать электрическую цепь на основе эмпирических данных, полученных при проведении диагностического эксперимента, можно при использовании системы узловых уравнений для потенциалов (*) [1]. Такими данными являются выбранные нами основные диагностические признаки, измеренные в постэксплуатационный произвольный момент времени:
А У А1 и0 = -А ^ + Y Е) = -А 3 - А У Е, (*)
где А - матрица соединений, отражающая структуру графа диагностируемой электрической цепи, У - диагональная матрица диагностируемых параметров составляющих компонент диагностируемой электрической цепи, и0 - вектор основных диагностических признаков, 3 - вектор токов источников тока, Е - вектор ЭДС источников напряжения, А У Е - произведение матриц, представляющее матрицу-столбец, элементы которой являются суммой токов эквивалентных источников тока, образованных за счет преобразования источников ЭДС в ветвях в источники тока, А У А1 - произведение матриц, представляющее собой квадратную матрицу узловых проводимостей Уузл, А 3 - произведение матриц, представляющее матрицу-столбец, состоящую из элементов, являющихся суммой токов источников тока ветвей, соединенных с данным узлом, номер которого определяет номер элемента [1].
Построение диагностической модели
Строится модель диагностирования, аналитически связывающая совокупность основных диагностических признаков - то есть электрических потенциалов всех узлов электрической цепи с множеством диагностируемых параметров, в качестве которых выбран массив проводимостей двухполюсных элементов эквивалентной схемы замещения. При этом диагностическая модель должна обеспечить однозначность такого соответствия при реализации метода диагностирования, построенного на ее основе.
Так как по условиям диагностического эксперимента источник тестового сигнала должен быть источником, близким к источнику тока, то в системе (*) слагаемое А У Е обращается в ноль, и система (*) примет вид:
А У А1 ио = -А 3. (**)
Топологическая структура и параметры составляющих компонент в начальный момент эксплуатации считаются известными. После периода эксплуатации выполняется диагностирование и определяется топологическая структура и параметры составляющих компонент в произвольный текущий момент времени эксплуатации. Эти условия легко выполнимы, так как в большинстве случаев именно исходная топологическая структура схем известна при эксплуатации соответствующих устройств в радиоэлектронике, электроэнергетике и других отраслях. Рассматриваются такие виды дефектов, как «обрыв» и временной дрейф параметров, составляющих объект диагностирования компонент, вследствие необратимых физико-химических процессов старения. Такие виды дефектов, как «короткие замыкания» в структуре диагностируемой цепи, приводят к изменению размера матрицы узловых потенциалов и данным методом не описываются.
Согласно принятой методики, в системе (**) предлагается рассматривать в качестве неизвестных не коэффициенты матрицы-столбца и0, как это делается при анализе, а коэффициенты матрицы узловых проводимостей Уузл = А У А1 , что соответствует задаче синтеза топологии цепи по измеренным в ходе диагностического эксперимента диагностическим признакам и0 и 3. Но так как в текущий момент контроля топологическая структура и параметры составляющих компонент вследствие возможности возникновения дефектов могут отличаться от исходных (номинальных), то топология и параметры (номиналы) составляющих компонент на момент диагностирования считаются неизвестными и подлежат определению.
По условиям выполнения диагностического эксперимента коэффициенты матрицы узловых проводимостей Уузл ищутся не теоретически по матрицам А, У и А1, так как топологическая структура и параметры на момент исследования могут не соответствовать исходным, а экспериментально по измеренным диагностическим признакам ио и
Поиск коэффициентов матрицы узловых проводимостей необходим в силу тесной связи между коэффициентами матрицы Уузл и величинами определяемых параметров двухполюсных компонент эквивалентной схемы замещения. Эта связь отражена в топологии матрицы Уузл. Поэтому задачу диагностирования можно считать практически решенной, если найдены коэффициенты матрицы узловых проводимостей Уузл.
Построение матрицы Уузл может быть выполнено на основе сформированной в ходе проведения диагностического эксперимента матрицы узловых сопротивлений Z, аналитически связанной с матрицей Уузл соотношением Уузл = Z 1 .
Запись матрицы Z можно выполнить, последовательно заполняя ее строки (или столбцы: все равно, так как для линейных цепей, обладающих свойством взаимности, матрицы будут симметричны относительно главной диагонали) значениями потенциалов каждого из узлов относительно опорного узла при различных позициях подключения источника тестового сигнала между опорным и остальными узлами схемы (рис. 1).
Рис. 1. Процедура тестирования многокомпонентной электрической цепи
Но чтобы формировать матрицу узловых сопротивлений значениями потенциалов, необходимо создать такие условия проведения диагностического эксперимента, при которых получается формальное (без учета размерности единиц измерения) чисто количественное равенство коэффициентов матрицы Z и матрицы узловых потенциалов и. Для реализации этого условия необходимо, чтобы в каждом акте тестирования величина входного тока оставалась постоянной и численно равной единице.
Аналитически это можно показать на основе соотношения (**) следующим преобразованием, учитывая, что поле матриц не коммутативно (кроме единичной матрицы 1) [2]:
А У А1 ио = -А 3 ^ Уузл и = 1 ^ Уузл и и-1 = Ш"1 ^ Уузл 1 = 1и-1 ^ Z"1 = и-1 ^ Z = и.
Теоретически это означает, что источник тестового сигнала должен быть идеальным источником тока, имеющим бесконечно большое внутреннее сопротивление, а внешний ток такого источника будет постоянным и не зависящим от изменений внешней нагрузки, возникающих при коммутациях во время проведения диагностического эксперимента [3].
После экспериментального определения матрицы и можно записать матрицу узловых про-водимостей
Уузл = и = Z .
Можно показать аналитически, что решение системы узловых уравнений определит коэффициенты матрицы узловых проводимостей, являющейся обратной матрицей узловых потенциалов. Действительно: в результате проведения диагностического эксперимента получим сис-
тему подсистем (***), каждая из подсистем будет неопределенна (неопределенность — дает бесчисленное множество решений), так как количество уравнений п не дает единственного решения для п2 неизвестных.
Г У" У12 . • У1п ^ Г и (11)' Г '1 ^ Л
У21 У22 . • У 2п и (12) = 0
V Уп1 Уп2 . Упп / ии (^), V
ГУ11 У12 . ■ УшЛ Г и(21) ^ Г 0 ^
У 21 У22 . ■ Уш и (22) = 1
V Уп1 Уп2 . Упп / и (2 N), V 0 /
ГУ11 У12 . ■ Уш ^ г и (N1) Г0 \
У 21 У22 . ■ У2п и (N 2) = 0
V Уп1 Уп2 . У' пп / и (NN ) / V К
Вся совокупность подсистем эквивалентна системе
Л; г, г,
У11 У12
У21 У 22
У1п |Г и(11) и(21) ... и(N1) ^ Г 1 0
У 2п
0 1
. 0 ^ 0
1
и (12) и (22) ... и (N 2)
чУш У п2 ■■■ Упп ) (^ и (2 N) ... и (NN)) ^ 0 0
После перемножения матриц и приравнивая соответствующих коэффициентов
Г и(11)У11 + и(12)У12 + ... + и(Ш)У1п и(21)У11 + и(22)У12 + ... + и(2N)Уы и (11) У21 + и (12) У22 + ... + U(1N)y2n и (21) У21 + и(22)У22 + ... + и(2Н)У1п
и (11) Уп1 + и (12) Уп2 + ... + и (Ш)Ут и (21) Уп1 + и(22)Уп2 + ... + и(2ЩУт
... и(N1)У11 + и(N2)У12 + ... + и(NN)У1п ^ Г 1 0 ... 0 ^
... и(N1)У21 + и(N2)У22 + ... + и(NN)У2п 0 1 ... 0
... и(N1)Уш + и(N2)Уп2 +... + и(NN)Упп) [ 0 0
получим систему (****) п2 уравнений с п2 неизвестными, которая будет совместна и определена, если матрица U не вырожденная и количество неизвестных равно количеству уравнений в системе. Ее можно решить, вычислив для каждой подсистемы п неизвестных, которые будут коэффициентами матрицы U 1 обратной матрице ^ но а матрица U 1 = Yузл , ч. т. д.
и (11) уп + и (12) уи +... + и (Ш) уы = 1
и (21) у„ + и (22) У12 + . + и (2Щ) у1я = 0 и (N1)уи + и (N2) у12 +... + и (Ж)у1я = 0
1- я подсистема
*
Щ11)у21 + Щ12)у22 +... + ЩШ)у2п = 0 Щ21)у21 + и (22)у22 +... + Щ1Щу2п = 1
ЩЖ)у21 + и(М2)у22 +... + ЩШ)у2п = О
2-я подсистема
и(11)у„1 + и (12)уп2 + ... + и(Ш)упп = 0 ' и (21) уп1 + и (22) уп2 +... + и (2 N упп = о
и (N1) у, + и (N 2) у,2 + . + и (NN) упп = 1
п - я подсистема
Для решения инженерных задач диагностирования достаточно на основе диагностического эксперимента сформировать матрицу и и выполнить ее обращение. Полученная матрица узловых проводимостей даст возможность вычислить проводимости двухполюсных компонент эквивалентной схемы замещения. Такое вычисление базируется на свойствах матрицы узловых проводимостей, а именно: проводимость, соединяющая узлы 1 и ] (1 Ф ]), равна: у« = | у« |, если ¡, Ц Ф 0;
у«
= ^^ угк , если i Ф « = 0.
к=1
После вычисления проводимостей всех двухполюсных компонент эквивалентной схемы замещения формируется двумерный массив вычисленных сопротивлений Я, построенный на основе топологического графа исследуемой цепи, имеющего размер п х п , и содержащего Сп + 12 значащих коэффициентов (здесь Сп + 12 - число сочетаний из п + 1 элементов по 2, п - порядок матрицы узловых проводимостей). Также формируется массив исходных сопротивлений Я , построенный на основе топологического графа исследуемой цепи в доэксплуатационный момент времени.
Я
'12
'13
0 0
'1,п+1
' п,п+1
\
Я*
л
12
13 *
Г23
00
\
1,п+1 *
Г2,п+1
г п,п+1
*
0
0
Г
г
23
2,п+1
*
Далее находится модуль разности массивов | Я — R | . Если в результате вычитания получится массив, состоящий из нулей и элементов вида — да|, то можно констатировать, что за время эксплуатации в двухполюсных компонентах электрической цепи не произошло изменения диагностируемого параметра. Если в результате вычитания получится массив, имеющий коэффициенты, отличные от нуля, то количество и величина этих коэффициентов будут свидетельствовать о количестве дефектов и величине дрейфа диагностируемого параметра.
Рассмотрим пример. На рис. 2 изображена диагностируемая электрическая цепь. Требуется определить проводимости ветвей цепи на момент диагностирования после длительного периода эксплуатации. Для реализации метода положим, что в диагностических экспериментах тестовые
сигналы - задающие токи - были установлены равными 1 А. Номинальные значения сопротивлений ветвей цепи изначально (до периода эксплуатации) имеют следующие значения:
Я1-2 = 10 Ом; Я1-3 = 5 Ом; Я2-3 = 2 Ом; Я1-7 = 8 Ом; Я1-4 = 8 Ом; Я2-5 = 4 Ом; Я3-6 = 2 Ом; Я3-0 = 10 Ом; Я4-5 = 10 Ом; Я5-6 = 4 Ом; Я4-7 = 8 Ом; Я5-8 = 10 Ом; И6-0 = 5 Ом; Я7-8 = 5 Ом; = 4 Ом;
Я7-0 = 8 Ом.
Я1-7 8 ОЬгп -\АА-
Ш
Я1-2 10 С^т
N1-3 5 СЖт
ллл-
. Р1-4
■8 ОИгп К4.5 д—] 10 ОИт
ллл-
. Р4-7 ■ 8 ОИт
ш
ф
Р7-8 5 ОИт ИЛА-
А
Ш
Р!2-3 2 ОЬт -АЛЛ-
, Р2-5 > 4 ОГ™
Ш
N5-6 4 ОИгп -ЛЛЛ-
, Р5-8 > 1 0 ОИгп
СО
Я8-0 4 ОИт
ААА-
Р7-0 8 ОЬгп
АЛЛ-
ЕЮ
РЗ-0 10 ОИт
—\ЛЛ—
, Р3-6 ' 2 ОЬт
Ш
. Р6-0 ■ 5 ОЬпг!
2.599 VI
Рис 2. Диагностируемая электрическая цепь
Для реализации метода на основе синтеза параметров составляющих компонент сначала выполним подключение источника тока с током I = 1А между узлами 0 и 1. Измеряя напряжения всех полюсов относительно нулевого полюса, запишем первый столбец (строку) матрицы узловых потенциалов ^
Далее, подключив источник тока с током I = 1А между узлами 0 и 2, измерим напряжения всех полюсов относительно нулевого полюса и запишем второй столбец матрицы узловых напряжений и т. д. Продолжая по аналогии и выполнив все восемь экспериментов, сформируем матрицы узловых напряжений ^
Г 3,9870 2,2610 2,0990 2,5990 1,8930 1,6030 1,7760 0,9899
2,2610 3,5900 2,4680 1,9160 2,3660 1,9210 1,2110 0,8705
2,0990 2,4680 2,8050 1,6910 1,9390 1,9870 1,0840 0,7466
2,5990 1,9160 1,6910 5,1240 2,0930 1,4410 2,0730 1,1340
1,8930 2,3660 1,9390 2,0930 3,4110 1,9180 1,2390 1,0710
1,6030 1,9210 1,9870 1,4410 1,9180 2,6030 0,8963 0,6747
1,7760 1,2110 1,0840 2,0730 1,2390 0,8963 3,0390 1,3300
0,9899^
0,8705
0,7466
1,1340
1,0710
0,6747
1,3300
2,4970
Для нахождения матрицы узловых проводимостей Yузл достаточно выполнить обращение матрицы узловых напряжений ^ Обращение матрицы можно произвести в режиме командной строки пакета МАТЛАБ, выполнив команду >> ту(И), где и = [3,9870 2,2610 2,0990 2,5990 1,8930 1,6030 1,7760 0,9899; 2,2610 3,5900 2,4680 1,9160 2,3660 1,9210 1,2110 0,8705; 2,0990
2,4680 2,8050 1,6910 1,9390 1,9870 1,0840 0,7466; 2,5990 1,9160 1,6910 5,1240 2,0930 1,4410 2,0730 1,1340; 1,8930 2,3660 1,9390 2,0930 3,4110 1,9180 1,2390 1,0710; 1,6030 1,9210 1,9870 1,4410 1,9180 2,6030 0,8963 0,6747; 1,7760 1,2110 1,0840 2,0730 1,2390 0,8963 3,0390 1,3300; 0,9899 0,8705 0,7466 1,1340 1,0710 0,6747 1,3300 2,4970].
В результате получим следующую матрицу узловых проводимостей Уузл :
У =
узл
( 0,5499 - 0,1001 - 0,1997 - 0,1250 - 0,0001 - 0,0000 - 0,1249 - 0,0000"
- 0,1001 0,8503 - 0,5010 0,0000 - 0,2498 0,0006 0,0000 0,0000
- 0,1997 - 0,5010 1,3015 - 0,0000 0,0002 - 0,5009 - 0,0003 0,0001
- 0,1250 0,0000 - 0,0000 0,3499 - 0,0999 - 0,0001 - 0,1249 0,0001
- 0,0001 - 0,2498 0,0002 - 0,0999 0,6998 - 0,2501 - 0,0000 - 0,1001
- 0,0000 0,0006 - 0,5009 - 0,0001 - 0,2501 0,9503 0,0002 - 0,0000
- 0,1249 0,0000 - 0,0003 - 0,1249 - 0,0000 0,0002 0,5748 - 0,1999
ч- 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 - 0,1001 - 0,0000 - 0,1999 0,5498 у
Анализ топологического графа (рис. 3) диагностируемой цепи и структуры матрицы узловых проводимостей показывает, что граф имеет неполную структуру, то есть ветви между узлами 1-5; 1-6; 1-8; 1-0; 2-4; 2-6; 2-7; 2-8; 2-0; 3-4; 3-5; 3-7;
3-8; 4-6; 4-8; 4-0; 5-7; 5-0; 6-7; 6-8 отсутствуют, а значит, их проводимости равны нулю. Этот факт отражен в топологии матрицы наличием нулевых компонент либо компонент,
^ имеющих малое численное значение и появившееся в результате погрешностей, возникших при выполнении операции обращения матрицы и при округлении с заданной точностью. 7 Такими компонентами матрицы являются компоненты с индексами 1-5; 1-6; 1-8; 2-4; 2-6; 2-7; 2-8; 3-4; 3-5; 3-7; 3-8;
4-6; 4-8; 5-7; 6-7; 6-8 и симметричные им 5-1; 6-1; 8-1; 4-2; 6-2; 7-2; 8-2; 4-3; 5-3; 7-3; 8-3; 6-4; 8-4; 7-5; 7-6; 8-6. Следовательно, эти компоненты матрицы можно обнулить. Как отмечалось выше, по матрице Уузл можно вычислить проводимости ветвей диагностируемой электрической цепи, если цепь удовлетворяет определенным ограничениям, таким как отсутствие в цепи параллельно соединенных ветвей и ветвей, замкнутых в петли.
В результате получим матрицу узловых проводимостей Уузл, которая даст возможность на основе ее свойств, таких как сумма проводимостей по строке полной матрицы узловых прово-димостей равна нулю, а также свойств диагональных элементов матрицы, определяемых как сумма проводимостей ветвей, сходящихся в п-м узле, получить численные значения проводимо-стей всех ветвей диагностируемой электрической цепи.
Рис. 3. Граф цепи
У =
узл
( 0,5499 -0,1001 -0,1997 -0,1250 0 0 -0,1249
- 0,1001 0,8503 - 0,5010 0 - 0,2498 0 0 -0,1997 -0,5010 1,3015 0 0 -0,5009 0
- 0,1250 0 0 0,3499 - 0,0999 0 - 0,1249
0 - 0,2498 0 - 0,0999 0,6998 - 0,2501 0
0 0 - 0,5009 0 - 0,2501 0,9503 0
- 0,1249 0 0 - 0,1249 0 0 0,5748
0 0 0 0 - 0,1001 0 - 0,1999
0 0 0 0
- 0,1001 0
- 0,1999 0,5498
Л
Искомые проводимости ветвей определяются на основе свойств матрицы узловых проводимостей. Для ветвей, инцидентных нулевому полюсу gij , проводимости определяются из соотношения
§у'
£
к=1
7к , если I Ф] = 0.
§30 = 731 + 732 + 733 + 734 + 735 + 736 + 737 + 738 = -0,1997 - 0,5010 + 1,3015 + 0 + 0 - 0,5009 + 0 + 0 = = 0,0999 См; соответственно, сопротивление г30 = 10 Ом,
§60 = Гб1 + Гб2 + Гб3 + Гб4 + Гб5 + Гбб + Гб7 + Гб8 = 0 + 0 - 0,5009 + 0 - 0,2501 + 0,9503 + 0 + 0 = = 0,1993 См; соответственно, сопротивление г60 = 5 Ом,
§70 = 1т1 + 7-п + 7Ъ + 774 + 71Ъ + 7^ + 7-п + 7ц = -0,1249 + 0 + 0 - 0,1249 + 0 + 0 + 0,5748 - 0,1999 = = 0,1251 См; соответственно, сопротивление г70 = 8 Ом,
§80 = 781 + 782 + 783 + 784 + 7«5 + 7«6 + 7«7 + 7«« = 0 + 0 + 0 + 0 - 0,1001 + 0 - 0,1999 + 0,5498 = = 0,2498 См; соответственно, сопротивление г80 = 4 Ом,
§10 = 7ц + 712 + 713 + 714 + 715 + 716 + 717 + 718 = 0,5499 - 0,1001 - 0,1997 - 0,1250 + 0 + 0 - 0,1249 + 0 = = 0, 0002 ~ 0, соответственно, сопротивление г 10 = да,
§20 = 721 + 722 + 723 + 724 + 725 + 726 + 727 + 728 = -0,1001 + 0,8503 - 0,5010 + 0 - 0,2498 + 0 + 0 + 0 = = -0, 0006 ~ 0, соответственно, сопротивление г 20 = да,
§40 = 741 + 742 + 743 + 744 + 745 + 746 + 7„ + 748 = -0,1250 + 0 + 0 + 0,3499 - 0,0999 + 0 - 0,1249 + 0 = = 0,0001 ~ 0, соответственно, сопротивление г 40 = да,
§50 = 751 + 752 + 753 + 754 + 755 + 756 + 757 + 758 = 0 - 0,2498 + 0 - 0,0999 + 0,6998 - 0,2501 + 0 - 0,1001 = = -0,0001 ~ 0, соответственно, сопротивление г50 = да.
Для ветвей, не инцидентных нулевому полюсу, проводимости §] определяются из соотношения
§] = 17] Ь если и ] ф
§12 = | 7121 = 0,1001 См, соответственно, сопротивление г12 = 10 Ом.
§13 = | 7131 = 0,1997 См, соответственно, сопротивление г13 = 5 Ом.
§14 = | 714 | = 0,1250 См, соответственно, сопротивление г14 = 8 Ом.
§17 = | 717 | = 0,1249 См, соответственно, сопротивление г17 = 8 Ом.
§23 = | 7231 = 0,5010 См, соответственно, сопротивление г23 = 2 Ом.
§25 = | 7251 = 0,2498 См, соответственно, сопротивление г25 = 4 Ом.
§36 = | 7361 = 0,5009 См, соответственно, сопротивление г36 = 2 Ом.
§45 = | 7451= 0,0999 См, соответственно, сопротивление г45 = 10 Ом.
§47 = | 747 |= 0,1249 См, соответственно, сопротивление г47 = 8 Ом.
§56 = | 7561= 0,2501 См, соответственно, сопротивление г56 = 4 Ом.
§58 = | 7581= 0,1001 См, соответственно, сопротивление г58 = 10 Ом.
§78 = | 7781 = 0,1999 См , соответственно, сопротивление г78 = 5 Ом.
Массив исходных сопротивлений R и вычисленных сопротивлений R:
R*
5 8 да да 8 да да^ '10 5 8 да да 8 да даЛ
2 да 4 да да да да 2 да 4 да да да да
да да 2 да да 10 да да 2 да да 10
10 да 8 да да 10 да 8 да да
; R =
4 да 10 да 4 да 10 да
да да 5 да да 5
5 8 5 8
4 4
К - Я
Г10 |о| о
о
|да — да| да — да
|да — да
|о|
|да — да|
|о|
да — да
|да — да|
|о|
|да — да|
|о|
|о|
|да — да| |да — да|
|о|
|да — да| да — да
да — да |да — да| |да — да| |да — да|
|о|
|да — да|
|о|
|да — да| |да — да|
|о|
|да — да| |да — да|
|о| |о| о
Анализ массива| Я — R | свидетельствует о том, что за время эксплуатации существенных дрейфов параметров составляющих компонент не произошло. Однако появление ложных значений проводимостей отсутствующих ветвей между узлами: 1-5; 1-6; 1-8; 1-о; 2-4; 2-6; 2-7; 2-8; 2-о; 3-4; 3-5; 3-7; 3-8; 4-6; 4-8; 4-о; 5-7; 5-о; 6-7; 6-8, иногда всего лишь на два-три порядка отличающихся от проводимостей ветвей существующих, свидетельствует о чувствительности метода к погрешностям измерений при проведении диагностических экспериментов.
Как показывает опыт, при достаточно малых значениях погрешностей измерений диагностику электрической цепи рассматриваемым методом можно выполнить достаточно точно. Но с ростом погрешности измерений погрешность решения задачи быстро возрастает. Поэтому при недостаточно высокой точности измерений необходимо априори знать топологию объекта диагностирования.
Анализ устойчивости решения и постановка корректности задачи диагностики
Решаемая задача разработки метода поиска дефектов в резистивных электрических цепях не выходит за замки использования систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Однако следует отметить, что характерной особенностью СЛАУ является возможность наличия высокой чувствительности их решения к входным данным. Последнее означает, что даже небольшие изменения АЬ вектора Ь в правой части системы Ах = Ь или ДА матрицы А влекут за собой значительные изменения Ах решения х исходной системы, и полученный результат х = х + Ах может оказаться далеким от определяемого решения. Поэтому необходимо выполнить анализ решаемой задачи на устойчивость, и если исследуемая СЛАУ окажется плохо обусловленной, то необходимо использовать корректировку системы, применяя тот или иной метод регуляризации, позволяющий привести исходную СЛАУ к системе с менее чувствительной зависимостью решения от входных данных, приводящей к более устойчивому решению.
В приложении к решаемой задаче устойчивость системы тесно связана с понятием обусловленности матриц. Очевидно, что в практических задачах из-за погрешностей измерений коэффициенты матрицы и и свободного члена 1 неточны. В предлагаемом методе диагностирования выполняется операция обращения матрицы и, Уузл = и 1 . Необходимо учитывать, что обратная матрица и 1 будет устойчива к погрешностям исходных данных, если малым изменениям в элементах матрицы и будут соответствовать малые изменения в элементах матрицы и 1 . Условие корректности поставленной задачи состоит в том, чтобы матрица и была далека от вырождения, то есть ее определитель не был слишком мал: так как при малом значении определителя коэффициенты обратной матрицы и 1 достаточно велики, и незначительные изменения в коэффициентах матрицы и приведут к значительным изменениям в решении системы. Матрица и будет плохо обусловлена, а матрица Уузл = и 1 неустойчива.
Оценки погрешности решения задачи диагностики в рассматриваемом методе тесно связаны со структурно-топологическими особенностями исследуемой электрической цепи, то есть погрешности оказываются большими для тех цепей, у которых искомые матрицы узловых проводимостей Уузл хуже обусловлены. К таким цепям относятся цепи, содержащие подцепи, проводимости элементов которых существенно отличаются от значений проводимостей остальной части цепи. При этом обычно вводят допущения, заменяя реальные элементы цепи идеальными (например, идеальные источники тока и ЭДС). В результате анализу подлежат не сами цепи,
2о
а идеализированные модели цепей. При подобного рода топологических вырождениях задача может терять однозначность и становиться некорректной. Задача будет корректно поставленной, если решение ее существует, единственно и устойчиво. Применительно к резистивным цепям такими вырождениями являются цепи, содержащие подцепи только с идеальными источниками тока и ЭДС и неучтенными во внешней цепи их внутренними проводимостями и сопротивлениями, свойственными реальным источникам энергии, а также ветви с нулевыми проводимостями. Следует отметить, что теорема существования и единственности решения уравнений линейных резистивных электрических цепей ставит корректность задач расчета цепей этого класса в зависимость от наличия в них топологических вырождений. Согласно этой теореме считается, что решение уравнений цепи существует и является единственным, если такие топологические вырождения отсутствуют. Если же такие особые подцепи существуют, но для них выполняются законы Кирхгофа, то решение уравнений цепи существует, если же не выполняются - то не существует.
Методика получения оценок устойчивости решения СЛАУ и связанной с ней оценки погрешности решения хорошо разработана и общеизвестна. В приложении к рассматриваемому методу можно использовать интегральные оценки погрешности искомой матрицы узловых про-водимостей на основе мультипликативных норм матрицы, так как искомыми в данной задаче являются ее коэффициенты [1].
Оценка устойчивости решения, то есть нахождения коэффициентов матрицы узловых про-водимостей в данной задаче будет определяться следующими входными факторами: относительной погрешностью задания диагональной матрицы входных токов, относительной точностью задания коэффициентов и числу обусловленности матрицы узловых напряжений.
Если предположить, что узловые напряжения измеряются достаточно точно, а задающие токи Л имеют погрешность А Л = 1 — Л , где ] = 1, 2, ..., п, то измеренные напряжения удовлетворяют следующей системе:
(
У11 У12 Ун У 22
У1п
У2п
^ ( и(11) и(21) ... и и (12) и (22) ... и (N 2)
V Уп1 Уп 2 ( 1 0 ... 0 1 ...
Упп I Vи(Щ) и(2^ ... и(NN)
0 ^(Д/„ 0
0 дл.
V 0 0 ... 1IV 0 0 ... ДЛпп) V 0 0 ... Лпп
(л 0
0 Л22
0 } 0
Погрешность решения задачи диагностики, обусловленная ошибками задания токов, удовлетворяет системе:
0
0
/ * Уи У12 . У*п ^ ( и (11) и (21) и (N1) > (1 0 .0
У*1 У 22 . У*п и (12) и(22) ... и (N2) = 0 1 .0
V У*1 * У п2 . * У пп ) V и (Ш) и (2 N) ... и (NN)у V 0 0 .1
/ * У11 У1*2 ■■■ Уп (У" У12 . У1п ^ ДУ12 ДУш'
У*1 У2*2 ■■■ У* п = У21 У22 . У2п + ДУ21 ДУ 22 ДУ2п
V У*1 * Уп2 * . * * У пп / V Уп1 Уп2 . Упп ) чДУп1 ДУп2 ДУпп у
Выполняя эквивалентные преобразования над полученными системами (для удобства записи используем символьную форму), получим:
Y* U = 1 ^ Y* = Ш-1
А узл ^ А А узл А ^ ?
подставляя Y*узл = Yузл + AYузл, получим ^ Yузл + AYузл = Б-1,
подставляя в последнее соотношение Yузл и = 1 - AYузл ^ Yузл = (1 - А^ и 1, получим:
(1 - Аа) и-1 + AYузл = и-1 ^ AYузл = Аа и-1 ^ Аа = AYузл и.
Полученное соотношение связывает диагональную матрицу погрешности задания токов Аа с погрешностью определения коэффициентов матрицы узловых проводимостей AYузл.
Для мультипликативных норм приведенных уравнений имеем (здесь Yузл обозначаем Y):
Л = ||ш|| <|\У\\ ; \\Щ = Цл/^Ц < ||Л/|| _1||.
Перемножая данные соотношения, получим:
Л ЦлгЦ < \\у\\ ||л/|| ,
и так как нормы уже коммутативны, получим:
||/| \\лу\\ <|\У\\ "Ч
где ||Г|| = аи - число обусловленности матрицы и.
Выделяя относительные величины, получим следующее соотношение:
М ^ М
то есть относительная погрешность определения коэффициентов матрицы узловых проводимостей пропорциональна относительной погрешности задания диагональной матрицы токов и числу обусловленности аи.
Если теперь положить, что входные токи измеряются точно, а узловые напряжения определяются с погрешностью, то, выполняя аналогичные преобразования, приходим к выражению для оценки погрешности коэффициентов матрицы узловых проводимостей [1]:
N <а М
И u \\и\\'
то есть относительная погрешность определения коэффициентов матрицы узловых проводимо-стей пропорциональна величине, характеризующей относительную точность задания матрицы узловых напряжений U и числу обусловленности аи. То есть погрешности оказываются большими для тех электрических цепей, у которых искомые матрицы узловых проводимостей хуже обусловлены, поскольку имеет место формальное численное равенство U = Z = Y 1 .
Следует отметить, что полученные оценки справедливы при небольшой погрешности измерений, и для их использования необходима информация о погрешностях измерений токов и напряжений, определяемая классом точности измерительных приборов. Для полученных оценок могут быть использованы любые мультипликативные нормы матриц.
Выполним оценку относительной погрешности определения матрицы узловых проводимостей для приведенного выше примера. Предположим, что измерения узловых напряжений выполнялось с точностью до 10 2 В. Входные тестирующие токи устанавливались точно 1 А.
Тогда матрица и будет соответственно равна:
и* =
(3,98 2,26 2,09 2,59 1,89 1,60 1,77 0,98"
2,26 3,59 2,46 1,91 2,36 1,92 1,21 0,87
2,09 2,46 2,80 1,69 1,93 1,98 1,08 0,74
2,59 1,91 1,69 5,12 2,09 1,44 2,07 1,13
1,89 2,36 1,93 2,09 3,41 1,91 1,23 1,07
1,60 1,92 1,98 1,44 1,91 2,60 0,89 0,67
1,77 1,21 1,08 2,07 1,23 0,89 3,03 1,33
ч 0,98 0,87 0,74 1,13 1,07 0,67 1,33 2,49у
Будем использовать наиболее употребляемую норму, вычисление которой проще:
т I I
И 1х = тах ЕЫ
1=1
1< у < т.
Запишем матрицу Ли = I и — и I :
ли =
(0,0070 0,0010 0,0090 0,0090 0,0030 0,0030 0,0060 0,0099
0,0010 0,0000 0,0080 0,0060 0,0060 0,0010 0,0010 0,0005
0,0090 0,0080 0,0050 0,0010 0,0090 0,0070 0,0040 0,0066
0,0090 0,0060 0,0010 0,0040 0,0030 0,0010 0,0030 0,0040
0,0030 0,0060 0,0090 0,0030 0,0010 0,0080 0,0090 0,0010
0,0030 0,0010 0,0070 0,0010 0,0080 0,0030 0,0063 0,0047
0,0060 0,0010 0,0040 0,0030 0,0090 0,0063 0,0090 0,0000
0,0099" 0,0005 0,0066 0,0040 0,0010 0,0047 0,0000 0,0070
Зададим норму для Ли, получим ||ЛР|| 1 = 0,049.
1 ■
Полагая \\Щ = р || = 2,59 + 1,91 + 1,69 + 5,12 + 2,09 + 1,44 + 2,07 + 1,13 = 18, 04. Для нахождения числа обусловленности находим норму обратной матрицы и 1:
( 0,5492 - 0,1024
и*-1 =
- 0,1024 0,8456
- 0,1951 - 0,4934
- 0,1237
0 0
- 0,1256
0
0
- 0,2471 0 0 0
- 0,1915
- 0,4934 1,2883
0 0
- 0,4944
0 0
- 0,1237
0 0
0,3499
- 0,1002
0
- 0,1260 0
0
- 0,2471
0
- 0,1002 0,6960
- 0,2464
0
- 0,1016
0 0
- 0,4944
0
- 0,2464 0,9462
0 0
-0,1256 0
0 0
- 0,1260 0 0 0
0,5779 - 0,2029
- 0,1016 0
- 0,2029 0,5526
р ^ = 0,1951 + 0,4934 + 1,2883 + 0,4944 = 2, 4712. Число обусловленности аи = р|| р*-1 ~ 18, 04 • 2, 4712 = 44, 58 ~ 44 невелико.
Так как U 1 « U 1, то au ~ ap ~ 44, и тогда:
HAY)! ||AU||, V < au
\\Y + AY^ pi
AU L о 049
11 = 44 0049 = 0,119
И 18,04
11
- интегральная оценка точности матрицы узловых проводимостей.
Из последнего соотношения следует:
< 0,119 • \\У + = 0,119 • = 0,119 • 2, 4712 = 0,294
- верхняя граница погрешности определения матрицы узловых проводимостей.
То есть суммарная погрешность определения матрицы узловых проводимостей в любом столбце не превышает ~ 0,29.
Сравнивая предлагаемый метод с другими методами диагностирования, необходимо отметить его достоинство, которое состоит в том, что с его помощью локализуются отклонения параметров одновременно и сразу всех составляющих компонент объекта диагностирования. Хотя большинство общеизвестных методов выполняют поиск только одиночных дефектов и последовательно во времени, как, например, метод диагностирования, построенный на основе использования функциональной модели объекта диагностирования. В предлагаемом методе эти недостатки отсутствуют.
К недостаткам следует отнести требование высокой контролепригодности и наличие физического доступа к большому количеству полюсов измерения при проведении диагностического эксперимента, что не всегда выполнимо на реальном физическом объекте.
Следует отметить, что приведенная методика позволяет при соответствующем выборе типа тестового сигнала и условий проведения диагностического эксперимента расширить возможности рассматриваемого метода и выполнять тестирование электрических цепей, содержащих компоненты, обладающие реактивным сопротивлением, а также нелинейные компоненты, что расширяет класс диагностируемых объектов и возможности рассмотренного метода диагностирования.
Литература
1. Нейман Л.Р., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. - Л.: Энергоиздат, 1981.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1965.
3. БессоновЛ.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1984.
Информация об авторе Information about the author
Пюкке Георгий Александрович - Камчатский государственный технический университет; 683003, Россия, Петропавловск-Камчатский; доктор технических наук, доцент; профессор кафедры систем управления; [email protected]
Pyukke Georgiy Aleksandrovich - Kamchatka State Technical University; 683003, Russia, Petropavlovsk-Kamchatskу; Doctor of Technical Sciences, Docent, Professor of Control Systems Chair; [email protected]
